" Применение свойств трапеции при решении задачи №26 ОГЭ"

• 1 слайд

  Применение некоторых свойств трапеции
  при решении задачи
  №26 ОГЭ
  Из опыта работы учителя математики
  МОУ « СОШ №25 при МаГК»
  Абхаликовой С.В.
  

• 2 слайд

  
  1.Углы при любом основании равнобедренной трапеции равны.
  
  
  2.Длины диагоналей равнобедренной трапеции равны.
  
  BD = AC
  
  3.Прямая, проходящая через середины оснований
  равнобедренной трапеции перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
  
  MN- ось симметрии трапеции,
  
  Свойства равнобедренной трапеции.
  A
  D
  C
  B
  M
  N
  

• 3 слайд

  4.Высота равнобедренной трапеции , проведённая из вершины
  тупого угла делит большее основание на два отрезка, меньший
  из которых равен полу разности, а больший полу сумме оснований.
  
  
  
  5.Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
  
  6. В равнобедренной трапеции: ,где d- диагональ, с-боковая сторона ,a и b – основания.
  A
  D
  C
  B
  H
  7. В равнобедренной трапеции средние линии перпендикулярны.
  A
  D
  C
  B
  N
  H
  M
  K
  L
  

• 4 слайд

  Свойства прямоугольной трапеции.
  
  Четырехугольник, образованный центром вписанной окружности,
  точками касания и вершиной трапеции — квадрат,
  сторона которого равна радиусу. (AMOE и BKOM — квадраты со стороной r).
  
  2.Если в прямоугольную трапецию вписана окружность,
  то площадь трапеции равна произведению ее оснований: S=AD*BC
  

• 5 слайд

  Свойства разносторонней трапеции
  
  
  
  
  
  
  1.Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полу сумме. MN=
  
  Среднее арифметическое чисел a и b
  
  
  
  
  
  2. Отрезок ,соединяющий середины диагоналей ,равен полу разности оснований. MN=
  
  3. В трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т.е. ,где - диагонали, -боковые стороны ,a и b – основания.
  

• 6 слайд

  4.Если трапеция разделена прямой, параллельной ее основаниям, равным a и в, на две равновеликие трапеции то отрезок к этой прямой, заключенный между боковыми сторонами, равен :
  среднее квадратичное чисел a и b
  5. Отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через
  точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых
  сторонах, делится точкой пресечения диагоналей пополам. Его длина есть среднее гармоническое в трапеции.
  
  
  a
  b
  k
  a
  c
  b
  

• 7 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  4. Отрезок , разбивающий трапецию на две подобные трапеции ,имеет
  длину равную среднему геометрическому длин оснований.
  
  LF=
  
  
  
  
  
  5. Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции , заключённый
  внутри трапеции, разбивается её диагоналями на три части.
  Отрезки ,прилегающие к боковым сторонам равны между собой.
  a=c
  
  a
  c
  b
  

• 8 слайд

  6.Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются
  под прямым углом.
  AO,BO- биссектрисы,
  A
  O
  B
  7.В трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения
  продолжения боковых сторон, середины оснований трапеции лежат на одной прямой.
  Точки A,B,C,D лежат на одной прямой.
  
  A
  D
  C
  B
  

• 9 слайд

  
  
  
  
  
  8. В трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей
  лежат на одной прямой.
  Точки A,B,C,D лежат на одной прямой
  
  
  
  
  
  
  9.Средние линии трапеции в точке пересечения делятся пополам.
  KO=OL, MO=ON
  
  A
  B
  D
  C
  D
  C
  B
  N
  K
  O
  L
  M
  

• 10 слайд

  10.В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований
  трапеции равна сумме ее боковых сторон. Средняя линия в этом случае
  равна сумме боковых сторон, деленной на 2.
  AB+CD=AD+BC. MN= ( MN- Средняя линия)
  
  
  11.Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус
  окружности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые
  точка касания делит боковую сторону.
  
  
  С
  В
  А
  Д
  .
  Е
  O
  

• 11 слайд

  Дополнительные построения в трапеции.
  
  Дополнительные построения являются эффективным методом решения
  геометрических задач. Наиболее часто используются при решении задач:
  
  Опускание высот из концов одного основания на другое основание
  
  2. Проведение через вершины трапеции прямой, параллельной боковой
  стороне, не содержащей эту вершину
  
  3. Проведение через середину меньшего основания прямых,
  параллельных боковым сторонам
  
  4. Проведение через вершину трапеции прямой, параллельной диагонали,
  не содержащей эту вершину
  
  
  5. Продолжение боковых сторон до пересечения
  
  
  Рассмотрим каждое их них.
  

• 12 слайд

  Решение:
  Задача 1.
  Найдите площадь трапеции с основаниями 8 и 13 и
  боковыми сторонами 3 и 4
  Дополнительное построение №1
  Ответ: 25,2
  

• 13 слайд

  Задача 1.
  Найдите площадь трапеции с основаниями 8 и 13 и
  боковыми сторонами 3 и 4
  Дополнительное построение №2
  
  Решение:
  по теореме обратной теореме Пифагора
  Ответ: 25,2
  

• 14 слайд

  Задача 2.
  Основания трапеции равны 4 и 12, а боковые стороны 5 и 7.
  Найдите её площадь.
  Дополнительное построение №2
  A
  B
  C
  D
  F
  E
  Решение:
  Найдём площадь треугольника ECD по формуле Герона:
  5
  4
  7
  12
  Найдём высоту трапеции и треугольника:
  

• 15 слайд

  Задача 3
  Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны
  соответственно 20 и 29, а основание ВС=4. Биссектриса угла ADC
  проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
  Дополнительное построение №2
  
  A
  B
  C
  D
  M
  F
  H
  K
  x
  20-x
  29
  10
  10
  4
  4
  Решение:
  1.Дополнительное построение CF параллельна AB
  2.Пусть FK=x , CK=20-x.
  
  
  3.По свойству биссектрисы DK:
  
  
  
  4.
  
  5. : CF=20, СD=29,FD=21
  
  
  

• 16 слайд

  Задача 4
  В трапеции средняя линия равна 4 см, углы при одном из оснований равны
  40 и 50 градусов. Найдите основания трапеции, если отрезок, соединяющий
  середины оснований ,равен 1см.
  Дополнительное построение №3
  
  Решение:
  1.Из точки X проведём две прямые XO иXP
  параллельные боковым сторонам.
  
  2.
  
  3.XK- медиана, проведённая из вершины
  
  прямого угла, ,поэтому ОР=2XK=2
  
  4.HL-средняя линия
  
  5.NM- средняя линия трапеции
  
  
  6. ABXO и PXCD-параллелограммы,BX=NH=AO=XC=LM=PD
  

• 17 слайд

  7. , AO=PD=1,5
  
  BC=3, AD=5
  
  Ответ:3; 5
  Задача 5.
  В трапеции АВСD диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны, причём
  AC=16,BD=12. Найдите среднюю линию трапеции.
  Дополнительное построение №4
  

• 18 слайд

  Решение:
  Проведём отрезок CP параллельно
  диагонали BD, DBCP- параллелограмм ,
  BC=DP, BD=CP.
  2. Рассмотрим
  3.Из по теореме Пифагора имеем
  
  
  AP=20.
  
  4.
  
  Ответ:10.
  
  Задача 6.
  Найдите площадь трапеции ,диагонали которой равны 3 и 4,
  а средняя линия равна2,5
  
  Дополнительное построение №4
  
  

• 19 слайд

  A
  B
  C
  D
  K
  L
  M
  4
  3
  2,5
  Решение:
  Проведём отрезок DM параллельно диагонали AC, ACMD-параллелограмм, DM=AC=4
  Рассмотрим
  
  3.Докажем, что площадь , равна площади исходной трапеции:
  
  
  
  4.
  
  5.
  
  Ответ: 6
  

• 20 слайд

  Задача 7
  Углы при одном из оснований трапеции равны 85 и 5 градусов, а отрезки,
  Соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 1.
  Найдите основания трапеции.
  Дополнительное построение №5
  A
  B
  C
  D
  G
  E
  H
  F
  O
  K
  Решение:
  1.Продлим стороны AB и CD до пересечения
  в точке K.
  - прямоугольный, KF-медиана
  
  
  Поскольку медиана KF делит пополам любой отрезок с концами на сторонах AK и KD треугольника AKD, параллельный сторонеAD, она пресекает основание BC так же в его средине E .
  
  Значит KE=BC=CE.Выразим EF.
  Ответ: 12;10
  Из данных равенств находим, что AD=12,BC=10
  1
  11
  

• 21 слайд

  Наличие параллельных сторон в трапеции порождает ряд интересных
  свойств ,связанных с площадями:
  1.
  2.
  3.
  4.
  

• 22 слайд

  Задача 8.
  Длины оснований трапеции равны 2 и 5. Площадь треугольника,
  прилегающего к одной из боковых сторон равна 10. Найдите площадь
  всей трапеции.
  Решение:
  1.По свойству площадей треугольников :
  
  
  2.
  
  
  3.
  
  4.
  Ответ: 49
  

• 23 слайд

  Задача 9.
  Точка M,лежащая на стороне параллелограмма ABCD ,соединена
  с вершиной B.Диагональ AC пересекает отрезок BM в точке К. Площадь
  равна 6, площадь равна 4. Найдите площадь
  исходного параллелограмма.
  Решение:
  1.ABCM- трапеция.
  
  2. По свойству площадей :
  
  
  
  
  3.
  
  Ответ: 30
  

• 24 слайд

  Задача 10.
  Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются
  в точке P, Q- точка пересечения диагоналей этой трапеции. Найдите
  отношение площади треугольника ADQ к площади треугольника BCP,
  если известно, что AD=3BC
  A
  B
  C
  Q
  D
  P
  Решение:
  1.
  
  2. Пусть S-площадь ,тогда площадь равна9S
  
  
  
  3.
  
  
  
  
  4. Таким образом,
  Ответ:4,5