МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
«Лицей №9 имени Константина Эдуардовича
Циолковского» города Калуги
ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ИТОГОВЫЙ ПРОЕКТ
НА ТЕМУ
«ПРИМЕНЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ПРИ
РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ»
Выполнил:
Афонин Владислав Александрович
ученик 10Б класса МБОУ
«Лицей №9 имени К.Э. Циолковского» г.Калуги
Руководитель проекта:
Рылова Ирина Георгиевна
учитель математики МБОУ
«Лицей №9 имени К.Э. Циолковского» г.Калуги
г. Калуга
2022 г.
Содержание
I.
Введение……………………………………………………………..
II.
Теоретическая
часть…………………………………………….....
III.
Результаты
исследований…………………………………………
IV.
Заключение………………………………………………………….
V.
Библиография……………………………………………………....
Введение
Известно, что неравенства, как условные, так и
безусловные, широко используются в трудовой деятельности человека, а также в
самой математике. В технике используются понятие «допуски», допускаемые
отклонения числовой характеристики каких-либо параметров (например, в деталях
машин и механизмов) от их расчетного значения в соответствии с заданным классом
точности. Вычисление допусков требует знания действий с числовыми
неравенствами, которые выполняются на основании свойств числовых
неравенств.Задачи с экономическим содержанием традиционно присутствуют в
школьных учебниках и на вступительных экзаменах во многие вузы. Исследование
социально-экономических процессов, изучение влияния на них рыночной экономики
требуют применения широкого спектра научных методов, в том числе методов
математического моделирования.
Поэтому, целью работы является применение некоторых
алгебраических неравенств при решении определенных задач оптимизации.
Проектным продуктом будет банк задач к которым могут быть
применены неравенства, включая задания из ЕГЭ. Этот продукт поможет школьникам
решить простым способом задачу оптимизации на ЕГЭ, так как, не зная этого
способа, ее решить тяжело. Решая задания из ЕГЭ, ученик может столкнуться с
непонятной задачей, решить которую надо с помощью производной, как предлагают
на сайтеhttps://egemaximum.ru/zadanie-19-t-r-116-a-larina:
Рисунок 1
Но возможно ученик еще не проходил в школе данную
тему, или болел в тот период, когда её все изучали, тогда он не сможет решить
данную задачу. В этом случае ему могут помочь неравенства, с помощью
которыхможно с легкостью решить задачу, именно так решают на сайтеhttps://ege.sdamgia.ru/problem?id=511887:
Рисунок 2
В следствие выше упомянутых примеров, можно сделать
вывод, что проще и легче решить задачу оптимизации с помощью алгебраических
неравенств, которые ученики знают лучше, чем производную.
Теоретическая часть
Задачи оптимизации
– задача нахождения экстремума
целевой функции в некоторой области, ограниченной набором линейных/нелинейных
равенств/неравенств.
Некоторые неравенства, используемые в работе:
1)
2)
3)
Задания типа № 1.
Найти наибольшее значение функции при заданных условиях:
1). 
Решение:
Ответ: 
2). 
Решение:
Ответ: 
Задания типа № 2.
Найти наименьшее
значение функции при заданных условиях:
1). 
Решение:
Ответ: 
2). 
Решение:
Ответ: 
Задания типа № 3.
Найти наименьшее
значение функции при заданных условиях:
1). 
Решение:
D(h)= 
Ответ: 
2). 
Решение:
D(h)= 
Нет решений.
Ответ: у функции нет
наименьшего значения.
Задания типа № 4.
Найти наибольшее
значение функции при заданных условиях:
1). 
Решение:
D(t)= 
Ответ: 
3).
Решение:
D(t)=
Ответ: 
Задания типа № 5.
Найти наименьшее
значение функции при заданных условиях:
1). 
Решение.
D(y)= 
Ответ: 
2). 
Решение:
D(y)= 
Ответ: 
3). 
Решение:
Ответ: 
4). 
Решение:
Ответ: 
Результаты исследований
Задачи оптимизации
Задачи типа №1.
При
каком значении аргумента функция f(x) принимает наибольшее значение? Вычислите maxf(x).
(Подсказка:
неравенство 
).
1).
,
; 2).
, 
;
3). 
, 
; 4). 
, 
;
5).
, 
; 6). 
, 
.
Решения:
1) 
.
Ответ: max
.
2). 
, 
.
Ответ: max
3) 
, 
.
Ответ: max
.
4) 
, 
.
Ответ: max
.
5) 
, 
.
Ответ: max
.
6) 
. 
.
Ответ :
Задачи типа №2.
При
каком значении аргумента функция g(x)
принимает наименьшее значение? Вычислить ming(x) (подсказка: если c<d, то –c>d)
1). 
, 
; 2). 
, 
;
3). 
, 
; 4). 
, 
;
5). 
, 
; 6). 
, 
.
Решения:
1). 
, 
.
Ответ: min
.
2). Ответ:min
.
3). Ответ:min
.
4).Ответ: min
.
5).
, 
.
Ответ: min
.
6) 
,
.
Ответ:min
.
Задачи типа №3.
При каком значении аргумента функция h(х) принимает наименьшее значение? Вычислить
minh(x)( подсказка: неравенство 
).
1).
, x>0;
2).
, x>0;
3).
, x>0;
4).
, x>0,5;
5).
, x>3.
Решения:
1) 
, 
= 
.
Ответ: min
.
2)
= 
=
, =
x=2.
Ответ: 
.
3)
= 
+2
+ 2 =12,
=12
Ответ: 
.
4)
, 
Ответ: min
.
5) 
= 
= 
= x+3+ 
-6
-6 =2, = 2
x=1.
Ответ:min
.
Задачи типа №4.
При каком значении аргумента функция 
принимает наибольшее значение? Вычислить
(подсказка:
неравенство 
).
1)t(x)
= 
, x>0; 2) t(x) = 
, x>0;
3)
t(x) = 
, x>0; 4) t(x) = 
, x>0.
Решения:
1)
= 
, = 
Ответ: max
.
2) 
=
= 
, = x=5
Ответ: max
.
3=
=
, = x=4.
Ответ: max
.
4) 
=2
2
= 
, = 
Ответ: max
Задачи типа №5.
При каком значении аргумента функция y(x) принимает
наименьшее значение? Вычислить 
1) y(x) = 
, x> 0;2) y(x) = 
, x>3;
3) y(x) = 
, x>1.
Решения:
Воспользуемся подсказкой к решению задачи серии N03.
1)
= х+2+
2
=14,=14x=5.
Ответ: min
.
2)
=
= x+3+
=x-3++6 2
+ 6 = 10, =10 x=5.
Ответ: min
.
3) 
=
= x-1+
-1 2
- 1 = 11 , 
=11x=7.
Ответ: min
.
Задачи №11 из типовых экзаменационных
вариантов ЕГЭ, математика, профильный уровень, И.В. Ященко (2022)
Вариант 15 №11
Найдите точку максимума функции 
.
Ответ: 14.
Вариант 25 №11
Найдите точку минимума функции 
.
Ответ: 9.
Вариант 26 №11
Найдите точку минимума функции 
.
Ответ: 30.
Заключение
В заключении отметим, что существуют различные способы решения задач
оптимизации, хотелось бы особенно отметить способ решения при помощи
алгебраических неравенств, которые не требуют большого количества знаний от
учащегося. Предложив решить задачу оптимизации учащимся старших классов, можно
составить статистику, в которой будет видно какой способ наиболее популярен и
каким путем ученики чаще приходят к правильному ответу.
|
|
|
Способы решения задачи
оптимизации
|
|
|
Общее количество
учеников
|
Производной
|
Неравенствами
|
|
57
|
24
|
33
|
|
Решили
|
Не решили
|
Решили
|
Не решили
|
|
41%
|
59%
|
75%
|
25%
|
Исходя из результатов опроса, можно сделать вывод, что с помощью
неравенств задачу оптимизации захотели решить большее количество учеников, чем
с помощью производной. Так же можно увидеть, что решивших задачу при помощи
производной в процентном соотношении к тем, кто не решил, меньше, чем тех, кто
решил задачу с помощью неравенств, в процентном соотношении к тем, кто не решил
ее. Из этого можно сделать вывод, что способ решения неравенствами более
надежен и чаще приводит к успеху.
Библиография
1) Галицын М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач
по алгебре, 8-9 класс. Москва. Просвещение, 1992.
2) Никольская И. Л. Факультативный курс по математике:
Учебное пособие для 7-9 классов ср. шк. Москва. Просвещение, 1991.
3) Райский В. Математика, сборник задач и упражнений для VI
класса. – Кишинёв.PrutInternaţional,
2002.
4)
Фирсов В.В. О прикладной ориентации курса математики. Москва. Просвещение,1997.
5) Ященко И.В., Коновалов Е.А., Высоцкий И.Р. Сборник ЕГЭ, математика,
профильный уровень. Москва. Национальное образование, 2022.
