Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Конспекты / ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ СУММЫ ПЕРВЫХ п ЧЛЕНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ СУММЫ ПЕРВЫХ п ЧЛЕНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

библиотека
материалов

Тема: Применение формулы суммы первых п членов
геометрической прогрессии

Цели: закреплять умения и навыки применения формулы суммы первых п членов геометрической прогрессии при решении задач; провести подготовку к контрольной работе.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Вычислить:

а) 32п : 9п – 1; (9.)

б) 4п · 26 – 2п; (64.)

в) 16 : 41 + 2п · 8п. (22 – п.)

2. Является ли геометрической прогрессией последовательность (хп), если:

а) хп = 2п; (Да.)

б) хп = 3п; (Да.)

в) хп = п2; (Нет.)

г) хп = a · bn, если а 0, b 0. (Да.)

3. Существуют ли три числа, которые составляют одновременно арифметическую и геометрическую прогрессию? (Да, любые три равных числа.)

III. Формирование умений и навыков.

На этом уроке предлагаются для решения упражнения на нахождение суммы первых п членов геометрической прогрессии по двум формулам, а также задания на применение формулы п-го члена и характеристического свойства геометрической прогрессии, в том числе повышенной сложности. Перед решением следует вспомнить определение геометрической прогрессии и все формулы, относящиеся к ней.

Упражнения:

1. № 635.

Р е ш е н и е

(хп) – геометрическая прогрессия.

(хп) : 2; а; b; hello_html_m624e1b92.gif;

hello_html_m4aa31eab.gif;

hello_html_2885335.gif;

hello_html_16e5556b.gif.

О т в е т: а = 1; b = hello_html_m48b0771.gif.

640.

Р е ш е н и е

(хп) – геометрическая прогрессия.

х1 = 760;

q = 0,8, так как после каждого движения поршня удаляется 20 % воздуха, значит, остается 80 %. Давление после шести движений поршня равно х7 = х1 · q6; х7 = 760 · (0,8)6 ≈ 199,23.

О т в е т: ≈ 199,23 мм рт. ст.

2. С а м о с т о я т е л ь н а я р а б о т а (с последующей проверкой на этом же уроке).

В а р и а н т 1

1) Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (bn), в которой hello_html_m1454dd7f.gif.

2) Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии 5; –2,5; … .

3) (ап) – геометрическая прогрессия. Найдите S4, если а1 = 3, q = –2.

4) Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой q = hello_html_415eb096.gif, S4 = 65.

В а р и а н т 2

1) Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии (bn), в которой hello_html_1645ddb7.gif.

2) Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии 1,5; –3; … .

3) (aп) – геометрическая прогрессия. Найдите S5, если а1 = 18, q = –hello_html_m48b0771.gif.

4) Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой q = 2, S8 = 765.

Р е ш е н и я самостоятельной работы

В а р и а н т 1

1) hello_html_1f7224a5.gif

hello_html_41067b2b.gif

2) hello_html_3c105e27.gif;

hello_html_2e383b0e.gif

3) hello_html_m4cab9163.gif

4) hello_html_m2e720b62.gif

hello_html_4dd2098b.gif

В а р и а н т 2

1) hello_html_2a5ed0b2.gif

hello_html_77a57301.gif

2) hello_html_m6dd68438.gif

hello_html_7ab58a01.gif

3) hello_html_m647c64f9.gif

4) hello_html_m70718adf.gif

hello_html_m20abeab0.gif

3. З а д а н и я п о в ы ш е н н о й с л о ж н о с т и.

657.

Д а н о: (хп) – геометрическая прогрессия.

хп > 0 для любого n hello_html_5a27c23b.gifN;

х1 + х2 = 8; х3 + х4 = 72; Sk = 242.

Н а й т и: k.

Р е ш е н и е

Пусть q – знаменатель прогрессии и q > 0 (так как хп > 0), тогда по определению хп = х1 · qп – 1. По условию

hello_html_547a037f.gif

hello_html_m540e73fa.gif

Получаем hello_html_600b705f.gif

hello_html_41412e77.gif(так как q > 0).

Находим hello_html_2e3a2794.gif

hello_html_m38a26090.gif

3k = 243; 3k = 35; k = 5.

О т в е т: 5 членов.

З а д а ч а. Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 13, а сумма их квадратов равна 91. Найдите первый член прогрессии, ее знаменатель и сумму пяти первых членов.

Р е ш е н и е

Пусть a, b, c – первые члены геометрической прогрессии. По свойству геометрической прогрессии имеем b2 = ac. Учитывая условия задачи, запишем следующую систему уравнений с тремя неизвестными:

hello_html_59b5cb0d.gif

Из первого уравнения a + c = 13 – b. Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:

a2 + 2ac + c2 = 169 – 26b + b2 (1);

из второго уравнения a2 + c2 = 91 – b2. Подставляем в уравнение (1) и получаем:

91 – b2 + 2b2 = 169 – 26b + b2,

26b = 78,

b = 3.

Подставляем значение b = 3 в исходную систему и получаем:

hello_html_1282d01e.gif

hello_html_m48db076b.gif

Таким образом, первые три члена последовательности 1; 3; 9 (q = 3) или 9; 3; 1 hello_html_74adcec3.gif.

hello_html_m2b39396a.gif

О т в е т: 1; 3; 121 или 9; hello_html_951f06c.gif

Задачи повышенной сложности можно решать следующим образом: разобрать идею решения, составить исходную систему уравнений, а ее решение предложить выполнить самостоятельно дома. Или сильным в учебе ученикам предложить решить в классе, а с более слабыми учениками продолжить отрабатывать основные формулы по стандартным упражнениям из сборника самостоятельных работ.

IV. Итоги урока.

Ответить на контрольные вопросы (учебник, с. 16

Краткое описание документа:

Тема: Применение формулы суммы первых п членов
геометрической прогрессии

Цели: закреплять умения и навыки применения формулы суммы первых п членов геометрической прогрессии при решении задач; провести подготовку к контрольной работе.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Вычислить:

а) 32п : 9п – 1;                                           (9.)

б) 4п · 26 – 2п;                                          (64.)

в) 16 : 41 + 2п · 8п.                                    (22 – п.)

2. Является ли геометрической прогрессией последовательность (хп), если:

а) хп = 2п;                                              (Да.)

б) хп = 3–п;                                             (Да.)

в) хп = п2;                                              (Нет.)

г) хп = a · bn, если а ¹ 0, b ¹ 0.             (Да.)

3. Существуют ли три числа, которые составляют одновременно арифметическую  и  геометрическую  прогрессию?  (Да,  любые  три  равных числа.)

III. Формирование умений и навыков.

На этом уроке предлагаются для решения упражнения на нахождение суммы первых п членов геометрической прогрессии по двум формулам, а также задания на применение формулы п-го члена и характеристического свойства геометрической прогрессии, в том числе повышенной сложности. Перед решением следует вспомнить определение геометрической прогрессии и все формулы, относящиеся к ней.

Упражнения:

1. № 635.

Р е ш е н и е

(хп) – геометрическая прогрессия.

(хп) : 2; а; b; ;

;

;

.

О т в е т: а = 1; b = .

№ 640.

Р е ш е н и е

(хп) – геометрическая прогрессия.

х1 = 760;

q = 0,8,  так  как  после  каждого  движения  поршня удаляется 20 % воздуха, значит, остается 80 %. Давление после шести движений поршня равно х7 = х1 · q6;  х7 = 760 · (0,8)6 ≈ 199,23.

О т в е т: ≈ 199,23 мм рт. ст.

 

2. С а м о с т о я т е л ь н а я   р а б о т а  (с последующей проверкой на этом же уроке).

Автор
Дата добавления 16.02.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров773
Номер материала 391481
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх