Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Применение координатно-векторного метода к решению стереометрических задач (творческая работа обучающегося)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Применение координатно-векторного метода к решению стереометрических задач (творческая работа обучающегося)

библиотека
материалов
Применение координатно-векторного метода в решении стереометрических задач Тв...
Цели и задачи работы: Изучить формулы и приемы координатно-векторного метода;...
Классификация задач Координатно-векторный метод удобен при решении задач на н...
a b a b p q q p φ φ ϴ ϴ Угол между двумя прямыми. 0 ⁰ ≤ ϴ ≤ 90⁰ φ = ϴ 90 ⁰ <...
Угол между прямой и плоскостью. α φ ϴ α a a1 p n α φ ϴ α a a1 p n 0 ⁰ ≤ ϴ ≤ 9...
α α α β α n1 n2 φ ϴ Угол между двумя плоскостями. Косинус угла между плоскост...
Расстояние от точки до плоскости. α B M0 M1 b  Дано: α - плоскость, заданная...
  Дано: вектор р {a,b,c} - направляющий вектор прямой l точка A(x1,y1,z1) при...
α α A B M N a b Расстояние между скрещивающимися прямыми. Дано: Скрещивающиес...
Р Q Пример задачи о нахождении расстояния от точки до прямой.   Дано: ABCDA1B...
Дано:	 DABC – правильный тетраэдр с ребром 1 М – середина ВС N – середина АВ...
Поскольку NQ‖NC справедливо равенство NQ=αNC, где α - некоторое действительн...
Ответ: расстояние между скрещивающимися прямыми CN и DM равно
Заключение В работе проведена - систематизация стереометрических задач, к реш...
14 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Применение координатно-векторного метода в решении стереометрических задач Тв
Описание слайда:

Применение координатно-векторного метода в решении стереометрических задач Творческая работа ученика 11 «Г» класса Аткина Кирилла Руководитель – учитель математики Гришина Ирина Владимировна  

№ слайда 2 Цели и задачи работы: Изучить формулы и приемы координатно-векторного метода;
Описание слайда:

Цели и задачи работы: Изучить формулы и приемы координатно-векторного метода; Провести классификацию стереометрических задач, к которым целесообразно применение координатно-векторного метода; Освоить применение координатно-векторного метода решения стереометрических задач.

№ слайда 3 Классификация задач Координатно-векторный метод удобен при решении задач на н
Описание слайда:

Классификация задач Координатно-векторный метод удобен при решении задач на нахождение - углов между прямыми - углов между прямой и плоскостью - углов между плоскостями - расстояния от точки до плоскости - расстояния от точки до прямой - расстояния между скрещивающимися прямыми

№ слайда 4 a b a b p q q p φ φ ϴ ϴ Угол между двумя прямыми. 0 ⁰ ≤ ϴ ≤ 90⁰ φ = ϴ 90 ⁰ &lt;
Описание слайда:

a b a b p q q p φ φ ϴ ϴ Угол между двумя прямыми. 0 ⁰ ≤ ϴ ≤ 90⁰ φ = ϴ 90 ⁰ < ϴ ≤ 180⁰ φ =180⁰ - ϴ cosφ=| cos ϴ | 1.) 2.) Косинус угла между двумя прямыми равняется модулю косинуса угла между направляющими векторами данных прямых.

№ слайда 5 Угол между прямой и плоскостью. α φ ϴ α a a1 p n α φ ϴ α a a1 p n 0 ⁰ ≤ ϴ ≤ 9
Описание слайда:

Угол между прямой и плоскостью. α φ ϴ α a a1 p n α φ ϴ α a a1 p n 0 ⁰ ≤ ϴ ≤ 90⁰ φ + ϴ = 90⁰ 90 ⁰ < ϴ ≤ 180⁰ ϴ = 90⁰ + φ 1.) 2.) sinφ=| cos ϴ | Синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и вектором нормали к данной плоскости

№ слайда 6 α α α β α n1 n2 φ ϴ Угол между двумя плоскостями. Косинус угла между плоскост
Описание слайда:

α α α β α n1 n2 φ ϴ Угол между двумя плоскостями. Косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между векторами нормалей к данным плоскостям. cosφ=| cosϴ | α α β n1 φ n2 0 ⁰ ≤ ϴ ≤ 90⁰ φ = ϴ 90 ⁰ < ϴ ≤ 180⁰ φ =180⁰ - ϴ ϴ 1.) 2.)

№ слайда 7 Расстояние от точки до плоскости. α B M0 M1 b  Дано: α - плоскость, заданная
Описание слайда:

Расстояние от точки до плоскости. α B M0 M1 b  Дано: α - плоскость, заданная уравнением ax+by+cz+d=0 M0(x0;y0;z0) Найти: расстояние от M0 до плоскости α Решение. Обозначим основание перпендикуляра, опущенного из точки М0 на плоскость α точкой М1 (x1;y1;z1). Поскольку точка М1 лежит в плоскости α, то ее координаты удовлетворяют уравнению данной плоскости: ax1+by1+cz1+d=0 (1) Вектор М0М1 (если не является нулевым), как и вектор n{a,b,c}, перпендикулярен к плоскости α, поэтому М0М1║n. Следовательно, существует такое число k, что M0M1= kn. Запишем это равенство в координатах: x1-x0=ka, y1-y0=kb, z1-z0=kc (2) Заметим, что искомое расстояние равно длине вектора М0М1, т.е. равно l = l = l = |k| (3) Выразим теперь координаты точки М1 из уравнений(2) : x1=x0+ka y1=y0+kb z1=z0+kc и подставим в уравнение (1):a(ka+x0)+b(kb+y0)+c(kc+z0)+d=0 ka²+x0a+kb²+y0b+kc²+z0c+d=0 k= - (4) При подстановке уравнения(4) в уравнение(3) получаем: ρ(M0 ;α) = Полученная формула является формулой расстояния от точки М0(x0;y0;z0) до плоскости α с вектором нормали к ней n{a,b,c} α

№ слайда 8   Дано: вектор р {a,b,c} - направляющий вектор прямой l точка A(x1,y1,z1) при
Описание слайда:

  Дано: вектор р {a,b,c} - направляющий вектор прямой l точка A(x1,y1,z1) принадлежит прямой l точка М(x2,y2,z2) – произвольная точка пространства Найти: расстояние от точки М до прямой l Решение. Чтобы найти расстояние от точки М до прямой l, то есть длину перпендикуляра МН (Н∊l), представим вектор МН в виде: МН= МА+АН. Пусть вектор МA=m {x1-x2,, y1-y2,z1-z2}, вектор АН=хp, где х – некоторое действительное число, так как он коллинеарен вектору р. Значит, МН=m + хp. Неизвестный коэффициент х найдем из условия перпендикулярности векторов МН и р. Скалярное произведение этих векторов равно нулю: (m+ хp)p=0 mp+xp2=0 x= Искомое расстояние МН выражается следующим образом: |МН|= Расстояние от точки до прямой. A Н М p m l

№ слайда 9 α α A B M N a b Расстояние между скрещивающимися прямыми. Дано: Скрещивающиес
Описание слайда:

α α A B M N a b Расстояние между скрещивающимися прямыми. Дано: Скрещивающиеся прямые a и b прямая a задана направляющим вектором р и точкой А(x1,y1,z1) прямая b задана направляющим вектором q и точкой B(x2,y2,z2) Найти: расстояние между прямыми a и b Решение. Известно, что существует общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых, и притом только один. Пусть это будет отрезок MN, концы которого M и N лежат на прямых a и b соответственно. Выразим вектор MN: MN= MA+AB+BN. Так как векторы МА и ВN коллинеарны векторам p и q соответственно, то их можно представить в виде: МА=xp, BN=yq, где x и y – некоторые действительные числа AB{x2-x1, y2-y1, z2-z1} = m. Тогда MN= m + хp + yq. Неизвестные коэффициенты x и y найдем из условий перпендикулярности вектора MN векторам p и q: MN∙p=0, MN∙q=0 В результате получается система линейных уравнений с двумя неизвестными x и y, решив которую, найдем x и y. ⟺ Искомое расстояние МN выражается следующим образом: |МN|= р q m

№ слайда 10 Р Q Пример задачи о нахождении расстояния от точки до прямой.   Дано: ABCDA1B
Описание слайда:

Р Q Пример задачи о нахождении расстояния от точки до прямой.   Дано: ABCDA1B1C1D1 - единичный куб, где Р и Q – сере- дины соответственно ребер A1B1 и ВС. Найти: расстояние от точки D1 до прямой РQ,   Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке B, единичный отрезок равен ребру куба. Отметим на PQ точку H такую, что отрезок D1H –перпендикуляр к PQ Найдем координаты точек: P(0.5;0;1) Q(0;0.5;0) D1(1;1;1) B1(0;0;1) Тогда D1P{-0,5;-1;0} PQ{-0,5;0,5;-1} D1H = D1P + PH. Но PH коллинеарен PQ, поэтому PH=xPQ => PH{-0.5x;0.5x;-x} D1H{-0.5-0.5 x;-1+0.5 x;- x} D1H⊥PQ , поэтому D1H·PQ=0 0.25+0.25 x-0.5+0.25 x+ x=0 3/2 x -0.25=0 х=1/6. Вычисляем координаты вектора D1H, а затем его длину. D1H{-7/12;-11/12;-1/6} D1H = = Ответ: расстояние от точки D1 до прямой РQ равно . A1 B1 C1 D1 A B C D x z y H

№ слайда 11 Дано:	 DABC – правильный тетраэдр с ребром 1 М – середина ВС N – середина АВ
Описание слайда:

Дано: DABC – правильный тетраэдр с ребром 1 М – середина ВС N – середина АВ Найти: расстояние между скрещивающимися прямыми CN и DM Решение. Пусть PQ – общий перпендикуляр прямых DM и CN PQ=PD+DA+AN+NQ (*) Введем систему прямоугольную координат так, как показано на рисунке и определим координаты точек. A (0;0;0) C (0;1;0) B ( O ( D ( N ( M ( DO2=AD2-AO2 = 1-( 2 = D A B C P M N Q x z y A B C x y O O Пример задачи о нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми.

№ слайда 12 Поскольку NQ‖NC справедливо равенство NQ=αNC, где α - некоторое действительн
Описание слайда:

Поскольку NQ‖NC справедливо равенство NQ=αNC, где α - некоторое действительное число. NC { ; ;0}, следовательно NQ{ α; α;0} D A B C P M N Q x y O

№ слайда 13 Ответ: расстояние между скрещивающимися прямыми CN и DM равно
Описание слайда:

Ответ: расстояние между скрещивающимися прямыми CN и DM равно

№ слайда 14 Заключение В работе проведена - систематизация стереометрических задач, к реш
Описание слайда:

Заключение В работе проведена - систематизация стереометрических задач, к решению которых возможно применение координатно-векторного метода; - для каждой из рассмотренных задач приведено общее решение, выведена формула или показан общий подход к поиску решения; -применение формул или общих подходов иллюстрируется с помощью примеров задач.     Координатно-векторный метод позволяет избежать сложных логических рассуждении и геометрических построений, что упрощает решение определенного класса задач на нахождение углов и расстояний в пространстве.

Краткое описание документа:

Данная разработка представляет собой презентацию по теме "Применение координатно-векторного метода к решению стереометрических задач", выполненную учеником 11г класса МАОУ "Гимназия №1 Октябрьского района г. Саратова" Аткиным Кириллом под руководством учителя Гришиной И.В.
Цели и задачи,  поставленные учителем перед учеником при выполнении  работы: 

Изучить формулы и приемы координатно-векторного метода;
 Провести классификацию стереометрических задач, к которым целесообразно применение координатно-векторного метода;

Освоить применение координатно-векторного метода решения стереометрических задач.

 

Автор
Дата добавления 12.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров549
Номер материала 291734
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх