Применение производной для отыскания наибольших и наименьших величин

• 1 слайд

  Мультимедийная презентация 2 уроков по алгебре в 10 классе
  (УМК Мордкович А.Г., профильный уровень)
  
  Быкасов Андрей Иванович, учитель математики
  Негосударственное общеобразовательное учреждение
  «Нефтеюганская православная гимназия»
  

• 2 слайд

  Тема
  Применение производной для отыскания наибольших и наименьших величин
  Тип урока: комбинированный
  
  

• 3 слайд

  Цель: научить обучающихся находить наибольшее и наименьшее значение функции.
  составить совместно с обучающимися алгоритм для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции;
  научить обучающихся применять полученный алгоритм в решении задач;
  научить обучающихся решать простейшие задачи на оптимизацию, познакомить с различными методами решения таких задач;
  сформировать представление учащихся о широком применении производной в экономических задачах на оптимизацию;
  способствовать формированию коммуникативной и информационной компетентностей обучающихся.
  
  Задачи:
  У
  Ч
  Е
  Б
  Н
  Ы
  Е
  
  Р
  А
  З
  В
  И
  В
  А
  Ю
  Щ
  И
  Е
  

• 4 слайд

  Планируемый результат обучения и развития
  алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции;
  как называется область науки, занимающейся решением задач на оптимизацию;
  как составить математическую модель простейшей задачи на оптимизацию;
  несколько методов решения задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции
  
  
  
  
  
  
  Обучающийся знает:
  Обучающийся делает:
  применяет алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в решении задач;
  составляет математическую модель для решения задачи на оптимизацию;
  применяет различные методы в решении задач на оптимизацию;
  сотрудничает в групповой работе, оценивает результаты своей деятельности.
  
  
  
  
  
  
  
  

• 5 слайд

  Методы и формы работы
  Методы работы:
  наглядно- иллюстративный ( работа с графиками);
  метод проблемного изложения (постановка проблемы: сформулируйте алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции);
  словесный (объяснение);
  частично- поисковый (работа по решению задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции) различными методами);
  метод контроля (лист самоконтроля).
  
  Формы работы: групповая, фронтальная
  
  

• 6 слайд

  Оборудование урока
  Компьютер;
  Мультимедиа проектор;
  Экран;
  Раздаточный материал.
  
  

• 7 слайд

  Этапы 1 урока
  I этап Организационный
  II этап Актуализация знаний
  III этап Изучение нового материала
  Постановка проблемы и
  её решение
  IV этап Закрепление изученного.
  Применение знаний в
  нестандартных ситуациях
  V этап Рефлексия и самооценка
  Подведение итогов
  работы группы
  и личного вклада каждого
  Решение задач на повторение .
  Подготовка к усвоению
  нового материала
  Совместное решение
  проблемной ситуации.
  Создание алгоритма для
  решения задачи
  Решение каждой группой
  поставленных перед ними задач.
  Обобщение методов решения.
  До начала урока
  разбиваются на группы.
  Получают лист самоконтроля.
  Определяют цель
  деятельности группы
  обучающиеся
  учитель
  5 мин
  10 мин
  10 мин
  10 мин
  5 мин
  

• 8 слайд

  Этапы 2 урока
  I этап Организационный
  II этап Актуализация знаний
  III этап Изучение нового материала
  Постановка проблемы и
  её решение
  IV этап Закрепление изученного.
  Применение знаний в
  нестандартных ситуациях
  V этап Рефлексия и самооценка
  Подведение предварительных
  итогов работы группы
  и личного вклада каждого
  Решение задач на закрепление .
  Подготовка к усвоению
  нового материала
  Совместное решение
  проблемной ситуации.
  Обобщение методов
  решения задач на оптимизацию
  Решение каждой группой
  поставленных перед ними задач.
  Сравнение различных
  методов в новой ситуации.
  Выбор оптимального метода
  Продолжают вести
  лист самоконтроля.
  обучающиеся
  учитель
  5 мин
  10 мин
  10 мин
  10 мин
  5 мин
  

• 9 слайд

  Организационный этап
  «В мире не происходит ничего, в чем бы не был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума»
  так отозвался о известных нам точках максимума и минимума Леонард Эйлер.
  И первым шагом в изучении темы нашего урока будет максимальная цель, которую вы поставите перед собой на этот урок. Обсудите эту цель, выберите старшего группы, который будет отвечать за заполнение листа.
  Запишите эту цель в лист самоконтроля.
  
  

• 10 слайд

  Задача 1 (работа в группах)
  Перед вами лежат графики функций (см. графики).
  Определите точки минимума и максимума для графиков 1 и 2. Найдите значения функций в этих точках.
  
  Определите наибольшее и наименьшее значения функции.
  
  Всегда ли совпадают значения функции в точке максимума с наибольшим значением функции?
  
  Смоделируйте ситуацию (составьте задачу), пользуясь графиками 3-5, так чтобы наибольшее значение функции не совпадало со значением функции в точке максимума.
  
  
  Обсуждение в группах. 1 выступающий от группы высказывает мнение группы поэтому вопросу.
  Результат заносится старшим группы в лист самоконтроля.
  

• 11 слайд

  Задача 2 (работа в группах)
  
  Определите наибольшее и наименьшее значение функций 4 и 5 на отрезке [0;2]
  В каких точках может находиться наибольшее и наименьшее значения функции?
  Найдите наибольшее значение функции
  Найдите наибольшее и наименьшее значение для функций у=2sinx+cos2x на отрезке
  
  Какие возникли затруднения в решении задач 3 и 4.
  Предложите пути выхода из ситуации.
  
  Обсуждение в группах. 1 выступающий от группы высказывает мнение группы поэтому вопросу.
  Результат заносится старшим группы в лист самоконтроля.
  

• 12 слайд

  Задача 3.
  Создаем алгоритм для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке (выберите фразы, которые дополнят алгоритм и сделают его работающим, поставьте номера правильных фраз по порядку.
  Находим _______________и область дифференцирования f (x) (входит ли отрезок в эту область определения);
  Определяем ______________f (x);
  
  Найдем точки в которых,____________
  Найдем значения функции в тех стационарных точках,_______________
  
  Выберем из полученных значений функции____________________________
  У НАИБ= УНАИМ =
  [a; b] [a; b]
  4
  область определения
  5
  производную
  1
  производная функции f (x) равна 0
  2
  которые входят в отрезок и f (a); f (b);
  3
  наибольшее и наименьшее:
  

• 13 слайд

  Задача 4. Пользуясь алгоритмом найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
  Найдите наибольшее и наименьшее значение для функций у=2sinx+cos2x на отрезке
  Найдите наибольшее значение функции
  
  
  При каком условии на интервале функция не имеет наибольшего и наименьшего значений?
  Как найти наибольшее или наименьшее значение функции на интервале?
  
  
  
  
  
  
  Проверить ответ:
  1. 1,5;
  2. 6.
  

• 14 слайд

  Задача 5 ( для решения в группах)
  Многие жизненные задачи сводятся в итоге к математической модели. Составьте математическую модель для данной задачи.
  
  Задача 1. Периметр прямоугольного садового участка равен P, а его длина равна y, найдите площадь садового участка.
  Группа, которая справилась быстрее, показывает решение на доске.
  
  
  Задача 2. Периметр квадратного садового участка равен P, найдите площадь садового участка.
  Группа, которая справилась быстрее, показывает решение на доске.
  
  
  Решение в группах. Правильность решения устанавливается учителем. Результат заносится старшим группы в лист самоконтроля.
  

• 15 слайд

  Задача 6
  Прочитайте текст. Объясните, как он связан с темой сегодняшнего урока.
  

• 16 слайд

  Как можно решить задачу на нахождение наибольшего и наименьшего значения?
  С помощью производной
  

• 17 слайд

  Задача для совместного решения.
  Периметр картофельного поля равен 40 см. Какую длину должны иметь стороны поля, чтобы площадь была наибольшей? (Проверка правильности решения на слайде)
  
  Решение:
  2(a+b)=40, a+b=20, S =a·b, b=20-a.
  Выбираем независимую переменную х и выражаем через неё стороны прямоугольника.х см – длина прямоугольника, (20-х) см – ширина прямоугольника. Тогда 0< х  <20;
  записываем функцию S(x) =x·(20-x) =20x – x2;
  находим производную S' (x) = 20-2x;
  решаем уравнение 20-2х=0. х=10.
  Значит, длина и ширина равны 10 см. Какая это получается фигура? (Квадрат).
  S (10) = 10 (20-10) =10·10 =100 см2.
  Ответ: 10 см.
  Дополнительный вопрос: Как можно было решить задачу другим способом ?
  Правильность решения устанавливается учителем. Результат заносится старшим группы в лист самоконтроля.
  

• 18 слайд

  Задача 7 для решения в группах
  Из всех прямоугольников с диагональю 4 дм найдите тот, у которого площадь наибольшая.
  
  Правильность решения устанавливается учителем. Результат заносится старшим группы в лист самоконтроля.
  

• 19 слайд

  Другие методы решения задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения
  Геометрический метод
  

• 20 слайд

  Задача для совместного решения с учителем.
  Где нужно расположить станцию (C) на прямой железной дороге MN, чтобы суммарное расстояние
  (AC +CB) до двух деревень A и B было минимальным?
  
  А
  В
  a
  b
  M
  N
  C
  MN=L
  

• 21 слайд

  Задача для совместного решения
  Где нужно расположить станцию на прямой железной дороге, чтобы суммарное расстояние до двух деревень A и B было минимальным? (геометрический метод)
  
  А
  В
  

• 22 слайд

  Задача 8 для решения в группах.
  Остров имеет форму острого угла. Леснику требуется пройти до каждого из двух берегов и вернуться к себе в хижину. Как он должен идти, чтобы пройти наименьшее расстояние?
  Лесник
  Решение в группах. Группа, которая решила задачу быстрее, объясняет решение. Обсуждение. Правильность решения устанавливается учителем. Результат заносится старшим группы в лист самоконтроля.
  a
  b
  c
  d
  

• 23 слайд

  Задача 8 для решения в группах(решение).
  Остров имеет форму острого угла. Леснику требуется пройти до каждого из двух берегов и вернуться к себе в хижину. Как он должен идти, чтобы пройти наименьшее расстояние?
  Лесник
  Решение в группах. Группа, которая решила задачу быстрее, объясняет решение. Обсуждение. Правильность решения устанавливается учителем. Результат заносится старшим группы в лист самоконтроля.
  

• 24 слайд

  Задача для совместного решения с учителем Среднее геометрическое в решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения.
  а
  в
  Постройте среднее геометрическое двух отрезков а и в.
  

• 25 слайд

  Задача для совместного решения с учителем Среднее геометрическое в решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения.
  Определите, каким образом, среднее геометрическое помогает определить наибольшее значение функции?
  Проиллюстрируйте ситуацию, когда при постоянном среднем геометрическом, сумма будет наименьшей.
  

• 26 слайд

  Найти наименьшее значение функции на интервале (0;+∞),
  используя точные неравенства(1 группа), графический метод (2 группа) и полученный алгоритм( 3 группа).
  Для проверки
  Решение задачи с использованием точных неравенств
  Решение задачи графическим методом
  Решение задачи с помощью производной
  

• 27 слайд

  Подведение итогов
  Рефлексия и самооценка
  Старший группы формулирует итог урока по плану:
  Мы поняли (не поняли) как пользоваться алгоритмом для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции;
  Мы научились (не научились) применять полученный алгоритм в решении задач;
  Мы научились (не научились) решать простейшие задачи на оптимизацию,
  Мы знаем (указать сколько) методов решения таких задач;
  Мы понимаем, что производная применяется в решении задач на …………..
  Карты урока сдаются учителю. Отметка выставляется с учетом активности работы в группе.
  

• 28 слайд

  Самооценка
  Выполнял все задания. Не понял решение некоторых задач. Не выступал с обоснованием.
  Сам решал задачи. Выступал с обоснованием.
  A
  
  C
  B
  
  Старший группы считает баллы каждого участника и проговаривает итог урока.
  Каждый оценивает свой вклад в работу группы по шкале участия.
  Выдвигал идеи решения задач. Неоднократно правильно отвечал на поставленные вопросы. Неоднократно выступал по решению задач с места или у доски. Помогал другим.
  D
  Сам решал задачи. Помогал другим понять решение. Выступал с обоснованием.
  

• 29 слайд

  Домашнее задание
  1. Решите задачу любым из разобранных способов.
  В полукруг радиуса r вписать прямоугольник наибольшей площади таким образом, чтобы две его вершины лежали на диаметре, а две другие – на окружности.
  2.
  

• 30 слайд

  Источники
  http://mmmf.msu.ru/archive/19992000/bugaenko/b10.html
  http://cito-web.yspu.org/link1/metod/met33/node4.html
  http://www.valeryzykin.ru/view_journal.php?id=5
  

• 31 слайд

  Самоанализ
  Тема: применение производной для отыскания наибольших и наименьших величин
  Раздел: производная
  Тип: комбинированный
  Цель уроков: научить обучающихся находить наибольшее и наименьшее значение функции при помощи производной; научить применять различные методы в решении задач на оптимизацию.
  Обучающиеся на начало изучения материала знают понятия максимума и минимума, умеют их определять, умеют находить производные элементарных функций.
  Данный урок предназначен для усвоения новых понятий наибольшего и наименьшего значений функции и создания алгоритма для их определения с помощью производной. На втором уроке обучающиеся применяют алгоритм для решения задач и рассматривают широкий круг других методов решения задач на оптимизацию, самостоятельно в ходе работы делая вывод о преимуществе или недостатках одного метода перед другими.
  
  

• 32 слайд

  Данные уроки соответствует содержанию программы.
  Содержание учебного материала учитывает возрастные особенности
  обучающихся и способствует формированию у старших школьников
  компетенций:
  учебно-познавательных: самостоятельно открывали новое знание , составляли алгоритм, знакомились с широким кругом методов решения одного типа задач
  выбирали методы для решения задач; делали выводы.
  коммуникативных: приобретали навыки общения, работали в группах;
  выступали с обоснованием решений задач;
  информационных: делали выводы, изучая предложенные информационные источники;
  планирования и оценки деятельности: обучающиеся формулировали цели урока; оценивали свою работу и работу одноклассников; подводили итог урока.
  Для решения поставленных задач в данных уроках использовался проблемный и частично- поисковый метод обучения
  Форма обучения: групповая, на отдельных этапах - фронтальная
  

• 33 слайд

  Учащиеся были активны на уроках, работоспособны на всех этапах. Самостоятельная работа с графиками на этапе подготовки к изучению нового материала помогла направить интерес обучающихся на исследование свойств функций и подготовить к пониманию нового материала о наибольшем и наименьшем значении функции.
  На этапе изучения нового материала групповая работа способствовала осознанию основных шагов алгоритма для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке и решению с его помощью новых задач.
  На этапе закрепления новых знаний обучающиеся познакомились с применением производной в решении задач на оптимизацию и увидели применение этих задач в разных отраслях экономики.
  На этапе обобщения знаний, работа в группах помогла обучающимся осознать широкий спектр методов для решения задач на оптимизацию и применить полученные знания в нестандартной ситуации.
  Считаю, что все используемые на уроках методы, формы, приемы, средства способствовали достижению результатов.
  Задачи урока выполнены, цель достигнута.
  

• 34 слайд

  Перепишем функцию
  следующим образом:
  
  
  
  задача свелась к нахождению наименьшего значения суммы положительных величин, произведение которых постоянно:
  
  
  
  Следовательно, наименьшее значение суммы будет достигаться при равенстве всех слагаемых, т.е. при , откуда x=1
  Наименьшее значение функции на интервале (0; +∞) равно 4.
  
  вернуться
  Решение с использованием точных неравенств
  

• 35 слайд

  Графический способ решения
  Наименьшее значение функции на интервале (0; +∞) равно 4.
  
  вернуться
  

• 36 слайд

  Решение с помощью производной
  y =
  Найдем точки, в которых производная функции f (x) равна 0
  
  
  x=1 ,
  x=-1 (0; +∞);
  
  
  
  
  следовательно, наименьшее значение функции на интервале (0; +∞) равно 4.
  y(1)=4;
  вернуться