1078638
столько раз учителя, ученики и родители
посетили официальный сайт ООО «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015

Скидка 0%

112 курсов профессиональной переподготовки от 3540 руб.

268 курсов повышения квалификации от 840 руб.

МОСКОВСКИЕ ДОКУМЕНТЫ ДЛЯ АТТЕСТАЦИИ

Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана 26 сентября 2017 г. Департаменотом образования города Москвы

Инфоурок Алгебра СтатьиПрименение геометрических методов при решении текстовых задач

Применение геометрических методов при решении текстовых задач

библиотека
материалов

Применение геометрических методов при решении текстовых задач


1. Две старушки вышли одновременно на­встречу друг другу из двух городов. Они встре­тились в полдень и достигли чужого города — первая в 4 ч пополудни, а вторая в 9 ч. Узнать, когда они вышли из своих городов.

Если учащиеся не найдут ни одного спосо­ба решения этой задачи, то можно предло­жить им решить подготовительную задачу 2.

2. Две старушки вышли одновременно навстре­чу друг другу из двух городов. Скорость первой старушки в 2раза больше скорости второй. Во сколько раз больше времени после встречи бу­дет в пути вторая старушка, чем первая?

Учащиеся должны сообразить, что после встречи вторая старушка пройдет путь в 2 раза больший, чем первая, но со скоростью в 2 раза меньшей, поэтому будет в пути в 4 раза дольше, чем первая. Учащиеся, которым уда­ется решить эту задачу, часто вводят избы­точные переменные и действуют так, как показано в I способе решения.

I способ: Обозначим через V1 и S1 , V2 и S2 соответственно скорости и расстояния, прой­денные старушками до встречи, и соста­вим систему:

hello_html_m55db8094.jpg

hello_html_m754514f2.jpg

Итак, до встречи старушки шли 6 ч, тогда выходит, что из своих городов они отправи­лись в 6 ч утра.

Рассмотрим теперь решение, основанное на обратной пропорциональной зависимос­ти между скоростью и временем движения на фиксированном участке пути.

II способ. Пусть скорость первой ста­рушки в п раз больше скорости второй старушки. Тогда на одном и том же участке пути первая тратит в п раз меньше времени, чем вторая, а вторая — в п раз больше, чем первая (рис. 1).

hello_html_m5bde37bf.jpg

hello_html_m3c7a6b2.jpg

Решив его, получим ;x=6 и тот же ответ.

Воспользуемся теперь так называемым методом подобия. Он описан в статье Б. Кордемского «Графики в задачах на рав­номерные процессы» (Квант, 1971, № 11). Здесь мы увидим интересную межпредмет­ную связь алгебры, физики и геометрии.

IV с п о с о б: Будем, как и прежде, считать, что старушки шли до встречи х ч. Пусть точ­ка А изображает город, из которого отправи­лась I старушка, а точка С — город, из кото­рого пошла II старушка (рис. 2). Тогда длина отрезка СА — это расстояние между города­ми. Поскольку старушки двигались с посто­янными скоростями, можно считать, что от­резки АВ и СВ — графики движения I и II старушек соответственно. Тогда координаты точки Nэто время и место их встречи.

hello_html_efb422c.jpg

Если первая задача была решена под ру­ководством учителя, то для самостоятельно­го решения учащимся можно предложить похожую задачу. Пусть они найдут несколь­ко способов ее решения.

3. Два брата вскапывали грядки каждый свою и со своей постоянной скоростью. Они очень удивились, когда обнаружили, что за­тратили на работу одинаковое время. Вот если бы они с самого начала поменялись гряд­ками и работали каждый со своей скоростью, то старший закончил бы работу за 32 мин, а младший — за 50 мин. За сколько минут братья вскопали грядки?

Эта задача аналогична задаче про ста­рушек, ведь можно считать, что братья начали и закончили работу одновременно. Конечно же, они не переделывали работу друг друга (как старушки проходили пройденный друг другом путь), но в соответствии с условиями задачи можно рассмотреть два случая первый произошел на самом деле (рис. 3, а), а второй мог бы произойти (рис. 3, б).

Задача 1. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались по шоссе в одну сторону каждый со сво­ей постоянной скоростью. В момент, когда пеше­ход и велосипедист находились в одной точке, мо­тоциклист отставал от них на 6 км. Когда мото­циклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на Зкм. На сколько километров велосипе­дист обогнал пешехода в тот момент, когда пеше­хода настиг мотоциклист?

Решение. Установим сначала условные обо­значения. Пешехода будем обозначать через П, ве­лосипедиста через В, мотоциклиста через М. Точ­ки, в которых находится каждый рассмотренный объект, обозначим одноименными буквами с ин­дексами. Выберем теперь систему координат и в ней создадим графическую модель (рис. 2) трех ситуа­ций условия задачи:

1) пешеход и велосипедист находятся в одной точке П11), мотоциклист отстает от них на 6 км (точка М1 на оси s);


2) мотоциклист поравнялся с пешеходом в точке П2 2), велосипедист впереди них на х км (в точке В2);

hello_html_m44535458.jpg

3) мотоциклист догнал велосипедиста (они по­равнялись в точке В33), а пешеход отстал от них на 3 км (он находится в точке П3).

Скорости пешехода, велосипедиста и мотоцик­листа — постоянные, потому графики их движений прямые линии. Угловой коэффициент графика дви­жения пешехода (т. е. тангенс угла наклона прямой П13 к оси t) меньше углового коэффициента графика движения велосипедиста, который, в свою очередь, меньше углового коэффициента графика движения мотоциклиста. Графики пересекаются в точках, соответствующих трем данным в условии

ситуациям.

Из подобия треугольников М1П1М3 и П2В2М3, а также треугольников П3П1В3 и П2П1B2 составляем пропорции:

1M3hello_html_m3f1f3127.gif2M3 и П1M3 / П1B2.


Из них ясно, что П12 больше В2М3 в 2 раза , отсюда получается, что П1М3 больше B2М3 в 3 раза, а П1M3 / П1B2.= ,значит, х = 2.

Ответ: в тот момент, когда пешехода нагнал мотоциклист, велоси­педист обогнал их на 2 км.

Задача 2. Велосипедист отправляется из А в В и после 15-минутного отдыха в пункте В возвра­щается в пункт А. На пути из А в В велосипедист догоняет в 11 часов пешехода, который движется из А в В со скоростью, в 4 раза меньшей, чем у велосипедиста. В 12 часов происходит вторая встреча пешехода и велосипедиста. Определить время отправления велосипедиста из пункта А, если известно, что велосипедист возвращается в пункт А одновременно с прибытием пешехода в пункт В.

Решение. Вновь выберем систему координат и в ней составим графическую модель ситуаций это­го сложного движения (рис. 3).

Точками B1 В2, B3, лежащими на одной пря­мой, которая пересекает ось S под прямым углом,

обозначим моменты времени, когда пешеход нахо­дился в пункте В. Направленный отрезок AB3 -график движения пешехода. Поскольку скорость пешехода неизвестна, то ее можно принять за х, а прямую АВ3, изображать так, чтобы ее угловой коэффициент был равен 1.

hello_html_e2981b1.jpg

Момент старта велосипедиста обозначим через А1 а момент окончательного финиша через А2, поскольку и старт, и окончательный финиш про­изошли в пункте А. Тогда время прибытия в пункт В и отправления из него обозначим через В1 и В2 .Ясно, что эти точки лежат на прямой, которая про­ходит через точку В параллельно оси времени. Ломаная А1В1В2А2график движения велосипеди­ста, который в течение 15 мин находился в пункте В. Угловой коэффициент прямой А1В1 равен 4, так как скорость велосипедиста в 4 раза больше скорости пешехода. Угловой коэффициент прямой В2А2 равен —4, так как он двигался также быстро, как и раньше, но в обратном направлении. При дви­жении из пункта А в пункт В и из пункта В в пункт А пути пешехода и велосипедиста дважды пересека­лись, т.е. объекты находились на одном и том же расстоянии, скажем, от А. На рис. 3 эти точки отме­чены на оси перемещений буквами С и D.

С 11 до 12 часов, т.е. за 1 час, пешеход со сво­ей скоростью х км/ч прошел отрезок СD, равный х км. А велосипедист был в пути на 15 мин меньше,

т.е. он двигался — ч. со скоростью км/ч.При этом велосипедист проехал путь, который складывается из отрезков: СD + DВ + ВD = * = 3х (км).

Но DB = ВD и СD = х (км), поэтому DВ, как и СD, равен х (км), и на этот путь пешеход затра­тил 1 час. Это значит, его путешествие закончи­лось в пункте В в 13 часов. А велосипедист из пункта В в пункт D попал через 15 мин. По условию он прибыл в пункт А из пункта В одно­временно с пешеходом, в 13 часов, т.е. за час. Это, в свою очередь, означает: на обратный путь из В в А (график этого движения представлен вектором В2А2 на рис. 3) он затратил 1 ч 15 мин. На про­тяжении всего пути скорость велосипедиста оста­валась неизменной, поэтому на путь из А в В (вектор А[В1 на рис. 3) он потратил те же 1 час и 15 мин, да еще 15 мин отдыха в пункте В (длина отрезка B1B2 на рис. 3). Значит, велосипе­дист начал свое путешествие из пункта A в 10ч 15 мин (13ч — 1ч 15мин — 1ч 15 мин — 15м ин = 10 ч 15 мин).

Ответ: велосипедист отправился

из пункта А в 10 ч 15 мин.

Итак, выбирая указанным образом систему ко­ординат, отражая в ней правильно отношение меж­ду скоростями движущихся точек и моделируя гра­фически данные в задаче ситуации (встречи, изме­нение направления движения), можно просто, без громоздких уравнений и их систем решать нелег­кие задачи на движение с явной пользой для раз­вития умения рассуждать.


Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
ВНИМАНИЮ УЧИТЕЛЕЙ: хотите организовать и вести кружок по ментальной арифметике в своей школе? Спрос на данную методику постоянно растёт, а Вам для её освоения достаточно будет пройти один курс повышения квалификации (72 часа) прямо в Вашем личном кабинете на сайте "Инфоурок".

Пройдя курс Вы получите:
- Удостоверение о повышении квалификации;
- Подробный план уроков (150 стр.);
- Задачник для обучающихся (83 стр.);
- Вводную тетрадь «Знакомство со счетами и правилами»;
- БЕСПЛАТНЫЙ доступ к CRM-системе, Личному кабинету для проведения занятий;
- Возможность дополнительного источника дохода (до 60.000 руб. в месяц)!

Пройдите дистанционный курс «Ментальная арифметика» на проекте "Инфоурок"!

Подать заявку

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.