Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Применение теорем Чевы и Менелая при решении задач ЕГЭ
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям рекомендуем принять участие в Международном конкурсе «Я люблю природу», приуроченном к году экологии. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

СЕГОДНЯ (15 ДЕКАБРЯ) ПОСЛЕДНИЙ ДЕНЬ ПРИЁМА ЗАЯВОК!

Конкурс "Я люблю природу"

Применение теорем Чевы и Менелая при решении задач ЕГЭ

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

hello_html_m55f5e2ac.gifВыпускная работа

Тема: «Применение теорем Чевы и Менелая

при решении геометрических задач ЕГЭ»


Содержание



  1. Теоретические факты:

  • Теорема Чевы

  • Теорема Менелая



  1. Применение теорем Чевы и Менелая при подготовке к ЕГЭ





Теоретические факты

Решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, требующими дополнительных действий и построений, которые не всегда оказываются очевидными.

Теорема Чевы.



С

Если на сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты соответственно точки   C1,   A1 и B1 (рис.1), то отрезки  AA1,  BB1 и CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполнено равенство

hello_html_m4cc77b1a.gif















Теорема Менелая.

Если на сторонах ВС, АВ и продолжении стороны АС треугольника АВС за точку С отмечены соответственно точки А´, С´,В´, лежащие на одной прямой, то hello_html_7fb0eced.gif







Применение теорем Чевы и Менелая при подготовке к ЕГЭ

Хочу вам предложить два способа решения одной интересной задачи из ЕГЭ. Первый способ довольно длинный, но его нужно знать, поскольку прием, который в нем используется, применяется довольно часто при решении задач, в которых дано отношение отрезков.

Второй способ позволяет решить задачу в одно действие, но в нем используется Теорема Менелая.

Итак задача №1:

На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=2:3, BN:NC=2:1. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O. Найти отношение CO:OM.

Вот наш треугольник:

скачанные файлы.png



Проведем через точку В прямую параллельно отрезку AB, затем продолжим отрезок AN до пересечения  с этой прямой и поставим там точку К:

скачанные файлы (1).png



Рассмотрим треугольники ANC и BNK. Эти треугольники подобны, так как AC||BK. Стороны треугольника BNK относятся к сторонам треугольника ANC как 2:1.

скачанные файлы (2).png



Пусть AC=x, BK=2x.

Теперь продолжим отрезок MC до пересечения с прямой BK. Поставим там точку L.

скачанные файлы (3).png



Мы получили подобные треугольники LMB и AMC, сходственные стороны которых относятся как 3:2. Так как AC=x, то LB=1,5x.

Пусть LM=3n, MC=2n. Тогда LC=5n.

Теперь рассмотрим подобные треугольники LOK и AOC.

скачанные файлы (4).png



{LK}/{AC}={3,5x}/{x}={3,5}/1, следовательно, {LO}/{OC}={3,5}/1. Пусть LO=3,5z, OC=z. Тогда LO+OC=LC=4,5z.

Получили, что 5n=4,5z. Тогда MC=2n=9/5z. Отсюда MO=MC-CO=9/5z-z=4/5z

Отсюда CO:OM=z:4/5z=5:4=1,25.

Ответ: 1,25

Применим теорему Менелая к нашей задаче. Рассмотрим треугольник MBC  и прямую AN:

скачанные файлы (6).png



Запишем теорему Менелая для этого треугольника:

{{BN}/{NC}}*{{CO}/{OM}}*{{MA}/{AB}}=1

{2/{1}}*{{CO}/{OM}}*{{2}/5}=1

{{CO}/{OM}}={5/4}=1,25

Ответ: 1,25

Задача №2.
Точки В´ и С´ лежат на сторонах соответственно АС и АВ ∆АВС, причем АВ´:В´С=АС´:С´В. Прямые ВВ´ и СС´ пересекаются в точке О.
а) Доказать, что прямая АО делит пополам сторону ВС.
б) Найти отношение площади четырехугольника АВ´ОС´ к площади ∆АВС, если АВ´:В´С=АС´:С´=1:2.



а)Доказать, что прямая АО делит пополам сторону ВС.

Докажем, что ВК=КС. Используем теорему Чевы. hello_html_69adb4f8.gif

т.к. hello_html_m20324d10.gif, то ВК=КС

б) Найти отношение площади четырехугольника АВ´ОС´ к площади ∆АВС, если АВ´:В´С=АС´:С´В=1:2.







  1. Т.к. АВ´:АС= 1:3, то hello_html_m5ad11642.gif

По теореме Менелая найдем hello_html_m54ef6023.gif

Для ∆АВВ´ и секущей СС´:

hello_html_m2fb49dba.gifhello_html_m6792fb2d.gifhello_html_6664f695.gifhello_html_7655ada8.gif, hello_html_741bc7aa.gif

Значит hello_html_m16a953a.gif

  1. hello_html_49c14857.gif, значит hello_html_47b23126.gif hello_html_4ca57644.gif = hello_html_m6a446ecc.gif

Найдем hello_html_4ab45622.gif.

Ответ: hello_html_7eb4a73f.gif






Используемая литература



  1. Учебник «Геометрия»10-11кл.: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.-М.: Просвещение, 2011.

  2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С. Б., Шестаков С.А., Юдина И.И. Геометрия. Доп. главы к учебнику 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.-М.: Вита-пресс, 2008.

  3. Математика. ЕГЭ-2014. Типовые тестовые задания. 30 вариантов. Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. 2013г.

  4. Математика. ЕГЭ-2014. Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. 2014г.

  5. Математика. ЕГЭ-2014. Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. 2015г.

  6. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Под ред.Ф.Ф.Лысенко. 2014г

  7. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Под ред.Ф.Ф.Лысенко. 2015г.

  8. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Под ред.Ф.Ф.Лысенко. 2016г.

  9. Журнал математика в школе. М.: 2014

  10. Пособие по геометрии. Часть І. Планиметрия, векторы. В помощь учащимся 10-11-х кл.О.В.Нагорнов, А.В.Баскаков и др.М.:НИЯУ МИФИ,2009.

  11. Пособие по геометрии. Часть І. Планиметрия, векторы. В помощь учащимся 10-11-х кл.О.В.Нагорнов, А.В.Баскаков и др.М.:НИЯУ МИФИ,2009.

  12. http://hijos.ru/2011/03/16/teorema-chevy/

  13. http://www.resolventa.ru/demo/inform/demoinform.htm

  14. http://fipi.ru/

  15. http://alexlarin.net/








9


Общая информация

Номер материала: ДВ-194923

Похожие материалы