Применение дифференциального исчисления для решения практических задач

• 1 слайд

  Применение
  дифференциального исчисления для решения практических
  задач
  
  
  Преподаватель Серкова Н.А.
  
  

• 2 слайд

  Цель проекта:
  
  Изучение применения дифференциального исчисления для решения задач по физике, экономике, биологии, химии и географии
  
  

• 3 слайд

  Задачи:
  Найти информацию об истории возникновениядифференциального исчисления , изучить ее и систематизировать.
  Подбор задач из разных разделов биологии, которые решаются с помощью производной
  Узнать, какие процессы регулирует производная в географии. Рассмотреть задачи по географии, которые решаются с помощью производной
  Подобрать задачи из разных разделов физики, которые решаются с помощью производной.
  Подобрать экономические задачи, которые решаются с помощью производной.
  
  

• 4 слайд

  Производная – одно из фундаментальных понятий математики.
  Оно возникло в 18 веке.
  Независимо друг от друга разработали теорию дифференциального исчисления
  
  И.Ньютон Г. Лейбниц
  

• 5 слайд

  «Был этот мир глубокой тьмой окутан. Да будет свет! И вот явился Ньютон»
  А.Поуг
  Главный его труд- «Математические начала натуральной философии»- оказал колоссальное влияние на развитие естествознания, стал поворотным пунктом в истории естествознания.
  Ньютон ввёл понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её механический смысл.
  
  Исаак Ньютон (1643-1727)
  

• 6 слайд

  Интересно:
  Исаак Ньютон был так же и богословом. Он написал труды о Святой Троице, а также толкование на книгу пророка Даниила. Интересно, что он высоко ценил именно свои богословские сочинения. Всегда, произнося имя Божие, Ньютон снимал шляпу.
  

• 7 слайд

  Создатель Берлинской академии наук, основоположник дифференци- ального исчисления, ввёл большую часть современной символики математического анализа.
  Лейбниц пришёл к понятию производной, решая задачу проведения касательной к произвольной линии, объяснив этим ее геометрический смысл.
  «Предупреждаю, чтобы остерегались отбрасывать dx – это ошибка, которую часто допускают и которая препятствует продвижению вперёд».
  Г.В.Лейбниц. (1646-1716)
  

• 8 слайд

  В ходе проекта были рассмотрены примеры применения производной в биологии, химии, задачи в этих областях наук, которые решаются с помощью производной.
  

• 9 слайд

  Задача
  
  По известной зависимости численности популяции х(t) определите относительный прирост в момент времени t.
  
  Производная в биологии
  

• 10 слайд

  Справка:
  Популяция
  это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.
  

• 11 слайд

  Решение
  
  

• 12 слайд

  Как используют производную в химии?
  
  Производную в химии используют для определения очень важной вещи – скорости химической реакции, одного из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областях
  научно-производственной деятельности
  

• 13 слайд

  Задача
  
  Производная в химии
  Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью:
  р(t) = t2/2 + 3t –3 (моль)
  Найти скорость химической реакции через 3 секунды.
  

• 14 слайд

  Решение
  
  

• 15 слайд

  Производная помогает рассчитать:
  Некоторые значения в сейсмографии
  Особенности электромагнитного поля земли
  Радиоактивность ядерно- геофизичексих показателей
  Многие значения в экономической географии
  Вывести формулу для вычисления численности населения на территории в момент времени t.
  
  

• 16 слайд

  Идея социологической модели Томаса Мальтуса состоит в том, что прирост населения пропорционально числу населения в данный момент времени t через N(t), N(t)=k N(t). Модель Мальтуса неплохо действовала для описания численности населения США с 1790 по 1860 годы. Ныне эта модель в большинстве стран не действует.
  
  

• 17 слайд

  В ходе проекта были рассмотрены следующие разделы физики:
  
  Механика
  Гидродинамика
  Оптика
  Электротехника
  
  

• 18 слайд

  Задача
  Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением:
  s = 6+2t + 0,1t2 +0,03t3.
  Определить время после начала движения, через которое ускорение тела будет равно 2 м/с2.
  
  Решение:
  v(t) = s'(t) = 2 + 0,2t + 0,09t2;
  a(t) = v'(t) = 0,2 + 0,18t = 2;
  0,18 = 1,8t; t = 10 c
  Механика
  

• 19 слайд

  Задача:
  Зритель находится на расстоянии а м от плоскости экрана кинотеатра. Высота экрана h м. На какой высоте у от уровня глаз зрителя должен находиться нижний край экрана, чтобы видимость была наилучшей?
  ОПТИКА
  Решение:
  Видимость экрана будет наилучшей, если угол х – наибольший, где х – это угол зрения.
  Выразим х через h, у, а.
  

• 20 слайд

  Гидродинамика
  Сила Р давления льда разлагается на две: F и R. R – перпендикулярна к борту, F – направлена по касательной. Угол между P и R ( a )- угол наклона борта к вертикали (тангенс угла наклона касательной к горизонтальной оси – производная)
  Q – сила трения льда о борт.
  Q = 0,2 R (0,2 – коэффициент трения).
  Если Q < F, то F увлекает напирающий
  лед под воду, лед не причиняет
  вреда, если Q > F, то трение
  мешает скольжению льдины,
  и лед может смять и продавить
  борт.
  0,2R < R tg a , tg a > 0,2
  Q < F, если a > 110.
  Наклон бортов корабля к вертикали под углом a > 110 обеспечивает безопасное плавание во льдах
  

• 21 слайд

  Установить связь между экономикой и математикой.
  В ходе проекта
  
  

• 22 слайд

  В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении таможенных пошлин?
  Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию?
  Для решения этих вопросов нужно построить функции связи входящих переменных , которые затем изучаются методами дифференциального исчисления.
  Также с помощью экстремума функции в экономике можно найти наивысшую производительность труда, максимальную прибыль , максимальный выпуск и минимальные издержки.
  Поэтому , производная важна для экономики, и мы рассмотрели основные аспекты.
  Производная решает важные вопросы
  

• 23 слайд

  Задача:
  пусть y - издержки производства, а х - количество продукции, тогда x1- прирост продукции, а y1 - приращение издержек производства.
  Решение:
  В этом случае производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции.
  
  Где: MC - предельные издержки (marginal costs);
  TC - общие издержки (total costs);
  Q - количество.
  
  Предельные издержки производства и дополнительные затраты на производство
   
  

• 24 слайд

  Производительность труда
  В экономике очень часто объем произведенной продукции задается формулой.
  Например, пусть объем продукции выпущенной в течение дня задан формулой  у = -2t³ +10t² +50t – 16, где t – время, выраженное в часах.  Для нахождения производительности труда в определенный промежуток времени t0, необходимо найти предельное среднее значение средней производительности за период времени от t0 до t0 + Δt,
  т.е. у´(х).
  ВЫВОД: производительность труда есть производная объема выпускаемой продукции.
  

• 25 слайд

  Задачи ,решаемые с помощью производной, широко используются в производстве.
  Экономическое приложение производной помогает как экономистам и бизнесменам, так и обычным гражданам в распоряжении бюджетом.
  
  Вывод: