Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Приложение к теме: «Применение производной для решения практических задач»

Приложение к теме: «Применение производной для решения практических задач»

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m37aceb24.gifhello_html_1e4001a7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_3763683b.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m660c8fbd.gifhello_html_m43d8162a.gifhello_html_m4ddac899.gif Приложение к теме:

«Применение производной для решения практических задач»


I.ПОВТОРЕНИЕ

  1. значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции. В этом заключается геометрический смысл производной.

  2. механический смысл производной.

Если функция y = f(x) и ее аргумент «x» являются физическими величинами, то производная это – скорость изменения переменной «y» относительно переменной «x» в точке x. Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная это – скорость в момент времени t. Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то q'(t) – скорость изменения количества электричества в момент времени t, т.е. сила тока в момент времени.


  1. Устный счет. Вычислите производную.


  1. y=2x3 +6;

7. y= x5 – 4x6

  1. y =3x -2;

8. y=3ctg x-1

  1. y =7+sinx

9. y= 8-9x +7cosx

  1. y =x9

10. y= 4hello_html_31513782.gif

  1. y =2tgx-8x

11. y=3sinx-7cosx

  1. y=hello_html_8c1af9b.gif

12. y=x5 -hello_html_m3b6c0929.gif


II. НОВЫЙ МАТЕРИАЛ.

Экономический смысл производной.

Z = V (t)

Мы вспомнили геометрический и механический смысл производной, но этим значение производной не ограничивается: в приложениях производной отмечается, что она имеет и экономический смысл. Например, производительность труда в данный момент есть производная объема произведённой продукции по времени:







Z- Производительность труда, V – объём произведённой продукции.

Кроме того, производная позволяет находить скорость и темпы изменения различных экономических показателей:

Первая производная показывает скорость изменения, а вторая производная= скорость изменения скорости = ускорение =темпы изменения.

у

Показывает, что происходит с изучаемой величиной: увеличивается или уменьшается

у ꞋꞋ

Показывает, в каком темпе это происходит



III. ЗАДАЧИ.

1. Объём продукции на некотором производстве может быть описан формулой v= -hello_html_6533ba.gif t3+ hello_html_7f1908a0.gift2 +100t +50, 1hello_html_m54ea4251.gif t hello_html_m54ea4251.gif 8, t – время. Вычислите производительность труда, скорость её изменения через час после начала работы и за час до её окончания.


2. самостоятельное изучение материала и конспектирование.

Затраты на производство «х» единиц товара d(х)=25х+200, цена товара p(х)=100 - hello_html_m471a4785.gif .

  1. Сколько товара нужно произвести, чтобы прибыль была максимальной? Чему равна максимальная прибыль?

  2. Сколько товара нужно произвести, чтобы прибыль была максимальной, если с каждой единицы товара взимается налог, равный 10?

Решение: Прибыль вычисляется по формуле:

Q(х)=х*р(х) - d(х) = 100х - hello_html_63ba4faf.gif -25х – 200 = - hello_html_63ba4faf.gif + 75х – 200. Получаем математическую задачу: найти максимальное значение функции Q(х). Q Ꞌ(х) = - hello_html_4bcb99ef.gif + 75 = 0, х=1875



QꞋ (х) _______+ _______________-- _______

Q(х) 0 ↑ 1875 ↓

max


Чтобы прибыль была максимальной, надо произвести 1875 единиц товара.

Величина прибыли: 1875* (100 - hello_html_m22058b23.gif) – 25*1875 – 200 = 70112,5

С учетом налога: Q(х) = х*р(х) – d(х) – 10х =

х* р(х) – 35х – 200 = 100х - hello_html_63ba4faf.gif – 35х – 200 =65х - hello_html_63ba4faf.gif - 200, QꞋ (х) = - hello_html_17b2e024.gif +65=0, х=1625.



Q ꞌ(х)___ ________ + ________________ -- ____________

0 ↑ 1625 ↓

max



Чтобы прибыль была максимальной при оплате налога, надо произвести 1625 единиц товара.


Ответ: 1) 1875; 70112,5; 2) 1625.


Самостоятельно решите задачу.

№3 Опишите темпы изменения издержек, если их зависимость от объема произведенной продукции описывается формулой:

К(х) = hello_html_m47d520d4.gif

IV.Д/З: учить конспект, решить задачу №4;4 Пельменный цех производит «х» кг. пельменей в день. По договору он должен поставить в магазин ежедневно не менее 20 кг пельменей. Производственные мощности цеха таковы, что выпуск не может превышать 90 кг в день. Определите при каком объеме «у» производства удельные затраты (средние затраты на единицу продукции) будут наибольшими (наименьшими), если функции затрат имеет вид

К(х) = - х3 + 98 х2 + 200х.












IV. Самостоятельная работа.


в

а

р

и

а

н

т

На «3»

Вычислите производную.

На «4»

Исследуйте функцию с помощью производной

На «5»

Решите практическую задачу





1





у =8х – х3





у= х3 – 27х

Предприятие производит х единиц некоторой продукции. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой:

К(х) = -0,02х3 + 600х – 1000.

Выясните, при каком объёме выпускаемой продукции финансовые накопления будут максимальными? Увеличиваются? Уменьшаются?



2



у= х4 -2х



у = 2х3 -6х

Зависимость полных издержек производства К от объема Х всей продукции имеет вид:

К(х) = х3 – 4х2 + 9х.

Рассчитайте, при каком объёме средние издержки минимальны? (Кср = hello_html_m4f17b8d9.gif)




4


Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 19.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров119
Номер материала ДВ-357463
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх