Инфоурок / Математика / Статьи / Применение координатного и векторного методов для решения задач ЕГЭ повышенного уровня
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Применение координатного и векторного методов для решения задач ЕГЭ повышенного уровня

библиотека
материалов


Применение координатного и векторного методов

для решения задач ЕГЭ повышенного уровня.

При применении углов и расстояний в пространстве поэтапно вычислительным методом возникают трудности, связанные с дополнительными построениями и необходимыми обоснованиями, сопровождающими эти построения. Учащийся должен иметь хорошее пространственное воображение, помнить алгоритмы решения для каждого вида задач.

Координатный или векторный методы позволяют избежать такого рода трудностей. От учащегося требуются знания нескольких формул и навыки в решении простейших задач, основная нагрузка при решении задачи приходится на вычислительную часть.

Координатный метод.

Практика показывает, что учащиеся быстро осваивают метод координат, так как при его использовании необходимо придерживаться общего алгоритма: вычислить координаты необходимых точек, расположенных на многогранниках, и применить соответствующую формулу. Для некоторых задач дополнительно требуется умение составлять уравнение плоскости.

Удачный выбор системы координат (некоторые вершины многогранника находятся на координатных осях) позволяет значительно упростить вычисления.

Векторный метод.

Векторный метод не нашел распространения в школьной практике, хотя он может быть использован при решении широкого класса геометрических задач.

В частности, операция скалярного умножения двух векторов позволяет вычислить длины отрезков и величины углов. Если нужно найти длину отрезка, то в качестве базисных векторов выбирают векторы, для которых известны их длины и углы между ними. Если в задаче требуется найти величину угла между прямыми, то в качестве базисных выбирают векторы с известными отношениями их длин и известными углами между ними.

Решение задачи упрощается, если использовать декартовую систему координат.

Обычно при решении задач, в которых рассматриваются призма или пирамида, в качестве базисных векторов выбирают какую-либо тройку векторов, выходящих из одной вершины и направленных вдоль ребер многогранника.

Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Координатный метод.

Пусть дана точка М( и плоскость α, заданная уравнением ax+by+cz+d=0 в прямоугольной декартовой системе координат.

Расстояние от точки М до плоскости α можно вычислить по формуле

ρ(М; α) =.

hello_html_m2d7a9884.png

Задача 1.

Дан прямоугольный параллелепипед АВСD, со сторонами АВ=2, ВС=4, A=6. Найти расстояние от точки D до плоскости AC.

Решение.

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке D(0;0;0) и плоскость AC, заданную уравнением ax+by+cz+d=0.

Расстояние от точки D до плоскости AC вычислим по формуле

S (D; AC) =.

Записав в общем виде уравнение плоскости ax + by + cz + d =0 и подставив в него координаты трех точек А (0;4;0), С(2;0;0), D1 (0;0;6), получим:





b =- d, a = - d , c = - d.

Уравнение плоскости AC имеет вид 6x+3y+2z-12=0.

S (D; AC) = = = .

Ответ: .



Угол между двумя прямыми.

При нахождении угла между прямыми m и l используют формулу

= ,

или в прямоугольной декартовой системе координат:

= ,

где = {;}, = {;} – направляющие векторы прямых m и l; в частности, для того, чтобы прямые m и l были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы

= 0 или =0.



Задача 2.hello_html_m4832aa2c.png

Дан прямоугольный параллелепипед АВСD, со сторонами АВ=4, AD=3, A=4. Найти косинус угла между прямыми и BK, где точка K- середина ребра D.

Решение:

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А.

и – направляющие векторы прямых.

(0;0;4); С(3;4;0); В(0;4;0); К(3;0; 2).

= {3;4;- 4}, = {3;-4;2}.

Отсюда

= =

= = =

= .

Ответ: = .



Угол между плоскостями.

Задачу о нахождении угла между плоскостями α и β, заданными в прямоугольной декартовой системе координат уравнениями x+y+z+=0 и x+y+z+=0 соответственно, удобнее свести к задаче о нахождении угла между векторами их нормалей = {} и = {}, используя формулу:

= = .

Отметим, что не всегда составляют уравнения плоскостей для определения векторов нормалей к ним. Иногда, исходя из свойств многогранника, легко найти вектор нормали данной плоскости. Затем остается выразить этот вектор через базисные векторы или найти его координаты относительно введенной декартовой системы координат.





Задача 3.

В правильной четырехугольной призме стороны основания равны 3, боковые ребра равны 4. На ребре отмечена точка Е так, что АЕ : Е = 1 : 3. Найти угол между плоскостями АВС и ВЕ.hello_html_6147ea5b.png

Решение.

В системе координат (см. рис.) В(0;0;0), E(3;0;1), (3;0;1), {3;0;1}, {3;3;4}.

Пусть = {0;0;4} – вектор нормали к плоскости ABC, {k; l ;m} – вектор нормали к плоскости .

Считая k=1, находим l=3 и m=-3. Итак, {1;3;-3}, = = .

Найдем косинус искомого угла = = .hello_html_2aceac48.png

Ответ: .

Задача 4.

В правильной треугольной призме АВС стороны основания равны 2, боковые ребра равны 3, точка Dсередина ребра С. Найдите расстояние от вершины С до плоскости AD.

Дано: правильная прямоугольная призма АВС. АВ=ВС=СА=2, С=А=В=3, СD=D.

Найти: расстояние от вершины С до плоскости AD.

Решение: расстояние от точки С до плоскости AD вычисляется по формуле

S (С; AC) =



Введем прямоугольную систему координат с началом в точке С(0;0;0). Плоскость AD задается уравнением ax+by+cz+d=0.

А(0;2;0); D (0;0;1,5); ( 1;3).

BNy, BN==, NA=1, CN=1, т.к. АВС – равносторонний, BNСА.







b =- d, c = - d , a = d, a=d.

dx - dy- dz + d = 0, d≠0,

3x-3y-4z+6=0.

S (C; AD) = = =

S (C; AD) = = = .

Ответ: .

Задача 5.hello_html_632a67e7.png

На ребре C куба АВСD отмечена точка E так, что СЕ : Е= 1 : 2. Найдите угол между прямыми BE и A.

Дано: АВСD – куб, СЕ : Е= 1 : 2.

Найти: угол между прямыми BE и A( скрещивающиеся прямые).

Решение: введем прямоугольную систему координат с началом в точке А(0;0;0), (1;1;1), В(0;1;0), Е(1;1;).

=1;1;1}; {1;0;}.

= .

= ·1+1·0+1·ǀ = ǀ 1 ǀ = ǀ ǀ =

= =; = = = .

== = = ,

= .

Ответ: .


5


Общая информация

Номер материала: ДБ-203702

Похожие материалы