Метод рационализации.
Введение
Решение неравенств - важный
раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать
разнообразные неравенства. Нередко в заданиях типа №15 требуется решить
неравенство, которое достаточно сложно поддается обычному методу интервалов:
корни соответствующих уравнений не всегда очевидны, а вычисление значений
функции в промежуточных точках может оказаться довольно трудоемким процессом, поэтому
я решила рассмотреть один из способов сведения неравенств к неравенствам для
рациональных функций, которые решаются, как правило, существенно проще. Речь
пройдет о методе рационализации. В школьной программе он не изучается, но его
применение значительно облегчает решение заданий ЕГЭ третьей части (№15), в
частности логарифмических и показательных неравенств.
Цель моего выступления:
Изучение теоретического обоснования
метода рационализации и применения его при решении неравенств.
Задачи:
1. Изучить теоретическую часть,
которая позволяет заменять сложные выражения на более простые;
2. Рассмотреть примеры
применения метода рационализации при решении логарифмических и показательных
неравенств;
3. Найти примеры логарифмических
неравенств, которые могут быть решены методом рационализации.
Актуальность выбранной темы
заключается в том, что данный метод позволяет успешно решать логарифмические и
показательные неравенства третьей части ЕГЭ по математике.
Теоретическое обоснование метода
Часто, при решении логарифмических неравенств,
встречаются задачи с переменным основанием логарифма. Так, неравенство вида
является стандартным школьным неравенством. Как правило, для его решения
применяется переход к равносильной совокупности систем:
Недостатком данного метода является необходимость
решения семи неравенств, не считая двух систем и одной совокупности. Уже при
данных квадратичных функциях решение совокупности может потребовать много
времени. Можно предложить альтернативный, менее трудоемкий метод решения этого
стандартного неравенства. Это метод рационализации неравенств, известный в
математической литературе под названием декомпозиции.
Метод рационализации заключается в замене сложного
выражения F(x) на более простое выражение G(x), при котором неравенство G(x)0
равносильно неравенству F(x)0 в области определения выражения F(x).
Алгоритм метода
рационализации
1.
Выписать
условия, задающие ОДЗ и решить их.
2.
Привести
исходное неравенство к виду второй колонки таблицы.
3.
Провести
преобразования всех множителей (упростить, привести к общему знаменателю и
т.д.)
4.
Решить
полученное неравенство, например, методом интервалов.
5.
Записать
ответ исходного неравенства, учитывая ОДЗ.
Где f
f, g – функции от х, h, p –
функции или число, V –
один из знаков
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.