Приложение
к теме:
«Применение производной для
решения практических задач»
I.ПОВТОРЕНИЕ
- значение производной равно угловому
коэффициенту касательной к графику функции. В этом заключается геометрический
смысл производной.
- механический смысл производной.
Если функция y = f(x) и ее аргумент «x»
являются физическими величинами, то производная это – скорость изменения
переменной «y» относительно переменной «x» в точке x. Например, если S =
S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная это –
скорость в момент времени t. Если q = q(t) – количество электричества,
протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то q'(t)
– скорость изменения количества электричества в момент времени t, т.е. сила
тока в момент времени.
- Устный счет. Вычислите производную.
- y=2x3 +6;
|
7. y= x5 – 4x6
|
- y =3x -2;
|
8. y=3ctg x-1
|
- y =7+sinx
|
9. y= 8-9x +7cosx
|
- y =x9
|
10. y= 4
|
- y =2tgx-8x
|
11. y=3sinx-7cosx
|
- y=
|
12. y=x5 -
|
II. НОВЫЙ МАТЕРИАЛ.
Экономический смысл производной.
Мы
вспомнили геометрический и механический смысл производной, но этим значение
производной не ограничивается: в приложениях производной отмечается, что она
имеет и экономический смысл. Например, производительность труда в данный момент
есть производная объема произведённой продукции по времени:
Z- Производительность труда, V – объём
произведённой продукции.
Кроме того, производная позволяет находить
скорость и темпы изменения различных экономических показателей:
Первая производная показывает скорость
изменения, а вторая производная= скорость изменения скорости = ускорение =темпы
изменения.
у Ꞌ
|
Показывает, что происходит с изучаемой
величиной: увеличивается или уменьшается
|
у ꞋꞋ
|
Показывает, в каком темпе это происходит
|
III. ЗАДАЧИ.
1. Объём продукции на некотором производстве может быть описан формулой v= - t3+ t2 +100t +50, 1 t 8, t – время. Вычислите
производительность труда, скорость её изменения через час после начала работы и
за час до её окончания.
2. самостоятельное изучение материала и
конспектирование.
Затраты на производство «х» единиц товара d(х)=25х+200, цена товара p(х)=100 - .
1)
Сколько товара нужно произвести, чтобы прибыль
была максимальной? Чему равна максимальная прибыль?
2)
Сколько товара нужно произвести, чтобы прибыль
была максимальной, если с каждой единицы товара взимается налог, равный 10?
Решение: Прибыль
вычисляется по формуле:
Q(х)=х*р(х) - d(х) = 100х - -25х – 200 = - + 75х – 200. Получаем математическую задачу: найти максимальное
значение функции Q(х). Q Ꞌ(х) = - + 75 = 0, х=1875
QꞋ (х) _______+ _______________-- _______
Q(х)
0 ↑ 1875 ↓
max
Чтобы прибыль была максимальной, надо
произвести 1875 единиц товара.
Величина прибыли: 1875* (100 - ) – 25*1875 – 200 = 70112,5
С учетом налога: Q(х) =
х*р(х) – d(х) – 10х =
х* р(х) – 35х – 200 = 100х - – 35х – 200 =65х - - 200, QꞋ (х) = - +65=0, х=1625.
Q ꞌ(х)___ ________ + ________________ --
____________
0
↑ 1625 ↓
max
Чтобы прибыль была максимальной при оплате
налога, надо произвести 1625 единиц товара.
Ответ: 1) 1875; 70112,5; 2) 1625.
Самостоятельно решите задачу.
№3 Опишите темпы изменения издержек, если
их зависимость от объема произведенной продукции описывается формулой:
К(х) =
IV.Д/З: учить конспект, решить задачу №4; №4 Пельменный цех производит «х» кг. пельменей в день. По
договору он должен поставить в магазин ежедневно не менее 20 кг пельменей.
Производственные мощности цеха таковы, что выпуск не может превышать 90 кг в
день. Определите при каком объеме «у» производства удельные затраты (средние
затраты на единицу продукции) будут наибольшими (наименьшими), если функции
затрат имеет вид
К(х) = - х3 + 98 х2 +
200х.
IV. Самостоятельная работа.
в
а
р
и
а
н
т
|
На
«3»
Вычислите
производную.
|
На
«4»
Исследуйте
функцию с помощью производной
|
На
«5»
Решите
практическую задачу
|
1
|
у =8х
– х3
|
у= х3
– 27х
|
Предприятие
производит х единиц некоторой продукции. Установлено, что зависимость
финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой:
К(х) = -0,02х3
+ 600х – 1000.
Выясните, при каком
объёме выпускаемой продукции финансовые накопления будут максимальными?
Увеличиваются? Уменьшаются?
|
2
|
у= х4
-2х
|
у =
2х3 -6х
|
Зависимость полных
издержек производства К от объема Х всей продукции имеет вид:
К(х) = х3
– 4х2 + 9х.
Рассчитайте, при
каком объёме средние издержки минимальны? (Кср = )
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.