Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Статьи / Применение координатного и векторного методов для решения задач ЕГЭ повышенного уровня
  • Математика

Применение координатного и векторного методов для решения задач ЕГЭ повышенного уровня

библиотека
материалов


Применение координатного и векторного методов

для решения задач ЕГЭ повышенного уровня.

При применении углов и расстояний в пространстве поэтапно вычислительным методом возникают трудности, связанные с дополнительными построениями и необходимыми обоснованиями, сопровождающими эти построения. Учащийся должен иметь хорошее пространственное воображение, помнить алгоритмы решения для каждого вида задач.

Координатный или векторный методы позволяют избежать такого рода трудностей. От учащегося требуются знания нескольких формул и навыки в решении простейших задач, основная нагрузка при решении задачи приходится на вычислительную часть.

Координатный метод.

Практика показывает, что учащиеся быстро осваивают метод координат, так как при его использовании необходимо придерживаться общего алгоритма: вычислить координаты необходимых точек, расположенных на многогранниках, и применить соответствующую формулу. Для некоторых задач дополнительно требуется умение составлять уравнение плоскости.

Удачный выбор системы координат (некоторые вершины многогранника находятся на координатных осях) позволяет значительно упростить вычисления.

Векторный метод.

Векторный метод не нашел распространения в школьной практике, хотя он может быть использован при решении широкого класса геометрических задач.

В частности, операция скалярного умножения двух векторов позволяет вычислить длины отрезков и величины углов. Если нужно найти длину отрезка, то в качестве базисных векторов выбирают векторы, для которых известны их длины и углы между ними. Если в задаче требуется найти величину угла между прямыми, то в качестве базисных выбирают векторы с известными отношениями их длин и известными углами между ними.

Решение задачи упрощается, если использовать декартовую систему координат.

Обычно при решении задач, в которых рассматриваются призма или пирамида, в качестве базисных векторов выбирают какую-либо тройку векторов, выходящих из одной вершины и направленных вдоль ребер многогранника.

Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Координатный метод.

Пусть дана точка М( и плоскость α, заданная уравнением ax+by+cz+d=0 в прямоугольной декартовой системе координат.

Расстояние от точки М до плоскости α можно вычислить по формуле

ρ(М; α) =.

hello_html_m2d7a9884.png

Задача 1.

Дан прямоугольный параллелепипед АВСD, со сторонами АВ=2, ВС=4, A=6. Найти расстояние от точки D до плоскости AC.

Решение.

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке D(0;0;0) и плоскость AC, заданную уравнением ax+by+cz+d=0.

Расстояние от точки D до плоскости AC вычислим по формуле

S (D; AC) =.

Записав в общем виде уравнение плоскости ax + by + cz + d =0 и подставив в него координаты трех точек А (0;4;0), С(2;0;0), D1 (0;0;6), получим:





b =- d, a = - d , c = - d.

Уравнение плоскости AC имеет вид 6x+3y+2z-12=0.

S (D; AC) = = = .

Ответ: .



Угол между двумя прямыми.

При нахождении угла между прямыми m и l используют формулу

= ,

или в прямоугольной декартовой системе координат:

= ,

где = {;}, = {;} – направляющие векторы прямых m и l; в частности, для того, чтобы прямые m и l были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы

= 0 или =0.



Задача 2.hello_html_m4832aa2c.png

Дан прямоугольный параллелепипед АВСD, со сторонами АВ=4, AD=3, A=4. Найти косинус угла между прямыми и BK, где точка K- середина ребра D.

Решение:

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А.

и – направляющие векторы прямых.

(0;0;4); С(3;4;0); В(0;4;0); К(3;0; 2).

= {3;4;- 4}, = {3;-4;2}.

Отсюда

= =

= = =

= .

Ответ: = .



Угол между плоскостями.

Задачу о нахождении угла между плоскостями α и β, заданными в прямоугольной декартовой системе координат уравнениями x+y+z+=0 и x+y+z+=0 соответственно, удобнее свести к задаче о нахождении угла между векторами их нормалей = {} и = {}, используя формулу:

= = .

Отметим, что не всегда составляют уравнения плоскостей для определения векторов нормалей к ним. Иногда, исходя из свойств многогранника, легко найти вектор нормали данной плоскости. Затем остается выразить этот вектор через базисные векторы или найти его координаты относительно введенной декартовой системы координат.





Задача 3.

В правильной четырехугольной призме стороны основания равны 3, боковые ребра равны 4. На ребре отмечена точка Е так, что АЕ : Е = 1 : 3. Найти угол между плоскостями АВС и ВЕ.hello_html_6147ea5b.png

Решение.

В системе координат (см. рис.) В(0;0;0), E(3;0;1), (3;0;1), {3;0;1}, {3;3;4}.

Пусть = {0;0;4} – вектор нормали к плоскости ABC, {k; l ;m} – вектор нормали к плоскости .

Считая k=1, находим l=3 и m=-3. Итак, {1;3;-3}, = = .

Найдем косинус искомого угла = = .hello_html_2aceac48.png

Ответ: .

Задача 4.

В правильной треугольной призме АВС стороны основания равны 2, боковые ребра равны 3, точка Dсередина ребра С. Найдите расстояние от вершины С до плоскости AD.

Дано: правильная прямоугольная призма АВС. АВ=ВС=СА=2, С=А=В=3, СD=D.

Найти: расстояние от вершины С до плоскости AD.

Решение: расстояние от точки С до плоскости AD вычисляется по формуле

S (С; AC) =



Введем прямоугольную систему координат с началом в точке С(0;0;0). Плоскость AD задается уравнением ax+by+cz+d=0.

А(0;2;0); D (0;0;1,5); ( 1;3).

BNy, BN==, NA=1, CN=1, т.к. АВС – равносторонний, BNСА.







b =- d, c = - d , a = d, a=d.

dx - dy- dz + d = 0, d≠0,

3x-3y-4z+6=0.

S (C; AD) = = =

S (C; AD) = = = .

Ответ: .

Задача 5.hello_html_632a67e7.png

На ребре C куба АВСD отмечена точка E так, что СЕ : Е= 1 : 2. Найдите угол между прямыми BE и A.

Дано: АВСD – куб, СЕ : Е= 1 : 2.

Найти: угол между прямыми BE и A( скрещивающиеся прямые).

Решение: введем прямоугольную систему координат с началом в точке А(0;0;0), (1;1;1), В(0;1;0), Е(1;1;).

=1;1;1}; {1;0;}.

= .

= ·1+1·0+1·ǀ = ǀ 1 ǀ = ǀ ǀ =

= =; = = = .

== = = ,

= .

Ответ: .


5


Автор
Дата добавления 20.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров51
Номер материала ДБ-203702
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх