Доклад на тему:
«Самообразование учащихся на уроках математики»
Приложение 1
Тема: Вписанный угол
Определение: Угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки окружности, называется вписанным углом.
Таков, например, угол АВС.
О вписанном угле принято говорить, что он опирается на дугу, заключенную
между его сторонами. Так угол АВС
опирается на дугу АС или иногда
обозначают АмС.
Теорема: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Эту теорему надо понимать так: вписанный угол содержит в себе столько угловых градусов, минут и секунд, сколько дуговых градусов, минут и секунд заключается в половине дуги, на которую он опирается.
Дано: окружность с центром О; < АВС –вписанный.
Доказать: < АВС = 
дуги АС
Доказательство: при доказательстве теоремы рассмотрим три случая:
Следствие:
1.
О В А
Все вписанные углы, опирающиеся на
одну и туже дугу, равны между собой. (потому что каждый из них измеряется
половиной одной и той же дуги). Если величину одного из этих углов обозначить
«α», то можно сказать, что сегмент АмВ (заштрихованный на чертеже) вмещает в
себя угол, равный «α»
2.
О В А
Всякий вписанный угол, опирающийся на диаметр, есть прямой
угол (потому что, каждый такой угол измеряется половиной полуокружности и,
следовательно, содержит 90⁰ )
Образцы решений.
Задачи по теме: «Вписанный угол».
№ 1. Сумма вписанного угла АВС с центральным углом АОС равна 90⁰. Найдите каждый из этих углов.
В
Дано: окружность с центром О
х
<
АВС – вписанный
2хх А
<АОС
– центральный
< АВС + < АОС = 90⁰.
С
Найти: <
АВС = ?, <АОС = ?
Решение: обозначим вписанный угол АВС=Х → АмС = 2Х, т.к. вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается. Тогда центральный <АОС=2Х, т.к. он измеряется дугой, на которую опирается. < АВС + < АОС = 90⁰ (по условию), х+2х =90, 3х=90,х=30
< АВС = х= 30⁰, < АОС = 2×30 = 60⁰
Ответ: < АВС = 30⁰, < АОС = 60⁰
№ 2 Разность центрального угла АОС и вписанного угла АВС равна 30. Найдите каждый из этих углов.
В Дано: <АОС – центральный
А
< АВС –
вписанный
f <АОС - <АВС = 30⁰
m С Найти: < АВС = ?, <АОС = ?
Решение: пусть < АВС = Х, тогда UАмС = 2Х (т.к. вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается). <АОС - <АВС = 30⁰ (по условию), 2х-х =30 , х=30
< АВС = 30, <АОС = 2×30 = 60 Ответ: < АВС = 30⁰, < АОС = 60⁰
№ 3 Хорды АВ и СД пересекаются. Найдите < САД,
если < СДА = 40⁰, а < АВД = 80⁰
m Дано: окружность, АВ, СД – хорды,
А С М
– точка пересечения хорд АВ и СД
h < СДА = 40⁰, < АВД = 80⁰
Д В Найти: < САД = ?
Решение: < СДА = ½U АмС (вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается)
U АмС = 2х <СДА,
U АмС = 2х40 = 80, <АмС= 80 <АВД = ½ U АпД (вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается).
U АпД = 2×<АВД, U АпД = 2× 80 = 160, U АпД = 160
< САД = ½ U СВД, < САД = ½ (360⁰- U АмС – U АпД), < САД = ½ (360⁰ - 80 – 160) = 60; < САД = 60
Ответ: < САД = 60⁰
№ 4 Хорды окружности АД и ВС пересекаются. Найдите <САД, если <АВС=50⁰, <АСД=80⁰.
В Д С А
Дано: окружность, <АВС=50, <АСД=80⁰.
Найти: < САД = ?
Решение: <АВС = ½ U АмС (вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается),
U АмС = 2× <АВС, U АмС = 2× 50⁰ = 100⁰, U АмС = 100⁰
<АСД = ½ U АВД (вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается).
U АВД = 2× < АСД
U АВД = 2× 80 = 160⁰, U АВД = 160⁰, <САД = ½ U СпД (вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается),
<САД = ½ (360⁰ - U АмС – U АВД) = ½ (360⁰ – 100⁰ - 160⁰ ) =50⁰
Ответ: < САД = 50⁰
№ 5 доказать, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.
С А
Дано: ∆ АВС – прямоугольный
(<С = 90⁰), вписан в окружность
О
Доказать: О – центр окружности
В
Доказательство: все углы, опирающиеся
на диаметр прямые → если < С = 90⁰, то АВ -диаметр, но АВ – гипотенуза ∆АВС. Но центр окружности лежит на середине диаметра, а значит на середине гипотенузы АВ
В
№ 6 сторона
треугольника равна 10 см.,а противолежащий ей угол равен 150⁰. Найдите радиус описанной
окружости.
А
Дано: ∆АВС вписан в окружность,
О
в=АС=10 см, < АВС = 150⁰
С
Найти: ОС = R = ?
Решение: = = = 2 R
(По теореме
синусов: стороны пропорциональны синусам противолижащих углов). Отсюда =
2 R, 2R × 
= в, R = , R = = 
= = =5×2=10, R = 10 cм.
Ответ: R = 10 cм.
№ 7 точки А, В, С лежат на окружности. Чему равна хорда АС, если <АВС = 30⁰, а диаметр окружности 10 см.
В Дано: окружность с центром О,
А А,
В, С – принадлежат окружности
< АВС = 30⁰, 2R = 10 см.
С Найти: АС=?
С
Решение: = = = 2 R
(По теореме
синусов: стороны пропорциональны синусам противолежащих углов). Отсюда =
2 R, 2R × = в = 10×
= 10 × ½ =5, АС = в =5
Ответ: АС = 5 cм.
№ 8 Углы А, В и С четырехугольника АВСД, вписанного в окружность пропорциональна числам: 4, 3, 5. Найдите все углы четырехугольника.
С
Дано: АВСД –
четырехугольник, вписанный в окружность,
Д В
< А: <В
: <С = 4 : 3 : 5
А
Найти: <А = ?, <С=?,
< В=?, < Д=?
Решение: < А + < С = 180⁰, < В + < Д = 180⁰,
(т.к у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна 180⁰), обозначим: Х – 0бщая градусная мера, тогда < А = 4 Х, < В = 3 Х, <С = 5Х < А + < С = < В + < Д, < А + < С = 180⁰, < А = 4 Х <А= 80⁰
4 Х + 5 Х = 3Х +<Д 4 Х + 5 Х = 180⁰, < В = 3 Х <В = 60⁰
< Д = 6 Х 9 Х = 180⁰ <С = 5Х <С = 100⁰
Х = 20⁰ < Д = 6 Х < Д = 120⁰
Ответ: <А= 80⁰, <В = 60⁰, <С = 100⁰, < Д = 120⁰
Д В
№ 9 В треугольнике
АВС проведены две высоты АЕ и СД. О – точка их пересечения. Доказать,
что около четырехугольника ВДОЕ можно описать окружность.
Е С
Дано: ∆ АВС, АЕ ВС,
СД АВ, О – точка пересечения СД и АВ
А
Доказать: Около ВДОЕ можно описать
окружность
Доказательство: рассмотрим четырехугольник ВДОЕ. Найдем сумму внутренних углов четырехугольника по формуле: 180⁰ (n – 2) = 180⁰ (4 – 2) = 360⁰
< В + < Д + < О + < Е = 360⁰, но < Д = 90⁰ и < Е = 90⁰ (по условию) < < Д + < Е = 90⁰+ 90⁰ = 180, < Д + < Е = 180⁰, <В + 90⁰+ < О + 90⁰ = 360⁰, < В + < О + 180⁰ = 360⁰, < В + < О = 180⁰
< В + < О = < Д + < Е
В четырехугольнике ВДОЕ сумма противоположных углов равна 180⁰. Значит около этого четырехугольника можно описать окружность.
В
№ 10 Найдите
радиус окружности к задаче № 9, если известно, что длина отрезка ВО = 10 см.
|
Д
Дано: ВДОЕ вписан в
окружность
<ВДО = 90⁰, <ВЕО = 90⁰
С А
Найти: R = ?
Решение: все углы опирающиеся на диаметр, прямые ВО – диаметр окружности. 2R = 10, R = 5 см.
Ответ: R = 5 см.
ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ.
По теме «ВПИСАННЫЕ УГЛЫ».
№ 1 построите прямоугольный треугольник по гипотенузе «а» и катету «в» (а>в).
а Дано:
а=5 см, в = 3,5 см
в Построить: прямоугольный треугольник с
гипотенузой «а» и катетом «в»
С
Построение
и доказательство:
1.
Возьмем произвольную прямую MN.
2. На этой прямой возьмем произвольную точку А.
3.
N М
На прямой MN от
точки А отложим отрезок АВ = а
4.
O
Разделим отрезок
АВ пополам и отметим точку О.
5.
В А
Радиусом ОА
опишем полуокружность с центром в точке О.
6. Затем проводим дугу радиусом, равным «в» с центром в точке А и на полуокружности отмечаем точку С.
7. Точку пересечения «С» полуокружности с радиусом ОА и дуги с радиусом АС соединим с концами диаметра АВ.
∆ АВС – прямоугольный (<С=90⁰) т.к. все углы, опирающиеся на диаметр – прямые. АВ = а, является гипотенузой прямоугольного ∆ АВС, АС = в, катет прямоугольного ∆ АВС, следовательно ∆ АВС – искомый прямоугольный треугольник с гипотенузой «а» и катетом «в».
№ 2 Из конца А данного луча АВ, не продолжая его, воставить к нему перпендикуляр.
B C A D
Дано: точка А, АВ –луч Построить: АД АВ Построение и доказательство:
1. Проведем луч АВ
2. Вне луча возьмем произвольную точку О
3. Проведем окружность радиусом ОА, так чтобы она пересекала луч АВ в точке С.
4. Через точку С и точку О проведем луч со.
5. На луче СО отложим ДО = ОС. ДС – диаметр окружности
6. Соединим конец диаметра точку Д с точкой А. Прямая АД есть искомый перпендикуляр, потому что угол А –прямой, как вписанный и опирающийся на диаметр.
АД АВ
C
№ 3 Через данную
точку провести к данной окружности касательную.
B A
Дано: окружность с центром О
O
а
) С принадлежит окружности
б) А лежит вне окружности Построить: касательную к окружности, проходящую через данную точку.
Построение и доказательство:
а ) данная точка С лежит на самой окружности. Тогда через точку С проводим радиус ОС, и через конец радиуса строим перпендикуляр АВ к этому радиусу.
O B1 A B
б) данная точка А лежит вне окружности с центром О. Соединив А
с О делим АО
пополам в точке О1 и с центром в
этой точке радиусом ОО1, описываем окружность
через точку В
и В1, в которых эта окружность пересекается
с данной, проводим прямые
АВ и АВ1. Эти прямые и будут
касательными, т.к. углы ОВА и ОВ1
А, как опирающиеся на диаметр прямые,
следовательно: АВ, АВ1 – касательные
к окружности с центром
О
Следствие: две касательные, проведенные к окружности из точки вне её, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром.
∆ ОВА = ∆ ОВ1А по гипотенузе и катету (< ОВА = < ОВ1А = 90⁰ - углы, опирающиеся на диаметр. ОВ = ОВ1, радиусы окружности с центром О, ОА – общая гипотенуза)
Отсюда: АВ = АВ1, < ВАО = <В1АО
РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО.
1 ступень.
1. Сколько градусов и минут содержит дуга, если радиус, проведенный в конец её, составляет с её хордой угол в 37⁰23' ? (ответ: 105⁰14')
2. Дуга содержит 117⁰23'. Определить угол между хордой и продолжением радиуса, проведенного в конец дуги. (ответ: 148⁰41'30'' )
3. АВС – секущая; ВД – хорда; U ВД содержит 43⁰; U ВДС содержит 213⁰41'. Определить <АВД. (ответ: 94⁰39'30'')
4.
Вычислить
угол, вписанный в дугу, составляющую 
окружности.
(ответ: 84⁰22'30'')
5. Сколько градусов и минут содержит дуга, которая вмещает угол, равный 37⁰21' ? (ответ: 285⁰18')
6. Дуга содержит 84⁰52'. Под каким углом из точек этой дуги видна ее хорда? (ответ: 137⁰34')
7. Хорда делит окружность в отношении 5 : 11. Определить величину вписанных углов, опирающихся на эту хорду.
(ответ: 123⁰45'; 56⁰15') и
8. АВ и АС – две хорды, U АВ содержит 110⁰23'; U АС содержит 38⁰. Определить <ВАС. (ответ: 105⁰48'30'' или 36⁰11'30'')
9. Хорда АВ делит окружность на две дуги, из которых меньшая равна 130⁰, а большая делится хордой АС в отношении 31 : 15 (начиная от А). Определить <ВАС. (ответ: 37⁰30')
10. Хорды АВ и АС лежат по разные стороны центра и заключают <ВАС, равный 72⁰30'; U АВ : U АС = 19 : 24. Определить эти дуги.
(ответ: 95⁰ и 120⁰)
11. Окружность разделена в отношении 7 : 11 : 6, и точки деления соединены между собой. Определить углы полученного треугольника.
(ответ: 52⁰30'; 82⁰30
)
2 ступень
1. Определить, сколько градусов содержит дуга, если перпендикуляр, проведенный в хорде из ее конца, делит дополнительную (до окружности) дугу в отношении 5:2.
2. Точки А и В соединены двумя дугами, обращенными выпуклостями в разные стороны: U АСВ содержит 117⁰23'; и U АВД содержит 42⁰37'; середины их С и Д соединены с А. Определить < САД
3. В сегмент АМВ вписана трапеция АСДВ, у которой сторона АС = СД и <САВ = 51⁰20'. Сколько градусов содержит дуга АМВ?
4. АВ – диаметр; С, Д и Е – точки на одной полуокружности АСДЕВ. На диаметре АВ взяты: точка М так, что < СМА = < ДМВ, и точка Н так, что < ДНА = < ЕНВ. Определить < МДН, если дуга АС содержит 60⁰ и дуга ВЕ содержит 20⁰.
5. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40⁰. Одна из боковых сторон служит диаметром полуокружности, которая делится другими на три части. Найти эти части.
6. Основание равнобедренного треугольника служит диаметром окружности. На какие части делятся стороны треугольника полуокружностью и полуокружность – сторонами треугольника?
7. Построить несколько точек окружности, имеющий данный диаметр, пользуясь лишь чертежным треугольником.
8. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с=5 см и высоте, опущенной из вершины прямоугольного угла на гипотенузу и имеющей длину 2 см.
9. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе, равной 3,5 см, и проекции одного из катетов на гипотенузу, если эта проекция равна 2,9 см.
10. Через конец хорды, делящей окружность в отношении 3 : 5, проведена касательная. Определить острый угол между хордой и касательной.
11. АВ и АС – равные хорды, МАН – касательная; ВС – на которой лежит точка А, содержит 213⁰ 42'. Определить углы МАВ и НАС.
12. С – точка на продолжении диаметра АВ; СД – касательная; < АДС = 114⁰25'. Сколько градусов и минут содержит дуга ВД?
13. АВ – диаметр окружности; ВС – касательная. Секущая АС делится окружностью (в точке Д) пополам. Определить < ДАВ.
14. М - середина высоты ВД в равнобедренном треугольнике АВС; точка М служит центром дуги, описанным радиусом МД между сторонами ВА и
ВС. Определить градусную величину этой дуги, если известно, что < ВАС=62⁰17'.
Дополнительный материал.
E D
C A
Теорема: Угол АВС, вершина
которого лежит внутри круга , измеряется полусуммой дуг (АС и ДЕ), из которых
одна заключена между его сторонами, а другая – между продолжениями сторон.
Дано: Круг;
<АВС – угол, вершина которого внутри круга.
Доказать: <АВС = ( АС + ДЕ)
Доказательство:
Выполним дополнительное построение. Проведем хорду АД. Мы получим треугольник АВД, относительно которого рассматриваемый угол АВС служит внешним. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных: < АВС = < АДС + < ДАЕ.
Но < АДС и < ДАЕ, как вписанные, измеряются половинами дуг (АС и ДЕ), на которые они опираются.
<
АВС = < АДС + < ДАЕ = ½ U АС +½ U ДЕ = ½ (АС +ДЕ). Доказали: <АВС = ( АС + ДЕ)
B
C E D A
Теорема: Угол,
вершина которого лежит
вне круга и стороны пересекаются с окружностью,
измеряется полуразностью дуг (АС
и ЕД ), заключенных между его сторонами. Дано: круг, < АВС – угол, вершина
которого вне круга.
Доказать:
<АВС = ( U АС - U ДЕ) Доказательство:
Проведя хорду АД, мы получим треугольник АВД, относительно которого рассматриваемый угол АВС служит внутренним.
Рассмотрим ∆АВД; <АДС – внешний. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных.
< АДС = < АВС + < ДАЕ, отсюда
<АВС = <АДС - <ДАЕ , но
<АДС и < ДАЕ – вписанные и измеряются половинами дуг (АС и ДЕ) на которые они опираются. Имеем:
<АВС = <АДС – <ДАЕ = ½ U АС – ½ U ДЕ = ½ (U АС – U ДЕ).
Доказали: < АВС = ½ (U АС – U ДЕ).
Задачи
(дополнительный материал)
1. Окружность разделена точками А,В,С и Д так,что U АВ : U ВС : U СД :
U ДА= 2: 3 : 5 : 6. Проведены хорды АС и ВД, пересекающиеся в точке М. Определить < АМВ.
2. Диаметр АВ и хорда СД пересекаются в точке М; < СМВ = 73⁰; UВС содержит 110⁰. Сколько градусов содержит U ВД?
3. Хорды АВ и СД пересекаются в точке М; < АМС = 40⁰; U АД более U СВ на 20⁰54'. Определить U АД.
4. Из концов дуги АВ, содержащей М⁰, проведены хорды АС и ВД так, что < ДМС, образуемый их пересечением, равен < ДНС, вписанному в U СД. Определить эту дугу.
5. В четырехугольник АВСД углы В и Д прямые; диагональ АС образует со стороной АВ угол в 40⁰, а со стороной АД – угол в 30⁰. Определить острый угол между диагоналями АС и ВД.
6. Окружность разделена точками А, В, С и Д т ак, что UАВ : UВС : UСД : UДА = 3 : 2 : 13 : 7. Хорды АД и ВС продолжены до пересечения в точке М. Определить < АМВ?
7. Дана окружность с хордой и касательной, причем точка касания лежит на меньшей из двух дуг, стягиваемых хордой. Найти на касательной точку, из которой хорда видна под наибольшим углом.
8. Секущая АВС отсекает U ВС, содержащую 112⁰, касательная АД точкой касания Д делит эту дугу в отношении 7 : 9. Определить < ВАД.
Указание (для некоторых следующих задач). Определяя описанный угол полезно помнить следующее : тот угол между двумя касательными, внутри которого заключена окружность, служит дополнением до 180 к углу между радиусами, проведенными в точке касания.
9. Из концов дуги в 200⁰30' проведены касательные до взаимного пересечения. Определить угол между ними.
10. Описанный угол содержит 73⁰25'. Определить дуги, заключенные между его сторонами.
11. Хорда делит окружность в отношении 11 : 16. Определить угол между касательными, проведенными из концов этой хорды.
12. Внутри данной окружности помещается другая окружность. АВС и АДЕ – хорды большей окружности, касающейся в точках В и Д меньшей окружности; U ВМД – меньшая из дуг между точками касания; U СНЕ – дуга между концами хорд. Определить U СНЕ, если U ВМД содержит 130⁰
13. Внутри данной окружности находится другая окружность, САЕ и ДВК – две хорды большей окружности (не пересекающиеся), касающиеся меньшей окружности в точках А и В; АМВ - меньшая из дуг между точками касания; U СНД и ЕРК – дуги между концами хорд. Сколько градусов содержит U СНД, если U АМВ содержит 154 и дуга ЕРК = 70⁰ ?
B
K C
|
14. Окружность разделена в отношении 5 : 9 : 10, и через точки деления проведены касательные. Определить больший угол в полученном треугольнике.
15. АВ и АС – две хорды, образующие < ВАС в 72⁰24'. Через точки В и С проведены касательные до пересечения в точке М. Определить < ВМС.
16. Определить величину описанного угла, если кратчайшее расстояние от его вершины до окружности равно радиусу.
17. Дуга АВ содержит 40⁰24'. На продолжении радиуса ОА отложена часть АС, равная хорде АВ, и точка С соединена с В. Определить < АСВ.
18. В треугольнике АВС угол С – прямой . Из центра О радиусом АС описана дуга АДЕ, пересекающая гипотенузу в точке Д, а катет СВ – в точке Е. Определить дуги АД и ДЕ, если < В = 37⁰24'.
Задачи на доказательство
Углы в окружности
1. На окружности взяты четыре точки. Доказать, что прямые, соединяющие середины противолежащих дуг, взаимно перпендикулярны.
2. Две окружности пересекаются в точках А и В, САД – секущая. Доказать, что величина угла СВД не зависит от положения секущей.
3. Около треугольника АВС описана окружность. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке Д, а окружность в точке Е. Точки А и Е соединены отрезком прямой. Доказать, что треугольник АВЕ подобен треугольнику ВДС.
4.
АВ – диаметр окружности О, радиус ОС I АВ. Через середину Д
радиуса ОС проведена хорда ЕК ⃦ АВ. Доказать, что угол АВЕ
в два раза меньше угла СВЕ.
5.
Точка Д лежит на радиусе ОА; хорда ВДС I АО. Через точку С
проведена касательная до пересечения с продолжением ОА в точке Е. Доказать,
что прямая СА – биссектриса угла ВСЕ.
6. Две равные окружности пересекаются в точках А и В, САД – секущая. Доказать, что перпендикуляр из точки В на секущую СД делит ее пополам.
7. В треугольнике АВС АА1 и ВВ1 – высоты. Доказать, что точки А, В, А1, и В1 лежат на одной окружности.
8. Доказать, что геометрическое место середин хорд, проведенных из одной точки окружности, есть окружность, диаметр которой в два раза меньше диаметра данной.
9. В треугольнике АВС сторона ВС меньше стороны ВА. Из В, как из центра, описана окружность радиусом ВС, которая пересекла сторону СА в точке Е и сторону ВА – в точке Д. Доказать, что угол ДЕА в два раза меньше угла АВС.
10. В окружности проведены хорды АВ ⃦ ЕД и АС ⃦ КД. Доказать, что хорды АС и ВД параллельны.
11. Две окружности внешне касаются. Через точку касания К проведены секущие АКВ и СКД (А и С на одной окружности). Доказать, что хорды АС и ВД параллельны.
12. В круге проведены хорды МА > МВ > МС так, что МВ делит угол АМС пополам. К – основание перпендикуляра, опущенного из точки В на МА. Л – основание перпендикуляра, опущенного из точки В на продолжение МС. Доказать, что АК = СЛ.
13. Через точку К окружности О проведены хорда КА и касательная ВС. Прямая, проведенная через центр О перпендикулярно к радиусу ОА, пересекает АК в точке М и ВС в точке Н. Доказать, что НК = НМ.
14.
На радиусе ОА окружности О,
как на диаметре, построена другая окружность. Радиус ОС первой окружности
пересекает вторую окружность в точке Е, а радиус ОД в точке К; СС1
ОД. Доказать, что отрезок СС1 равен хорде ЕК.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 662 882 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Магомеддибирова Хадижат Надырбековна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
600 ч.
Курс повышения квалификации
72/180 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
10 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.