Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Применение интегрального и дифференциального исчисления для решения практических задач. 11 класс
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Применение интегрального и дифференциального исчисления для решения практических задач. 11 класс

библиотека
материалов









Открытый урок по алгебре и началам анализа в 11 классе с расширенным изучением математики и физики


«Применение методов математического анализа при решении практических задач».


Учитель: Вишневская Н.В.



























Цели урока: 1. Повторить основные типы задач, решаемые методами математического анализа.

2. Повторить алгоритмы решения.

3. Разобрать решение задач повышенной трудности.

4. Решить экономические задачи.


План проведения урока:

  1. На доске разбираются две задачи повышенной трудности (карточки № 7 и № 5). Пока ребята готовятся, класс устно отвечает на вопросы:

  2. а) Области, где применяются методы математического анализа;

б) алгоритм решения задач методом поиска наибольших и наименьших значений функции;

в) алгоритм решения задач с помощью определенного интеграла.

  1. В это же время 6 человек работают по карточкам (№ 3, 4, 6, 8, 9, 10).

  2. Заполняются таблицы.

  3. Проверяются задачи на доске, учитель проверяет правильность решения задач по карточкам.

  4. Разбирается на доске экономическая задача (карточка № 1, 2).

  5. Домашняя контрольная работа.


Алгоритм решения задач методом поиска наибольших и наименьших значений функции.

  1. Задача «переводится» на язык функций. Для этого выбирают удобный параметр х, через который интересующую нас величину выражают как функцию hello_html_7cde62b0.gif.

  2. Средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке.

  3. Выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.


Алгоритм вычисления геометрических и физических величин с помощью определенного интеграла.

  1. Выражают искомую величину как значение в некоторой точке в функции F.

  2. Находят производную f этой функции.

  3. Выражают функцию F в виде определенного интеграла от f и вычисляют его.

  4. Подставляя значение х = b находят искомую величину.







Домашние задачи (на доске):


Карточка № 7


Два корабля движутся по двум перпендикулярным прямым, пересекающимся в точке О, по направлению к О. В какой-то момент времени оба находятся в 65 км от О, скорость первого равна 15 км/ч, второго – 20 км/ч. От первого корабля отходит моторная лодка, движущаяся со скоростью 25 км/ч.

а) За какое наименьшее время катер может доплыть от первого корабля до второго?

б) За какое наименьшее время катер может доплыть от первого корабля до второго и вернуться обратно на первый корабль?



V1 = 15 км/ч

hello_html_m3ded7190.gifhello_html_m732f589d.gifhello_html_m610bd9f1.gifhello_html_m3061284f.gif65 км S1 О


S3S2

hello_html_m718239b7.gif 65 км

Vл = 25 км/ч


hello_html_m54706abc.gif

V2 = 20 км/ч




Решение:

х – время, которое прошло от того момента, когда оба корабля находились в 65 км от О, до момента отправления катера.

hello_html_m59dfaf1b.gifвремя, которое необходимо катеру на путь от 1-го корабля до 2-го.

В момент отправления катера 1-й корабль был на расстоянии hello_html_m3cdb101.gifкм от О; в момент прибытия катера на 2-ой корабль, расстояние между ним и О было равно hello_html_m857e90a.gifкм; путь катера равен hello_html_m159e9acc.gif. Тогда по теореме Пифагора

hello_html_m3c582252.gif.

hello_html_m95d1523.gif;

hello_html_590028ed.gif;

hello_html_m64cd8ed8.gif;

hello_html_m62156f85.gif.

Продифференцируем по х:

hello_html_17dfbaac.gif.

hello_html_m1d8080cf.gif

hello_html_m61d2284.gif

hello_html_4edf2434.gif

hello_html_28e8a68c.gif

hello_html_m19aefb5f.gif

hello_html_m2eb7cd01.gif

hello_html_m4157cdb0.gif

hello_html_6aec08a.gif

hello_html_4e531b.gif

hello_html_m7632abc2.gif; hello_html_m2be7932e.gif

hello_html_5a5fafb2.gif; hello_html_m3e52f65.gif

Ответ: а) 1 час; б) 3 часа.


Карточка № 5


Котел имеет форму параболоида вращения. Радиус его основания R = 3 м, глубина Н = 5 м. Котел наполнен жидкостью, удельный вес которой 0,8 Г/см3. Вычислить работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать жидкость из котла.


hello_html_m1656b3ef.gifу

hello_html_m1f4bb39e.gif

hello_html_41edd192.gifhello_html_46204fb0.gifhello_html_m2bddf96.gifhello_html_30601b5e.gifА R В



hello_html_m68833e8a.gifhello_html_160f8d5c.gif

hello_html_236dcd73.gifhello_html_m46de33ac.gifhello_html_5279ace7.gifhello_html_m333e9a93.gifhello_html_m639422b7.gifhello_html_2c0b6ec9.gifdy Н

hello_html_3b4c11a2.gif


у


hello_html_m192bd18a.gif

О х х


R = 3 м

Н = 5 м

уд. вес = 0,8 Г/см3

Вычислить работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать жидкость из котла.


Решение:

В плоскости сечения хОу АОВ – парабола, уравнение которой hello_html_m284eea9b.gif. Найдем параметр а.

Координаты точки В должны удовлетворять этому уравнению, т.е.

hello_html_m2dc064b4.gif,

hello_html_m5bd33138.gif, следовательно hello_html_m515308b6.gif.

Разделим параболоид на слои плоскостями, параллельными поверхности жидкости. Пусть толщина слоя на глубине (Ну) равна dy. Тогда, принимая приближенно слой за цилиндр, получим его объем hello_html_6a112349.gif.

Из уравнения параболы hello_html_f1543c9.gif, тогда hello_html_732599ff.gif, т.е. вес слоя жидкости равен hello_html_652f4a0f.gif.

Следовательно, чтобы выкачать жидкость с глубины hello_html_m1b47d06e.gif, потребуется затратить элементарную работу hello_html_33aea3d.gif, hello_html_me2bdbb.gif. Тогда

hello_html_m17184abb.gifhello_html_m5b746d87.gif, тогда hello_html_719de584.gif.

Ответ: hello_html_m42912d56.gif.


Работа в классе.


Карточка № 6


Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 6 см, если сила 1 кГ растягивает ее на 1 см?


Решение:

Согласно закону Гука сила F кГ, растягивающая пружину на х, равна hello_html_m6d328a7c.gif, k – коэффициент пропорциональности.

х = 0,01 м

F = 1 кГ

Тогда hello_html_601fbb8.gif, следовательно hello_html_1c92fead.gif.

Искомая работа hello_html_1ce2da48.gif.

Ответ: 0,18 кГм.


Карточка № 8


Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 5 см, если для сжатия ее на 1 см нужна сила в 1 кг.


Решение:

По закону Гука hello_html_m6d328a7c.gif.

х = 0,01 м

F = 1 кГ

Тогда hello_html_601fbb8.gif, следовательно hello_html_1c92fead.gif.

Искомая работа hello_html_23b6c0e4.gif.

Ответ: 0,125 кГм.


Карточка № 9


Сила F, с которой электрический заряд hello_html_246800e0.gif отталкивает заряд hello_html_m5fc07ff7.gif (того же знака), находящийся от него на расстоянии r, выражается формулой

hello_html_46d78cfb.gif,

где k – постоянная.

Определить работу силы F при перемещении заряда hello_html_m5fc07ff7.gif из точки hello_html_644abf57.gif, отстоящей от hello_html_246800e0.gif на расстоянии hello_html_6995d0b8.gif, в точку hello_html_m472629b8.gif, отстоящую от hello_html_246800e0.gif на расстоянии hello_html_m622edd0f.gif, полагая, что заряд hello_html_246800e0.gif помещен в точке hello_html_m1f3ec952.gif, принятой за начало отсчета.


Решение:

Работа определяется по формуле hello_html_6e1c3af8.gif, hello_html_46d78cfb.gif. Тогда

hello_html_75565823.gif.

При hello_html_m185e5e51.gif получим hello_html_mdedf8f5.gif.

Ответ: hello_html_3bbd8702.gif.


Карточка № 3


Определить силу давления воды на вертикальную стенку, имеющую форму полукруга радиуса R = 6 м, диаметр которого находится на поверхности воды.


Решение:

Сила давления жидкости на площадку площадью S при глубине погружения х равна hello_html_m7cb5eda9.gif, hello_html_m7798db7f.gif – удельный вес жидкости.



hello_html_m64159b4c.gif


О

hello_html_m3c53c04d.gifhello_html_m26a75c3f.gifhello_html_m2f0342a2.gifhello_html_m344800ae.gif

hello_html_160f8d5c.gif х С

hello_html_m7bb50362.gifhello_html_m1b3297f2.gifhello_html_m1b3297f2.gifhello_html_m1b3297f2.gifhello_html_m1b3297f2.gifhello_html_m1b3297f2.gifhello_html_m1b3297f2.gifhello_html_m1b3297f2.gifhello_html_m1b3297f2.gifhello_html_m1b3297f2.gifhello_html_m1b3297f2.gifhello_html_m1b3297f2.gifhello_html_m1b3297f2.gifhello_html_m1b3297f2.gifhello_html_m1b3297f2.gifhello_html_m1b3297f2.gifhello_html_m1b3297f2.gif

А hello_html_53b87c2b.gifhello_html_m639422b7.gif В



Полукруг параллельными прямыми разделим на полоски, которые примем за прямоугольник. Пусть заштрихованная полоска имеет длину АВ, ширину dx и находится на глубине х hello_html_68b4167a.gif.

hello_html_2f92f8c5.gif.

Давление воды на полоску, находящуюся на глубине х, будет равно hello_html_418312a2.gif.

Отсюда hello_html_m2b5dc182.gif

hello_html_m3a94bee7.gif,

hello_html_62d96c61.gif,

hello_html_94a0b02.gif,

hello_html_m33664e2d.gif


hello_html_381bb5a3.gif.

Удельный вес воды 1 см3 = 1 Г, следовательно вес 1м3 = 1000 кГ.

hello_html_m58a3e064.gif;

hello_html_m352686a5.gif

1 кГ hello_html_m3132e3c.gif 9,81 н

1 бар = 0,987 атм.

Ответ: 144000 кГ.


Карточка № 4


Скорость движения точки hello_html_m7ade2a5.gif м/сек. Найти путь s, пройденный точкой за время Т = 8 сек после начала движения. Чему равна средняя скорость движения за этот промежуток?


Решение:

hello_html_74424875.gif, следовательно hello_html_5f0656ee.gif, hello_html_m6cdea034.gif, hello_html_1976ec4b.gif.

Следовательно hello_html_4ee72b10.gif.

hello_html_m45a7bf3b.gif.

Ответ: 512 м; 64 м/сек.


Карточка № 1 (решается в классе на доске)


Средние совокупные издержки производства мыла hello_html_m715648e.gif (в тыс. рублей на тонну) на Мухинском мыловаренном заводе изменяются в зависимости от объема годового выпуска Q (в тоннах) по закону:

hello_html_72d2f8b4.gif.

Связь между годовым объемом продаж, равным величине годового выпуска Q, и ценой мыла Р (в тыс. рублей за тонну) описывается формулой

hello_html_m631abb44.gif.

Реализовав по фиксированной цене все сваренное за год мыло, завод получил максимально возможную прибыль. Какова была при этом выручка предприятия?


Решение:

Выразим через Q сначала цену мыла из формулы hello_html_m6568bd13.gif.

hello_html_27ac3f18.gif;

hello_html_m8e91411.gif.

Тогда прибыль G можно выразить:

hello_html_4dbc9e2b.gif.

Найдем критические точки этой функции:

hello_html_m24d5b924.gif.

hello_html_762a4575.gif

hello_html_m7548648f.gif

hello_html_m19942693.gif, hello_html_m302fd905.gif.

Критические точки 100, –340, –120.

Отрицательные корни не имеют экономического смысла.


Q

hello_html_m44b3a952.gif

100

hello_html_m43c2d48b.gif

hello_html_m4120fce1.gif

+

0

hello_html_20c1c59d.gifhello_html_m16447ac1.gifG


max



hello_html_cbf331c.gif;

hello_html_me671f05.gif.

Значит оптимальный годовой объем мыла hello_html_ba3d1e5.gifт, тогда цена hello_html_m7f92bd26.gif (тыс. руб./т).

Тогда годовая выручка R составит: hello_html_m28cac790.gif (тыс. руб.).

Ответ: 1 млн. руб.


Карточка № 10


Найти величину давления воды на прямоугольник, вертикально погруженный в воду, если известно, что его основание равно 8 м, высота 12 м, верхнее основание параллельно поверхности воды и находится на глубине 5 м.



Решение:


hello_html_63c081b7.gifhello_html_m1ce8722a.gifhello_html_64f61365.gif

5 м

8 м

hello_html_m11f53e05.gifhello_html_m11f53e05.gifhello_html_m560c26c4.gifhello_html_m560c26c4.gifhello_html_1cb9b620.gifhello_html_1cb9b620.gifhello_html_m77627340.gifhello_html_m641d7e29.gifх


hello_html_160f8d5c.gif

hello_html_652d2d33.gifhello_html_652d2d33.gifhello_html_652d2d33.gifhello_html_652d2d33.gifhello_html_652d2d33.gifhello_html_652d2d33.gifhello_html_652d2d33.gifhello_html_652d2d33.gifhello_html_652d2d33.gifhello_html_652d2d33.gifhello_html_652d2d33.gifhello_html_m333e9a93.gifhello_html_5279ace7.gifhello_html_5279ace7.gifdx 12 м

hello_html_m639422b7.gif


hello_html_m154daf9b.gif


hello_html_548e7ee1.gif, hello_html_m1cf4581d.gif, hello_html_m66c85370.gifм.

hello_html_411cc33b.gifкГм.

hello_html_6472c2ac.gif.

Ответ: hello_html_m63130352.gif кГм.


Карточка № 2 (дополнительная)


Производственные мощности позволяют предприятию «Линотрон» выпускать не более 600 тонн ваты в год. Зависимость величины совокупных издержек hello_html_3b9b7782.gif (в тыс. рублей) от годового объема производства Q (в тоннах) имеет вид

hello_html_2ab1bd69.gif.

Связь между годовым объемом продаж ваты, который совпадает с объемом годового производства, и ценой на вату Р (в тыс. рублей за тонну) описывается функцией

hello_html_52cc018f.gif.

Цена на вату устанавливается 1 января 1995 года и пересматривается лишь 1 января следующего года.

Найдите с точностью до 1 % рентабельность производства по издержкам, если за 1995 год предприятие получит максимально возможную прибыль.


Решение:

Используя зависимости hello_html_2ab1bd69.gif и hello_html_52cc018f.gif, выразим hello_html_m73c96dcb.gif

Определим интервал значений цены Р, на котором функция hello_html_abfabe7.gif имеет смысл.

600 т – это максимальный объем производства, значит при этом будет hello_html_3cc9ac78.gif.

hello_html_a9a5e7.gif,

hello_html_2277eccc.gif

hello_html_3057c52e.gif

hello_html_m3333125d.gif; hello_html_14a62a8b.gif– не имеет экономического смысла.

Значение hello_html_6fa7ff58.gif определим из условия hello_html_2a24e484.gif.

hello_html_ma1682b9.gif

hello_html_m20f2c66d.gif

hello_html_2897a49a.gif; hello_html_38cfa16b.gif– не имеет экономического смысла.

hello_html_m78668e47.gif

hello_html_m66c21912.gif

hello_html_m150380ff.gif

hello_html_1b23a9ec.gif

hello_html_m733cd26d.gif; hello_html_m1a6904f7.gif.

hello_html_m5abc0ef.gif, hello_html_bdd2581.gif.

hello_html_m21b4ac2c.gif.

Оптимальная цена hello_html_550ea8a.gif тыс. руб.

Оптимальный объем производства:

hello_html_m43b201a.gifт.

Совокупные годовые издержки hello_html_620067e2.gif тыс. руб.

Рентабельность hello_html_58b797f3.gif%.

Ответ: 11 %.


В конце урока дети получают тексты домашней контрольной работы.






























hello_html_m4944f143.gifhello_html_m4944f143.gifhello_html_m4944f143.gifhello_html_m4944f143.gif у у hello_html_370aa5e2.gif

hello_html_38ffa5de.gif

hello_html_3a8c2586.gif hello_html_370aa5e2.gif

hello_html_1b46ae98.gifhello_html_14c7be2e.gifhello_html_14c7be2e.gif

hello_html_248ff48e.gif

hello_html_31b5eef1.gif

hello_html_m7cd7116c.gif

hello_html_mbea6f02.gif

hello_html_mbea6f02.gifа 0 b x 0 a b x



S = S =






hello_html_m4944f143.gif y y

hello_html_370aa5e2.gif

hello_html_6ba7d931.gifhello_html_5c188a6d.gifhello_html_m4945e335.gifhello_html_m7cd7116c.gif

hello_html_m8e1828.gifhello_html_249a601e.gif



hello_html_m5cfb9b2.gifhello_html_m1b38f9a1.gif

hello_html_mbea6f02.gifhello_html_mbea6f02.gifhello_html_m6a13f6ae.gif a b

0 x 0 a b c x


hello_html_370aa5e2.gif


hello_html_m7cd7116c.gif


S = S =





hello_html_m4944f143.gif y y



hello_html_370aa5e2.gifhello_html_m68726671.gifhello_html_m6c87678d.gifhello_html_6a0fc175.gifhello_html_m2b60cde6.gifhello_html_dab9d67.gifhello_html_6a0fc175.gif


hello_html_370aa5e2.gif hello_html_m7cd7116c.gif


hello_html_m7cd7116c.gif

hello_html_mbea6f02.gifhello_html_mbea6f02.gif

a 0 b c x a 0 b c x


S = S =




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 13.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров217
Номер материала ДВ-523044
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх