Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Применение производной при решении задач с практическим содержанием
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Я люблю природу», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 15 ДЕКАБРЯ!

Конкурс "Я люблю природу"

Применение производной при решении задач с практическим содержанием

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

29


Применение производной при решении задач с практическим содержанием









В сборнике представлены задачи, связанные с различными сферами деятельности человека. Ко всем задачам даны решения.


Составитель Шумилова М.В., учитель математики








Содержание


Предисловие…………………………….….……….3

§1. Производная в химии…………………………..4

§2. Производная в биологии………………..……...4

§3. Производная в физике……………………..…...4

§4. Производная в технике …..…………………….5

§5. Производная в строительстве…..……………...6

§6. Производная в экономике……..…………….....7

§7. Производная в медицине………..…………….10

§8. Производная в быту…..……………………….10

Ответы……………………………………………...13

Источники информации и иллюстраций…….......29



















Предисловие



В школьном курсе математики изучается множество правил, определений, доказываются теоремы. Многие школьники задают вопрос: зачем все это нужно? И это естественный вопрос, т.к. школьные учебники не всегда дают на него полный ответ.

Предлагаемые в сборнике задачи помогут учителю в иллюстрации применения школьных знаний по теме «Производная» при решении задач, взятых из смежных с математикой учебных предметов – физики, химии; задач экономического содержания и др.

Решение задач с практическим содержанием будет способствовать развитию интереса школьников к математическим знаниям.













§1. Производная в химии


Задача № 1

Газовая смесь состоит из оксида азота (NO) и кислорода (О2). Требуется найти концентрацию О2, при которой, содержащийся в смеси оксид азота окисляется с наибольшей скоростью.


§2. Производная в биологии


Задача № 1

hello_html_0.gif

В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность популяции возрастает по закону P(t)=1000 + hello_html_4f72a5c4.gif, где t – время в часах. Найдите максимальный размер этой популяции.


§3. Производная в физике


Задача № 1

Составляется электрическая цепь из двух параллельно соединенных сопротивлений. При каком соотношении между этими сопротивлениями сопротивление всей цепи максимально, если при последовательном соединении этих сопротивлений оно равно R.


Задача № 2

Пhello_html_m23f4cde9.jpgри извержении вулкана камни горной породы выбрасываются перпендикулярно вверх с начальной скоростью 120 м/ с.

Какой наибольшей высоты достигнут камни, если сопротивлением ветра пренебречь?


Задача № 3

Известно, что тело массой m = 5кг движется прямолинейно по закону hello_html_1b0d23a3.gif. Найдите кинетическую энергию тела через 2с после начала движения.


§4. Производная в технике


Задача № 1

Известно, что прочность на горизонтальный изгиб балки прямоугольного горизонтально сечения пропорциональна произведению ширины балки на квадрат высоты. Найти отношение ширины к высоте поперечного сечения наиболее прочной балки, которую можно вырезать из цилиндрического бревна диаметром d см


§5. Производная в строительстве


Зhello_html_31c29727.jpgадача №1

Чтобы уменьшить трение жидкости о стенки и дно канала, нужно смачиваемую ею площадь сделать возможно малой. Требуется найти

размеры открытого прямоугольного канала с площадью сечения 4,5м2, при которых смачиваемая площадь будет наименьшей.


Задача № 2

Дhello_html_2c8ba36.jpgля конструкторского бюро строится зал в форме прямоугольного параллелепипеда, одна из граней, которая должна быть сделана из стекла, а остальные из обычного материала. Высота зала должна быть 4м, а площадь, 80м². Известно, что 1м² стеклянной стены стоит 75 руб., а обычной 50 руб.

Какими должны быть размеры зала, чтобы общая стоимость всех стен была наименьшей?


Задача № 3

Оhello_html_m1889aa6.jpgпределить размер такого открытого бассейна с квадратным дном и объемом 32см³, чтобы на облицовку его стен и дна было истрачено наименьшее

количество материала.

Задача № 4

hello_html_m1508c209.jpg

Под каким углом надо

сделать въезд на мост,

если его высота 10 м, а

пролёт составляет

120 м ?



§6. Производная в экономике


Зhello_html_m4b47f007.jpgадача№1
Предприятию поручается погрузка 100 стаканов и выделяется на это 1000 рублей. Но из этой суммы вычитается 40 рублей за каждый час погрузки. Предприятие заключает договор с бригадой грузчиков, по которому они получают премию в 10 v рублей, hello_html_1eae0595.png–скорость погрузки. При какой скорости предприятие получит максимальную прибыль, и какова величина этой прибыли?


Зhello_html_m34f8389a.jpgадача № 2

Цементный завод производит

х т цемента в день. По договору

он должен ежедневно поставлять

строительной фирме не менее

20 т цемента. Производственные

мощности завода таковы, что

выпуск цемента не может превышать 90 т в день. Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид: К=-х3+98х2+200х.


Задача № 3

Пhello_html_43ca42fe.jpgредприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x3+600x-1000.


Задача № 4

Рассмотрим применение производной к решению следующей экономической задачи: в математической модели экономического роста хозяйства производящего, например, цветы для потребления.hello_html_609dd954.jpg

Р - ежегодное потребление продукта на душу занятых в производстве;

Х - число занятых в производстве рабочих. hello_html_ba099f5.gif, где M, b - постоянные, характеризующие производственные возможности хозяйства. При M=250, b=8464 определить число рабочих, соответствующее наибольшему значению Р в хозяйствах с 80,90,120 и 150 рабочими местами.


Зhello_html_7c8c7a38.jpgадача № 5 Оборот предприятия за истекший год описывается через функцию

 U(t)=0,15t² – 2t² +200,  где t – месяцы,  U-миллионы. Исследуйте оборот предприятия.


§7. Производная в медицине


Задача № 1

Рhello_html_45628cf2.jpgеакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, уменьшения температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. степень реакции зависит от назначенного лекарства, его дозы. Предположим, что Х обозначает дозу назначенного лекарства, У - функция степени реакции описывается функцией у=R(x)=x2(a-x), где а - некоторая положительная постоянная. При каком значении Х реакция максимальна?


§8. Производная в быту


Задача № 1

Над центром круглого стола радиуса r висит лампа. На какой высоте следует подвесить эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую освещенность?


Задача № 2

Нагруженные сани движутся по горизонтальной поверхности под действием силы F, приложенной к центру тяжести. Какой угол α должна составлять линия действия силы F с горизонтом, чтобы равномерное движение саней происходило под действием наименьшей силы? Коэффициент трения саней о снег равен к.

hello_html_m1e9e04b8.png


Задача № 3

Рhello_html_12c947b5.jpgасход горючего легкового автомобиля (литр на 100 км.) в зависимости от скорости Х км/ч при движении на 4-й передаче приблизительно описывается функцией: F(x)=0,007х-0,18х+10,2, х>30. При какой скорости расход горючего будет наименьшим?



Задача № 4

Уhello_html_412d3ca2.jpgчасток, площадью 2400м2, надо разбить на два участка прямоугольной формы так, чтобы длина изгороди была наименьшей. Найти размеры участков.


Задача № 5

Уhello_html_m2d1bbb81.jpgчасток прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра 20 м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая. Найти длины сторон участка.












Ответы

§1.

1.

Решение:

Напишем уравнение реакции окисления оксида кислородом

2NO + O2hello_html_m6bb904b4.gif2NO2

Пусть х – концентрация оксида азота, у – концентрация кислорода, тогда vпрямой=Кх2у, где К – константа скорости реакции, зависящая только от температуры и не зависящая от концентрации реагирующих веществ.

Концентрацию газов выразим в объемных процентах.

Весь объем газовой смеси возьмем за 100%.

В этом случае у=100-х и v=Кх2(100-х), где х принадлежит [0;100].

Найдем наибольшую скорость

D(v) = R

v’(x)=200K – 3Kx2

200K – 3Kx2=0

x=0

x=66,7%

Ответ: при концентрации О2, равной 33,3% оксид азота окисляется с наибольшей скоростью.


§2.

1.

Решение.

D(P)=R

P’(t)=hello_html_m63d3611a.gif= hello_html_m5a484614.gif=hello_html_m7ed64a68.gif

P’(t)=0

100-t2=0

t=hello_html_m5fc0c5fa.gif

P(10)=1000+hello_html_79b10a1e.gif=1005

Ответ: через 10 часов популяция достигнет максимального размера 1005 бактерий.


§3.

1.

Решение:

Пусть сопротивление одного х, другого – у. Сопротивление всей цепи при параллельном соединении r, тогда

hello_html_m2ffb6872.gif

При последовательном х + у = R

y= R-x

Имеем

hello_html_bc913ce.gif

Сопротивление r - является функцией от х, х принадлежит [0;R]; F(x)=hello_html_7f5db9dd.gif

D(f)=R

f’(x)=hello_html_227ce58.gif

f’(x)=0, x=hello_html_m590cb5b9.gif

f(0)=0, f(R)=0, f(hello_html_m590cb5b9.gif)=hello_html_13775a76.gif

при х=hello_html_m3f39c579.gifсопротивление всей цепи при параллельном соединении будет наибольшим.

Ответ: сопротивления должны быть одинаковыми.


2.

Решение:

Вещество выбрасывается перпендикулярно вверх. Высота камня h, функция времени hello_html_m627cf910.png. Откуда следует: hello_html_me97879c.png. Следовательно, 0 = 120 - 9,8t и t≈13 сек. Тогда h = 745м, т.е. камни горной породы достигают уровня 720 м от края вулкана.

Ответ: 720 м.


3.

Решение: E(t)= hello_html_m46e45793.gif , hello_html_m764d4f76.gif,

hello_html_626cd3cb.gif

Если hello_html_3a30df36.gif то Е(2)hello_html_3b755cc4.gifОтвет: 40 Дж

§4.

1.

Решение:

Пусть x см - ширина, y см - высота сечения балки. По теореме Пифагора d²=x²+y².

hello_html_m443f3b05.jpg

Прочность σ балки определяется соотношением σ= kxy², где k-коэффициент прочности, зависящий от материала. σ=kxy²=kx(d²-x²) = kd²-kx³

Исследуем функцию σ(х)=kd²x-kx³ на максимум и минимум.

1)σ`(х)=kd²-3kx²=k(d²-3x²)

2)σ`(x)=0;

k(d²-3x²)=0

k≠0 d²=3x²;hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m783e33d1.gif

3) x= -hello_html_m789a5f2d.gif не удовлетворяет условию задачи.



hello_html_1a09df0f.gifσ`(х) + - x

σ (x) hello_html_cd91b53.gif

max

Знак производной меняется с «+» на «-», значит, при х=hello_html_cd91b53.gif функция имеет максимум и балка имеет максимальную прочность.

x=hello_html_m1157c92e.gif hello_html_12407899.gif>0

x=hello_html_31d3a954.gifhello_html_716070cd.gif<0

y=hello_html_7dd18ed7.gif=hello_html_m748a48a9.gif=hello_html_5be5429d.gif

hello_html_5950009b.gif

Ответ: hello_html_4c28b9b7.gif

§5.

1.

Решение:

Обозначим глубину канавы через х м, тогда ширина будет hello_html_377686fd.pngм, Р(х)=2х+hello_html_5806f246.png;

Р/(х)=2-hello_html_m338fd3a.png; Р/(х)=0;2х2=4,5; х=1,5. Берем только положительное значение по условию задачи, т.е. х hello_html_m3ba6933e.png(0; hello_html_m1085bbe6.png). Найдем знак производной на промежутке (0;1,5) и на промежутке (1,5; ?). Производная меняет знак с “-” на “+”. Отсюда х=1,5 точка минимума, следовательно, Р(1,5)=6м наименьшее значение, значит, одна сторона канавы 1,5м, вторая hello_html_5806f246.png=3м.

Ответ: глубина – 1,5 м, ширина – 3 м.


2.

Решение:
Пусть стеклянная стена представляет собой прямоугольный, одно измерение, которого рано 4 м, а другое примем за x м. Тогда площадь стеклянной стены равна

4хм². Суммарная площадь остальных стен равнаhello_html_m2114b84c.pngм², а их стоимость hello_html_m1207779e.png руб. Общая стоимость всех стен K=K+K. То получим функцию


hello_html_m6eb018a1.png
Минимум которой требуется найти.
hello_html_m1e16a942.png
hello_html_m3883d84d.png hello_html_3d45eb7e.png hello_html_m58b03c4d.png и hello_html_m3fe5c34.png
Следовательно,hello_html_m58b03c4d.pngм. Поскольку hello_html_5b536aab.png при hello_html_54cee0cc.pngи hello_html_5b536aab.pngприhello_html_m7b365a6a.png, тоhello_html_m58b03c4d.png. Тогда наименьшее значение функции  hello_html_m5b872537.pngруб.min 

При этом размеры зала 8x10x4.

Ответ: 4 м, 8 м, 10 м.


3.

 Решение:
Обозначим длину стороны квадрата x м,

а высоту бассейна y м. Тогда hello_html_5a38754c.pngм3.
Площадь боковой поверхности бассейна с площадью дна равнаhello_html_m2ad7dc3e.pngНайдемhello_html_2a25c10.pngм2, тогдаhello_html_5e057c51.png.
Найдем производную этой функции:
hello_html_m4bf26f35.png hello_html_m313a3b3f.png hello_html_684023e3.png
hello_html_m53724420.png; hello_html_m3f0e0984.png; hello_html_624e927f.png hello_html_30fed6a2.png
Посколькуhello_html_m8dac9c0.png приhello_html_470eea99.png , а hello_html_3210def1.pngпри hello_html_m6eb84663.png, то hello_html_5f143b1.png – точка минимума (наименьшего знания функции). Значит наименьше размеры бассейна, заданного объема V=32м³ такиеhello_html_5f143b1.png; y=hello_html_m30238181.pngм.
Ответ: 2м; 2м и 4м

4.

Решение: необходимо ввести прямоугольную систему координат и рассмотреть график функции hello_html_59305b35.gif графиком является парабола, ветви направлены вниз;

b = 10; hello_html_m7d917c02.gifhello_html_m7846d584.gif

hello_html_334d44bf.gifhello_html_59ca1616.gifhello_html_m2fb6e90.gif; hello_html_3fcad9b.gif.

Ответ :hello_html_2f378406.gif

§6.

1.
Решение:
Заметим, что скорость ѵ погрузки, станков предполагается постоянной. За час погружается 100/ѵ станков. Поэтому прибыль Ρ предприятия такова:
hello_html_m449ba05c.png
hello_html_m2708d170.pngотсюда

-hello_html_m4a5d3760.png

По смыслу задачи видно, что hello_html_m60c552b3.png – точка наибольшего значения для функции hello_html_77d80c57.png При этом hello_html_mc62b5c8.pngруб.
Ответ: 20 hello_html_m4a023ec7.png; 600руб.


2.

Решение:

Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200.

Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции Y= -х2+98х+200.

Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно, можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.


3.

Решение:

Решение исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100 функция достигает максимума.

Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.


4.

Решение:

hello_html_2ca11283.gif(раскроем скобки и представим дробь в виде разности трёх дробей). Исследуем функцию на наибольшее значение при х>0. Для этого найдём производную и прировняем её к нулю:

hello_html_161bbc45.gif

hello_html_1551b7c0.gif

Так как х>0, то hello_html_m271d5a04.gif.


hello_html_337b4c79.gifИсследуя знак производной, легко убедиться в том, что hello_html_m66c8e6ea.gif функция монотонно

возрастает, а при х >92- монотонно убывает =>

hello_html_m1ff3da15.gif.

Следовательно на отрезке от 1 до 80 функция возрастает и её наибольшее значение достигается на правом конце х=80. и др

А на отрезках от 1 до 120 и от 1до 150 функция меняет характер монотонности, => наибольшее значение достигает в точке х = 92. Производная помогла определить, что хозяйству нет смысла набирать 120 и 150 человек для достижения наибольшей прибыли.

Ответ: 92 рабочих


5.

Решение:

Исследуем оборот предприятия с помощью производной: U'(t)=0,45t2 - 4t,  U''(t)=0,9t - 4, U'''(t)=0,9. Момент наименьшего оборота при U(t)=0, т.е. при  t=8,9. Наименьший оборот был на девятом месяце. Первая производная показывает экстремальное изменение оборота. Из U(t)=0 следует t=4,4. Так как U'''(t)>0, то на пятом месяце имеется сильное снижение оборота.

Точки перегиба важны в экономике, так как именно по ним можно определить, в какой конкретно момент произошло изменение.

Так, например, по решению предложенной задачи можно сделать выводы:

  1. В начале исследуемого периода у предприятия было снижение оборота;

  2. Предприятие пыталось выйти из этого состояния и для этого использовало определенные средства.

Ответ: На пятом месяце (точка перегиба) что-то было предпринято и предприятие стало выходить из   кризиса, а на девятом месяце стало набирать обороты.


§7.

1.
Решение: 0<x<а. R(x)=x2(a-x)=ax2x3

D(x)=R

R’(x)=2ax-3x2

2ax-3x2=0; x=0; x=hello_html_m50b200c8.gif.

Точки перегиба важны в биохимии, так как они определяют условия, при которых некоторая величина, например скорость процесса, наиболее ( или наименее) чувствительна к каким-либо воздействиям.

Ответ: при х=hello_html_m50b200c8.gif максимальную реакция организма на введенное лекарство максимальна.


§8.

1.

Решение:

Из физики известно, что освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света и пропорциональна синусу угла наклона луча света к освещаемой маленькой площадке.



hello_html_38263fe6.gifhello_html_7a230c7a.gifhello_html_3aa3cc33.gifhello_html_4739696c.gifhello_html_54c42fec.gif

r

φ

hello_html_20e2d961.gifhello_html_6ee34bb4.gif


h










Иными словами, E=khello_html_m579acde2.gif , где E- освещенность на краю стола, hello_html_3d2f935d.gif , h- расстояние от лампы до стола.

Вместо функции E=khello_html_m4dc4e62d.gif рассмотрим функцию T=hello_html_m2ffcbfaa.gif

При этом вместо h можно взять переменную z=hello_html_5bdfe924.gif и найти критические точки T как функции от z:

T=hello_html_m49649a46.gif , hello_html_4e88537.gif=hello_html_206376f.gif ;

T’=0, hello_html_b4ea652.gif-2hello_html_m1e93fa60.gif, hello_html_mfc255e7.gif, т.е.hello_html_c26ab39.gif и hello_html_1da82cef.gif .

Итак, освещенность максимальна, если hello_html_1da82cef.gif , т.е. если hello_html_m513950a3.gif .

Ответ: hello_html_m7d29390d.gif


2.

Решение:

Разложим силу F на горизонтальную и вертикальную составляющие. Сила нормального движения саней и вертикальной составляющей силы F:N=P-F sinα, поэтому сила трения F тр = kN = k(P-Fsinα). Сани будут двигаться равномерно при условии компенсации горизонтальных сил:

Fx=Fтр., то есть Fcosα=k (P-Fsinα). Далее находим силу как функцию угла α:

F(α)= kP/(ksinα+cosα).

F′(α) =kP(sinα-kcosα)/(ksinα+cosα)2. Тогда F′(α)=0 при k=tgα. Определим знак второй производной в этой точке.

Из решения этой задачи можно сделать практический вывод: когда необходимо везти на санях груз по дороге с большим коэффициентом трения, нужно тянуть сани за короткую веревку. Если же коэффициент трения мал, веревка должна быть длинной.

3.

Решение:

Исследуем расход горючего с помощью производной:

F`(х)=0,007х-0,18х+10,2

F(х)=0,0034х-0,18

0,007х-0,18=0

Х=53

Определим знак 2-й производной в критической точке: F`(х)=0,0034х>0, следовательно, расход горючего при скорости 53км/ч будет наименьшим. F(53)=5,43(л.)

Ответ: 53км/ч

4.

Решение:

Обозначим одну сторону участка через х м, тогда вторая будет hello_html_mebb88a1.pngм, длина изгороди Р(х)=3х+hello_html_64ec0599.pngР/(х)= 3-hello_html_5ad1aa16.png; Р/(х)=0; 3х2=4800; х2=1600; х=40. Берем только положительное значение по условию задачи, т.е. х hello_html_m3ba6933e.png(0; hello_html_m1085bbe6.png). Найдем знак производной на промежутке (0;40). Производная меняет знак с “-” на “+”. Отсюда х=40 точка минимума, следовательно, Р(40)=240м наименьшее значение, значит, одна сторона 40м, вторая hello_html_mebb88a1.png=60м.

Ответ: 40 м и 60 м.

5.

Решение:

Обозначим одну сторону прямоугольника через х м, тогда вторая будет (20 -2х) м, площадь

S(х)= (20-2х)х=20х -2х2;

S /(х)= 20 -4х; S/(х)=0; 20 -4х =0; х = hello_html_m7860804f.png=5;

По условию задачи х hello_html_m3ba6933e.png(0; 10)

Найдем знак производной на промежутке (0; 5) и на промежутке (5; 10). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда х = 5точка максимума. Следовательно, одна сторона участка = 5м, вторая 20 -2х= 10м.

Ответ: 5 м, 5 м, 10 м.























Источники информации:

  1. Апанасов П.Т., Апанасов Н.П. Сборник математических задач с практическим содержанием. – М.: Просвещение, 1987.

  2. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа, 10-11 кл. – М.: Просвещение, 1993.

  3. Приложение к газете «Первое сентября», « Производная в физике и технике», 2008.


Источники иллюстраций:

1. http://geraldica.ru/names/143-l-r-lr

2. http://dianetics-books.ru/category/dianetika-i-pamyat/

3. http://www.sevmash.ru/rus/proekt/pkb.html

4. http://mkonline.ru/2000-03/2000-03-4.html

5. http://taksi-aeroport-moskva.ru/wp-content/uploads/2010/06/pereezdi.jpg

6. http://dearhome.ru

7. http://www.mallex.info/auto/Rabotniki-IzhAvto-nedovolny-antikrizisnymi-zarplatami-top-menedzhmenta

8. http://www.shampan.by/belarus/?ELEMENT_ID=119

9. http://sob.ru/uyut/kusochek-morya-v-vashem-dvore

10. http://www.avto.goodfon.ru/bmw/index-30.html

11. http://kbtm.ru/stroitelstvo/kak-ogorodit-dachnyj-uchastok.html

12. http://mn.ru/moscow/20121008/328341221.html

13. http://ostroymaterials.ru/zabor-iz-setki-rabicy-svoimi-rukami.html

14. http://www.phenomenonsofhistory.com/site/?p=3014

15.http://kabefor.at.ua/news/novaja_ofisnaja_mebel_ehto_vashe_samoe_mudroe_reshenie/2012-04-23-3




Краткое описание документа:

В школьном курсе математики изучается множество правил, определений, доказываются теоремы. Многие школьники задают вопрос: зачем все это нужно? И это естественный вопрос, т.к. школьные учебники не всегда дают на него полный ответ.

Предлагаемые в сборнике задачи помогут учителю в иллюстрации применения школьных знаний по теме «Производная» при решении задач, взятых из смежных с математикой учебных предметов – физики, химии; задач экономического содержания и др.

Решение задач с практическим содержанием будет способствовать развитию интереса школьников к математическим знаниям.

Ко всем задачам даны решения.

Общая информация

Номер материала: ДБ-126732

Похожие материалы