Администрация города Магнитогорска
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя
общеобразовательная школа № 25
при
Магнитогорской Государственной консерватории»
города
Магнитогорска
Проект
Тип:
исследовательский
Тема:
«Применение равенства треугольников
при измерительных
работах»
|
|
Автор работы:
Ивакина Елизавета
|
|
|
Класс: 7
Б
|
|
|
Руководитель
проекта: Губа О.Н., учитель математики
|
Магнитогорск
2020
Содержание
Введение
Глава 1 Теоретическая часть
1.1. Геометрическая фигура – треугольник.
1.2. Исторические сведения о
признаках равенства треугольника.
1.3. Анкетирование учащихся и анализ
полученных результатов.
Глава 2 Практическая часть
2.1. Равенство треугольников по двум
сторонам и углу между ними.
2.2. Равенство
треугольников по стороне и двум прилежащим углам.
2.3.
Равенство треугольников по трем сторонам.
2.4. Применение признаков равенства
треугольников на практике.
Заключение
Литература
Введение
Актуальность
В этом учебном году мы познакомилась
с новым предметом – геометрией – наукой, занимающейся изучением геометрических
фигур. Основная фигура, которую изучают в геометрии 7 класса – это треугольник.
Один мудрец сказал:
«Высшее проявление духа - это разум. Высшее проявление разума - это геометрия.
Клетка геометрии - треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная».
Треугольник - уникальная
единица познания геометрии. Он обладает множеством свойств, присущих
исключительно ему, и одновременно его исследование привело ученых к
многочисленным обобщениям для многоугольников. Треугольник
является центральной фигурой всей геометрии. При решении задач используют его
самые разнообразные свойства. Свойства треугольника широко применяют на
практике. Например, в архитектуре; при разработке чертежа здания, при
планировке будущих квартир; в промышленности: при проектировании различны
деталей, при изготовлении стройматериалов, при строительстве морских и авиа
судов; в навигации: для проложения правильного и максимально точного маршрута;
в астрологии и астрономии, одним словом просто необходимо знать треугольник и
все его свойства. Одно из важнейших свойств для пары треугольников,
устанавливать их равенство. Существует ряд задач на тему установления равенства
двух треугольников.
Как
оказалось, признаки треугольников широко используется в практической жизни. И
значит, данная тема продолжает оставаться актуальной с древнейших времен.
Цель: установить, что треугольник – фигура,
которая нашла широкое практическое
применение в жизни человека,
доказать, что признаки равенства треугольников применимы в повседневной жизни.
Задачи
1.
Изучить
литературу о треугольнике.
2.
Провести
анкетирование среди школьников на данную тему. Проанализировать результаты
опроса.
3.
Проанализировать
применение признаков равенства треугольников в жизни человека.
4.
Обобщить
собранную информацию.
Объект
исследования: признаки
равенства треугольника.
Предмет
исследования: применение
признаков равенства треугольников при измерительных работах.
Гипотеза исследования:
Я думаю, что обобщённый материал
данного исследования можно будет применять как на уроках математики, так и во
внеурочное время для привития интереса к математике. Данный материал будет способствовать
формированию представления о прикладных возможностях математики.
Глава
1 Теоретическая часть
1.1. Геометрическая
фигура – треугольник
Треугольник
играет в геометрии особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся
геометрия основана на «трех китах» - на трех признаках равенства треугольников.
Что такое треугольник?
Треугольник — геометрическая фигура,
образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной
прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки —
сторонами треугольника. Часть плоскости, ограниченная сторонами, называется
внутренностью треугольника: нередко треугольник рассматривается вместе со своей
внутренностью (например, для определения понятия площади).
Медианы, высоты, биссектрисы.
Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок,
соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны
Высотой
треугольника, проведённой из данной вершины,
называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону
или её продолжение.
Биссектрисой
треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту
вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине
пополам.
Виды треугольников.
Виды треугольников по сторонам:
равносторонние; равнобедренные; разносторонние. Существует три вида
треугольников по углам: остроугольные; прямоугольные; тупоугольные
Три признака равенства
треугольников
·
равенство по двум сторонам и углу между
ними
·
равенство по стороне и двум прилежащим
углам
·
равенство по трём сторонам
1.2. Исторические сведения о
признаках равенства треугольника.
Признаки равенства треугольников имели
издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательства многочисленных
теорем сводилось к доказательству равенства тех или иных треугольников.
Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы.
По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство
о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней
угла (второй признак равенства треугольников). Эту теорему Фалес использовал
для определения расстояния от берега до морских кораблей. Каким способом
пользовался при этом Фалес, точно неизвестно.
1.2. Анкетирование
учащихся и анализ полученных результатов.
Для реализации данного проекта я решила провести анкетирование.
Анкетирование прошли учащиеся двух классов: 9 «В» и 8 «А». Я составил
вопросы, которые, на мой взгляд, помогут мне в исследовании моего проекта. Ниже
представлена анкета:
|
1)
Как вы считаете, применение знаний по
геометрии понадобятся в будущем? (да, нет, не знаю)
2)
Назовите три признака равенства
треугольников.
3) Знаете
ли вы, как можно использовать признаки равенства треугольников при
измерительных работах (в жизни)?
|
После проведения анкетирования я обработала ответы
учащихся, и получились следующие результаты:
Вопрос №1. Как вы считаете,
применение знаний по геометрии понадобятся в будущем?
Вывод: как
видно, мнения разделились поровну. Не все школьники считают, что геометрия им
понадобится в жизни, а это и доказывает актуальность моей работы.
4)
Вопрос №2. Назовите
три признака равенства треугольников.
|
Кол-во
признаков, которые написали учащиеся
|
0
|
1
|
2
|
3
|
|
Кол-во человек
|
27
|
2
|
6
|
20
|
Вывод: можно
сделать вывод, ребята плохо знают признаки равенства треугольников, возможно,
это связано с первым вопросом моего опроса.
Вопрос №3. Знаете
ли вы, как можно использовать признаки равенства треугольников при
измерительных работах (в жизни)?
|
Ремонт
|
Изготовление деталей
|
При работе инженером
|
В архитектуре
|
Не знают
|
|
2
|
1
|
1
|
5
|
46
|
Вывод: опрос показал, что
школьники не знают как применять признаки равенства треугольников при
измерительных работах. Важность и нужность моей работы доказана.
Глава 2 Практическая часть
2.1. Равенство треугольников по двум
сторонам и углу между ними.
А вот как в Древнем Египте применили первый признак равенства
треугольников (по двум сторонам и углу
между ними), создателем его также считается Фалес Милетский, для измерения
высоты пирамиды: представим, что мы стоим перед огромной пирамидой, как же
измерить её высоту? Ведь к ней не приложишь измерительные приборы! И тут на
помощь Фалесу Милетскому приходит первый признак равенства треугольников: он
подождал, пока тень его точно совпадёт с его ростом, применил теорему,
получилось, что высота пирамиды равна её тени.
Для исследования этого признака я
решила взять практическую задачу на вычисление длины озера.
При
измерении длины озера отметили на местности точки А, В и С, а затем еще две
точки D
и К, так, чтобы точка С оказалась серединой отрезков АК и ВD.
Измерив DК,
получили 500 м и сделали вывод, что длина озера равна 500м.
Но для такого способа нужно много
свободного пространства, чтобы сделать эти измерения.
2.2. Равенство
треугольников по стороне и двум прилежащим углам.
Эту теорему Фалес
использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес,
точно не известно. Предполагают, что один его способ состоял в следующем: пусть
A – точка берега, B – корабль на море. Для определения расстояния AB
восстанавливают на берегу перпендикуляр произвольной длины AC к AB;
в противоположном направлении восстанавливают CE к AC так, чтобы
точки D (середина AC), B и E находились на одной прямой. Тогда CE будет равна
искомому расстоянию AB. Доказательство основывается на втором признаке
равенства треугольников (DC = DA; С = A; угол EDС = угол
BDA как вертикальные).
Предполагают второй способ,
которым древнегреческий математик Фалес первым решил задачу о вычислении
расстояния от берега до корабля. Для этого он измерил расстояние АВ и
угол ABC. Затем, произведя на суше некоторые построения и измерения,
он вычислил расстояние АС.
Построить АВН = ABC, а
также построить АЕ перпендикулярно АВ. Точка пересечения лучей ВН и АЕ -
вершина треугольника АВМ, равного треугольнику ABC.
Треугольник ABC равен
треугольнику АВМ по второму признаку равенства треугольников, значит,
у этих треугольников соответствующие стороны равны, т. е. АС
= AM, для нахождения расстояния АС от берега до корабля
достаточно измерить расстояние AM на местности.
У меня возник вопрос, а
каким способом, с помощью какого инструмента можно построить на местности АС перпендикулярно
АВ.
Я выяснила, что для этой
цели можно воспользоваться измерительными инструментами экер и теодолит.
Экер (франц. équerre, от
позднелат. exquadro — нарезаю четырёхугольник), простейший геодезический
инструмент, служащий для построения на местности углов, кратных 90° или 45°
Теодоли́т — измерительный прибор для
определения горизонтальных и вертикальных углов при топографических съёмках, геодезических и маркшейдерских работах,
в строительстве и т. п.
Маркшейдерские работы -
это работы, которые проводятся для изучения процессов деформации горных
пород и земной поверхности в связи с горными работами
Угол ABC на
местности можно измерить с помощью астролябии.
Астролябия (греч. ἁστρολάβον, астролабон,
«берущий звезды») — прибор для определения широты, один из старейших астрономических инструментов.
Основан на принципе стереографической проекции.
2.3.
Равенство треугольников по трем сторонам.
Из третьего признака равенства
треугольников следует, что треугольник - жёсткая фигура. Потому, что: можно
представим себе две рейки, (рис 1) у 
которых
два конца скреплены гвоздем. Такая конструкция не является жёсткой однако
сдвигая или раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол между ними.
Теперь возьмем ещё одну рейку и скрепим её концы со свободными концами первых
двух реек (рис 2). Полученная конструкция - треугольник - будет уже жёсткой. В
ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя изменить
ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый
треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник
должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников.
Если все три стороны
треугольников равны,
То давно понятно всем
Что равны они совсем.
Если жесткий треугольник мы решим увеличить или уменьшить в несколько
раз, то увеличится или уменьшится в это число раз каждая его сторона, и тем
самым получим третий признак равенства треугольников.
Это свойство – жесткость треугольника – широко используется на
практике. Так, чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят
подпорку; такой же принцип используется при установке кронштейна.
Свойство жесткости треугольника широко используют в практике при
строительстве железных конструкций.
Я решила проанализировать - встречается ли свойство жёсткости треугольника
в моей повседневной жизни. Для этого я провела практическую работу, наблюдение.
Так, чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят
подпорку. Телеграфные столбы с подпорками называются анкерными.
Делая садовую калитку, обязательно прибивают планку, чтобы получить треугольник.
Это придает калитке прочность, иначе ее перекосит.
Жесткость треугольников применяется при строительстве подъемных кранов,
при строительстве железных конструкций.
2.4. Применение признаков
равенства треугольников на практике.
1.
Столяру нужно заделать отверстие
треугольной формы. Сколько размеров и какие он должен снять, чтобы изготовить
латку? Что он должен измерить, если отверстие имеет форму:
a)
Прямоугольного треугольника
(измерить длины катетов)
b)
Равностороннего треугольника
(у равностороннего треугольника все
стороны равны; углы также равны между собой - по 60 градусов; достаточно
измерить длину одной стороны)
c)
Равнобедренного треугольника
(измерить длину основания и градусную
меру углов при основании)
2.
Мама купила 1м ткани шириной 1м на платки
двум дочерям. Разделите этот кусок ткани на две равные части; докажите
правильность своих действий.
(сгибаем ткань по диагонали;
полученные треугольники равны по 3 признаку равенства треугольников)
3. Два дома одинаково удалены от берега реки.
Где нужно сделать причал для лодок, чтоб он был одинаково удален от обоих
домов
4.
На рисунке показан способ измерения
расстояния от А до В по озеру. Известно, что ОС=ОD, ОВ=ОЕ. Докажите, что АВ=ЕF.
5.
От оконного
стекла треугольной формы откололся один из его уголков. Можно ли по
сохранившейся части заказать стекольщику вырезать такое же оконное стекло?
Какие следует снять размеры?
6.
7.
Представьте, что вы на уроке технологии
моделируете наряд.
1) Вы шьёте юбку с клиньями.
Какие размеры нужно сохранить, чтобы
вставляемые клинья были одинаковыми?
2).Вы шьёте блузку.
Какие мерки надо снять, чтобы
сделать вырез мысиком на горловине?
