ПРИЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В СТЕРЕОМЕТРИИ

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 28

ПРИЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

 Цель: 

            - сформировать навыки вычисления векторного произведения векторов;

            - закрепить знания о способах вычисления определителей второго и третьего порядка;

            - развить умение применения векторного произведения к вычислению площади параллелограмма и момента силы;

Материально – техническое обеспечение: методические указания по выполнению работы;

Время выполнения: 2 академических часа;

Ход занятия:

1.     Изучить краткие теоретические сведения;

2.     Выполнить задания;

3.     Сделать вывод по работе;

4.     Подготовить защиту работы по контрольным вопросам.  

 Краткие теоретические сведения:

          Векторное произведение двух векторов  вычисляется как определитель третьего порядка методом разложения по элементам первой строки:

Пример 1.  Найти векторное произведение векторов

Решение. 1. Определим координаты векторов: .

2. Найдём векторное произведение двух векторов по формуле (1), подставив в неё соответствующие координаты:

.

Итак, векторное произведение двух векторов .

Пример 2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

Решение. Площадь параллелограмма, построенного на векторах

 равна модулю векторного произведения этих векторов, т.е.  

1. Определим координаты векторов:.

2. Вычислим векторное произведение двух векторов по формуле (1), подставив в неё соответствующие координаты:

.

3. Найдём площадь параллелограмма как модуль векторного произведения:

кв.ед.

Пример 3. Найти момент силы  относительно начала координат и углы, составляемые моментом с координатными осями, если

и точка её приложения А(-1;-1;3).

Решение. Пусть - сила, действующая на тело, а   – радиус-вектор точки её приложения, имеющий начало в точке О, тогда момент силы  относительно точки О есть вектор, равный векторному произведению  на , т.е. .

1. Вектор силы  направлен из начала координат в точку А, значит, радиус-вектор точки её приложения имеет те же координаты, что и сама точка А:

2. Найдём момент силы  как векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на силу

Итак, момент силы

3. Вычислим модуль момента:

4. Определим углы, составляемые моментом силы с координатными осями:

с осью ОХ :

с осью ОY :

с осью ОZ :

Итак, углы, составляемые моментом силы с координатными осями, равны

,,

Задания для самостоятельного выполнения:

1.   Найти векторное  произведение векторов.

2.   Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

3.   Найти момент силы  относительно начала координат и углы, составляемые моментом с координатными осями .

Вариант 1.

1.
2.

3.  и A(9;-1;4).

Вариант 2.

1.
2.

3.  и A(-2;3;5).

Вариант 3.

1.
2.

3.  и A(-8;-2;3).

Вариант 4.

1.
2.

3.  и A(4;-1;2).

Вариант 5.

1.
2.

3.  и A(2;4;-1).

Вариант 6.

1.
2.

3.  и A(-3;-1;4).

Вариант 7.

1.
2.

3.  и A(-6;-2;4).

Вариант 8.

1.
2.

3.  и A(5;9;2).

Вариант 9.

1.
2.

3.  и A(-3;5;8).

Вариант 10.

1.
2.

3.  и A(1;6;0).

Вариант 11.

1.
2.

3.  и A(5;0;10).

Вариант 12.

1.
2.

3.  и A(8;4;0).

Вариант 13.

1.
2.

3.  и A(-1;-9;5).

Вариант 14.

1.
2.

3.  и A(2;-3;0).

Вариант 15.

1.
2.

3.  и A(-5;0;3).

Вопросы для самоконтроля:

1.   Дать определение векторному произведению векторов.

2.   Запишите формулу его вычисления.

3.   Как найти площадь параллелограмма и треугольника, построенного на данных векторах?

4.   Как найти момент силы, направленной из начала координат в заданную точку?