Применение производной при решении физических задач

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПРИ РЕШЕНИИ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (ИНТЕГРИРОВАННОЕ ЗАНЯТИЕ ФИЗИКА + МАТЕМАТИКА)

Ковгореня Любовь Валерьевна

учитель математики

Разработанный конспект урока представляет собой модель формирования некоторых компетенций в познавательной деятельности при изучении производной в школьном курсе математики. Представленное интегрированное факультативное занятие по физике и математике для учащихся 11 класса общеобразовательных средних школ иллюстрирует технологию внедрения в познавательный процесс видов деятельности, направленных на формирование ключевых компетенций.

Цели:

Образовательные: Обобщить знания по теме «Производная и ее применение»; обучить учащихся использованию механического смысла производной при решении задач; формировать у учащихся ключевые компетенции при использовании производной для решения задач из других предметных областей.

Предполагается, что в результате познавательной деятельности на этом занятии учащиеся приобретут знания, умения и навыки по теме  «Производная и ее применение», которые будут использоваться ими при решении задач из различных предметных областей.

Развивающие: Развивать логическое мышление при установлении связи физических величин с понятием производной (анализ и  синтез, сравнение, сопоставление, обобщение, систематизация); развивать математическую речь при обосновании выполняемых действий.

Воспитательные: Воспитывать аккуратность, четкость и последовательность в  решении задач; формировать умения планировать собственную  учебно-познавательную деятельность; развивать навыки самостоятельной работы.

Методы:

Методы познавательной деятельности: анализ и  синтез, сравнение, сопоставление, обобщение, систематизация;

Методы, применяемые  в процессе формирования знаний: эвристическая беседа, обобщенно-эвристический метод (метод предполагает создание учителем такой ситуации, в которой учащийся самостоятельно (или с небольшой помощью учителя) приходит к обобщению), исследовательская работа.

Оборудование: Таблицы производных, карточки с тестами для самостоятельной работы, проектор или интерактивная доска.

Ход занятия:

1 этап. Организационно – мотивационный этап

Цель этапа: (ожидаемый результат) – создание психологической готовности класса к занятию, введение обучающихся в атмосферу познавательной деятельности.

2 этап. Операционно – познавательный этап

Цель этапа: подготовить учащихся к систематизации знаний по теме «Производная и ее применение».

На данном занятии рассмотрим применение производных при решении различных физических задач, для этого понадобиться следующая таблица (учитель составляет ее вместе с учениками).

Таблица 1

Диалог учителя с учениками.

Вопросы, задаваемы е учителем	Предполагаемые ответы обучающихся
Простейший вид движения – равномерное. Вспомним, что равномерным называется движение материальной точки, при котором она за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Но материальная точка может двигаться и равноускоренно. Вспомним, какое движение называется равноускоренным: равноускоренным называется движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные промежутки времени изменяется одинаково. Теперь ответьте на следующие вопросы:
·              Какой вид имеет уравнение равномерного движения?
·              Назовите, что означает каждая величина в данном уравнении.	− перемещение, − скорость, − время движения.
·              Для того чтобы отразить характер движения в данной точке траектории или в данный момент времени, вводится понятие мгновенной скорости. Из курса физики вспомните: как найти мгновенную скорость. Запишем формулу.	Мгновенная скорость – это скорость тела (материальной точки), равная производной перемещения по времени.
·              Какой вид имеет уравнение скорости для равноускоренного движения?
·              Назовите, что означает каждая величина в данном уравнении.	− скорость в момент времени , − начальная скорость (в момент времени ), − время движения, − ускорение.
·              Из курса физики вспомните: как найти  ускорение. Запишем формулу.	Ускорение – физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости тела (материальной точки) с течением времени.
·              Из курса физики вспомните: как найти силу тока. Запишите формулу.	Сила тока – физическая скалярная величина, равная отношению заряда , прошедшего за промежуток времени   через поперечное сечение проводника, к этому промежутку.
·              В некоторых случаях для определения силы тока достаточно знать, как электрический заряд зависит от времени. Т.е. сила тока является первой производной от электрического заряда.
·              Из курса физики вспомните: как найти линейную плотность тела. Запишем формулу.	Линейная плотность тела – физическая величина, определяемая отношением массы тела к его длине.
·              Для определения линейной плотности тела достаточно знать, как масса тела зависит от его длины. Т.е. линейная плотность тела является первой производной от массы данного тела.
·              Вспомните: как найти объемную плотность тела. Запишем формулу.	Объемная плотность тела – скалярная физическая величина, определяемая как отношение массы тела к занимаемому этим телом объёму.
·              Для определения объемной плотности тела достаточно знать, как масса тела зависит от его объема. Т.е. объемная плотность тела является первой производной от массы данного тела.

Полученные данные систематизируем в одну таблицу.

Таблица 2

Связь производной с физическими величинами.

Связь производной с физическими величинами	Описание величин	Физическая формула

Перейдем к решению задач.

№1. Найти кинетическую энергию тела, которое движется прямолинейно по закону  ( – измеряется в метрах, а  – в секундах), через 10 с. после начала движения. Масса тела составляет 5 кг.

Решение

Тело движется прямолинейно по закону .

Из курса физики известно, что скорость  – это первая производная от пути . Определите скорость движения тела.

Скорость движения тела:.

По условию задачи нужно определить кинетическую энергию тела через 10 с. после начала движения. По какой формуле рассчитывается кинетическая энергия?

Кинетическая энергия рассчитывается по формуле: . Подставим в данную формулу необходимые величины :  

Ответ:

№2. В тонком неоднородном стержне длиной 25 см., масса которого (в г) распределена по закону , где  – длина стержня, отсчитывающаяся от его начала, найти линейную плотность в точке:

1)                отстоящей от начала стержня на 3 см.;

2)                в конце стержня.

Решение

Масса однородного стержня распределена по закону , где  – длина стержня.

Из курса физики известно, что линейная плотность стержня  есть первая производная от массы стержня . Определите формулу для расчета линейной плотности стержня.

Формула для расчета линейной плотности стержня: .

Определите линейную плотность стержня в точке, отстоящей от начала стержня на 3 см. и в конце стержня.

Линейная плотность стержня в точке, отстоящей от начала стержня на 3 см.:  Линейная плотность стержня в точке, которая находится в конце стержня: .

Ответ: , .

№3. Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента , задается формулой . Найдите силу тока в момент времени .

Решение

Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента , задается формулой .

Из курса физики известно, что сила тока  есть первая производная от количества электричества . Формулу для расчета силы тока: .

Сила тока в момент времени :

Ответ:

№4. В какой момент времени скорость точки, которая движется прямолинейно по закону , ( – перемещение в сантиметрах, – время в секундах), будет равна 33 см/с.?

Решение

Тело движется прямолинейно по закону .

Из курса физики известно, что скорость  – это первая производная от перемещения . Поэтому скорость движения тела: .

Определить время , при котором скорость точки равна 33 см/с.

Ответ:

3 этап. Конрольно-оценочный (до 10 мин)

Каждый из учащихся отвечает на вопросы диагностической работы, а затем учащиеся обмениваются работами и проверяют их(зачитывают вопрос и ответ).

Таблица 3

Диагностическая работа на два варианта.

Вариант 1 1.             В чем сущность физического смысла ? А. Скорость. Б. Ускорение. В. Угловой коэффициент. Г. Не знаю. 2.       Точка движется по закону . Чему равна скорость тела в момент времени А. 15     Б. 12     В. 9     Г. 3 3.       Зависимость пути  от времени движения выражается формулой . Назовите формулу скорости. А. t Б. 2gt В. gt Г. g 4.             Точка движется прямолинейно по закону . В какие моменты времени ее скорость будет равна нулю? А. 1 и 5     Б. 1 и 4     В. 2     Г. 2 и 0 5.             Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется по формуле . Чему равно ускорение тела в момент ? А. 17     Б. 32     В. 30     Г. 16	Вариант 2 1.             В чем сущность физического смысла ? А. Скорость. Б. Ускорение. В. Угловой коэффицент. Г. Не знаю. 2.       Точка движется по закону . Чему равна скорость тела в момент времени А. 15     Б. 12     В. 9     Г. 3 3.       Зависимость пути  от времени движения выражается формулой . Назовите формулу ускорения. А. t     Б. gt     В. 2gt     Г. g 4.             Точка движется прямолинейно по закону . В какие моменты времени ее скорость будет равна нулю? А. 1 и 3     Б. 1 и 4     В. 2     Г. 2 и 0 5.             Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется по формуле . Чему равно ускорение тела в момент ? А. 17     Б. 32     В. 30     Г. 16
Ответы
Вариант 1 1.             А. Скорость. 2.             Г. 3 3.             В. gt 4.             А. 1 и 5 5.             А. 17	Вариант 2 1.             Б. Ускорение. 2.             В. 9 3.             Б. gt 4.             А. 1 и 3 5.             Б. 32

4 этап. Самостоятельное применение учащимися системы приёмов анализа и синтеза в несильно изменённых условиях

Один ученик решает задание у доски, отвечая на вопросы учителя. Остальные учащиеся делают записи в личной тетради и следят за решением задачи на доске.

№5. На какой высоте следует повесить лампу над круглым столом радиуса , чтобы на краях стола получить наибольшую освещенность?

Решение

Рис. 1

Из физики известно, что освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света и пропорциональна синусу угла наклона света к освещаемой маленькой площадке. Иными словами, , где  – освещенность на краю стола, , где – расстояние от лампы до стола.

В задаче необходимо определить, на какой высоте следует повысить эту лампу, чтобы на краях стола получить небольшую освещенность, и дан радиус стола.

Поэтому нужно рассмотреть такую функцию, которая будет зависеть только от – расстояния от лампы до стола. Для этого вместо функции , рассмотрим функцию  .

Исследуем функцию  на монотонность:

 .

Приравняем к нулю: .

Освещенность максимальна при  ().

Ответ: .

5 этап. Запись домашнего задания

Домашнее задание:

1.                 Точка движется по закону  ( измеряется в метрах, − в секундах). Найдите величину скорости и ускорения в момент с.

2.                 Определить, каким должно быть сопротивление  электронагревательного прибора, включенного в цепь тока сопротивлением , для того чтобы в нем выделилось максимальное количество тепла , если , .

6 этап. Контрольно – коррекционный

Таблица 4

Лист оценивания знаний

Лист оценивания знаний
Тема занятия
Фамилия, имя ученика
Проверяемые навыки		Наличие
		да	нет
Знаю физический смысл первой производной.
Знаю физический смысл второй производной.
Умею определять скорость движения тела в данный момент времени по заданному закону движения.
Умею определять ускорение тела в данный момент времени по заданному закону движения.
Умею определять ускорение тела в данный момент времени по заданному уравнению скорости.
Умею применять полученные навыки в несильно измененных условиях.

Список литературы

1.                 Рыжик, В.И. Математика без физики? Математика для физики? Математика вместе с физикой! / В.И. Рыжик // – МШ. – 2012. –№3. – С. 7-20.

2.                Рыжик, В.И. Логика в школьном математическом образовании / В.И. Рыжик // – МШ.– 2007. – №4.– с. 54-62.

3.                 Пирютко, О.Н. Использование производной для решения уравнений, доказательства и решения неравенств / О. Н. Пирютко, Л. В. Ковгореня // − Мат.: праблемы выкладання. − 2012. – №1. – с. 48-59.

4.                 Петров В.А. Применение производной в практической деятельности / В.А. Петров, В.С. Чертков // −МШ. – 1980. −№6. – с. 30-32.

5.                 Пирютко, О.Н. Задачи по математике повышенной сложности с решениями /  О.Н. Пирютко. – Мн.: Новое знание. – 2011. – 167с.

6.                 Ивлев, Б.М. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учеб. пособие для 10-11 кл. сред. шк. / Б.М. Ивлев, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын, С.И. Шварцбурд – М.: Просвещение, 1990. – 48 с.: ил.

7.                 Гельфанд, М.Б. Упражнения межпредметного характера к теме «Производная» / М.Б.  Гельфанд, В.П. Берман // – МШ. – 1979. – №2. – с. 31-36.