Приложение: "Задачи для самостоятельного решения" к презентация по математике: "ЛЕММА О РАВНЫХ ОКРУЖНОСТЯХ"

Задачи для самостоятельного решения

Задача 14. Дан треугольник ABC с ортоцентром H. Пусть M — середина BC, P — середина AH. Докажите, что MP = R.

Задача 15. (Ю. Билецкий) Окружность s, описанная около треугольника BHC, и окружность, построенная на отрезке AH как на диаметре, пересекаются в точке F. Докажите, что точки A, F, M₁ принадлежат одной прямой (M₁ — середина BC).

Задача 16. Дан треугольник ABC, в котором BC = a, R_ABC = R. Найдите расстояние между центрами описанных окружностей треугольников ABC и BHC.

Задача 17. Известно, что в треугольнике ABC  F A = 60°. Докажите, что:

а) центр Q описанной окружности треугольника BHC лежит на прямой, содержащей биссектрису угла A;

б) AOQH — ромб.

Задача 18. Прямая t — касательная к описанной окружности треугольника ABC, проведенная в вершине A. Докажите, что QH B t.

Задача 19. Докажите, что пять треугольников: ABC, BHC, AHC, AHB, Q₁Q₂Q₃ — имеют общую окружность Эйлера.

Задача 20. (Теорема Гамильтона.) Докажите, что прямые Эйлера четырех треугольников: ABC, BHC, AHC, AHB — пересекаются в одной точке.

Задача 21. Пусть I_a, I_b, I_c — центры вневписанных окружностей треугольника ABC, точка I — инцентр в этом треугольнике. Докажите, что равны радиусы четырех окружностей, описанных около таких треугольников: I_aI_bI_c, II_aI_b, II_bI_c, II_aI_c.

Указание. Покажите, что точка I — ортоцентр в треугольнике I_aI_bI_c.