ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПРИ
РЕШЕНИИ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (ИНТЕГРИРОВАННОЕ ЗАНЯТИЕ ФИЗИКА + МАТЕМАТИКА)
Ковгореня Любовь Валерьевна
учитель математики
Разработанный
конспект урока представляет собой модель формирования некоторых компетенций в
познавательной деятельности при изучении производной в школьном курсе
математики. Представленное интегрированное факультативное занятие по физике и
математике для учащихся 11 класса общеобразовательных средних школ иллюстрирует
технологию внедрения в познавательный процесс видов деятельности, направленных
на формирование ключевых компетенций.
Цели:
Образовательные: Обобщить знания по теме «Производная и ее применение»;
обучить учащихся использованию механического смысла производной при решении
задач; формировать у учащихся ключевые компетенции при использовании
производной для решения задач из других предметных областей.
Предполагается, что в результате познавательной деятельности на этом
занятии учащиеся приобретут знания, умения и навыки по теме «Производная и ее
применение», которые будут использоваться ими при решении задач из различных
предметных областей.
Развивающие: Развивать логическое мышление при установлении связи физических величин с
понятием производной (анализ и синтез, сравнение, сопоставление, обобщение, систематизация); развивать математическую
речь при обосновании выполняемых действий.
Воспитательные: Воспитывать аккуратность, четкость и последовательность в
решении задач; формировать умения планировать собственную
учебно-познавательную деятельность; развивать навыки самостоятельной работы.
Методы:
Методы
познавательной деятельности: анализ и синтез, сравнение, сопоставление, обобщение,
систематизация;
Методы,
применяемые в процессе формирования знаний: эвристическая беседа,
обобщенно-эвристический метод (метод предполагает создание учителем такой
ситуации, в которой учащийся самостоятельно (или с небольшой помощью учителя)
приходит к обобщению), исследовательская работа.
Оборудование: Таблицы производных,
карточки с тестами для самостоятельной работы, проектор или интерактивная
доска.
Ход занятия:
1 этап. Организационно –
мотивационный этап
Цель этапа:
(ожидаемый результат) – создание психологической готовности класса к занятию, введение
обучающихся в атмосферу познавательной деятельности.
2 этап. Операционно – познавательный
этап
Цель этапа: подготовить
учащихся к систематизации знаний по теме «Производная и ее применение».
На данном занятии
рассмотрим применение производных при решении различных физических задач, для
этого понадобиться следующая таблица (учитель составляет ее вместе с учениками).
Таблица
1
Диалог
учителя с учениками.
Вопросы, задаваемы е учителем
|
Предполагаемые ответы обучающихся
|
Простейший вид движения – равномерное. Вспомним, что
равномерным называется движение материальной точки, при котором она за любые
равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.
Но материальная точка может двигаться и равноускоренно.
Вспомним, какое движение называется равноускоренным: равноускоренным
называется движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные
промежутки времени изменяется одинаково.
Теперь ответьте на следующие вопросы:
|
·
Какой вид имеет уравнение равномерного движения?
|
|
·
Назовите, что означает каждая величина в данном
уравнении.
|
− перемещение,
− скорость,
− время движения.
|
·
Для того чтобы отразить характер движения в
данной точке траектории или в данный момент времени, вводится понятие
мгновенной скорости. Из курса физики вспомните: как найти мгновенную скорость.
Запишем формулу.
|
Мгновенная скорость – это скорость тела (материальной
точки), равная производной перемещения по времени.
|
·
Какой вид имеет уравнение скорости для
равноускоренного движения?
|
|
·
Назовите, что означает каждая величина в данном
уравнении.
|
− скорость в момент времени ,
− начальная скорость (в момент
времени ),
− время движения,
− ускорение.
|
·
Из курса физики вспомните: как найти ускорение.
Запишем формулу.
|
Ускорение – физическая величина, характеризующая быстроту
изменения скорости тела (материальной точки) с течением времени.
|
·
Из курса физики вспомните: как найти силу тока.
Запишите формулу.
|
Сила тока – физическая скалярная величина, равная
отношению заряда , прошедшего за промежуток
времени через поперечное сечение проводника, к
этому промежутку.
|
·
В некоторых случаях для определения силы тока
достаточно знать, как электрический заряд зависит от времени. Т.е. сила тока
является первой производной от электрического заряда.
|
|
·
Из курса физики вспомните: как найти линейную
плотность тела.
Запишем формулу.
|
Линейная плотность тела – физическая величина,
определяемая отношением массы тела к его длине.
|
·
Для определения линейной плотности тела
достаточно знать, как масса тела зависит от его длины. Т.е. линейная плотность
тела является первой производной от массы данного тела.
|
|
·
Вспомните: как найти объемную плотность тела.
Запишем формулу.
|
Объемная плотность тела – скалярная физическая величина, определяемая как отношение массы
тела к занимаемому этим
телом объёму.
|
·
Для определения объемной плотности тела
достаточно знать, как масса тела зависит от его объема. Т.е. объемная
плотность тела является первой производной от массы данного тела.
|
|
Полученные данные
систематизируем в одну таблицу.
Таблица
2
Связь
производной с физическими величинами.
Связь производной с физическими величинами
|
Описание величин
|
Физическая формула
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдем к решению задач.
№1. Найти кинетическую энергию тела, которое движется
прямолинейно по закону ( – измеряется в метрах, а – в секундах), через 10 с. после начала
движения. Масса тела составляет 5 кг.
Решение
Тело движется прямолинейно по закону .
Из курса физики известно, что скорость – это первая производная от пути . Определите скорость движения тела.
Скорость движения тела:.
По условию задачи
нужно определить кинетическую энергию тела через 10 с. после начала движения.
По какой формуле рассчитывается кинетическая энергия?
Кинетическая энергия рассчитывается по формуле: . Подставим в данную формулу необходимые
величины :
Ответ:
№2. В тонком неоднородном стержне длиной 25 см., масса
которого (в г) распределена по закону ,
где – длина стержня, отсчитывающаяся от его
начала, найти линейную плотность в точке:
1)
отстоящей
от начала стержня на 3 см.;
2)
в конце
стержня.
Решение
Масса однородного стержня распределена по закону , где –
длина стержня.
Из курса физики известно, что линейная плотность стержня есть первая производная от массы стержня . Определите формулу для расчета линейной
плотности стержня.
Формула для расчета линейной плотности стержня: .
Определите линейную плотность стержня в точке, отстоящей от
начала стержня на 3 см. и в конце стержня.
Линейная плотность стержня в точке, отстоящей от начала
стержня на 3 см.: Линейная плотность стержня в точке,
которая находится в конце стержня: .
Ответ: , .
№3. Количество
электричества, протекающее через проводник, начиная с момента , задается формулой . Найдите силу тока в момент времени .
Решение
Количество электричества, протекающее через проводник,
начиная с момента , задается формулой .
Из курса физики известно, что сила тока есть первая производная от количества
электричества . Формулу для расчета силы тока:
.
Сила тока в момент времени :
Ответ:
№4. В какой момент времени скорость точки, которая движется
прямолинейно по закону , ( – перемещение в сантиметрах, – время в секундах), будет равна 33 см/с.?
Решение
Тело движется прямолинейно по закону .
Из курса физики известно, что скорость – это первая производная от перемещения . Поэтому скорость движения тела: .
Определить время , при котором
скорость точки равна 33 см/с.
Ответ:
3 этап. Конрольно-оценочный (до 10
мин)
Каждый из
учащихся отвечает на вопросы диагностической работы, а затем учащиеся
обмениваются работами и проверяют их(зачитывают вопрос и ответ).
Таблица
3
Диагностическая
работа на два варианта.
Вариант
1
1.
В чем сущность физического смысла ?
А. Скорость.
Б. Ускорение.
В. Угловой коэффициент.
Г. Не знаю.
2.
Точка движется по закону . Чему равна скорость тела
в момент времени
А. 15 Б. 12 В. 9 Г. 3
3.
Зависимость пути от времени движения
выражается формулой . Назовите формулу скорости.
А. t Б. 2gt В. gt Г. g
4.
Точка движется прямолинейно по закону .
В какие моменты времени ее
скорость будет равна нулю?
А. 1 и 5 Б. 1 и 4 В. 2 Г. 2 и 0
5.
Скорость тела, движущегося прямолинейно,
определяется по формуле .
Чему равно ускорение тела в
момент ?
А. 17 Б. 32 В. 30 Г. 16
|
Вариант
2
1.
В чем сущность физического смысла ?
А. Скорость.
Б. Ускорение.
В. Угловой коэффицент.
Г. Не знаю.
2.
Точка движется по закону . Чему равна скорость тела
в момент времени
А. 15 Б. 12 В. 9 Г. 3
3.
Зависимость пути от времени движения
выражается формулой . Назовите формулу ускорения.
А.
t Б. gt В.
2gt Г. g
4.
Точка движется прямолинейно по закону .
В какие моменты времени ее
скорость будет равна нулю?
А. 1 и 3 Б. 1 и 4 В. 2 Г. 2 и 0
5.
Скорость тела, движущегося прямолинейно,
определяется по формуле .
Чему равно ускорение тела в
момент ?
А. 17 Б. 32 В. 30 Г. 16
|
Ответы
|
Вариант
1
1.
А. Скорость.
2.
Г. 3
3.
В. gt
4.
А. 1 и 5
5.
А. 17
|
Вариант
2
1.
Б. Ускорение.
2.
В. 9
3.
Б. gt
4.
А. 1 и 3
5.
Б. 32
|
4 этап. Самостоятельное применение
учащимися системы приёмов анализа и синтеза в несильно изменённых условиях
Один ученик
решает задание у доски, отвечая на вопросы учителя. Остальные учащиеся делают
записи в личной тетради и следят за решением задачи на доске.
№5. На какой высоте следует повесить лампу над круглым столом
радиуса , чтобы на краях стола получить
наибольшую освещенность?
Решение
Рис. 1
Из физики
известно, что освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния до
источника света и пропорциональна синусу угла наклона света к освещаемой
маленькой площадке. Иными словами, , где – освещенность на краю стола, , где – расстояние от лампы до стола.
В задаче
необходимо определить, на какой высоте следует повысить эту лампу, чтобы на
краях стола получить небольшую освещенность, и дан радиус стола.
Поэтому нужно
рассмотреть такую функцию, которая будет зависеть только от – расстояния от лампы до
стола. Для этого вместо функции , рассмотрим
функцию .
Исследуем функцию
на монотонность:
.
Приравняем к нулю: .
Освещенность
максимальна при ().
Ответ: .
5 этап. Запись домашнего задания
Домашнее задание:
1.
Точка
движется по закону ( измеряется в метрах, − в секундах). Найдите величину скорости и
ускорения в момент с.
2.
Определить,
каким должно быть сопротивление электронагревательного
прибора, включенного в цепь тока сопротивлением ,
для того чтобы в нем выделилось максимальное количество тепла , если ,
.
6 этап. Контрольно – коррекционный
Таблица
4
Лист
оценивания знаний
Лист оценивания знаний
|
Тема занятия
|
|
Фамилия, имя ученика
|
|
Проверяемые навыки
|
Наличие
|
да
|
нет
|
Знаю физический смысл первой производной.
|
|
|
Знаю физический смысл второй производной.
|
|
|
Умею определять скорость движения тела в данный момент
времени по заданному закону движения.
|
|
|
Умею определять ускорение тела в данный момент времени по
заданному закону движения.
|
|
|
Умею определять ускорение тела в данный момент времени по
заданному уравнению скорости.
|
|
|
Умею применять полученные навыки в несильно измененных
условиях.
|
|
|
|
|
|
|
Список литературы
1.
Рыжик,
В.И. Математика без физики? Математика для физики? Математика вместе с физикой!
/ В.И. Рыжик // – МШ. – 2012. –№3. – С. 7-20.
2.
Рыжик, В.И. Логика в школьном математическом
образовании / В.И. Рыжик // – МШ.– 2007. – №4.– с. 54-62.
3.
Пирютко,
О.Н. Использование производной для решения уравнений, доказательства и решения
неравенств / О. Н. Пирютко, Л. В. Ковгореня // − Мат.: праблемы выкладання. − 2012. – №1. – с. 48-59.
4.
Петров
В.А. Применение производной в практической деятельности / В.А. Петров, В.С. Чертков
// −МШ. – 1980. −№6. – с. 30-32.
5.
Пирютко,
О.Н. Задачи по математике повышенной сложности с решениями / О.Н. Пирютко. –
Мн.: Новое знание. – 2011. – 167с.
6.
Ивлев,
Б.М. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учеб. пособие
для 10-11 кл. сред. шк. / Б.М. Ивлев, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын, С.И.
Шварцбурд – М.: Просвещение, 1990. – 48 с.: ил.
7.
Гельфанд,
М.Б. Упражнения межпредметного характера к теме «Производная» / М.Б. Гельфанд,
В.П. Берман // – МШ. – 1979. – №2. – с. 31-36.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.