Применение опорных таблиц на уроках математики

5-й класс.

Натуральные числа и их сравнение.

Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.          --- арабские

            I, V, X, L, C, D, M,               ------- римские

              A, b, …                                  ----- славянские

Натуральные числа (N):   для счёта предметов.

1, 2, 3, 4, …, → ∞

Любое натуральное число можно записать с помощью 10 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Числа, запись которых состоит из одного знака – однозначные.

 Числа, запись которых состоит из двух  знаков – двузначные и т.д.

 

100 000 000 000

   Млрд. млн.  тыс. ед.                                                     десятичная запись

7825= 7∙ 1000+ 8 ∙ 100 + 2 ∙ 10 +5                

миллиарды			миллионы			тысячи			единицы
Сотни миллиардов	Десятки миллиардов	Единицы миллиардов	Сотни миллионов	Десятки миллионов	Единицы миллионов	Сотни тысяч	Десятки тысяч	Единицы тысяч	Сотни	Десятки	Единицы

Изображение натуральных чисел.

                            A(4)               B(7)                       

0     1      2      3     4      5      6      7     8

 

 Сравнение чисел (поразрядно): чем больше, тем правее

19 > 14; 121>35;  489 > 431; 1281 >1095.

 

 Чем меньше, тем левее

9< 14;  21<35;  489< 531; 1281 < 2395.

Сложение и вычитание натуральных чисел.

Сложение: →

Сложение    25  +  41 =  66

                       ↑        ↑         ↑

                     слагаемые           сумма  

Законы сложения: 1) переместительный: a + b = b + a .

                          От перемены мест слагаемых сумма не меняется

Пример: 7+3=3+7=10        

                                2) сочетательный: (a + b) + с = a + (b + с)

                           Чтобы прибавить к сумме двух чисел число, нужно к

                             первому числу прибавить сумму второго и третьего

                             чисел или в другом порядке (как удобнее).   

  Пример: (3+2) + 4 = 3 + (2 +4) = (3 + 4) + 2 = 9 

                     5 + 4 = 3 + 6 = 7 + 2 = 9                           

                                  3) a + 0 = a . 

                                 От прибавления нуля число не меняется.  

Пример: 7 +0 = 7

Вычитание: ←

Вычитание:          96 – 41 = 55

                                           

               Уменьшаемое -   вычитаемое = разность.

Разность двух чисел показывает, на сколько первое число больше второго, иными словами, на сколько второе число меньше первого.

1.     Для того, чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а потом из полученной разности – второе слагаемое.

 

  - (        +       ) =(          -      ) -       =         -        - 

12 – (3 + 2 ) = 12 – 5 = ( 12 -3 ) -2 =  12 – 3 – 2 = 7.

a –( b + с ) = ( a – b ) – с =( a – с) – b = a – b – с

2.     Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое.

     ( 6 + 3 ) – 2 =9- 2 = 6 + ( 3 – 2 ) = ( 6 – 2 ) + 3 = 7.

       (a + b ) –с = a + ( b – с ) = ( a – с ) + b

3.     a – 0 = a .                            4. a – a = 0.

Умножение и деление натуральных чисел, свойства умножения.

а · n = a + a + … + a

                   

                         n раз

Умножить число а на натуральное число n означает найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно a.

Умножение: 25 · 3 = 75.

                         ↑     ↑       ↑                 

                    Множители = произведение                                                                           Законы умножения:.

1)     переместительный (от перестановки множителей произведение не изменяется)

           a · b = b · a .

2) сочетательный : a · ( b · с ) = ( a · b ) · c = ( a · c) · b .

 3)  a · 0 = 0.

4)  a · 1 = a .

5)  распределительный закон: a · (b + с) = a · b + a · b .

                                                        a · (b -  с) = a · b -  a · b .

Деление: 48 : 4 = 12

                 ↑      ↑                           

        Делимое : делитель = частное

Частное показывает, во сколько раз делимое больше, чем делитель.

1)  На нуль делить нельзя.

2)  a : 1 = a.

3)  a : a = 1.

4)  0 : a =0.

Квадрат и куб числа.

a² = a · a – квадрат числа

таблица квадратов:

a	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a²	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100

a³ = a · a · a – куб числа

таблица кубов:

a	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a³	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000

Формулы.

S = v · t , S- путь, v – скорость, t- время.

V = s : t .

t  = s : v

P= ( a + b ) · 2- периметр прямоугольника – сумма всех сторон

S = a · b – площадь прямоугольника – произведение смежных сторон

 

a

                   b

P = 4 · a – периметр квадрата                            

S = a² = a · a – площадь квадрата                                   а

                                                                                 а

          а                                                                                  аааааааааааааааа                                             

  а                          V = а= а · а ·а            b                                              в

                           а                                                                                              с

объём куба                                                                        а

                                                                                  V = а · b · с

                                                                            Объём  параллелепипеда.

Диаграммы и графики

Круговая диаграмма.

Круг - 360⁰

30% от 360⁰ – это

30: 100 ∙ 360⁰= 108⁰                                                                                                                                                                                                                      

График

Год	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Производство чугуна, млн.тонн	160	200	180	240	220	200	290

                                                    Год                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

                         Измерения углов. Транспортир.

Для измерения углов применяют транспортир.

Шкала транспортира – полуокружность.

Штрихи шкалы делят полуокружность на 180 долей.

Градус – это    доля   полуокружности.

Каждое деление шкалы транспортира равно 1 градусу (1⁰)

Прямой угол  равен 90⁰.

Острый угол – это угол меньше 90⁰.

Тупой угол – это угол больше 90⁰

Развёрнутый угол равен 180⁰

                    

                                                                                                                                

Деление с остатком.

                                                                     

                                    11:2=5(остаток1)

                            

                                         10:4=2(остаток2)

                   

                                   7:6=1(остаток1)

Остаток при делении всегда должен быть меньше делителя.

Обыкновенные  дроби.

Одна доля из пяти – это 1-    Числитель дроби – сколько долей взяли, 5- знаменатель дроби – на сколько разделили целое

 

 

Каждый может за версту видеть дробную черту.

Над чертой  числитель , знайте,

под чертою знаменатель. Дробь такую, непременно, надо звать обыкновенной.           

Дроби можно изображать на координатном луче.

Пример:

                           0                                                 1

     

Виды:

 правильная дробь –   числитель меньше знаменателя          (п.д.) < 1              

Неправильная дробь -  числитель больше знаменателя      (н. д.) > 1         

Неправильна дробь – числитель = знаменателю       (н.д.) = 1           

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Сложение	Вычитание
При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители дробей складывают. А знаменатель оставляют без изменения.	При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби. А знаменатель оставляют без изменения.

Примеры: 1) ;    2)

Пример: 1) .

Смешанные числа.

Запись числа, содержащую целую и дробную части, называют смешанной. Для краткости вместо «число в смешанной записи» говорят смешанное число.

2;   11.

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо:

1) разделить с остатком числитель на знаменатель

2) неполное частное будет целой частью;

3) остаток (если он есть) дает числитель, а делитель - знаменатель дробной части.

Пример: = 47 : 9 = 5(остаток 2) = 5

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно:

1) умножить его целую часть на знаменатель дробной части;

2) к полученному произведению прибавить числитель дробной части;

3) записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменения.

 Пример: 7 =                   

Сложение и вычитание смешанных чисел.

При сложении и вычитании смешанных чисел целые части складывают или вычитают отдельно, а дробные – отдельно.

Пример: 2

Иногда при сложении смешанных чисел в их дробной части получается неправильная дробь. В этом случае из неё выделяют целую часть и добавляют её к уже имеющейся целой части.

Пример:

Если при вычитании смешанных чисел дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, поступают так:

У 5 заняли 1 и представили её как  и добавили к дробной части первой дроби, получили новую дробь. Можно и по-другому: представить обе дроби в виде неправильных и вычитать по правилу обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями.

Таким же образом поступают и при вычитании дроби из натурального числа, и при вычитании смешанного числа из натурального числа.

;              ;     

Задачи на дроби.

Ι тип (часть от числа)

Всего – 9 км

Отремонтировано  - ? км. -  всей дороги

9: 3 · 2 = 6 (км) – отремонтировано

 Ответ : 6 километров.

                                                                   9 км

                                                   ? км

ΙΙ тип (по дроби число)

Всего - ?

Отремонтировано – 8 км, что составляет

8: 2 · 3 = 12 (км) – длина всей дороги.

  Ответ: 12 километров.

                                     8 км

                                                      ? км

ΙΙΙ тип (число от числа)

 

        2 от 3 = ?                          ?                         

Геометрические фигуры

Отрезок

АВ = АС + СВ

  А              С                     В             

Ломаная                                                        Многоугольник

                                             

Звенья, вершины                                            Стороны, вершины

Луч                                                               Прямая

О                                                                                  а

Есть

начало                     К                                              Нет ни начала ни конца.

нет конца 

Дополнительные лучи

   А                                   О                            В

Десятичная дробь и действия с десятичными дробями.

Числа со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д. можно записывать без знаменателя.

Примеры:

= 11, 31;   = 12, 024;   = 0,43;  = 0,0021и т.д.

Сначала пишут целую часть, а потом числитель дробной части. Целую часть отделяют от дробной части запятой. После запятой числитель дробной части должен иметь столько же цифр, сколько нулей в знаменателе.

Если в конце десятичной дроби приписать или отбросить нуль, то получится десятичная дробь, равная данной.

Примеры: 0,78 = 0,7800;   34 = 34,000;   45,700 = 45,70 = 45,7.

1.  Чтобы сравнить две десятичные дроби надо :  а) порязрядно

                                                       б) можно после ,     приписывать и убирать НУЛИ

 

Чем больше, тем правее                                    9,76 > 9,7

 

  Чем меньше, тем левее                                       9,8 < 10,2

2. Сложение и вычитание: 1) уравнять в дробях количество знаков после запятой;

                                                  2) записать дроби друг под другом так, чтобы запятая           была под запятой;

                                                  3) выполнить действие, оставив запятую под запятой.

            12,14 + 3,187:                                      2,110 – 1,04

             12, 140                                                __ 2, 11

         +    3, 187                                                     1, 04  

             15,  327                                                     1, 07    

Инструменты для вычислений и измерений величин на местности

Инструмент для быстрого выполнения вычислений – микрокалькулятор.

Примеры:

1)    Вычислить:

21,3 – 11,42

21                           3        11          42         9,88  

2)    Вычислить:

     (11+23 – 4,2)   3

11           23          4           2           3

 

          89,4

Инструменты для построения геометрических фигур:

 транспортир, чертёжный треугольник, линейка

                      

Округление чисел.

При округлении числа до какого-либо разряда применяют следующий

алгоритм:

                   1) если число округляют до какого – нибудь разряда, то все следующие 

                       за этим разрядом цифры заменяют нулями. А если они стоят после

                       запятой, то их отбрасывают;

                   2) если первая отброшенная или заменённая цифра равна

        * 0, 1, 2, 3, 4, то стоящую перед ней цифру оставляют без изменения;      

        * 5, 6, 7, 8, 9, то стоящую перед ней цифру увеличивают на 1.

Примеры: 1) округлить числа 83,54 до десятых

                              83, 54 83, 5

                   2) округлить число 83,54 до десятков 

                                  83, 54  80

Таблица числа по разрядам:

Сотни тысяч

Десятки тысяч

Единицы тысяч

Сотни

Десятки

Единицы

,

Десятые

Сотые

Тысячные

Десяти- тысяч ные

Сто- тысяч ные

Миллионные

Целая часть

Дробная часть

Умножение и деление десятичных дробей.

Умножение		Деление
10 100 1000     ,              19,61 100 = 1961	0,1 0,01  0,001    ,      1080  0,1 = 108	: 10                          : 100     : 1000   ,	: 0,1 : 0, 01 : 0,001   ,
При умножении десятичной дроби на натуральное число нужно: 1)    выполнить умножение, не обращая внимания на запятую; 2)    в ответе отделить справа налево столько знаков, сколько их отделено запятой в десятичной дроби. 1,84        3   5,52		При делении десятичной дроби на натуральное число, нужно: 1)    выполнить деление, не обращая внимания на запятую; 2)    в частном поставить запятую сразу после того, как закончится деление целой части.   - 19,2   8   16      2,4   - 3 2     3 2        0
При умножении десятичных дробей нужно: 1)    выполнить умножение, не обращая внимания на запятые; 2)    в ответе отделить справа            налево столько знаков, сколько их было в обоих множителях вместе. 9,56   3, 05 +   4 7 8 0 28 6 8 29, 1 5 8 0 = 29, 158		При делении десятичной дроби на десятичную дробь, нужно: 1)    Перенести в делимом и делителе запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе; 2)    Выполнить деление как на натуральное число.

Проценты.

Для перевода десятичной дроби в проценты надо умножить её на 100:

           0,846 · 100% = 84,6%

Для перевода процентов в десятичную дробь надо число процентов разделить на 100:

            96% = 96 : 100 = 0,96

      1% от центнера – килограмм

1% от метра – сантиметр

  1% от гектара – ар (сотка)

Задачи на проценты.

Ι тип Нахождение процентов от числа	ΙΙ тип Нахождение числа по его процентам	ΙΙΙ тип Сколько процентов составляет одно число от другого
1)    разделить число на 100 (узнать, чему равен 1%) 2)    умножить полученный результат на данные проценты. Пример: В книге 120 страниц. Петя прочитал 30% всей книги. Сколько страниц прочитал Петя? РЕШЕНИЕ. 1)    120 : 100 = 1,2 (стр.) 2)    1,2 · 30 = 36 (стр.) Ответ. 36 страниц прочитал Петя.	1) разделить число на количество процентов (узнать, чему равен 1%) 2)умножить полученный результат на 100%. Пример: Петя прочитал 70 страниц, что составило 35% всей книги. Сколько страниц в книге? РЕШЕНИЕ. 1)    70 : 35 = 2 (стр.) 2)    2 · 100 = 200 (стр.) Ответ. 200 страниц во всей книге.	1)      разделить одно число на другое, частное записать в виде десятичной дроби 2)      умножить полученный результат на 100% Пример: В парке 1000 деревьев, из них 400 берёз. Сколько процентов составляют берёзы от всех деревьев? РЕШЕНИЕ. 1)    400 : 1000 = 0,4 2)     0,4 · 100 = 40% Ответ. Берёзы составляют 40%.

Задачи на проценты.

Среднее арифметическое чисел.

Среднее арифметическое чисел.

        

Среднее арифметическое чисел 73,5;  81,2 и 76,6 - ?

1)     73,5 + 81,2 + 76,6 = 234,3

2)     234,3 : 3 = 77,1 – среднее арифметическое этих чисел.

Среднее арифметическое чисел 0,8 и 1,6 - ?

 (0,8 + 1,6) : 2 = 2,4 : 2 = 1,2 - среднее арифметическое чисел 0,8 и 1,6.

 

                     0,8                              1,2                            1,6                                         

                      А                                С                              В                                   х

Точка С(1,2) – середина отрезка АВ, где А(0,8);  В(1,6).

        

Задача.

Турист 3 часа плыл по реке со скоростью 10км/ч и 2 часа шёл пешком со скоростью 5 км/ч. Найдите среднюю скорость туриста.

Решение:

1)    3 · 10 + 2 · 5 = 40 (км) весь путь;

2)    3 + 2 =5(ч) время движения;

3)    40 : 5 = 8 (км/ч).

Ответ. Средняя скорость движения 8 км/ч.

Площадь прямоугольника.

Единицы площадей.

Площадь прямоугольника S равна:

 S = a · b, где a и b –

 стороны прямоугольника.

S = 5 · 3 = 15 см