Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Прикладной курс по математике "Задачи с параметром и модулем" (10 класс)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Прикладной курс по математике "Задачи с параметром и модулем" (10 класс)

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ ПК задачи 1.docx

библиотека
материалов

ПРОГРАММА

Прикладного курса

«Задачи с параметром и модулем»

10 класс



ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Прикладной курс рассчитан на 34 часа учебных занятий в 10 классе общеобразовательной школы.

В соответствии с концепцией модернизации школьного образования прикладные курсы являются обязательным компонентом школьного обучения.

Необходимость курса вызвана несколькими причинами:

  • выпускники испытывают серьезные затруднения при решении задач с параметрами и модулем;

  • необходимостью формирования логического мышления и математической культуры у школьников;

  • взаимосвязью таких задач с физическими процессами и геометрическими закономерностями.

Практика работы в школе показывает, что наибольшую трудность у учащихся вызывают задачи с параметрами и модулем. Уравнения и неравенства, содержащие параметры и модули один из труднейших разделов школьного курса математики. Многие учащиеся испытывают логические трудности, не умеют применить имеющиеся знания в практике. При решении данных задач кроме использования алгоритмов решения уравнений и неравенств, приходится думать об удачной классификации, следить за тем, чтобы не пропустить множество тонкостей, спрятанных в задачах. Уравнения и неравенства с параметрами и модулями тема, где проверяется не «натасканность» ученика, а подлинное понимание им материала. Естественно цена задачи резко возрастает, если в нее включен параметр, либо модуль, либо их конфигурация, и возрастает вдвойне, если задание имеет не традиционное, нестандартное, оригинальное решение взамен шаблонным.

Прикладной курс расширит представление учащихся о функционально-графическом методе решения алгебраических задач с параметрами и модулем. В школьной программе этим заданиям мало уделяется времени и практикум призван восполнить данный пробел. Одновременно, прикладной курс призван не только дополнять и углублять знания учащихся, но и развивать их интерес к предмету, любознательность и логическое мышление.

При решении уравнений, неравенств и систем с параметрами и модулем перед учащимися открывается значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности и применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Прикладной курс позволяет значительно сократить разрыв между требованиями, которые предъявляет своему абитуриенту ВУЗ и требованиями, которые предъявляет к своему выпускнику школа.

Таким образом особая установка прикладного курса – подготовка учащихся к конкурсным экзаменам в ВУЗы соответствующего профиля. Преподавание должно обеспечить систематизацию знаний и умений учащихся на уровне вступительных экзаменов, так как учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются и с другими задачами. Этот курс требует от учащихся большой самостоятельной работы, способствует подготовке учащихся к продолжению образования, повышения уровня математической культуры, функциональной математической грамотности.

Развитие логического мышления, концентрация внимания и математической культуры учащихся, расширяет по сравнению с общеобразовательной программой сферу математических знаний, побуждает их к исследовательской деятельности, существенно повышает графическую культуру школьников.

Воспитательный эффект курса заключается в формировании таких важных качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, аккуратность.

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ПРИКЛАДНОГО КУРСА:

Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления.

Образовательная: по окончанию изучения курса учащийся

- знает определение модуля;

- имеет представление о задачах с параметрами;

- понимает геометрический смысл модуля, решение простейших задач на применение модуля, параметра, классификацию задач;

- умеет находить модуль числа, применять аналитический метод решения задач с параметром и модулем;

- умеет классифицировать виды задач, анализировать решение, приемы решения;

- умеет обобщить методы решения задач;

- делать вывод по ходу решения, осуществлять выбор рационального метода решения задач и обосновывать сделанный выбор;



ТЕХНОЛОГИИ ОБУЧЕНИЯ:

  • личностно-ориентированное обучение

  • информационные технологии

  • метод проблемного изложения

  • метод проектов.



ВИДЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ:

  • лекция;

  • беседа;

  • практикум;

  • консультация;

  • работа на компьютере.

  • работа над проектом.



ФОРМА ОБУЧЕНИЯ:

  • индивидуальная

  • коллективная

  • групповая.

КОНТРОЛИРУЮЩИЙ МАТЕРИАЛ:

  • тесты.

  • дидактический материал

  • презентация



Требования к знаниям и умениям: в результате изучения курса учащиеся должны уметь

  • строить графики элементарных функций, и их комбинации, усложненные модулями;

  • решать линейные и квадратные уравнения с параметром;

  • решать иррациональные, тригонометрические, уравнения с параметром как аналитически, так и графически;

  • применять аппарат алгебры и математического анализа для решения прикладных задач;

  • иметь четкое представление о возможностях функционально-графического подхода к решению различных задач.



Ожидаемые результаты:

в результате изучения курса учащиеся должны:

  • овладеть методами решения задач с параметрами и модулем с использованием графических интерпретаций;

  • осуществлять выбор метода решения задачи и обосновывать его;

  • уметь решать линейные, квадратные уравнения и неравенства, системы двух линейных уравнений с двумя переменными, несложные иррациональные уравнения с одним параметром при всех значениях параметра;

  • использовать в решении задач с параметром свойства квадратичной и линейной функции;

  • устанавливать свойства функции у = хр, у = и изображать их графики при различных значениях р и п;

  • изображать графики функции у = f(x-a) + b, y = af(bx) по известному графику функции у = f(x);

  • изображать графики функции y = y= f(), y= уравнений

по известному графику функции y = f (x).

  • использовать графики функции и уравнений при изображении множеств точек плоскости, заданных неравенствами, системами неравенств;

  • владеть техникой использования каждого метода.

Формы контроля: самостоятельные работы, домашние контрольные работы, рефераты и исследовательские работы.

Формы итоговой аттестации:

В конце курса предполагается работа над проектами индивидуально или в малой группе и защита их каждым учеником по выбранному разделу курса.

































задачи с парметрами и модулем

ПРИКЛАДНОЙ курс (34 часа)

календарное Планирование ( 1 час в неделю)

п/п

Название темы

основные понятия

часы 

лек

ции

прак

тика

дата

коррекция

виды проверочных работ

1

Понятие модуля. Решение уравнений по определению модуля.

модуль

1 ч

1

-



Устная работа, практикум

2

Понятие модуля. Решение уравнений по определению модуля.

модуль

1 ч

-

1



Устная работа, практикум

3

Построение графиков, содержащих знак модуля

графики

1 ч

-

1



п/р

4

Построение графиков, содержащих знак модуля

графики

1 ч

-

1



п/р

5

Решение уравнений с переходом к системе или совокупности уравнений.

Модуль, уравнение

1 ч

-

1



Устная работа, практикум

6

Решение уравнений с переходом к системе или совокупности уравнений.

Модуль, уравнение

1 ч

-

1



Устная работа, практикум

7

Решение уравнений с переходом к системе или совокупности уравнений.

Модуль, уравнение

1 ч

-

1



п/р

8

Рациональные неравенства с модулем. Обобщенный метод интервалов.

неравенства с модулем

1 ч

-

1



Устная работа, практикум

9

Рациональные неравенства с модулем. Обобщенный метод интервалов.

неравенства с модулем

1 ч

-

1



Устная работа, практикум

10

Простейшие задачи с параметрами

параметры

1 ч

-

1



С/Р №1

11

Линейные уравнения с параметрами. Простейшие дробно-рациональные уравнения с параметрами вида .

Дробро-рациональное уравнение

1 ч

1

-



Устная работа, практикум

12

Линейные уравнения с параметрами. Простейшие дробно-рациональные уравнения с параметрами вида .

Дробро-рациональное уравнение

1 ч

-

1



с/р №2

13

Дробно-рациональные уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным.

параметры

-

1



Устная работа, практикум

14

Задачи с параметром, сводящиеся к использованию квадратного трехчлена.

квадратный трехчлен

-

1



Устная работа, практикум

15

Задачи с параметром, сводящиеся к использованию квадратного трехчлена.

параметры

-

1




16

Использование теоремы Виета при решении задач с параметрами

параметры

-

1



Устная работа, практикум

17

Использование теоремы Виета при решении задач с параметрами

параметры

-

1



с/р 3

18

Использование свойств квадратичной функции при решении задач с параметрами

Свойства кВ. ф-ии

1

-



Устная работа, практикум

19

Использование свойств квадратичной функции при решении задач с параметрами

Свойства кВ. ф-ии

-

1



с/р 4

20

Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами.

графики

1

-



Устная работа, практикум

21

Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами.

графики

-

1



Устная работа, практикум

22

Приемы составления задач с параметрами, используя графики различных соответствий и уравнений.

графики

1 ч

-

1



тест

23

Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств.

ограничен-ность функции

1

-



Устная работа, практикум

24

Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств.

ограничен-ность функции

-

1



Устная работа, практикум

25

Метод приведения к уравнению относительно неизвестной х с параметром а.

параметр

-

1



Устная работа, практикум

26

Метод приведения к уравнению относительно неизвестной х с параметром а.

параметр

-

1



тест

27

Графический способ решения уравнений и неравенств.

графики

-

1



Устная работа, практикум

28

Графический способ решения уравнений и неравенств.

графики

-

1



п/р, защита проекта

29

Сочетание графического и алгебраического методов решения уравнений.

графики

-

1



Устная работа, практикум

30

Сочетание графического и алгебраического методов решения уравнений.

графики

-

1



Устная работа, практикум

31

Использование производной при решении задач с параметрами. Задачи на максимум и минимум.

максимум, минимум

1

-



Устная работа, практикум

32

Использование производной при решении задач с параметрами. Задачи на максимум и минимум.

максимум, минимум

-

1



Устная работа, практикум

33

Комбинированные задачи с модулем и параметрами. Обобщенный метод областей.

область определения

1

-



Устная работа, практикум

34

Комбинированные задачи с модулем и параметрами. Обобщенный метод областей.

область определения

-

1



п/р


Итого:


34 ч




























СОДЕРЖАНИЕ ПРИКЛАДНОГО КУРСА

10 класс (34 часа)

1. Понятие модуля. Решение уравнений по определению модуля (2 часа). Определение модуля. Освобождение от модулей в уравнениях. Методы решения уравнений содержащих несколько модулей, параллельное раскрытие модулей. Применение метода интервалов в задачах с модулями. Модули и квадраты.

2. Построение графиков, содержащих знак модуля (2 часа). Графики элементарных функций, содержащие переменную под знаком модуля; двойные модули, графики уравнений и соответствий, содержащие знак модуля.

3. Решение уравнений с переходом к системе или совокупности уравнений (3 часа). Рациональные уравнения, однородные уравнения, симметрические уравнения, иррациональные уравнения: простейшие, уравнения с несколькими радикалами, полные квадраты под знаком радикала, замена переменной, посторонние корни, применение свойств функций. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным.

Основная цель – систематизировать умения в решении рациональных и иррациональных уравнений, сформировать умения решать уравнения указанных видов с параметрами и модулем.

4. Рациональные неравенства с модулем. Обобщенный метод интервалов (2 часа). Решение неравенств методом интервалов. Неравенства с одним модулем, освобождение от модуля в неравенствах. Способы решения рациональных неравенств: разложение на множители, выделение полного квадрата, приведение к общему знаменателю и алгебраическое сложение дробей и т.п.

5. Простейшие задачи с параметрами (1 час). Понятие параметра. Обозначение параметров. Различие параметра и переменной. Что значит решить задачу с параметром. Что понимается под уравнением с параметром. Что означает решить уравнение с параметром. Область определения уравнения. Решение простейших уравнений с параметрами. Контрольные значения параметра. Решение линейных уравнений и сводящихся к ним с небольшим числом легко угадываемых ветвлений.

6. Линейные уравнения с параметрами. Дробно-рациональные уравнения с параметрами вида (2ч).

Решение линейных уравнений с параметрами. Числовая ось как инструмент решения уравнений с параметром. Решение простейших дробно-рациональных уравнений с параметрами вида .

7. Решение дробно-рациональных уравнений, сводящихся к линейным (1ч).

Решение дробно-рациональных уравнений с параметрами, сводящихся к линейным.

8. Задачи с параметром, сводящиеся к использованию квадратного трехчлена (2 часа). Условия существования корней квадратного трехчлена, знаки корней. Расположение корней квадратного трехчлена относительно точки, отрезка. Графическая интерпретация.

Основная цель – сформировать представление о методах решения задач с параметрами с использованием графических интерпретаций; научить анализировать исходные данные и на основе анализа осуществлять выбор метода решения.

9. Использование теоремы Виета при решении задач с параметрами (2ч)

Применение теоремы Виета и ее следствий при решении задач с параметрами.

10. Использование свойств квадратичной функции при решении задач с параметрами (2ч).

Теоремы о расположение корней квадратичной функции относительно заданных точек. Решение уравнений второй степени с параметрами на исследование.

11. Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами (2 часа). Решение задач с помощью построения графиков левой и правой части уравнения или неравенства и «считывания» нужной информации с рисунка: область определения, множество значений, четность, монотонность, периодичность. Симметрия графика относительно начала координат или оси ординат в зависимости от четности функции.

12. Приемы составления задач с параметрами, используя графики различных соответствий и уравнений. (1 час). Демонстрация приёма составления задач с параметром методом «от картинки к задаче».

13. Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств (2 часа). Применение метода оценки левой и правой частей, входящих в уравнение или неравенство. «Полезные неравенства»: сумма двух взаимно обратных чисел, неравенство для суммы синуса и косинуса одного аргумента, неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел.

14. Метод приведения к уравнению относительно неизвестной х с параметром а (2 часа). Основные приемы решения уравнений: тождественные преобразования, замена переменной. Равносильность уравнений, исключение «посторонних» корней. Приемы решения рациональных, иррациональных уравнений.

15. Графический способ решения уравнений и неравенств (2 часа).

Основная цель – систематизировать знания учащихся о функциях у = хр (р R, р 0), у = (п N, п 2); научить выполнять построение графиков с использованием параллельного переноса , растяжения и сжатия, симметрии.

При изучении делается акцент на обоснование каждого из преобразований графиков.

Особое внимание уделяется обработке навыков: построения области, заданных неравенствами, системами неравенств; выполнение необходимых преобразований ( в том числе выражений, содержащих несколько модулей), Направленных на приведение уравнений или неравенств к виду, удобному для изображения линий или областей, заданных уравнениями или неравенствами соответственно.

16. Сочетание графического и алгебраического методов решения уравнений (2 часа). Основные приемы решения систем уравнений и неравенств: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Системы неравенств с одной и двумя переменными. Сравнение графического и алгебраического способов решения уравнений и неравенств. Уравнения, неравенства и системы с параметрами, их решение и исследование.

17. Использование производной при решении задач с параметрами. Задачи на максимум и минимум (2 часа). Производная сложной функции. Производная и касательная. Вторая производная. Исследование функций с помощью производной. Применение производной при решении задач с параметрами. Задачи на максимум и минимум.

18. Комбинированные задачи с модулем и параметрами. Обобщенный метод областей (2 часа). Перенос метода интервалов с прямой на плоскость. Обобщенный метод областей. Нахождение площади фигур, ограниченных неравенством. Применение метода областей к решению уравнений и неравенств с параметрами и модулем, и их комбинации.









ПРИЛОЖЕНИЕ

Занятие №1

Тема : Понятие модуля. Решение уравнений по определению модуля.

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся будут знать:

что такое модуль числа и определение модуля, методы решения

уравнений, содержащих несколько модулей.

Понимать: модуль есть расстояние и выражается положительным числом;

Уметь: выполнять освобождение от модуля в уравнениях и параллельное

раскрытие модулей, применять метод интервалов в задачах с модулями. .

Метод обучения: Лекция

Форма работы: групповая, индивидуальная.

Оборудование: конспект, видеоурок.

Конспект:

Определение: Модулем числа называется расстояние от начала отсчёта до точки, изображающей это число на координатной прямой. Обозначается модуль - символом ││.

В соответствии с приведенным определением: │5│=5, │-3│=3, │0│=0.

Геометрическая интерпретация определения:

-а│ │а│

х

-а о а

Взаимосвязь между модулем числа и самим числом можно записать аналитически:

│а│=

Историческая справка: термин «модуль» (от латинского modulus–мера) ввел английский математик Р.Котес (1682-1716), а знак модуля немецкий математик К. Вейерштрасс (1815-1897)г. Пользуясь приведённым определением можно решать уравнения и неравенства, содержащие модуль.

  1. Примеры решения уравнений, содержащих абсолютные величины.


  1. Уравнения вида │х│=а, если а<о, решений не имеют;

если а=о, то х =о; если а>о, то х1 =а и х2 =-а.

Пример: │х│= 7 по определению модуля уравнение имеет два корня:

х=7, х=-7.

  1. Уравнение вида f(│х│) = а, где а≥о равносильно объединению

уравнений:


Пример: │2х-3│ = 2 по определению модуля числа:

=>

Ответ: х1=2,5, х2=0,5.

  1. Уравнение вида │f(х)│= g(х) равносильно системе уравнений:


1. Решить уравнение: │2х-5│= х-1.

Решение:

2х-5= х-1, х= 4,

2х-5= 1-х, х= 2, х1= 4, х2= 2.

х-1≥ 0. х ≥1.

Ответ: х1= 4, х2= 2.

  1. Уравнение вида │f(x)│=│g(x)│ равносильно объединению уравнений

f (x)=g(x),

f (x)=-g(x).

2. Решить уравнение: │2-3х│=│5-2х│

2-3х=5-2х, -х=3, х=-3,

2-3х=2х-5; -5х=-7; х=1,4.

Ответ: х1=-3, х2=1,4.

Задания для самоподготовки:

  1. = 4; 2. = ;

= ; 4. = 2х – 5.

Занятие №2

Тема: Понятие модуля. Решение уравнений по определению модуля.

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся знают: что такое модуль числа, его определение, методы решения уравнений,

содержащих несколько модулей.

Понимать: модуль - это расстояние, выражается положительным числом;

Уметь: выполнять освобождение от модулей в уравнения, параллельное

раскрытие модулей; применять знания при решении задач.

Метод обучения: Практикум, устная работа

Форма работы: групповая, в парах

Оборудование: карточки

Конспект:

  1. Рассмотрим применение метода интервалов в решении уравнений, содержащих модуль.


Уравнения, имеющие вид │f1(х)│+│f2(x)│+……+│fn(x)│=g(x) имеют следующий алгоритм решения:

  • для каждой из этих функций находят область определения, её нули и точки разрыва.

  • Нули и точки разрыва разбивают общую область определения функции fi(x) ( i =1,2,…n) на промежутки, в каждом из которых каждая из функций fi(х) сохраняет постоянный знак.

  • Используя определение модуля, для каждой из найденных областей получим уравнение, подлежащее решению.

  • Решают каждое из уравнений f1(x)=0, f2(x)=0,…, fn(x)=0.

  • Объединяют корни, найденные на всех промежутках.

Работа в микрогруппах:

Решить уравнение: 2│х-2│-3│х+4│=1.

Решение.

1). Найдём критические точки:

а) х-2=0 , х=2; б) х+4=0, х = - 4.

2) х-2 - 4 - 2 + х

х+4 - + +

Рассмотрим решение на каждом интервале:

1. х< -4 2. -4 ≤ х≤ 2 3. х>2,

-2х+4+3х+12=1 -2х+4-3х-12=1 2х-4-3х-12=1

х< -4, -4 ≤ х ≤2, х>2

х=-15. х= -1,8. х=-17.

х = -15. х = -1,8. х

Ответ: x1 = -15, х2 = -1,8.

  1. Рассмотрим решение уравнений, содержащих “ модуль в

модуле “.

Замечание: при решении уравнений данного вида сначала освобождаемся от внутреннего модуля, а затем раскрываем оставшиеся модули.

Рассмотрим примеры:

1. Решить уравнение.

││2х-3│-х│= 6.

1) 2х-3≥0 => х ≥ 2) 2х-3<0 => x<3/2

2х-3-х│= 6 │-2x+3-x│= 6

х-3= ±6 -3x+3= 6 и -3х + 3= -6

х=-3, -3 [ ;+∞) x= -1, -1 (-∞;3/2)

x=9, 9 [ ;+∞) x= 3, 3 (-∞;3/2)

Ответ: х1= 9, х2= -1.

2. Решить уравнение

5-│х││= 3

При решении этого примера воспользуемся определением модуля:

5-│х│= ± 3

1) 5-│х│ = 3 2) 5-│х│ = -3

х│= 2 │х│= 8

х1 = 2, х2= -2 х3 = 8, х4= -8.

Ответ: х1 = 2, х2= -2, х3 = 8, х4= -8.

3. Решить уравнение

2х-3-│х+2││= 8х+12

Решение.

  1. х+2 = 0, х=-2


Рассмотрим промежутки х< -2, х ≥-2:

а) х< -2

х+2 <0 => │x+2│= -x-2

Имеем уравнение:

2x-3+x+2│= 8x+12

3x-1│= 8x+12 -2 х

3x-1=0, х = (-∞;-2)

При х< -2, 3х-1< 0 => -3x+1= 8x+12

x= -1, -1(-∞;-2) => на промежутке х<-2 х .

б) х ≥-2

х+2 ≥0 => │2x-3-x-2│= 8x+12

x-5│= 8x+12

x-5 = 0, х=5

Рассмотрим промежутки: -2≤ x <5, x ≥5.

При -2≤х <5 При х≥5

-х+5=8х+12 х-5=8х+12

9х=-7 7х=-17

х=- , - [-2;5) x=- , -[5;+∞)

Ответ: x=- .





Задания для самоподготовки:

  1. = 3; 2) = 7;

= 6; 4) = 1.















































Занятие №3-4

Тема: Построение графиков, содержащих знак модуля

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся будут знать:

графики и свойства элементарных функций;

Понимать: построение графиков элементарных функций, содержащих

Переменную под знаком модуля.

Уметь: выполнять построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.

Метод обучения: Практикум

Форма работы: групповая, индивидуальная

Оборудование: карточки, презентация.

Конспект:

Когда в “стандартные” функции, которые задают прямые, параболы, гиперболы, включают знак модуля, их графики становятся необычными. Чтобы научиться строить такие графики, надо владеть приемами построения графиков элементарных функций, а также твердо знать и понимать определение модуля числа.

Методические рекомендации.

Начинать изучение данной темы целесообразно с построения графиков, используя определение модуля. Далее, с помощью геометрических преобразований в следующей последовательности:

y = f (│x│); y =│ f (│x│)│; │y │= f (│x│);

y =│ f (x)│; │y │= f (x); │y │= │f (x)│.

  1. Исходя из определения модуля, функцию y = f (│x│) можно записать в виде:

f (x), при x≥0,hello_html_b83f6be.gif

y = f (-x), при x<0.

1. Построить графики функций: a) y = 2│x│-2;

б) y = │x2-x-6│.

2x-2, при x≥0;

a) 2│x│-2= -2x-2, при x<0.

Затем по точкам строим левую и правую части графика.

II. y =│ f (x)│hello_html_m4d01c144.gif

f (x), при f (x)≥0;

y = -f (x), при f (x)<0.

б) y = │x2-x-6│

  1. x2-x-6≥0 2) x2-x-6<0

x2-x-6=0 -2<x<3

x1=3, x2=-2 y = -x2+x+6

x≤ -2, x≥3

y = x2-x-6 hello_html_m1dd3ced3.gif

2. Построить график: y =2 + (самостоятельно)



Результат построения проверить.



Построение графика с модулем на основе геометрических преобразований.


Материал для повторения: если y = f (x) – исходный график, тогда:

  1. y = f (x) + а – сдвиг по оси OY на а единиц вверх, если а > 0, или вниз, если а < 0;

  2. y = f (x + а) – сдвиг по оси OX на а единиц влево, если а > 0, или вправо, если а < 0;

  3. y = f k(x), k>0 – растяжение в k раз (при k >1) или сжатие в k раз (при k <1) вдоль оси ординат;

  4. y = f (k x), k >0 – сжатие в k раз (при k <1) вдоль оси абсцисс;

  5. y = - f (x) – симметричное отражение графика относительно оси OX;

  6. y = f (-x) – симметричное отражение графика относительно оси OY.







3. Задание. Считая исходным график hello_html_9d40a9c.gif

y = f (x), постройте графики функций:

а) y = f (x) + 2; в) y =2 f (x);

д) y =- f (x); б) y = f (x + 1);

г) y = f (2x); е) y = f (-x).

hello_html_7ba8660f.gifhello_html_m79767804.gif













hello_html_m7ef6a074.gifhello_html_m585eb638.gif









hello_html_m5776325f.gif



hello_html_m634e0f0e.gif













Геометрические преобразования графиков с модулем:

1) y = f (│x│);

При построении таких графиков, очевидно, что для отрицательных значений x значения y будут такими же, как для положительных им оответствующих.

Правило 1 (алгоритм построения). График функции y = f (│x│) получается из графика функции y = f (x) следующим образом: при х ≥ 0 график y = f (x) сохраняется, и эта же часть графика симметрично отражается относительно оси ОY.

Задания для самостоятельной работы:

4. Постройте графики следующих функций:



а) y = -x2+4│x│+5;

б) y = + 1

hello_html_m3b725142.gif









2) y =│ f (x)│;





Правило 2. График функции y =│ f (x)│ получается из графика функции y = f (x) следующим образом: часть графика y = f (x), лежащая над осью OX сохраняется; часть его, лежащая под осью OX, отображается симметрично относительно оси OX (см. рис.).



5. Самостоятельно построить графики функций:

а) y =│ -2x2+ 6x -2│; б) у= hello_html_3d64b7c5.gif

hello_html_m7973a70e.gif









а) б)

3) y =│ f (│x│)│;

Правило 3. Чтобы построить график функции y =│ f (│x│)│, надо сначала построить график функции y = f (x) при x > 0, затем при x < 0 построить изображение симметричное ему относительно оси OY, а затем на интервалах, где f (│x│) < 0, построить изображение симметричное

f (│x│) относительно оси OX.

Пример. y =│ 1 - │x││

  1. Строим график функции y = 1 - x

  2. График функции y = 1 - │x получаем из графика функции y = 1 - x отражением симметрично (при x ≥ 0 ) относительно оси OY.

  3. График функции y =│ 1 - │x││ получаем из графика функции y = 1 - │x отображением симметрично оси OX нижней части графика.

hello_html_m3c35fcac.gif

Для самостоятельной работы:

6 Построить график функции:

а) y =││x│-4│; б) y =│ x2 - │x│- 2│.

  1. б)hello_html_m381c8b22.gifhello_html_d108158.gif


4) │ y│ = f (x);


Поскольку левая часть равенства неотрицательна, то и правая

неотрицательна. Следовательно, график существует только в области

неотрицательных значений функции y = f (x).


Правило 4. График зависимости y│ = f (x) получается из графика y = f (x), если все точки, для которых f (x) ≥ 0 сохраняется и они же переносятся симметрично относительно оси абсцисс.

Например: y│ = 1 - x hello_html_m3d135edb.gif











Для самостоятельной работы:

а) y│ = x2 - 6 x + 8; б) y│ = x2 - 4 │x│ + 3.hello_html_m7cc83f1a.gif

Замечание: то, что получается в итоге построения, нельзя назвать графиком некоторой функции. Так как вам известно, что множество точек координатной плоскости является графиком некоторой функции, если любая прямая, параллельная оси OY, пересекает график не более чем в одной точке.hello_html_435dd6ea.gif

5) │ y│ = f (│x│);

Если точка (x; y) принадлежит графику, то и точки (x; -y), (-x; y),

(-x; -y) принадлежат графику. Это значит, что график симметричен относительно обеих осей координат. Поэтому достаточно построить график в первой четверти и затем зеркально отразить его относительно обеих осей.

Для самостоятельной работы: hello_html_49d7dfaf.gif

7. Построить график: а) y│ = │x│; б) │ y - 2│ = │x│;

в)│ y│ = (2│x│-1)2+3; г)│y│=



6) y│ =│ f (x)│;

Выполняем построение сначала графика y = │f (x)│, а затем множества точек, координаты которых удовлетворяют условию

y│ =│ f (x)│.


Порядок построения.

1) Сначала график функции y = f (x).

2) Часть графика f (x) < 0, симметрично отражаем относительно оси OX.

3) Полученный график симметрично отражаем относительно оси OX.

8. Построить график функции: hello_html_4c0dc33a.gif

y│ =│ 1 - x









Работа в группах:

9. Построить график функции: а) y│ = │x-3│; б) │ y - 1│ = │x-2│;

в) │ y│ = │x2 - x - 6 │; г) │ y│ = 1 - │x│.

10. Рассмотрим поэтапное построение графика функции:

y │= │2│x│-3│-1



Порядок построения:

  1. y1 =│x│,

  2. y2 =2│x│ – растяжение вдоль оси OY в 2 раза.

  3. y3 =2│x│-3 – сдвиг вниз на 3.

  4. y4 =│2│x│-3│ – симметрия точек графика, для которых y2 < 0 относительно оси OX.

  5. y5 =│2│x│-3│-1 – параллельный перенос вдоль оси OY на – 1.

  6. y6 =│y5│ – симметрия точек, для которых y5 ≥ 0 относительно оси ОX.



hello_html_m6ac7ffec.gif

Задания для самостоятельной работы.

11. Найти соответствие между графиком и функцией:

а) y = │x + 1│+ │x│- │x - 2│; б) y = │x + 2│+ │x│- 2│x - 2│;

в) y = 2 - │2x + 5│; г) y = │x│+ │x - 1│.

hello_html_3b813e62.gifhello_html_m6d482d56.gif



hello_html_14e69adf.gif

hello_html_m46f8a2bb.gif

Занятие № 5-6

Тема: Решение уравнений с переходом к системе или совокупности уравнений.

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся будут знать: рациональные уравнения, однородные уравнения, симметрические уравнения. Иррациональные уравнения: простейшие, уравнения с несколькими радикалами, полные квадраты под знаком радикала, замена переменной, посторонние корни, применение свойств функций. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным.

Понимать: простейшие, уравнения с несколькими радикалами, полные квадраты под знаком радикала, замена переменной, посторонние корни, применение свойств функций

Уметь: систематизировать умения в решении рациональных и иррациональных уравнений; сформировать умения решать уравнения указанных видов с параметрами и модулем.

Метод обучения: Практикум

Форма работы: коллективная, групповая.

Оборудование: карточки



Конспект:

Изучение темы начинается с повторения курса основной школы – решения линейных, квадратных, дробных, иррациональных уравнений. Решению дробных уравнений предшествует введение понятий равносильности. Его появление требует обработки: основное внимание следует уделить процессу осмысления учащимися выполнение преобразований в ходе решения уравнений, приводящих к равносильным уравнениям.

1. Метод введения новой переменной.

Пример 1. │2-│х+1││= 3.

Решение.

Пусть │х+1│= у, тогда │2-у│= 3

2-у=3, у=-1, (1)

2-у=-3; у=5; (2)

Вернёмся к замене:

(1)│х+1│= -1

Нет решений.

(2) │х+1│= 5 х+1=5, х= 4,

х+1=-5; х= -6. Ответ: -6; 4.

Пример 2. 2-5│х│-8=0

Решение: Заметим, что │х│2= х2; введём обозначение │х│= t,

3t2-5t-8=0

D=25+48=121>0,

t= (5+11)/6=8/3; t= (5-11)/6=-1.

Вернёмся к замене:

x│= -1, решений нет. │х│=8/3; x1=8/3, х2=-8/3.

Ответ: x1=-8/3, х2=8/3.

Одним из распространённых (и порой единственно возможных) способов решения задач, содержащих модуль, есть процесс его раскрытия. (когда модуль можно не раскрывать).

Однако для некоторых примеров знание ряда популярных свойств модуля может значительно сократить решение.

10. Для любого действительного а, │а│ ≥ 0.

20. │-а│=│а│.

30. │аb│=│a││b│.

40. │а│+│ b│= a+b a≥0 и b≥0.

50. a│+│b│=│a+bab≥0.

60. a│+│b│=│a-bab≤0.

70. Для любых действительных a и b, │a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│.

80. a│-│b│≥0 a2-b2≥0.

90. Для a1, а2 …аn справедливо │а1 + а2 +…+аn │≤│а1 │+│а2 │+…+│аn │.

100. 2 =│а│.

110. │а│2 = а2 .

Пример 1. │х-2│+│х-1│= х-5

Решение. Поскольку левая часть данного уравнения неотрицательна, то х≥5. Это позволяет раскрыть модуль и прийти к системе, равносильной исходному уравнению.

х-2+х-1= х-5, х=-2,

х≥5. х≥5.

Отсюда получаем Ответ: нет решений.

Пример 2. │х3 -1│+│2-х3 │=1

Решение.

Заметим, что │х3 -1+2-х3 │= 1, значит │х3 -1│+│2-х3 │=│х3 -1+2-х3

по свойству │а│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ с учётом условия равенства │а+b│=│a│+│bab≥0, равносильно неравенству (х3 -1)(2-х3 ) ≥0.

(х-1)(х2 +х+1)(- х )( 2 +х+х2 )≥0 решением, которого является числовой отрезок

1 х

Ответ: x[1; ].

Пример 3. │х-2│=│3-х│

Решение. Учитывая свойство │а│=│ba2-b2=0, получаем (х-2)2-(3-х)2= 0. (х-2-3+х)(х-2+3-х)=0,

2х-5=0 х=2,5. Ответ: х = 2,5.



  1. Задачи.

1. Дана точка А(1,5). Найдите координаты К и Т такие, что АТ=2АК, если ТК=10,5. Сколько решений имеет задача?

Решение.

Пусть х-координата А, тогда АК=│х-1,5│,

АТ=2│x-1,5│=│(2x-1,5)-1,5│,т.е. координата точки Т (2x-1,5).

ТА =│2x-1,5-х│=│х-1,5│, что по условию равно 10,5.

x-1,5│=10,5

x-1,5 = 10,5, x = 12,

x-1,5 = -10,5; x = -9.

Ответ: задача имеет два решения: А(12), Т(22,5) и А(-9), Т(-19,5).

2. Найти количество целых решений уравнения:

+= 8.

Решение.

Заметим что, х2-6х+9=(х-3)2, х2+10х+25= (х+5)2, тогда

= 8, учитывая, что =│а│

х-3│+│х+5│= 8.

I . x<-5, II . -5≤ x≤3, III. х>3,

3-x-x-5=8; 3-x+x+5=8; x-3+x+5=8;

x<5, -5≤ x≤3, x>3,

x=-5. 0х=0. x=3.

Значит, -5≤ х ≤3 –решение исходного уравнения. Найдём целые решения уравнения, их всего девять.





Ответ: 9.

Задания для самоподготовки:

  1. (х + 1)2 + - 2 = 0;

  2. (х + 2)2 = 2+ 3;

  3. = + 3;

  4. ·( - 4) + 3 = 0.











Занятие №7

Тема: Решение уравнений с переходом к системе или совокупности уравнений.

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся будут знать: рациональные уравнения, однородные уравнения, симметрические уравнения. Иррациональные уравнения: простейшие, уравнения с несколькими радикалами, полные квадраты под знаком радикала, замена переменной, посторонние корни, применение свойств функций. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным.

Понимать: простейшие, уравнения с несколькими радикалами, полные квадраты под знаком радикала, замена переменной, посторонние корни, применение свойств функций

Уметь: систематизировать умения в решении рациональных и иррациональных уравнений; сформировать умения решать уравнения указанных видов с параметрами и модулем.

Метод обучения: Практикум

Форма работы: групповая, индивидуальная

Оборудование: карточки, презентация

Конспект: Работа в микрогруппах:

Задание №1.

I. Решите уравнения:

1. │5-4х│= 1

2. │5х-3│= 4

3. │3х-3│= 6

4. │5х+4│= 10

5. │5х+2│= 4

II. Найдите корни уравнения:

1. │-x+2│= 2x+1 Ответ: 1/3

2. │5-х│= 2(2х-5) Ответ: 3

3. │3x+1│+x= 9 Ответ: { -5;2 }

III. Решите уравнения:

1. │4x-1│= │2x+3│ Ответ: { -1/3;2 }

2. │x+2│= │x-1│ Ответ: -0,5

3. │x+5│= │10+x│ Ответ: -7,5

4. │2-3x│= │5-2x│ Ответ: { -3;1,4 }

5. │х+3│+│2х-1│= 8 Ответ: { -3;2 }

6. │x-3│+2│x+1│= 4 Ответ: -1.

7. │x-2│-│5+x│= 3 Ответ:-3.

8. │x+6│-│x│-│x-6│= 18 Ответ: [6;+∞)

9. │x+1│+│2-x│-│x+3│= 4 Ответ: {-2;8 }

10. ││x-3│+2│= 3x-5 Ответ: 2,5

11. │2│x│-1│= 3 Ответ: {-2;2 }

12. ││││x-1│+2│-1│+1│= 2 Ответ: 1

13. ││││x│-4 │-3│-2│= 1 Ответ: {-10;-8;-6;-4;-

2;0;2;4;6;8;10}

Для дополнительной работы можно предложить

Задание № 2. Решить уравнение:

В – 1

1. │5х+3│= 1 Ответ: x1=-0,8, x2=-0,4.

2. │2x+5│+│2x-3│= 8 Ответ: -2,5≤x≤1,5

3. │x2+2x│-│2-x│=│ x2-х│ Ответ: x=

4. x2 - 2│x│- 8 = 0 Ответ: x1 =4, x2=-4.

5. ││3-2x│-1│= 2│x│ Ответ: x=0,5.

В-2

1. │2х-3│= 5 Ответ: x1=4, x2=-1.

2. │х-3│= │х│-3 Ответ: x≥3.

3. 2│x+6│-│x│+│x-6│= 18 Ответ: x=-12, 0≤x≤6.

4. 2x2-│x│-1=0 Ответ: x1=1, x2=-1.

5. │2│x│-1│=3 Ответ: x1=-2, x2=2.

В-3

1. │х2-2х│-3=0 Ответ: x1=3, x2=-1.

2. │x│-│x+2│=0 Ответ: x=-1.

3. │x│-2│x+1│+3│x+2│=0 Ответ: x=-2.

4. x2-7│x│+12=0 Ответ: x1,2 =±3, x3,4=±4.

5. ││x-3│+2│=3x-5 Ответ: x=2,5.

B-4

1. │2x-x2-8│=x2 -1 Ответ: x=4,5.

2.2x-3 │-│5x+4│=0 Ответ: x1=

3. 2│3x+1│-5 │2-x│=4│x+8│-7 Ответ: x1=-7,4; x2=-9.

4. x2-4│x│-12=0 Ответ: x1=6; x2=-6.

5. ││x │-2│=1-2x Ответ





















Занятие №8

Тема: Рациональные неравенства с модулем. Обобщенный метод интервалов.

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся будут знать: способы решения рациональных неравенств, содержащих модуль.

Понимать: Освобождение от модуля в неравенствах

Уметь: решать неравенства методом интервалов; выполнять освобождение от модуля в неравенствах. Применять способы решения рациональных неравенств: разложение на множители, выделение полного квадрата, приведение к общему знаменателю и алгебраическое сложение дробей и т.д.

Метод обучения: Практикум, устная работа

Форма работы: групповая, индивидуальная

Оборудование: карточки

Конспект: Неравенства, содержащие знак модуля.

Рассмотрим основные типы неравенств и способы их решения.

Решение неравенств (а>0).



x│≤ax│<ax│≤0 │x│<0, │x│≤-a, │x│<-a.









х│≥а │х│>ax│≥0 │x│>0 │x│≥ -a,

х│> -a



Решение неравенств вида │f(x)│< g(x) равносильно системе

f(x)или -g(x) < f(x) < g(x).

f(x)>-g(x)

Решение неравенства вида │f(x)│> g(x)

Неравенство │f(x)│>│g(x)│ равносильно неравенству f 2 (x) > g 2 (x) или неравенству (f(x)-g(x))(f(x)+g(x))>0.

  1. Решить неравенство │2х-3│< 2.

1 способ . 2х-3< 2 , x<2,5 , 0,5<x<2,5

2x-3> -2 x>0,5

Ответ: (0,5;2,5).

2 способ. Возведём обе части неравенства в квадрат (2х – 3)2 < 4

4x2-12x+5 < 0 4x2-12x+5 = 0 x1 = 0,5, x2 =2,5

Решим полученное неравенство

4(х-0,5)(х-2,5) < 0.

+ - + х

0,5 2,5

а) х > 2,5; 4(x-0,5)(x-2,5) > 0;

б) 0,5<x<2,5; 4(x-0,5)(x-2,5) < 0;

в) x<0,5; 4(x-0,5)(x-2,5) > 0; Ответ: (0,5;2,5).

3 способ. Графическое решение.

Строим графики функций:

y =│2x-3│ и y = 2.

y=│2x-3│

  1. y=2x-3 отображаем часть графика, лежащего ниже оси ОХ симметрично относительно этой оси.

  2. 2х-3│ = 2 х1=0,5; x2=2,5.

hello_html_c31fedd.png

Ответ: (0,5;2,5).

  1. Решить неравенство │3х-5│ > 10.



1 cпособ . 3х-5 > 10 , x > 5,

3x-5 < -10 x < -.

Ответ: (-∞; -1)(5;+∞).

2 способ . (3х – 5)2 > 100 + - +

-1 5 х

9x2 - 30x + 25 > 100

3x2 - 10x – 25 > 0 3x2 -10x – 25 = 0

x1 = -1, x2 = 5. Ответ: (-∞; -1).

3 способ. Графическое решение:

hello_html_m63931788.png

Решение неравенств, содержащих несколько модулей.

Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под знаком модуля, на каждом из промежутков сохраняли знак. Данный метод называется методом интервалов.

1. Решить неравенство : │2х - 1│- │х – 2│ ≥ 4.

Найдём значение х, при которых подмодульное выражение обращается в нуль: 2х-1=0 х-2=0

х=0,5 х=2

Отметим найденные значения на числовой оси и рассмотрим решение неравенства на каждом из промежутков.

2х-1 - 0,5 + 2 +

х-2 - - + х

А)

х < 0,5, │2х – 1│ = -2х + 1

-2х+1-(-х+2) ≥ 4 │х-2│ = -х+2

x < 0,5, x ≤-5.

x≤-5.

Б)

0,5 ≤ х ≤ 2 , │2х-1│ = 2х-1

2х-1+х-2 ≥ 4. │ х-2 │ = -х+2

0,5 ≤ х ≤ 2 , нет решения

х ≥ 2.

В)

x > 2, │2x – 1│ = 2x – 1

2x – 1 – x + 2 ≥ 4. │x – 2│ = x – 2

x > 2, x ≥ 3.

x ≥ 3. Решением данного неравенства является объединение двух систем неравенств. Ответ: (-; -5] [3;+).

Занятие №9

Тема: Рациональные неравенства с модулем. Обобщенный метод интервалов.

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся будут знать: Способы решения рациональных неравенств, содержащих модуль.

Понимать: Освобождение от модуля в неравенствах

Уметь: решать неравенства методом интервалов; выполнять освобождение от модуля в неравенствах. Применять способы решения рациональных неравенств: разложение на множители, выделение полного квадрата, приведение к общему знаменателю и алгебраическое сложение дробей и т.д.

Метод обучения: Практикум

Форма работы: групповая, индивидуальная

Оборудование: карточки, учебник

Конспект:

  1. Решить неравенство:

x2 – 3x + 2│ + │2x + 1│ ≤ 5.

x2 – 3x + 2 = 0, 2x + 1 =0

x1 = 2, x2 = 1. x = -0,5.

Числовая прямая разбивается на участки.

х2 -3х + 2 + -0,5 + 1 - 2 +

х

2х + 1 - + + +

На каждом промежутке на основании определения абсолютной величины знак модуля можно снять.

А)

х ≤ -0,5, х ≤ -0,5, х ≤ -0,5, х2–3х+2–2х-1≤5; х2-5х-4≤0;

х ≤ -0,5.

Б)

-0,5<x<1, -0,5<x<1, -0,5<x<1, -0,5<x<1;

x2-3x+2+2x+1≤5; x2-x-2≤0 ; -1≤x≤2;

B)

1≤x<2, 1≤x<2, 1≤x<2, 1≤x<2;

-x2+3x-2+2x+1≤5; x2-5x+6 ≥0; x≤ 2, x ≥3;

Г)

х≥2; x≥2; x≥2; x=2.

x2-3x+2+2x+1≤5; x2-x-2≤0; -1≤ x≤2;

Ответ: .

Данное неравенство решено методом интервалов.

Рассмотрим другое решение. Зная, что:

х│≤ b xb, или -bxb.

x ≥ -b;

x2 – 3x + 2│ + │2x+ 1│ ≤ 5;

x2 – 3x + 2│≤ 5-│2x + 1│ x2 - 3x + 2 ≤ 5 -│2x+1│,

2x + 1│≤ -x2 + 3x+3,

x2 - 3x + 2 ≥-5 +│2x+1│; │2x +1│≤ x2- 3x + 7;

2x + 1 ≤ - x2 + 3x +3, x2x -2 ≤ 0,

2x + 1 ≥ x2 – 3x – 3; x2 -5x -4 ≤ 0;

2x + 1 ≤ x2 – 3x + 7, x2 – 5x + 6 ≥ 0,

2x + 1 ≥ -x2 + 3x -7; x2x + 8 ≥ 0;





-1 ≤ x ≤ 2,

x ≤ 2, x ≥ 3, x ≤ 2, x ≥ 3;

Ответ:

Замечание: При решении данного неравенства особых преимуществ по сравнению с первым методом не видно. Однако в некоторых случаях эти преимущества весьма заметны.

  1. Решить неравенство:

x2 – 3x│ + x – 2 < 0

x2 -3x = 0 x(x – 3) = 0 x1 = 0, x2 = 3.

x2 – 3x + - +

х

0 3

A) x ≤ 0, x ≤ 0, x ≤ 0, 1 -

x2 -3x+x-2<0; x2-2x-2<0; 1-

Б) 0

-x2+3x+x-2<0; -x2+4x-2<0; x<2-

В) х3, х3, х3, Нет решений.

х2-3х+х-2<0; x2-2x-2<0; 1-

Ответ: (1-.

Данное неравенство решено методом интервалов. Рассмотрим другое решение.

х2 – 3х│+ х – 2 < 0

x2 – 3x│< 2 – x; Так как │х│< a равносильно системе неравенств

х<a,

x>-a, то

х2 -3х < 2 - x, x2 – 2x – 2 < 0, 1 - < x < 1 +

x2 – 3x > -2 + x; x2 – 4x + 2 > 0; x < 2 -

х

1 - 2 - 1+ 2 + Ответ: (1 - ; 2 -

  1. Решить неравенство: │2x -1│ - 3x + 2 > 0.

2x – 1 = 0 x = 0,5.

2x – 1 - +

х

0,5

  1. способ.

А) х ≤ 0,5, х ≤ 0,5 х 0,5.

-2х + 1 – 3х + 2 > 0; x < ;

Б) х > 0,5, x > 0,5, 0,5 < x < 1.

2x – 1 – 3x + 2 > 0; x < 1;

Ответ: (-;1).

  1. способ.

Так как │х│ > a равносильно совокупности неравенств х > a, то

x < -a;



2x -1 > 3x – 2, x < 1,

2x – 1 < -3x + 2; x < . Ответ: (-; 1).



  1. Решить неравенство: x - 2│ > │x + 3│.

1 способ.

х – 2 = 0 х = 2, х + 3 = 0 х =-3,

х – 2 - - +

х

х + 3 - -3 + 2 +



а) х-3, х-3, х-3, х-3.

-х+2 >-x-3; 0x >-5; x- любое число;

б) -3< x<2, -3< x<2, -3< x<-0,5.

-x+2 > x+3; x< -0,5;

в) х, х2, х2, нет решений.

х-2>x+3; 0x>5; решений нет;

Ответ: (-; -0,5).

2 способ. Возведём обе части в квадрат.

х2 – 4х + 4 > x2 + 6x + 9

10x < -5, x < -0,5.

Ответ: (-; -0,5).

Задания для самоподготовки:

  1. > -5; Ответ: ∞)

  2. > 0; Ответ: х≥ -3, х ≠±1, х≠ -2.

  3. + х – 20; Ответ: (-∞; ᴗ).

  4. - - 6х – 8. Ответ: .











Занятие №10

Тема: Простейшие задачи с параметрами

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся будут знать: понятие параметра, обозначение параметров. Различие параметра и переменной

Понимать: Что значит решить задачу с параметром. Что понимается под уравнением с параметром. Что означает решить уравнение с параметром

Уметь: находить область определения уравнения; решать простейшие уравнения с параметрами; определять контрольные значения параметра.

Метод обучения: Практикум, с/р №1

Форма работы: коллективная, индивидуальная.

Оборудование: карточки

Конспект:

Изучая математику, мы решали множество уравнений, в которых требовалось найти численное значение неизвестной при данных численных значениях коэффициентов уравнения. Что будет, если вместо постоянных числовых значений коэффициентов будут стоять какие-либо буквенные выражения, значения которых могут меняться?

Заметим, что буквы, входящие в уравнение, не всегда могут быть равноправными: одни могут принимать все допустимые значения и называются коэффициентами или параметрами (их обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита: а, в, с, ... или а1, а2, а3, ...), а другие, значения которых надо найти и с которыми мы уже познакомились при решении уравнений, называются неизвестными (их обозначают последними буквами латинского алфавита х, у, z, ...). Приведенные выше обозначения не являются обязательными. Но если в условии не указано, какие буквы являются параметрами, а какие — неизвестными, то такие обозначения используют.

Определение. Пусть дано равенство с переменными х и а f(x;a)=0. Если ставится задача для каждого действительного значения а решить это уравнение относительно х, то уравнение f(x;a)=0 называется уравнением с переменной х и параметром а.

Определение. Под областью определения уравнения f(x;a) =0 с параметром а будем понимать все такие системы значений х и а, при которых f(x;a) имеет смысл.

Например: 1) ах = 3.

О. О. У. а – любое число,

х – любое число.

2)

О. О. У. а 0,

х 3.

Определение. Решить уравнение f(x;a) =0 с параметром а – это значит для каждого действительного значения а найти все решения данного уравнения или установить, что их нет.

Договоримся все значения параметра а, при которых f(x;a) не имеет смысла, включать в число значений параметра, при которых уравнение не имеет решений.

Специальных способов решения задач с параметрами не существует: применяются те же способы, что и в задачах без параметров. Можно использовать аналитические и графические способы решения.

Прежде всего, нам необходимо научиться различать параметр и переменную. Для этого рассмотрим простейшие уравнения с параметром (без ветвлений).

Решить уравнения: 1) 2х = а, х = ;

2) х – 3а = 0 х = 3а,

3) х = 12а,

4) 2х – 2а = х + а 2х – х = а + 2а х = 3а.

Теперь перейдем к решению уравнений с ветвлениями.

Итак, нам необходимо решить уравнение f(x;a) =0 (с переменной х и параметром а) (1). А это значит нужно решить семейство уравнений, получающихся из уравнения (1) для каждого действительного значения а. Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно. Тем не менее, каждое уравнение семейства должно быть решено. Это можно сделать, если, например, по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнение на каждом из этих подмножеств.

Для разбиения множества значений параметра на подмножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходят качественные изменения уравнения. Такие значения параметра будем называть контрольными.

Рассмотрим на примерах, как эти контрольные значения обнаруживаются, как с их помощью множество значений параметра разбивается на подмножества и как затем на каждом из этих подмножеств решается заданное уравнение.

Пример 1. Решить уравнение (а – 1)х = 3.

Решение. О. О. У. а – любое число,

х – любое число.

Здесь контрольным значением параметра является то значение, при котором коэффициент при х обращается в нуль. Таким значением служит: а = 1.

Рассмотрим два случая.

  1. Если а = 1, то уравнение примет вид 0 ∙х = 3. Это уравнение не имеет корней.

  2. Если а 1, то .

Ответ:

1) если а = 1, то корней нет;

2) если а 1, то .

Ученикам предлагается устно назвать решения уравнения при конкретных значениях а (- 1; -; 1; 2 и т. д.)

Пример 2. Решить уравнение а2х – а = х – 1(самостоятельно с последующей проверкой).

Решение. О. О. У. а – любое число,

х – любое число.

а2х - х = а – 1, (а2 – 1) х = а - 1.

Контрольные значения: а = - 1, а = 1.

  1. если а = 1, то 0 ∙х = 0, т. е. х – любое число;

  2. если а = - 1, то 0 ∙х = - 2, т. е. корней нет;

  3. если а 1, то .

Ответ:

  1. если а 1, то ;

  2. если а = 1, то х – любое число;

  3. если а = - 1, то корней нет.



Пример 3. Решить уравнение 2а (а -2) х = а -2.

Решение. О. О. У. а – любое число,

х – любое число.

Контрольные значения: а = 0, а = 2.

  1. если а = 0, то 0 ∙х = - 2, т. е. корней нет;

  2. если а = 2, то 0 ∙х = 0, т. е. х – любое число;

  3. если а 0 и а 2, то .

Ответ:

  1. если а = 0, то корней нет;

  2. если а = 2, то х – любое число;

  3. если а 0 и а 2, то .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. О. О. У. а 0,

х – любое число.

Так как а 0, то а + х = а2 + ах, х – ах = а2 – а, (1 – а) х = а2 – а.

Контрольное значение: а = 1.

  1. если а = 1, то 0 ∙х = 0, т. е. х – любое число;

  2. если а 1, а 0 то , , х = - а.

Ответ:

  1. если а = 1, то х – любое число;

  2. если а 1, а 0 то х = - а,

  3. если а =0, то корней нет.



Задания для самостоятельной работы.

1. Решить уравнения: а) (b – 3) х = 6, б) а2х – 2 = 4х + а,

в) , г) .

2. Придумать три уравнения, аналогичные решенным, и решить их.

Ответы и решения:

а) 1) если b = 3, то корней нет; 2) если b 3, то .

б) 1) если а = - 2, то х – любое число;

2) если а = 2, то корней нет; 3) если а 2, то .

в) Решение. О. О. У. m 0,

х – любое число.

m2x – 3xm2 = 7m – 8 – 2mx,

(m2 + 2m – 3)x = m2 +7m – 8.

  1. если m = 1, то 0 ∙х = 0, т. е. х – любое число;

  2. если m = - 3, то 0 ∙х = - 20, т. е. корней нет;

  3. если m 1 и m - 3, то

  4. если m = 0, то корней нет.

г) Решение. О. О. У. а 0,

х – любое число.

2(а + 1)х = 3а(х + 1) + 7, 2ах + 2х = 3ах + 3а + 7,

2ах + 2х - 3ах = 3а + 7, 2х - ах = 3а + 7,

(2 – а)х = 3а + 7.

Ответ:

1) если а = 2, то 0 ∙х = 13, т. е. корней нет;

2) если а 2, то ,

3) если а =0, то корней нет.

















































Занятие №11

Тема: Линейные уравнения с параметрами. Простейшие дробно-рациональные уравнения с параметрами вида .

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся будут знать: решение линейных уравнений с параметрами, простейшие дробно-рациональные уравнения с параметрами вида .

Понимать: Числовую ось как инструмент решения уравнений с параметром.

Уметь: решать линейные уравнения с параметрами, простейшие дробно-рациональные уравнения с параметрами вида .

Метод обучения: Лекция, устная работа, практикум

Форма работы: коллективная, групповая

Оборудование: карточки

Конспект:

В начале занятия учащимся предлагается самостоятельно решить два уравнения:

1) х(а2 – 1) = (а + 1)(1 – х).

Решение. О. О. У. а – любое число,

х – любое число.

ха2 – х = а – ах – х – 1,

ха2 + ах = а – 1,

а(а + 1)х = а – 1.

1) если а = 0, то 0 ∙х = - 1, т. е. корней нет;

2) если а = - 1, то 0 ∙х = 0, т. е. х – любое число;

3) если а 0 и а - 1, то .

2) (а2 – 5а + 6)х = а4 – 16.

Решение. О. О. У. а – любое число,

х – любое число.

1) если а = 2, то 0х = 0, т. е. х – любое число;

2) если а = 3, то 0х = 65, т. е. корней нет;

3) если а 2 и а - 3, то .

Рассмотрим решение уравнений вида с параметрами.

При решении уравнений данного вида будем использовать числовую ось. Она будет служить не только для иллюстрации решения, но и будет являться непременным инструментом работы. Если числовая ось для параметра заполнена, то никакого труда не составляет записать ответ. Завершение заполнения оси будет служить сигналом окончания решения.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. О. О. У. х 2,

а – любое число.

Решаем уравнение: х + а = 0, х = - а.

Исследование. Найдем, при каком значении параметра а х = - а станет недопустимым и исключим это значение а. Ограничение х 2 в данном случае означает, что – а 2, т. е. а- 2. Если а = 2, то корней нет. Уравнение в этом случае примет вид: .

hello_html_m59f178bb.png

Ответ: 1) если а = - 2, то корней нет;

2) если а - 2, то х = - а.

Пример 2. Решить уравнение .



Решение. О. О. У. х - 1,

m – любое число.

Решаем уравнение:

х(х – m) = 0, х1= 0, х2 = m.

Исследование. 1) х1= 0 при любом m,

2) х2 = m , m - 1.

hello_html_m7a03747b.png

Ответ: 1) если m = - 1, то х = 0;

2) если m - 1, то х1 = 0, х2 = m.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. О. О. У. х 3,

а – любое число.

Решаем уравнение:

х2 – а2 = 0, х1= а, х2 = - а.

Исследование. 1) х1= а, а 3. Если а = - 3, то

2) х2 = - а, а - 3. Если а = - 3, то

hello_html_3c11f450.png

Ответ: если а = - 3 и а = 3, то х = - 3; если а - 3 и а 3, то х1 = - а, х2 = а.

Задания для самоподготовки:

Составить и решить два уравнения по пройденной теме.



Занятие №12

Тема: Линейные уравнения с параметрами. Простейшие дробно-рациональные уравнения с параметрами вида .

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся будут знать: решение линейных уравнений с параметрами, простейшие дробно-рациональные уравнения с параметрами вида .

Понимать: Числовую ось как инструмент решения уравнений с параметром.

Уметь: решать линейные уравнения с параметрами, простейшие дробно-рациональные уравнения с параметрами вида .

Метод обучения: Практикум, с/р №2

Форма работы: коллективная, индивидуальная.

Оборудование: карточки

Конспект: Работа в группах:

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. О. О. У. х 2,

х 1,

b – любое число.

Решаем уравнение: х – b = 0, х = b.

Исследование: х = b, b 1, b 2.

Если b = 1, то - корней нет.

Если b = 2, то - корней нет.

hello_html_m4f60defd.png



Ответ:

  1. если b = 1 и b = 2, то корней нет;

  2. если b 1 и b2, то х = b.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. О. О. У. х 2,

х 1,

а – любое число.

Решаем уравнение:

(х – а)(х + 2а) = 0, х1= а, х2 = - 2а.


Исследование. 1) х1= а,

а 1,

а 2;

2) х2 = - 2а,

а - ,

а -1;

3) если а = 1, то х2 = - 2а, х2 = - 2;

4) если а = 2, то х2 = - 2а, х2 = - 4;

5) если а =, то х1 = а, х1 = ;

6) если а = - 1, то х1 = а, х2 = - 1;

hello_html_e4ab0f7.png

Ответ:

  1. если а = - 1, то х = - 1;

  2. если а = - , то х = - ;

  3. если а = 1, то х = - 2;

  4. если а = 2, то х = -4;

  5. если а - 1, а - , а 1, а 2, то х1 =а, х2 – 2а.







Задания для самостоятельной работы № 2.

Решить уравнения:

а) , б) , в) , г) .

Ответы и решения:

а)

Решение. О. О. У. х - 5,

с – любое число.

Решаем уравнение: х + с = 0, х = - с.

Исследование.

1) х = - с, - с - 5, с5. 2) если с = 5, то корней нет.

Ответ: 1) если с = 5, то корней нет; 2) если с5. то х = - с.

б) .

Решение. О. О. У. х 2,

b – любое число.

Решаем уравнение: (х -1)(х + b) = 0, х1= 1, х2 = - b.

Исследование.

1) х = - b, - b 2, b- 2. 2) если b = - 2, то х = 1.

Ответ: 1) если b = -2, то х = 1; 2) если b- 2. то х1 = 1, х2 = - b.



в) .

Решение. О. О. У . х 3,

а – любое число.

Решаем уравнение: (х – а)(х + 2а) = 0, х1= а, х2 = - 2а.

Исследование.

1) х1= а, а3;

2) х2 = - 2а, - 2а 3, а- 1,5;

3) если а = 3, то х2 = - 2а, х2 = - 6;

4) если а = - 1,5, то х1 = а, х1 = - 1,5.

Ответ: 1) если а = 3, то х = -6;

2) если а = - 1,5, то х = -1.5;

3) если а3 и а- 1,5, то х1= а, х2 = - 2а.

г) .

Решение. О. О. У. х 3,

х - 5,

b – любое число.

Решаем уравнение: х + b = 0, х = - b.

Исследование.

  1. х = - b,

b- 3,

b5.

2) если b = - 3, то корней нет;

3) если b = 5, то корней нет.

Ответ: 1) если b = - 3 или b = 5, то корней нет;

2) если b - 3, b 5, то х = - b.



Задание учащимся: Составить дробно-рациональное уравнение с параметром. Оформить решение в виде мини доклада.









Занятие №13

Тема: Дробно-рациональные уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным.

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся будут знать, понимать, уметь: решать дробно-рациональные уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным.

Метод обучения: Практикум, устная работа

Форма работы: коллективная, групповая

Оборудование: карточки, презентация.

Конспект:

В начале занятия учащимся предлагается самостоятельно решить уравнение .

Решение. О. О. У. х - 1,

х 3.

b – любое число.

Решаем уравнение: (х – b)(х – 3b) = 0, х1= b, х2 = 3b.

Исследование.

  1. х1 = b,

b- 1,

b3;



  1. х2 = 3b,

b-,

b1;

3) если b = -1, то х2 = - 3;

4) если b = 3, то х2 = 9;

5) если b = - , то х1 = - ;

6) если b = 1, то х1 = 1.

Ответ: 1) если b = -1, то х2 = - 3;

2) если b = 3, то х2 = 9;

3) если b = - , то х1 = - ;

4) если b = 1, то х1 = 1.

5) если b- 1, b3; b-, b1, то х1= b, х2 = 3b.

Рассмотрим решение дробно-рациональных уравнений, сводящихся к линейным.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. О. О. У. х - 3,

m – любое число.

Решаем уравнение:

m = 5х + 15, 5х = m - 15, х = .

Исследование.

1) - 3. , m 0.

2) если m = 0, то х = - 3 – недопустимый корень.

Ответ: 1) если m 0, то х = ,

2) если m = 0, то корней нет.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. О. О. У. х - 2,

а – любое число.

Решение:

ах + 1 = (2а + 1)(х + 2),

ах + 1 = 2ах + 4а + х + 2,

(а + 1)х = - 1 – 4а.

1) если а = - 1, то 0 ∙х = 3 – корней нет;

2) если а - 1, то

Исследование.

1) , - 1 – 4а - 2а – 2, 2а 1, а ;

2) если а =, то х = - 2 – недопустимый корень.

Ответ: 1) если а = - 1и а =, то корней нет;

2) если а - 1и а , то .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. О. О. У. х 3,

х - 3,

а – любое число.

Решаем уравнение:

2ах(2х – 6) – (х + 4а)(х + 3) = х(4а – 1)(х – 3),

(3 + 2а)х = - 6а.

1) если а = -. то 0 ∙х = 9 – корней нет;

2) если а -. то х = - .

Исследование.

1) - - 3, - 6а - 9 – 6а,

- 3 - 6а 9 + 6а - 12а 9 а - .

2) если а = - , то х = 3 – недопустимый корень.

Ответ: 1) если а = - и а = - , то корней нет;

2) если а - и а - , то х = - .

Пример 4. Решить уравнение

Решение. О. О. У. х - 3,

с 1.

Решаем уравнение:

3сх – 5 + (3с – 11)(х + 3) = (2х + 7)(с – 1),

(4с – 9)х = 31 – 2с.

1) если с = , то 0 ∙х = 27,5 – корней нет;

2) если с , то х = .

Исследование.

1) - 3, 31- 2с - 12с + 27, 10с - 4, с -;

2) если с = -, то корней нет.

Ответ: 1) если с = -, с = 1, с =, то корней нет;

2) если с -, с 1, с , то х = .



Задания для самостоятельной работы № 3.

(Работа в группах)

Учащиеся делятся на три группы, выполняют решение одного из уравнений.

Затем можно предложить учащимся организовать «Круглый стол» для обсуждения решений данных уравнений.

Решить уравнения:

а) ; б) ;

в) .

Ответы и решения:

а) .

Решение. О. О. У. х 3,

b – любое число.

Решаем уравнение:

2bх – 3 = (b + 1)(х – 3),

2bх – 3 = bх – 3b + х – 3,

bх – х = - 3b,

(b – 1)х = - 3b.

1) если b = 1, то 0 ∙х = - 3 – корней нет;

2) если b 1, то х = .

Исследование.

1) , ,

;

2) если , то корней нет.

Ответ: 1) если , b= 1, то корней нет;

2) если , b 1, то х = .

б) .



Решение. О. О. У. х 3,

b – любое число.

Решаем уравнение:

b2х – 8 = 2b (х – 2),

b2х – 8 = 2bх – 4b,

b2х – 2bх = 8 – 4b,

b(b – 2)х = 8 – 4b.

1) если b = 0, то 0 ∙х = 8 – корней нет;

2) если b = 2, то 0 ∙х = 0, х 2;

3) если b 0 и b 2, то х = , .

Исследование.

1) , ,

; b - 2.

2) если b = - 2, то корней нет.

Ответ: 1) если b = 2, то х 2;

2) если b = - 2, b = 0, то корней нет;

3) если b 0 и b 2, то .

в) .



Решение. О. О. У. х 3,

х - 1,

а 0,

а 1.



Решаем уравнение:

2(а -1)(х + 1) + 3а(х – 3) = (х – 5)(а – 1),

2ах – 2х + 2а – 2 + 3ах – 9а = ах – 5а – х + 5,

4ах + х = 2а + 7, (4а + 1)х = 2а + 7.

1) если а = , то 0 ∙х = + 7 – корней нет;

2) если а , то х =.

Исследование.

1) - 1, 2а + 7 - 4а – 1, а - 1,

3; 2а + 7 12а + 3; а 0,4.

2) если а = - 1 и а = 0,4, то корней нет.

Ответ: 1) если а = 0, а = , а = 1 и а = 0,4, то корней нет;

  1. если а , а 1, а 0,4, а 0, то х =.

























Занятие №14

Тема: Задачи с параметром, сводящиеся к использованию квадратного трехчлена.

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся будут знать: условия существования корней квадратного трехчлена, знаки корней;

иметь представление о методах решения задач с параметрами с использованием графических интерпретаций;

Понимать: расположение корней квадратного трехчлена относительно точки, отрезка; графическую интерпретацию.

Уметь: анализировать исходные данные и на основе анализа осуществлять выбор метода решения.

Метод обучения: Устная работа, практикум

Форма работы: коллективная, индивидуальная.

Оборудование: карточки

Конспект: Рассмотрим решение квадратных уравнений с параметрами.

Пример 1. Решить уравнение х2 – вх + 4 = 0.

Решение. О. О. У. b – любое число,

х – любое число.

Найдем дискриминант уравнения: D = b2 – 16.

1) если D < 0, т. е. если – 4 < b < 4, то корней нет;

2) если D = 0, т. е. если b = 4, то уравнение имеет единственный корень х = ;

3) если D >0, т. е. если b < - 4 или b > 4, то уравнение имеет два корня: и .

Ответ: 1) если – 4 < b < 4, то корней нет; 2) если b = 4, то х = ;

3) если b < - 4 или b > 4, то и .

Пример 2. Решить уравнение (а – 1)х2 + 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0.

Решение. О. О. У. а – любое число,

х – любое число.

В данном случае контрольным служит значение: а = 1.

Дело в том, что при а = 1 данное уравнение является линейным, а при а 1- квадратным (в этом и состоит качественное изменение уравнения).

1) Если а = 1, то 6х + 7 = 0, т. е. х = -.

2) Если а 1, то , .

Далее имеем: если а < , т. е. < 0, то корней нет;

если а = , т. е. = 0, то х = ;

если а > и а 1, т. е. ≥ 0,

то х1,2 = .

Ответ: 1) если а < , то корней нет;

2) если а = 1, то х = -;

3) если а > и а 1, то х1,2 = .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. О. О. У. с – любое число,

х – любое число.

Приведем уравнение к целому:

сх2 – 3х(2с – 1) = 5(3 – с),

сх2 – 6сх + 3х = 15 – 5с,

сх2 – 3(2с – 1) х – (15 – 5с) = 0.

  1. Если с = 0, то 3х =15, х =5.

  2. Если с 0, то D = 9(2с – 1)2 + 4с(15 – 5с) = 16с2 + 24с + 9 =

(4с + 3)2.

Далее имеем: если с - , то D > 0 и уравнение имеет два корня

;

если с = - , то D = 0 и .

Ответ: 1) если с 0 и с - , то и ;

2)если с = 0 и с = - , то х = 5.

Пример 4. Определите все значения параметра а, при котором уравнение 2ах2 – 4(а + 1)х + 4а + 1 = 0 имеет один корень.

Решение. О. О. У. а – любое число,

х – любое число.

1) Если а = 0, то – 4х + 1 = 0, х = - единственный корень.

2) Если 0 0, то исходное уравнение является квадратным и имеет единственное решение при D = 0.

= 4(а +1)2 – 2а(4а + 1) = 4а2 + 8а + 4 – 8а2 – 2а = - 4а2 + 6а + 4.

- 4а2 + 6а + 4 = 0, 2а2 - 3а - 2 = 0,

а1 = - , а2 = 2.

Ответ: при а = - , а = 0. а = 2.

Пример 5. Определите все значения параметра а, при котором уравнение (а – 1)х2 + ах + а + 1 = 0 не имеет действительных корней.

Решение. О. О. У. а – любое число,

х – любое число.

1) Если а = 1, то уравнение имеет корень х = - 2;

2) Если а 1, то исходное уравнение является квадратным и не будет иметь действительных корней при D < 0.

D = а2 – 4(а – 1)(а + 1) = а2 – 4а2 + 4 = 4 – 3а2.

D < 0, если 4 – 3а2 < 0, 3а2 > 4, а2 > , т. е. а < - и а > .

Ответ: при а < - и а > .

































Занятие №15

Тема: Задачи с параметром, сводящиеся к использованию квадратного трехчлена.

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся будут знать: условия существования корней квадратного трехчлена, знаки корней;

иметь представление о методах решения задач с параметрами с использованием графических интерпретаций;

Понимать: расположение корней квадратного трехчлена относительно точки, отрезка; графическую интерпретацию.

Уметь: анализировать исходные данные и на основе анализа осуществлять выбор метода решения.

Метод обучения: Практикум

Форма работы: в парах

Оборудование: карточки

Конспект:

Пример 1. При каких значениях а уравнение ах2 – 4х + а + 3 = 0 имеет более одного корня?

Решение. О. О. У. а – любое число,

х – любое число.

1) Если а = 0, то - 4 х = - 3, х = - единственный корень;

2) Если а 0, то исходное уравнение является квадратным и будет иметь 2 действительных корня при D > 0.

D = - 4а2 – 12а + 16.

D > 0, если - 4а2 – 12а + 16 > 0, а2 + а - 4 < 0, - 4 < а < 1.

Ответ: при а .

Пример 2. При каких значениях а уравнение а(а + 3)х2 + (2а + 6)х - 3а - 9 = 0 имеет более одного корня?

Решение. О. О. У. а – любое число,

х – любое число.

1) Если а = 0, то 6х – 9 = 0, х = - единственный корень.

2) Если а = - 3, то 0 ∙ х = 0, х – любое число.

2) Если а - 3, а 0, то исходное уравнение является квадратным и будет иметь 2 действительных корня при D > 0.

D = 4(а + 3)2 (3а + 1).

D > 0, если 3а + 1> 0, а > - .

Ответ: при а = - 3 и а.

Пример 3. При каких значениях а уравнение

2 – а - 6) х2 - (а2 +2а - 15)х + (а2 – 2а – 3) = 0 имеет более двух корней?

Решение. О. О. У. а – любое число,

х – любое число.

Квадратное уравнение не может иметь более двух корней, поэтому данное уравнение не должно быть квадратным, т. е. а2 – а – 6 = 0,

а1 = - 2, а2 = 3.

При а = - 2 получим: 15х + 5 = 0, х = - - единственный корень.

При а = 3 получим: 0 ∙ х = 0, х – любое число, т. е. уравнение имеет бесконечное число решений.

Ответ: при а = 3.

Пример 9. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение.

Решение. О. О. У. х 5,

х 1,

а – любое число.

х2 – (3а +1)х + 2а2 + 3а – 2 = 0 (1)

D = (а – 3)2, х1 = 2а – 1, х2 = а + 2.

Далее возможны следующие случаи:

  1. Если D = 0, т. е. а = 3, то уравнение имеет единственный корень

х = 5, который не входит в область определения уравнения.

2) Исходное уравнение будет иметь единственный корень, если один из корней уравнения (1) будет посторонним, т. е. не войдет в область определения уравнения.

Пусть х1 =1- посторонний корень, тогда а = 1 и х2 = 3.

Пусть х1 =5- посторонний корень, тогда а = 3 и х2 = 5 - посторонний корень.

Пусть х2 =1- посторонний корень, тогда а = - 1 и х2 = - 3.

Пусть х2 =5- посторонний корень, тогда а = 3 и х1 = 5 - посторонний корень.

Итак, данное уравнение имеет единственное решение при а = 1.

Ответ: а = 1.

Задания для самоподготовки:

1. Решить уравнения: а) х2 – 2х + 1 + а2 = 0; б) bх2 – 2х + 1 = 0; в) (а – 2)х2 + 2ах + а + 1 = 0.

2. При каких значениях параметра а уравнение (а – 1)х2 – 2(а + 1)х + а - 2 = 0 имеет один корень?

Ответы:

1) а) при а = 0 х = 1; при а 0 корней нет.

б) при b >1 корней нет;

при b = 0 х=;

при b = 1 х = 1;

при b < 0 и 0 < b <1 х1,2 =

в) при а < - 2 корней нет;

при а = - 2 х = - ;

при а = 2 х = - ;

при а х1,2 = .

  1. при а = и а 1.













































Занятие №16

Тема: Использование теоремы Виета при решении задач с параметрами

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся будут знать: теорему Виета и ее следствия

Понимать: Применение теоремы Виета и ее следствий при решении задач с параметрами.

Уметь: применять теорему Виета и ее следствия при решении задач с параметрами.

Метод обучения: практикум

Форма работы: коллективная, индивидуальная.

Оборудование: карточки, конспект

Конспект:

Теорема 1: Для того, чтобы числа х1 и х2 были корнями уравнения ах2 + bх + с = 0 (а 0), необходимо и достаточно выполнения равенств: .

Здесь сформулированы два утверждения – прямое и обратное.

Теорема 2: Для того, чтобы корни уравнения ах2 + bх + с = 0 (а 0) были действительными и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения следующих соотношений:

а) D ≥ 0, б) > 0, и оба корня будут положительными, если дополнительно наложить условие > 0, и оба корня будут отрицательными, если дополнительно наложить условие < 0.

Теорема 3: Для того, чтобы корни уравнения ах2 + bх + с = 0 (а 0) были действительными и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнения следующих соотношений: а) D > 0, б) < 0. При этом положительный корень будет иметь большую абсолютную величину, если >0. Если же < 0, то отрицательный корень будет иметь большую абсолютную величину.

Пример 1. Не решая уравнения х2 – (2а + 1)х + а2 + 2 = 0, найдите при каком значении параметра а один из корней в два раза больше другого.

Решение. Пусть х1 и х2 - корни исходного уравнения.

По условию х1 = 2х2. Чтобы найти корни х1 и х2, удовлетворяющие условию задачи, необходимо решить систему:



D > 0, 4а – 7 > 0. х1 + х2 = 2а + 1, ,

а > , х1 ∙ х2 = а2 + 2;а = 4.

Ответ: при а = 4.

Пример 2. При каких значениях р отношение корней уравнения х2 + рх – 16 = 0 равно – 4?

Решение. По теореме Виета и условию задачи имеем систему

х1 + х2 = - р, х1 + х2 = - р,

х1 ∙ х2 = - 16, х1 ∙ х2 = - 16,

= - 4; х2 = - 4 х1.

Подставив х2 = - 4 х1, из третьего уравнения системы в первое и второе уравнения, получим

х1 - 4 х1 = - р, - 3 х1 = - р, х1 = ,

х1 ( - 4 х1) = - 16; - 4 = - 16; = 4.

Следовательно, = 4, откуда р2 = 36, р1,2 = 6.

Ответ: р1,2 = 6.

Пример 3. Найдите все значения параметра а, при которых разность корней уравнения 2х2 – (а + 1)х + а + 3 = 0 равна 1.

Решение. Корни данного уравнения существуют и один больше другого, если D > 0.

Пусть х1 и х2 - корни данного уравнения х2 > х1 .

Тогда х2 - х1 = 1, или (х2 - х1)2 = 1.

Так как (х2 - х1)2 = = , то= 1. (1)

По теореме Виета: х1 + х2 = , х1 ∙ х2 = .

Следовательно, равенство (1) можно записать так: .

Решая это уравнение, получим: а = - 3, а = 9.

При а = - 3 D < 0, т. е. данное уравнение не имеет корней.

При а = 9 D > 0.

Ответ: а = 9.

Пример 4. Найдите все значения параметра а, при которых сумма квадратов корней уравнения х2 – ах + а + 7 = 0 равна 10.

Решение. Корни данного уравнения существуют, если D ≥ 0.

Пусть х1 и х2 - корни данного уравнения. Запишем для них теорему Виета:

х1 + х2 = а,

х1 ∙ х2 = а + 7.



По условию сумма этих квадратов равна 10, т. е. , , откуда а = 6 или а = - 4.

При а = 6 дискриминант исходного уравнения отрицателен

(D = 62 - 4∙(6 + 7) = =36 – 52 = - 18). Следовательно, а = - 4.

Ответ: при а = - 4.



Задания для самоподготовки:

    1. При каком значении а уравнение имеет действительные корни одного знака: (а + 5) + (2а – 3)х + а – 10 = 0?

    2. Дано уравнение 9х2 – (2 – а)х – (6 + а) = 0. Определите, при каком значении а уравнение имеет корни, равные по модулю и противоположные по знаку.



Ответ: 1) , -5) ᴗ (10, ∞). 2) а = 2











































Занятие №17

Тема: Использование теоремы Виета при решении задач с параметрами

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся знают: теорему Виета и ее следствия

Понимать: Применение теоремы Виета и ее следствий при решении задач с параметрами.

Уметь: применять теорему Виета и ее следствия при решении задач с параметрами.

Метод обучения: Практикум

Форма работы: коллективная, индивидуальная.

Оборудование: карточки

Конспект

Пример 1. Найдите все значения параметра а, при которых оба корня уравнения (а – 1)х2 + х + (а – 2)( а2 + 4) = 0 имеют противоположные знаки.

Решение. Для данного уравнения дискриминант D =1 – 4(а – 1)(а – 2)(а2 + 4) не является полным квадратом и имеет очень громоздкий вид. Поэтому вычисление корней для решения этой задачи затруднительно, а их исследование – тем более. Так как по условию задачи корни имеют противоположные знаки, то их произведение отрицательно. По теореме Виета запишем произведение корней и решим неравенство < 0. Так как при всех а выражение а2 + 4 положительно, то разделим обе части неравенства на эту величину. При этом знак неравенства сохраняется. Получаем неравенство < 0, решение которого .

Ответ: при .

Пример 2. При каких положительных значениях а корни уравнения 5х2 – 4(а + 3)х + 4 = а2 противоположны по знаку? Найдите эти корни.

Решение. Корни квадратного уравнения противоположны по знаку, если выполняется совокупность следующих систем неравенств:

а) 16(а + 3)2 – 4 ∙5(4 – а2) > 0, (3а + 4)2 > 0,

4(а + 3) > 0, а > - 3,

4 – а2 < 0; а2 > 4;

б) 16(а + 3)2 – 4 ∙5(4 – а2) > 0, (3а + 4)2 > 0,

4(а + 3) < 0, а < - 3,

4 – а2 < 0; а2 > 4;

Решив неравенства, находим а > 2.

Решим квадратное уравнение:

. При а > 2 > 0.

, .

Ответ: а > 2, .

Задания для самостоятельной работы № 3.

  1. Определите все значения параметра с, при которых сумма корней квадратного уравнения х2 – 3сх + с2 = 0 равна .

  2. При каких значениях параметра а разность корней уравнения 2х2 – (а + 2)х + (2а – 1) = 0 равна их произведению?

  3. Определите все значения параметра а, для которых отношение корней уравнения (а2 – 5а + 3)х2 + (3а - 1)х + 2 = 0 равнялось 2.

  4. В уравнении х2 – 2х + с = 0 найдите значения с, при которых его корни х1 и х2 удовлетворяют условию 7х2 - 4х1 = 47.

  5. В уравнении 4х2 – 15х + 4а2 = 0 найдите а так, чтобы один корень был квадратом другого.

Ответы: 1) при с = ; 2) при а = 1; -;

3) при а = ; 4) с = - 15; 5) а = .



Занятие №18

Тема: Использование свойств квадратичной функции при решении задач с параметрами

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся будут знать: теоремы о расположении корней квадратичной функции относительно заданных точек

Понимать: Применение теорем при решении задач с параметрами.

Уметь: применять свойства квадратичной функции при решении задач с параметрами.

Метод обучения: Лекция

Форма работы: коллективная, индивидуальная.

Оборудование: карточки

Конспект:

При решении многих задач требуется знание следующих теорем о расположении корней квадратного трехчлена на координатной прямой.

Пусть f(х) = ах2 + bх + с = 0 (а 0) имеет действительные корни х1 и х2, а х0 – какое-нибудь действительное число.

Теорема 1. Чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число х0 (т. е. лежали на координатной прямой левее, чем точка х0), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 1):

а > 0, а < 0,hello_html_m71e6f2f6.png

D ≥ 0, D ≥ 0,

< х0, < х0,

f0) > 0, f0) < 0. Рис. 1

Теорема 2. Чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число х0, а другой больше, числа х0, (т. е. точка х0 лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 2):



а > 0, а < 0,hello_html_788e9ecc.png

f0) < 0, f0) > 0.



Рис. 2

Теорема 3. Чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число х0 (т. е. лежали на координатной прямой правее, чем точка х0), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 3):

а > 0, а < 0,hello_html_d429579.png

D ≥ 0, D ≥ 0,

> х0, > х0,

f0) > 0, f0) < 0. Рис. 3

Теорема 4. Чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число М, но меньше, чем число А (М < А), т. е. лежали в интервале между М и А, необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 4):

а > 0, а < 0,hello_html_m633e97d0.png

D ≥ 0, D ≥ 0,

f(М) > 0, f(М) < 0,

f(А) > 0, f(А) < 0,

М < < А, М < < А. Рис. 4

Теорема 5. Чтобы только больший корень квадратного трехчлена лежал в интервале МА (М < А), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 5): hello_html_m2eba3670.png

а > 0, а < 0,

f(М) < 0, f(М) > 0,

f(А) > 0, f(А) < 0.

Рис. 5

Теорема 6. Чтобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал в интервале МА (М < А), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 6):

а > 0, а < 0,hello_html_7b99e0ad.png

f(М) > 0, f(М) < 0,

f(А) < 0, f(А) > 0. Рис. 6

Теорема 7. Чтобы один корень квадратного трехчлена был меньше, чем число М, а другой больше, чем число А (М < А), т. е. отрезок МА лежал внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 7):hello_html_67b98038.png

а > 0, а < 0,

f(М) < 0, f(М) > 0,

f(А) < 0, f(А) > 0. Рис. 7

Пример 1. Найдите все значения параметра а, при которых только один корень квадратного трехчлена х2 – 2(а + 1)х + 6а – 3 больше 2.

Решение. Найдем корни квадратного трехчлена:

= (а + 1)2 + 3 – 6а = а2 + 2а + 1 + 3 – 6а = а2 – 4а + 4 = (а – 2)2.

Уравнение будет иметь два корня, если > 0, т. е. при а 2.

Тогда х1 = а + 1 – а + 2 = 3, х1 = а + 1 + а - 2 = 2а – 1.

Так как х1 > 2, то х2 ≤ 2, т. е. 2а – 1 ≤ 2, а ≤ .

Ответ: при а ≤ .

Пример 2. Найдите все значения параметра b, при которых один корень уравнения х2 – (2b + 1)х + b2 + b – 2 = 0 находится между числами 0 и 2, а второй между числами 3 и 5.

Решение.

Корни данного уравнения: х1 = b - 1, х2 = b + 2.

Очевидно, что х1 < х2. Значит , 0 < b - 1 <2, 1 < b < 3,

3 < в + 2 < 5; 1 < b < 3;

Ответ: при 1 < b < 3.

Задания для самоподготовки:

    1. При каких значениях m корни уравнения

2 – (3m +1)[ - m – 2 = 0 заключены в промежутке между

-1 и 2?

    1. При каких значениях параметра а уравнение

х2 – (3а + 2)х + 2а – 1= 0 имеет корни больше 1?



Ответы: 1) - < m < , 2) решений нет.











































Занятие №19

Тема: Использование свойств квадратичной функции при решении задач с параметрами

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся будут знают: теоремы о расположении корней квадратичной функции относительно заданных точек

Понимать: Применение теорем при решении задач с параметрами.

Уметь: применять теоремы при решении задач с параметрами.

Метод обучения: Практикум

Форма работы: коллективная, индивидуальная.

Оборудование: карточки

Конспект:

Пример 1. Найдите все значения параметра m, при которых корни уравнения (m - 5)х2 – 3 m х + m – 2 = 0 имеют разные знаки.hello_html_5527ec06.png

Решение.

m - 5 > 0 m – 5 < 0



f(х) = (m - 5)х2 – 3 m х + m – 2, f(0) = (m - 5) ∙ 02 – 3 m ∙ 0 + m – 2 = m – 2.

Корни уравнения будут разных знаков, если: (m – 5) f(0) < 0,

(m – 5) (m - 2) < 0,

2 < m < 5.

Ответ: при 2 < m < 5.

Пример 2. Найдите все те значения параметра а, при которых оба корня уравнения х2 – 6а х +(2 – 2а + 9а2) = 0 действительны и больше 3.

Решение. В данном уравнении а = 1 > 0.

Применяя теорему 3, получаем систему неравенств:



D ≥ 0, 9а2 – (2 – 2а + 9а2) ≥ 0,

> 3, т. е. 3а > 3,

f(3) > 0, 9 – 18 а + 2 – 2а + 9а2 > 0.

Решая эту систему, находим а > .

Ответ: при а > .

Пример 3. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение (а – 2)х2 – 2(а + 3) х + 4а = 0 имеет один корень больше 3, а другой меньше 2.

Решение. Согласно теореме 7 составим две системы неравенств:

а - 2 > 0, а - 2 < 0,

а) f(2) < 0, б) f(2) > 0,

f(3) < 0, f(3) > 0.

а - 2 > 0,

f(2) = (а – 2) ∙4 – 2 ( а + 3) ∙2 + 4а < 0,

f(3) = (а – 2) ∙3 – 2 ( а + 3) ∙3 + 4а < 0,

Откуда 2 < а < 5.

Вторая система решений не имеет.

Ответ: при 2 < а < 5.

Пример 4. При каких значениях параметра с оба корня уравнения

х2 – 2сх + с2 – 1 = 0 заключены между числами – 2 и 4?

Решение. Найдем корни уравнения:

х1,2 = с = с1.

По условию: - 2 < с + 1 < 4, - 3 < с < 3,

- 2 < с - 1 < 4; - 1 < с < 5; - 1 < с < 3.

Ответ: при - 1 < с < 3.



Пример 5. При каких значениях параметра а все решения уравнения (а – 1)х2 – (а + 1)х + а = 0 удовлетворяют условию 0 < х < 3?

Решение.

Пусть f(х) = (а – 1)х2 – (а + 1)х + а. Если а 1, то необходимым и достаточным условием, для того, чтобы функция f(х) имела свои корни, принадлежащие интервалу, будет выполнение системы неравенств:

D ≥ 0,

(а – 1) f(0) > 0,

(а – 1) f(3) > 0,

2 < х0 < 5; где х0 = .

Решив эту систему, получим < а < .

Если а = 1, то – 2х + 1 = 0, х = ,

Ответ: при < а < , а = 1.

Задания для самостоятельной работы № 4.

  1. При каких значениях параметра с корни уравнения х2 + 4сх + (1 - 2 с + 4 с2) = 0 действительны и меньше - 1?

  2. При каких значениях параметра а корни уравнения ах2 – (2а + 1)х + 3 а – 1 = 0 больше 1?

  3. При каких значениях параметра а корни х1 и х2 уравнения (3а + 2)х2 + (а - 1)х + 4а + 3 = 0 удовлетворяют условиям

х1 < - 1 < х2 <1?

  1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения 2х2 + ах + а2 – 5 = 0: 1) меньше 1; 2) больше - 1?

  2. При каких значениях параметра а корни уравнения (а + 1)х2 - 3ах + 4а = 0 принадлежат интервалу (2;5)?

  3. При каких значениях параметра а один из корней уравнения (а - 5)х2 - 2ах + а - 4 = 0 меньше 1, другой больше 2?



Ответы и решения:

1) Так как с = 1 > 0, то применим теорему 1, составим систему:

D ≥ 0, 4с2 – (1 – 2с + 4 с2) ≥ 0,

< - 1, т. е. - 2с < - 1,

f(- 1) > 0, 1 - (1 – 2с + 4 с2) > 0.

Решая эту систему, находим: с > 1.

Ответ: с

2) Рассмотрим случай а 0. При таких а решим систему:

(2а + 1)2 – 4а(3а – 1) ≥ 0,

> 0,

а(а – (2а+1) + 3а – 1) > 0.

Решая эту систему, находим, что а .

Если а 0, уравнение имеет один корень х = - 1, который требованиям задачи не удовлетворяет.

Ответ: при а .

3) ( - 1; - ).

4) а .

5) - ≤ а < - 2.

6) 5 < а < 24.











Занятие № 20

Тема: Использование графических иллюстраций в задач с параметрами

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся будут знать: метод использования графических иллюстраций при решении задач с параметрами

Понимать: Применение графического метода при решении задач с параметрами.

Уметь: применять графики и свойства функций при решении задач с параметрами.

Метод обучения: Лекция, метод исследования

Форма работы: коллективная, индивидуальная.

Оборудование: карточки

Конспект:

Для решения задач с параметрами используют графические иллюстрации. В этом случае одну из переменных обозначим параметром: hello_html_403453c5.png. Так, имеем уравнение и неравенство с параметром.

Для решения таких задач необходимо следовать алгоритму:

    1. Построить график уравнения или неравенства;

    2. Рассечь его прямыми  hello_html_m2e3f5d9b.png;

    3. Найти точки пересечения;

    4. Выписать ответ;

Исследование учащихся:

Проблема: Как решить уравнение с параметром

hello_html_f22996d.pngиспользуя графические иллюстрации?

Согласно методике на первом шаге мы должны построить график заданного уравнения hello_html_m4af9a2e1.png, в данном случае это квадрат ABCD:

hello_html_m178e6467.png

Рис. 1. График функции hello_html_m4af9a2e1.png

Замечая, что есть симметрия и по х, и по а, можем подставить вместо х  значение - х или вместо а значение –а,  и ничего не изменится. Если найдено решение (х; а), то точки (-х; а), (-х; -а), (х; -а) также будут решением.

Таким образом, методика построения графика такова: предполагаем, что х и а положительные числа, тогда модули можно отбросить и имеем:

hello_html_28981359.png

Строим отрезок АВ в первой четверти (АВ = -х +1) и симметрично отображаем его относительно обеих осей. Таким образом, зная решение в одной четверти, мы можем получить решение в остальных четвертях.

Теперь необходимо записать уравнение полученного отрезка для каждой четверти.

Первая четверть: отрезок АВ, АВ = -х +1

Вторая четверть: отрезок ВС, ВС = х + 1. Чтобы получить данное уравнение необходимо взять симметрию для уравнения первой четверти относительно оси у, при этом вместо х подставляем hello_html_m2369862d.png.

Третья четверть: отрезок CD, CD = -x - 1

Четвертая четверть: отрезок AD, AD = x - 1

Далее согласно методике необходимо рассечь полученное геометрическое место точек семейством прямых hello_html_m2e3f5d9b.png и найти точки пересечения.

hello_html_33ec11a9.png

Рис. 2. Рассечение графика функции семейством прямых hello_html_m2e3f5d9b.png

Некоторая прямая пересечет график в двух точках, например прямая hello_html_2d24b7dc.png рассекает ВС и АВ. Прямая hello_html_6ed6298f.png рассекает CD и AD. Другая прямая вообще не пересечется с графиком, например прямая hello_html_256ed225.png. Рассмотрим, каким образом мы можем выразить hello_html_m472aa46b.png координаты точек пересечения прямых с графиком через параметр а.

Отрезок CD рассечен прямой hello_html_5e4d985e.png, в результате получена точка пересечения hello_html_m63ddab1.png, данное значение мы выразили из уравнения отрезка CD. Аналогично отрезок АD рассечен прямой hello_html_5e4d985e.png, в результате получена точка пересечения hello_html_75339314.png.

Отрезок ВС рассечен прямой hello_html_17e07ff0.png, в результате получена точка пересечения hello_html_39e1ccf8.png.

Отрезок АВ рассечен прямой hello_html_17e07ff0.png, в результате получена точка пересечения hello_html_m79223889.png.

Теперь глядя на график, можем выписать ответ: при hello_html_m7713afa0.png уравнение не имеет решений; при hello_html_6b55ad87.png уравнение имеет единственное решение - hello_html_m4d928793.png; при hello_html_m1b063a8f.png уравнение имеет два решения - hello_html_m553bea70.png; при hello_html_5e73dbb9.png уравнение имеет два решения hello_html_503d5825.png; при hello_html_658bf813.png уравнение имеет два решения - hello_html_5d6b0220.png.

Вывод: чтобы решать разнообразные более узкие задачи, необходимо решить полную задачу – перебрать все значения параметра и при каждом найти решение уравнения.

 







































Занятие № 21

Тема: Использование графических иллюстраций в задач с параметрами

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся будут знать: метод использования графических иллюстраций при решении задач с параметрами

Понимать: применение графического метода при решении задач с параметрами.

Уметь: применять графики и свойства функций при решении задач с параметрами.

Метод обучения: практикум

Форма работы: коллективная, индивидуальная.

Оборудование: карточки

Конспект:

Пример 1. Решить графическим методом неравенство с параметром:

hello_html_m7799f6f9.png

Согласно методике сначала нужно построить график заданного неравенства в осях х, а. В предыдущем примере мы строили график уравнения, стоящего в левой части. Для построения графика данного неравенства необходимо лишь заштриховать все значения внутри квадрата, так как это и есть решение неравенства.

hello_html_m64ac9bf4.pngРис. 1.

График неравенства hello_html_m7799f6f9.png

Далее необходимо рассечь график семейством прямых hello_html_m2e3f5d9b.png и найти точки пересечения. Рассечение выполнено на рисунке 1, точки пересечения найдены в примере 1 при решении уравнения:

hello_html_m63ddab1.pnghello_html_75339314.pnghello_html_39e1ccf8.pnghello_html_m79223889.png.

Глядя на график, можем выписать ответ: при hello_html_m7713afa0.png неравенство не имеет решений; при hello_html_6b55ad87.png неравенство имеет единственное решение - hello_html_m4d928793.png; при hello_html_m1b063a8f.png неравенство имеет множество решений - hello_html_468a7534.png; при hello_html_5e73dbb9.png неравенство имеет множество решений hello_html_m6eff3904.png; при hello_html_658bf813.png неравенство имеет множество решений - hello_html_56536491.png.

Пример 2. Решить графически неравенство с параметром:hello_html_2a243603.png

Данное неравенство мы уже решали ранее, применяя метод областей. Согласно данному методу:

Рассматриваем функцию, стоящую в левой части, если справа ноль, это функция от двух переменных: hello_html_mfbb69db.png

Аналогично методу интервалов временно отходим от неравенства и изучаем особенности и свойства составленной функции.

ОДЗ: hello_html_m73026fd0.png, значит ось х выкалывается.

Теперь укажем, что функция равна нулю, когда числитель дроби равен нулю, имеем: hello_html_761b8bcc.png

Строим график функции.

hello_html_70b67d5b.pngРис. 2.

График функции hello_html_761b8bcc.png, учитывая ОДЗ.

Теперь рассмотрим области знакопостоянства функции, они образованы прямой hello_html_5e73dbb9.png и ломаной hello_html_761b8bcc.png. Внутри ломаной находится область D1. Между отрезком ломаной hello_html_54c21fcd.png и прямой hello_html_5e73dbb9.png – область D2, ниже прямой hello_html_5e73dbb9.png – область D3, между отрезком ломаной hello_html_3a3f8018.png и прямой hello_html_5e73dbb9.png - область D4.

Рис. 3.

В каждой из выбранных областей функция сохраняет знак, значит достаточно в каждой области проверить произвольную пробную точку, таким образом получили, что в областях hello_html_2711cf61.png и hello_html_78796fcc.png функция положительна, в областях hello_html_m33b70e5.png и hello_html_7da99695.png – отрицательна. Имеем решение неравенства (рис. 3):

Далее согласно методике необходимо рассечь полученное геометрическое место точек семейством прямых hello_html_m2e3f5d9b.png и найти точки пересечения (рис. 4).hello_html_7bbdf800.png

hello_html_3d4c2684.png

Рис. 4. Рассечение графика семейством прямых hello_html_m2e3f5d9b.png

Ответ: при hello_html_m270a21c6.png имеем бесчисленное множество решений hello_html_32225dc8.png; при hello_html_5e73dbb9.png решений нет; при hello_html_m34cc3cbb.png имеем множество решений hello_html_m5d00bcbd.png.

 

Занятие № 22

Тема: Приемы составления задач с параметрами, используя графики различных соответствий и уравнений.

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся будут знать: приемы составления задач с параметрами; уметь использовать графики различных функций при решении задач.

Понимать: приемы составления задач с параметрами, используя графики.

Уметь: применять графики и свойства функций при решении задач с параметрами.

Метод обучения: практикум

Форма работы: коллективная, индивидуальная.

Оборудование: карточки, презентация

Конспект:

Начать занятие рекомендуется с повторения свойств функций, изученных учащимися ранее.

В толковом словаре дано общее определение понятия параметр:

«Параметр – величина, характеризующая основные свойства системы или явления».

Определение: В уравнениях (неравенствах) коэффициенты при неизвестных или свободные члены заданные не конкретными числовыми значениями, а обозначенные буквами называются параметрами.

Решить уравнение с параметром это значит, для каждого значения параметра найти значения x, удовлетворяющие условию этой задачи

Рассмотрим приемы составления задач с параметрами, используя графики различных соответствий и уравнений.

Построить график функции:

у= + 5; у = 1 –

Рассмотрим образец решения задачи с параметром.

Задача 1. Решите уравнение .

1 способ решения – аналитический.

Решение. Заметим, что левая часть уравнения неотрицательна при всех значениях неизвестной, следовательно, при отрицательном значении параметра решений нет. Если параметр , то уравнение принимает вид , и имеет один корень . При положительном значении параметра а, данное уравнение имеет два корня .

Ответ: при , корней нет; при , один корень ;

при , два корня .

2 способ решения – графический.

Построим в одной системе координат графики обеих частей уравнения: параболу и семейство прямых , которые движутся вдоль оси ординат. По рисунку записываем ответ.

- Какой вывод можно сделать, сравнивая два способа решения задачи?

Предполагаемые ответы: графический способ понятнее. Графическим способом задача решается быстрее. На рисунке все решение видно.

Да. Достаточно одного взгляда, чтобы определить количество корней уравнения в зависимости от параметра а.

Задача 2. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

Решение. Записываем данное уравнение в виде . Построим графический образ обеих частей уравнения. Левая часть представляет собой «прямой угол», ветви направлены вниз, вершина (2;3). Правая часть представляет семейство прямых параллельных оси абсцисс. Из чертежа видно, что единственное решение возможно при . hello_html_m13ff650e.png

Ответ:

Задача 3. При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений?

Решение. Построим графический образ обеих частей уравнения. Левая часть представляет собой «прямой угол», ветви направлены вверх, вершина (1;-1). Правая часть представляет семейство прямых параллельных оси абсцисс. Из чертежа видно, что решений нет при .

hello_html_m2936dc05.png

Ответ:

Вывод: Задачу с параметром будем рассматривать как функцию . Алгоритм решения:

1. строим графический образ.

2. пересекаем полученное изображение прямыми параллельными оси абсцисс.

3. Считываем нужную информацию.



Рассмотрим образец решения задачи с параметром.

(Устная работа по готовому рисунку) hello_html_mf9883f4.png







Задания по выбору для самостоятельной работы:

Вам предлагается найти при каких значениях параметра а, уравнение будет иметь два решения.

Уровень сложности задачи – определите самостоятельно.

hello_html_m4c40b152.png

Задача 4. Найти сумму целых значений параметра а при которых уравнение имеет три корня.

Решение. Запишем уравнение в виде совокупности . Построим в одной системе координат параболу (ветви вверх, вершина (1;- 20)), и «прямой угол» (ветви направлены вверх, вершина (4:3)). Будем пересекать полученный образ прямыми параллельными оси абсцисс. Три решения возможны в трех случаях. Рассмотрим их отдельно: а = 3, в вершине прямого угла. Раскроем знак модуля. hello_html_4a7007db.png

1) При , имеем , или , решая это уравнение находим, что корни не удовлетворяют условию задачи ().

2) При , имеем , или , решая это уравнение находим, корни х = -3 (не удовлетворяет условию) и

х = 6. Вычисляем .

Искомые значения а = 3 и а = 5, их сумма равна 8.

Ответ: 8.

Вывод: Чтобы составить такую задачу, пойдем обратным путем.

1. возьмем два уравнения, графики которых мы умеем строить.

2. построим графический образ.

3. объединим произведением оба уравнения, приравняв их к нулю.

4. заменим букву у буквой а, и получим уравнение с параметром.

5. зададим вопрос (глядя на рисунок), сформулируем условие задачи.

Известный венгерский математик Пойа писал:

«Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию, или катанию на лыжах … : научиться этому можно лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь…» .



Задание для самоподготовки:

Составить две задачи с параметром, используя полученные знания.











































Занятие № 23 - № 24

Тема: Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств.

Цели: Воспитательная: воспитание аккуратности, последовательности действий.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления, вывода.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся будут знать: что решение задачи данного типа приводит к использованию ограниченности функций

Понимать: сложность решения данных задач

Уметь: анализировать решение, делать соответствующие выводы по решению..

Метод обучения: лекция, практика

Форма работы: коллективная, индивидуальная.

Оборудование: карточки

Конспект:

Рассмотрим на конкретном примере использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части неравенства.

Пример: Найти все значения параметра а , при которых существуют (х, у), удовлетворяющие системе неравенств:



Решение: Первое неравенство зависит только от у. Его особенность заключается в наличии максимума двух чисел (max(u; v)).

Рассмотрим разные способы решения:

Способ 1. Используем определение максимума двух чисел:

Полагая, что 2-3у= u , у+2 =v.

Max(u, v) = u, если uv; Max(u, v) =v, если u < v.





5



-1≤ у ≤0 у

0< у ≤ 3

Трудности непосредственного решения второго неравенства очевидны и потому требуется изучение особенностей и самого неравенства (его левой и правой частей) и постановки задачи.

Правая часть является квадратичной функцией от у ( с параметром а) и в силу первого неравенства определена на отрезке у

F(y; a) = + 2ay + 7, -1 ≤ y ≤ 3.

Пусть

Абсцисса вершины ув = -а. Ордината вершины равна

f(a; a)= -2a·a + 7 = 7 - Величина ) зависит от расположения абсциссы вершины ув = -а по отношению к отрезку у .







у у у

-а -1 3 -1 -а 3 -1 3 -а

Случай1:

Случай 2: у -1 ≤-а ≤ 3 -3 ≤ а ≤ 1



Случай 3. ув = -а > 3 а < -3.


.

Итак,



8 – 2а, если а > 1

= 7 - , если -3 ≤ а ≤ 1

если а < - 3

Левая часть не зависит от у. От х в ней зависимость через следующую функцию:

g(x) =

x Исследуя функцию на наибольшее значение, имеем:

=

Наибольшее значение всей левой части равно

Итак, > .

Постановка задачи не требует решения собственно системы. Искомыми значениями а являются такие значения, при которых лишь гарантируется совместность системы, наличие хотя бы одного ее решения (х, у). Это возможно тогда и только тогда, когда максимум левой части не меньше, чем минимум правой части.

Переформулируем задачу более строго: найти все значения параметра а, при которых максимум левой части второго неравенства больше или равен минимуму правой части на отрезке у , получающемся из первого неравенства.

Вычислим:

а) ≥ 8 – 2а а



= 8-2а а= 11/3. Тогда получаем часть ответа

а ; ∞) для всей системы.

б) ≥ 7 - , т. к. а2 – 13 < 0 при а

-3 ≤ а ≤ 1

в) ≥ 6а + 16 а (- ∞;

а < -3

Ответ: (- ∞;





















































Занятие № 25 - № 26

Тема: Метод приведения к уравнению относительно неизвестной х с параметром а.

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления, умозаключения.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся будут знать: методы решения уравнений относительно неизвестной х

Понимать: применение свойств при решении задач с параметрами.

Уметь: применять графики и свойства функций при решении задач с параметрами.

Метод обучения: практикум

Форма работы: коллективная, индивидуальная.

Оборудование: карточки

Конспект:

Можно предложить учащимся решить следующие уравнения и неравенства:

1. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения х2 -2(а – 1)х +2а +1 =0 имеют разные знаки и каждый по модулю меньше 4.

Решение: Пусть f(x) = х2 -2(а-1)х+2а+1, х1, х2 – корни (х1< х2).

Тогда х ( - 4; 0) в том и только том случае, если

f(- 4) > 0 9+10а > 0

f(0) < 0 т. е. 2а + 1 < 0 (1)

Необходимые и достаточные условия того, что х2 (0; 4):

f( 4) > 0 1+2а < 0

f(0) < 0 т. е. 25- 6а > 0 (2)

Так как условия (1) и (2) должны быть выполнены одновременно, то







9+10а > 0

2а + 1 < 0 -0,9 < а < -0,5.

25- 6а > 0

Ответ: а (-0,9; -0,5)

2. Найти все а, при которых корни уравнения

(а – 5)х2 – 3ах +а – 2 = 0 имеют разные знаки.

3. Найти все а, при которых один из корней уравнения

2 – а + 1)х2 – (2а +3)х +2а = 0 больше 1, а другой – меньше 1.

4. Найти все а, при которых оба корня уравнения

х2 – (а + 1)х +а+1 =0 положительны.



































Занятие № 27

Тема: Графический способ решения уравнений и неравенств.

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся будут знать: свойства и графики функций

Понимать: применение свойств при решении задач с параметрами.

Уметь: применять графический способ и свойства функций при решении задач с параметрами, развивать творческие возможности учащихся.

Метод обучения: практикум

Форма работы: коллективная, индивидуальная.

Оборудование: карточки

Конспект:

Дидактическая задача: организовать и направить мыслительную деятельность учащихся на решение уравнений с параметром графически. Эти навыки учащиеся смогут применить при решении заданий ЕНТ.

Пример № 1: Найдите число корней уравнения hello_html_m50f72c5b.png в зависимости от параметра a.

Решение:

Построим график функции hello_html_31c25045.png и hello_html_m582473e1.png в одной системе координат.

Уравнение hello_html_m50f72c5b.png имеет столько решений, сколько раз прямая hello_html_m582473e1.png пересекает график функции hello_html_31c25045.png

  1. Построим график функции hello_html_7a2a2969.png

Найдём абсциссу вершины параболы с помощью производной:

точка hello_html_m5f86a990.png с 0х:

с 0y:

  1. Построим график функции hello_html_31c25045.png

Для того, чтобы построить график функции hello_html_31c25045.png, если известен график функции hello_html_7a2a2969.png, нужно оставить на месте ту часть, где hello_html_m5c19f9d1.png, и симметрично отобразить относительно оси х другую его часть, где hello_html_m72cd266d.png

  1. Построим прямую у = a

  2. Построение:





hello_html_m1df8a33.png







  1. Имеем:

  1. если , то графики не имеют общих точек, т.е. нет корней;

  2. если , то графики имеют две общие точки, т.е. два корня;

  3. если , то графики пересекаются в четырёх точках, что даёт четыре корня;

  4. если то графики имеют три общие точки, т.е. три корня;

  5. если то графики имеют две общие точки, т.е. два корня.



Пример № 2: Найдите значение параметра m, при котором уравнение имеет ровно три корня.

Решение: Построим график функции hello_html_m6170910.png и hello_html_m46ef8290.png на одном чертеже.

Построим график функции hello_html_m6170910.png

Найдем координаты вершины параболы выделением квадрата двучлена

вершина параболы

  1. Построим график функции hello_html_m6170910.png.

Для того, чтобы построить график функции hello_html_m6170910.png, если известен график hello_html_m561553de.png, нужно оставить на месте ту часть, где hello_html_m5c19f9d1.png, и симметрично отобразить относительно оси х другую его часть, где hello_html_m72cd266d.png.

  1. Построим прямую у = mhello_html_m24e02b95.png

  2. Построение:

  3. Очевидно, что исходное уравнение имеет ровно 3 решения тогда и только тогда, когда графики двух вышеуказанных функций пересекаются ровно в 3-х точках, т.е. при







































Занятие № 28

Тема: Графический способ решения уравнений и неравенств.

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся будут знать: свойства и графики функций

Понимать: применение свойств при решении с параметрами.

Уметь: применять графический способ и свойства функций при решении задач с параметрами.

Метод обучения: практикум

Форма работы: коллективная, индивидуальная.

Оборудование: карточки

Конспект:

Пример № 1. При каких значениях параметра уравнение имеет два корня.

Решение:

  1. построим график функции и на одном чертеже.hello_html_69d6f0b5.png

  2. Построение:









Ответ: а) если а = 0, то 1 решение

б) если а > 0, то 2 решения.hello_html_23de9d8d.png

Пример №2. Решить уравнение:

1)

Построим график.

2) hello_html_m71e7bbbe.png

Построим график, тогда:



3) hello_html_m7549f5c3.png

Построим график





4) hello_html_3e2b8e0e.png

Построим график.













Задача 3. При любом значении параметра y решить неравенство hello_html_m60be9c95.png

Решение:

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем











Рассмотрим систему координат (xОy) и построим графики функций:

а)hello_html_60366f21.png











б)











Найдем решение:

Ось y (а это параметр) разбита на несколько участков. Выясним - на сколько частей разбита ось Y.hello_html_m6c6302c3.png

y=1 точка пересечения y=x и x=1 y= вершина параболы


y=0 точка касания параболы и y=x y= -1 точка пересечения

x=-1 и y=x

y=-2 точка пересечения x= -1 и параболы

hello_html_6ca08e25.pnghello_html_m23f10aac.png









Рассмотрим каждый интервал




















Занятие № 29

Тема: Сочетание графического и алгебраического методов решения уравнений.

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся будут знать: применение свойств и графиков функций при решении уравнений.

Понимать: применение свойств при решении уравнений и неравенств с параметрами.

Уметь: сочетать графический и алгебраический методы решения уравнений.

Метод обучения: практикум

Форма работы: коллективная, индивидуальная.

Оборудование: карточки

Конспект:

Решить уравнение с параметром – значит для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного уравнения.

Решить неравенства с параметром - значит для любого допустимого значения параметра найти множество решений заданного неравенства.

Сложность параметрических задач в том, что, как правило, в них с изменением параметра меняются многие характеристики. Может меняться степень уравнения или неравенства, ОДЗ и т.д. Обычно это приводит к тому, что при разных значениях параметра приходится использовать различные методы решения. Удобным средством для изучения изменений являются графики.

На данном занятии мы рассмотрим ряд заданий, в которых будет использован графический способ решения уравнений и неравенств с параметрами.

Повторим алгоритм построения графиков функций и уравнений в программе Advanced Grapher 2.11. hello_html_45d5483a.png

Задача 1. Решить уравнение:

Следствием данного уравнения является система :hello_html_d0a6c5c.png


Решим вначале уравнение:
















Выяснить, какие из найденных корней являются корнями уравнения.hello_html_m26381df6.png

Изобразим на координатной плоскости:

При изменении параметра полукруг остается на месте, а прямая перемещается параллельноhello_html_m66b196d.pnghello_html_5587ba10.png

Так как угловой коэффициент у = а – х, тогда:

hello_html_19e9ff71.png

Найдем решение по данному графику:

1)от a) до б) и в) одно решение

2) от б) до в) 2 решения



4. Рассмотрим

положение а), б), в) а)


hello_html_10fd226f.pnghello_html_m6bbff0a3.png

б) a=1

в) прямая является касательной кhello_html_45d5483a.png



Ответ:






, значит




нет решения



одно решение

Задача №2. Решить уравнение с параметром:

││ x│- 4│= a

hello_html_283b1204.gif



Не самый сложный пример, но если решать аналитически ,придется дважды раскрывать скобки модуля, и для каждого случая рассматривать возможные значения параметра. Графически все очень просто. Рисуем графики функций и видим, что:

При значениях а < 0 решений нет.

При значениях а =0 и а > 4 уравнение имеет ровно 2 корня.

При значениях а =4 уравнение имеет ровно 3 корня.

При значениях а в промежутке (0:4) уравнение имеет ровно 4 корня.















Занятие № 30

Тема: Сочетание графического и алгебраического методов решения уравнений.

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления, выводов.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся будут знать: как сочетаются графический и алгебраический методы решении уравнений.

Понимать: применение свойств при решении задач с параметрами.

Уметь: применять графики и свойства функций при решении задач с параметрами.

Метод обучения: практикум

Форма работы: коллективная, индивидуальная.

Оборудование: карточки

Конспект:

 №1. При каких значениях параметра а уравнение 

Соs
2 x – (a -1/3) Cos x – a/3 = 0 

имеет на промежутке [π/4; 5 π/3) не меньше 3 корней?

Решение: Пусть Cosx=t, 
hello_html_4972b8a5.gif 

hello_html_ecafe14.gif; Рассмотрим график t = cosx 

hello_html_m7c47c814.png


В промежутке 
hello_html_m16c248aa.gif при t= - 1 уравнение cos x = t имеет один корень 

При 
hello_html_3cee382.gif- два корня, при hello_html_4d48ee00.gif-один корень

Поэтому чтобы исходное уравнение имело не меньше 3 корней необходимо выполнение условия:




(1) Первая система имеет 4 решения.


(2) вторая система имеет 3 решения. 

hello_html_m1225eef4.gif



Расположим корни квадратного трехчлена по этим двум условиям:



  1. hello_html_m550d197a.gif
    2) 
    hello_html_4f9f761.gif

    Объединяя 1) и 2) получаем a
    hello_html_299dabd2.gif[-1; - ) ᴗ ( - ;
    hello_html_54ffaffc.gif


Задания для самоподготовки:


1. При каком значении а уравнение х5+10ах+-4=0 имеет 3 вещественных корня? 2. При каких значениях а уравнение х6+6ах+ 5=0 имеет 2 вещественных корня?

Занятие № 31

Тема: Использование производной при решении задач с параметрами. Задачи на максимум и минимум.

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся будут знать: примеры использования производной при решении задач с параметрами, задач на максимум и минимум.

Понимать: применение производной при решении задач с параметрами.

Уметь: применять графики и свойства функций при решении задач с параметрами.

Метод обучения: практикум

Форма работы: коллективная, индивидуальная.

Оборудование: карточки

Конспект:

Задание 1. Значение  параметра k таково, что уравнение х = kx5+8   имеет ровно два различных корня. Найти больший корень.

Идея решения такова:

Решаем уравнение  х = kx5+8  графически, то есть записываем его в виде системы двух уравнений:

y =x

y = kx5+8  


График функции  y=x неизменен - это биссектриса первого и третьего координатных углов.

График функции  y = kx5+8  варьируется в зависимости от значения k.

Нам нужно найти, при каких значениях k графики этих функций имеют ровно две точки пересечения.

Построим графики данных функций: у = кх5+8 и у= х5, у = х.

hello_html_6ea4bf9.gif рис. 1

При k < 0 графики имеют только одну общую точку (рис1. справа), следовательно, в дальнейшем решении нас будет интересовать рисунок при k > 0 (рис1. слева).

Теперь нам необходимо определить более точное расположение графика функции у = кх5+8, так чтобы графики имели ровно два различных корня. Применяя геометрический смысл производной, определяем тангенс угла наклона: = 1. Следовательно, производная функции у = кх5+8 должна быть равной 1. (рис.2)

hello_html_3aa8d6a7.gifРис. 2.

Так как точка х0- общая точка двух графиков, то подставив найденное значение k в уравнение у = кх5+8, имеем (рис. 3):hello_html_m7663b43c.gifРис 3.



Откуда х0= 10 – наибольший корень.



Задание №2. Найти число корней уравнения: 6х3-6х2-6а+1=0

- Преобразуем уравнение и получим равносильное уравнение.

х
32+1/6=а

- Как можно по-другому переформулировать задачу?
 

- В скольких точках прямая у=а пересекает график функции y= х
32+1/6 в зависимости от а ?

- С чего начнем решение?
 

Для ответа на этот вопрос требуется провести исследование этой функции.
 

Она определена, непрерывна и дифференцируема на R, как многочлен.
 

Найдем y’(х): y’(х)=3х
2-2х

Находим критические точки.

x=0, x=2/3

f’(x)
 








f(0)=1/6-max, f(2/3)=1/54-min

Построим эскиз графика


hello_html_m2e3a016.png 


Ответ: а<1/54 и a>1/6 – одно решение; a=1/54; a=1/6 – два решения; 1/54
 
Замечание: При решении задач такого рода для большей наглядности можно использовать эскиз графика функции y=f(x) не содержащей параметра, так как строить и исследовать легче, а затем посмотреть в зависимости от дополнительных условий, пересекается или не пересекается начерченный график с различными прямыми y=a.
hello_html_2b214d4b.gif























Занятие № 32

Тема: Использование производной при решении задач с параметрами. Задачи на максимум и минимум.

Цели: Воспитательная: учащиеся понимают важность изучения темы.

Развивающая: развитие навыка анализа данных, сопоставления, выбора решения.

Образовательная: по окончанию занятия учащиеся знают: использование производной при решении задач с параметрами; решение задач на максимум и минимум.

Понимать: применение производной при решении задач с параметрами.

Уметь: применять графики и свойства функций при решении задач с параметрами.

Метод обучения: практикум

Форма работы: коллективная, индивидуальная.

Оборудование: карточки

Конспект:

Задание №1. Исследовать с помощью производной функцию f(x)=-x4+2x2+8. Определить при каких значениях а уравнение -x4+2x2+8=а не имеет корней.

Исследуем функцию:

а) D(f)= (-∞; ∞)

б) четная, точки пересечения с осями координат: (0;8), (2;0), (-2;0).

в) f’(x) =-4x
3+4x, x=-1, x=0, x=1 – критические точки.

С помощью производной определим экстремум функции:

f’(x) 

hello_html_m7a045e66.gif

hello_html_17d7c7a5.png

Из графика функции имеем: Е(у)=(-, 9)

Для исследования уравнения -x4+2x2+8=а используем график: уравнение не имеет корней при всех значениях а, принадлежащих промежутку (9; hello_html_763cd0b0.gif), т.е. а >9.

Задание 2. При каком наименьшем натуральном значении параметра k, уравнение   имеет один корень.
Решение: Запишем уравнение в виде:
   

Пусть f(x)=  , D(f)=R

Посмотрим схематический график функции.
 

вычислим производную: f’(x)=x
2+2x-15, x=-5; x=3 – критические точки.

f’(x)  hello_html_m4161bbec.gif

f(-5)=58hello_html_3d46ff06.gif; f(3)=-27.hello_html_78ccf3.png

(схематический график)







Из графика видно наименьшее натуральное значение параметра k, при котором исходное уравнение имеет один корень: при k=59.

Задание 3. Найти все значения p, при которых уравнение  

2имеет хотя бы один корень.

Решение:

hello_html_18c6426a.gif, hello_html_3330feae.gif, hello_html_m398bc38a.gif

Пусть
 hello_html_me7156bc.gif, hello_html_d3b8369.gif, кроме 0. 

Задача свелась к нахождению всех значениях p, при которых уравнение
 hello_html_m49b12381.gif имеет хотя бы один корень на отрезке