Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Начальные классы / Другие методич. материалы / Применение рациональных приёмов вычислений - путь к развитию логического мышления..
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Начальные классы

Применение рациональных приёмов вычислений - путь к развитию логического мышления..

библиотека
материалов



«Мозг хорошо устроенный ценится больше,

чем мозг хорошо наполненный!»


Развитие логического мышления младших школьников – одна из главных целей уроков математики. Эту цель учитель ставит не только при обучении решению задач, но и при формировании вычислительных навыков. Владение навыками устных вычислений в пределах 100 является культурой математики и в некоторой степени показателем сформированности логического мышления. Правильно организованная деятельность учащихся, приведёт к формированию у них логического мышления.

Что же понимается под «логическим мышлением»? Оно понимается как способность и умение ребёнка младшего школьного возраста самостоятельно производить простые логические действия (анализ, синтез, сравнение, обобщение и др.), а также составные логические операции (построение отрицания, утверждение и опровержение как построение рассуждения с использованием различных логических схем – индуктивной или дедуктивной). Практика показывает, что простые логические действия в определённой мере формируются у каждого человека стихийно, хотя следует отметить, что специально организованная работа в этом направлении резко повышает уровень их сформированности. Составные логические операции, имеющие более сложный и комплексный характер, у большинства людей сами по себе не формируются, их развитие требует специальной методической работы. Период дошкольного и младшего школьного возраста является наиболее благоприятным для того, чтобы стимулировать и развивать простые логические действия. В дальнейшем эта база поможет организовать специальную работу по формированию составных логических операций: обучению рассуждениям и способам доказательства в среднем звене обучения. При этом, умениям, на практике часто возникает интересный психологический резонанс: специальная работа с ребёнком приводит к активному проявлению у него интеллектуальных способностей, он легко начинает схватывать общую суть вопроса или приёма действия.

Очевидна необходимость целенаправленной работы по формированию логического мышления школьников в начальном звене обучения именно на уроках математики, являющейся одним из основных предметов обучения, в котором формируется логическое мышление ребёнка. Как же определены приоритеты по данному вопросу в разных образовательных системах? Сравним две программы образовательного компонента «Математика» в начальной школе:

1. «Школа России». Программа «Математика» (М.И.Моро, М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова, С.И.Волкова, С.В.Степанова. Под редакцией Ю.М.Колягина): «В курсе математики заложен механизм формирования у детей сознательных и прочных навыков устных и письменных вычислений, доведения до автоматизма знания табличных случаев действий. Усилена линия развивающих и занимательных упражнений».

Одна из важнейших задач обучения младших школьников математике в «Школе России»- формирование у них вычислительных навыков, основой которых является осознанное и прочное усвоение приёмов устных и письменных вычислений. Современный комплект математики для начальной школы («Школа России») содержит упражнения для развития логических приёмов умственных действий (сравнение, обобщение, синтез, анализ, классификация и др.). Однако эти упражнения часто воспринимаются учителями как упражнения тренировочного характера с целью прочного усвоения учениками вычислительных навыков. Выполнение большого количества однотипных упражнений способствует усвоению вычислительного приёма, но и вместе с тем снижает познавательную активность детей, интерес к процессу, рассеивает внимание, что приводит к увеличению ошибок и никоим образом не формирует логическое мышление. Значит, есть необходимость использования системы упражнений с определённой целью, а именно: развитие логических приёмов умственных действий.

2. «Школа 2100». Программа «Математика» (Г.В.Дорофеев, Г.К.Муравин, Л.Г.Петерсон): «Учебный комплект по математике сориентирован на развитие мышления и творческих способностей ребёнка, его интереса к математике, обеспечивает возможность разноуровневого обучения, реализует концепцию современной массовой школы….»

В условиях развивающего обучения («Школа 2100») система упражнений направлена на усвоение вычислительных умений и навыков. Она ставит цель: формировать обобщённые способы действий, побуждать учащихся к самостоятельному поиску новых способов действий, рассмотрению нескольких способов решения задания и оцениванию их с точки зрения рациональности.

Использование рациональных приёмов помогает значительно облегчить процесс вычислений, способствует формированию положительных мотивов к этому виду деятельности. Поэтому работа по поиску рациональных приёмов вычислений должна проводиться постоянно, систематически и в тесной связи с программным материалом.

Методика преподавания математики в начальных классах раскрывает теоретические основы рациональных приёмов вычислений, связанных с выполнением разных математических действий с натуральными числами. Рациональные приёмы сложения основываются на коммуникативном и ассоциативном законах сложения, а также на свойствах изменения суммы.

Рассмотрим подробнее введение этих приёмов, при изучении действий сложения и вычитания:

1. Рациональные приёмы сложения основываются на законах и свойствах действия сложения.

Коммуникативный закон сложения. Сумма не изменяется от перемены мест слагаемых.

а + в = в + а 4 + 18 = 18 + 4

Ассоциативный закон сложения. Сумма не изменится, если заменить какую-либо группу рядом стоящих слагаемых их суммой.

(а + в) + с = а + (в + с) 26 + 3 + 17 = 26 + (3 + 17) = 46

Свойство 1.1. Если одно из слагаемых увеличить или уменьшить на некоторое число, то сумма, соответственно, увеличится или уменьшится на это число.

Если а + в + с = S , то (а + к) + в + с = S + к Если 38 + 24 + 15 = 87, то 40 + 24 + 15 = ?

Если а + в + с = S , то (а – к) + в + с = S - к Если 38 + 24 + 15 = 87, то 36 + 24 + 15 = ?

Свойство 1.2. Если одно из слагаемых увеличить, а другое уменьшить на одно и то же число, то сумма не изменится и, наоборот, если одно из слагаемых уменьшить, а другое увеличить на одно и то же число, то сумма не изменится.

Если а + в = S, то (а + к) + (в – к) = S Если 56 + 27 = 83, то 59 + 24 = ?

Если а + в = S, то (а – к) + (в + к) = S Если 56 + 27 = 83, то 54 + 29 = ?

Приём 1.1. Округление одного или нескольких слагаемых. Одно (или несколько слагаемых) заменяют ближайшим к нему «круглым» числом и находят сумму «круглых» чисел. Затем соответствующее дополнение (дополнения) до «круглого» числа прибавляют к полученной сумме или вычитают из неё. Например:

14 + 28 = (14 + (28 + 2)) – 2 = (14 + 30) – 2 = 44 – 2 = 42

57 + 32 = (57 + (32 - 2)) + 2 = (57 + 30) + 2 = 87 + 2 = 89

48 + 39 = ((48 + 2) – 2) +((39 + 1) – 1) = (50 + 40) – 3 = 87

63 + 28 =((63 – 3) + 3) + ((28 + 2) – 2) = (60 + 30) + 3 – 2 = 90 + 3 – 2 = 91

Приём 1.2. Поразрядное сложение. При сложении нескольких многозначных чисел сначала находят суммы соответствующих разрядных единиц всех чисел, а затем складывают полученные суммы. Например:

26 + 17 +35 + 23 = (20 + 10 + 30 + 20) + (6 + 7 + 5 + 3) = 80 + 21 = 101

Приём 1.3. Группировка вокруг одного и того же «корневого» числа. Например:

Пусть требуется найти сумму чисел: 26 + 24 + 23 + 25 + 24
Легко заметить, что все эти числа близки к повторяющемуся дважды числу 24, поэтому его можно считать «корневым» числом, а искомую сумму вычисляют следующим образом:

  1. Находят сумму «корневых» чисел: 24 + 24 + 24 + 24 + 24 = 24 5 = 120

  2. Находят сумму отклонений (выясняют, как каждое число отличается от «корневого»): 2 + 0 - 1 + 1 + 0 = 2

  3. Получившуюся сумму прибавляют к первому результату: 120 + 2 = 122

Проверить результат можно, взяв «корневым» числом другое, например, наименьшее число 23.

Выполним вычисление по вышеуказанным пунктам:

  1. 23 + 23 + 23 + 23 + 23 = 23 5 = 115

  2. 3 + 1 + 0 + 2 + 1 = 7

  3. 115 + 7 = 122

Естественно, предлагается и другой способ проверки, когда «корневым» числом будет наибольшее число 26. Выполним вычисления:

  1. 26 + 26 + 26 + 26 + 26 = 26 5 = 130

  2. 0 – 2 – 3 - 1 – 2 = - 8

  3. Прибавим алгебраически результаты: 130 + (- 8) = 122

Вывод: выбор «корневого» числа не влияет на результат. (Данный приём целесообразно рассматривать во внеурочное время или на уроках закрепления изученного материала при изучении умножения многозначных чисел на однозначное число.)

2. Все приёмы рациональных вычислений, связанных с вычитанием, основываются на законах вычитания, правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа, свойствах изменения разности.

Свойство 2.1. Если уменьшаемое увеличилось или уменьшилось на некоторое число, то разность соответственно увеличится или уменьшится на это число.

Если а – в = с, то (а + к) – в = с + к Если 74 – 28 = 46, то 77 – 28 = ?

Если а – в = с, то (а – к) – в = с – к Если 74 -28 = 46, то 72 – 28 = ?

Свойство 2.2. Если вычитаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то разность изменится на столько же единиц, но в противоположную сторону.

Если а – в = с, то а – (в + к) = с – к Если 56 – 24 = 32, то 56 – 27 = ?

Если а – в = с, то а – (в – к) = с + к Если 56 – 24 = 32, то 56 – 22 = ?

Свойство 2.3. Если уменьшаемое и вычитаемое увеличить или уменьшить на одно и то же число, то разность не изменится.

Если а – в = с, то (а + к) – (в + к) = с Если 87 – 24 = 63, то 89 – 26 = ?

Если а – в = с, то (а – к) – (в + к) = с Если 87 – 24 = 63, то 85 – 22 = ?

Приём 2.1. Увеличение или уменьшение уменьшаемого и вычитаемого на одно и то же число. Например:

56 – 28 = (56 + 2) – (28 + 2) = 58 – 30 = 28

82 – 27 = (82 – 2) – (27 – 2) = 80 – 29 = 51

(Эти приёмы особенно актуальны, когда вычитаемое или уменьшаемое близки к «круглому» числу)

Приём 2.2. Округление вычитаемого. Вычитаемое заменяют ближайшим к нему «круглым» числом, находят разность, а затем соответствующее дополнение до «круглого» числа прибавляют к полученной разности или вычитают из неё. Например:

93 – 28 = 93 – (28 + 2) = (93 – 30) + 2 = 63 + 2 = 65

71 – 42 = 71 – (42 – 2) = (71 – 40) – 2 = 31 – 2 = 29

В полной мере предусматривается знакомство с приёмами рациональных вычислений в программе «Школа 2100». Они рассматриваются после изучения приёмов сложения и вычитания на отдельных уроках. В учебнике «Математика 2 кл.» (М.И.Моро и др.) в УМК «Школа России» так же предлагаются задания, основанные на свойствах сложения и вычитания. Однако в них нет требования «сравнить, не выполняя действий», «не производя вычислений» и т.п. Учителю необходимо нацеливать учеников при их выполнении на применение рациональных приёмов вычислений, на выявление закономерностей, формируя при этом логическое мышление. При формировании у школьников вычислительных навыков, работая по традиционной программе, я уделяю большое внимание рациональным приёмам вычислений. Приведу примеры, которые предлагаю детям на уроках в качестве разминки или как дополнительный материал. Выше (при рассмотрении рациональных приёмов вычислений) так же приведены некоторые примеры.

1. Вычисли удобным способом, определи, какое правило ты использовал:

7 + 8 + 3 + 2 18 + 11 + 22 + 19 65 + 9 +5 4 + 8 + 76

2. Поставь знаки сравнения, не выполняя вычислений, и докажи, что они поставлены правильно:

6 + 4 * 6 + 3 (свойство 1.1) 6 – 3 * 6 – 4 (свойство 2.2)

2 + 7 * 3 + 7 8 – 2 * 7 – 2 (свойство 2.1.)

- На сколько одно выражение больше другого?

3. Сравни числовые выражения, не выполняя вычислений, и объясни, как ты рассуждал

23 + 16 * 20 + 19 (свойство 1.2.)

47 + 28 * 45 + 30

4. Выполняется ли данное правило при вычитании? Проверь вычислением:

90 – 54 * 94 – 50

5. Объясни, как найти сумму и разность, пользуясь свойствами сложения и вычитания:

36 + 12 = 38 + 10 = …(свойство 1.2.) 14 + 28 = (14 + 30) – 2 = …(приём 1.1.)

36 – 12 = 34 – 10 =… (свойство 2.3.) 42 + 29 = (40 + 29) + 2 =…(приём 1.1)

6. Выполни действия. Как изменилась разность? Почему?

82 - 6 74 – 39

82 –16 74 – 9 (свойство 2.1)

41 – 17 93 – 45

51 – 17 63 – 45 (свойство 2.2.)

7. Реши примеры. Что ты замечаешь?

60 – 3 60 – 13 60 – 23 60 – 33

- Продолжи примеры.

8. Объясни приём вычисления:

73 – 19 = 74 – 20 = 54 (свойство 2.3.)

- Продолжи решение примеров:

62 – 18 = 64 – … =

91 – 37 = … – 20 =

9. Объясни решение примеров:

14 + 28 = (14 + 30) – 2 = …(приём 1.1.) 48 + 39 = (50 + 40) – 2 – 1 = 90 – 3 =

57 + 32 = (57 + 30) + 2 = 63 + 28 = (60 + 30) + 3 – 2 = 90 + 1 =

42 + 29 = (40 + 29) + 2 =

(При выполнении приёма округления одного или нескольких слагаемых действия проговариваются вслух и запись сокращается.)

10. Рассмотри внимательно первую таблицу:

а

4

6

9

13

27+ а






с

4

6

9

13

32-с








(свойство 1.1.) (свойство 2.2.)

-Что надо найти в первой таблице? Чем является число 27? Что обозначает «а»?

-Что вы скажете о слагаемых?

-Прочти значения 2-го слагаемого. Что вы заметили? Они увеличиваются последовательно (на 1, на 2, на 3….)

- Что произойдёт с суммой? Как она изменится? Почему именно так?

- Дополни таблицу.

(Аналогично проводится работа по второй таблице.)

Такая целенаправленная работа по развитию логического мышления при формировании вычислительных навыков младших школьников проводится и при изучении действий умножение и деление.

Знакомство учащихся с приёмами рациональных и интересных вычислений происходит как на уроках, так и во внеурочной работе. На занятиях «Клуба юных математиков» дети уже после изучения устных и письменных приёмов сложения и вычитания в пределах 100 были ознакомлены с некоторыми интересными приёмами устного счёта.

Приём 1.

- Вычисли удобным способом результат:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 =

Дети находят удобный способ вычисления: (1 + 9) + (2 + 8) + (3 + 7) + …………..= 45

Аналогичный приём вычисления применяется в дальнейшем при решении примеров следующего вида:

35 + 47 + 64 + 32 + 65 + 23 + 16 + 48

Приём 2.

Сложение по частям (без перехода и с переходом через разряд)

4 5 7 6 (76 + 16 =92, 45 + 34 =79) 8 4 7 5 (75 +67 =142, 84 + 38 =122)

3 4 1 6 3 8 6 7

7 9 9 2 1 4 2

1 2 2___

1 2 3 4 2

Приём 3.

Сложение по разрядам.

Числа последовательно (по разрядам) сложили и проверили так:

4 5 5 6

7 3 4 9 Проверка: 1 9

5 4 7 8 1 9

3 7 6 4 2 2

2 7 2 7

2 2 2 1 1 4 7

1 9

1 9______

2 1 1 4 7

После рассмотрения и объяснения приёма поразрядного сложения детям предлагается таким же образом вычислить результаты в следующих примерах:

7899 + 3973 + 4567 4078 + 5870 + 9564 + 2405

Дальнейшая работа организовывается в парах (взаимопроверка), в виде соревнования («Кто быстрее и точнее»), как игра («Составь пример для товарища»).

Приём 4.

-Найди устно сумму нескольких двузначных чисел, складывая таким образом:

1) Сначала прибавляй к числу единицы следующего слагаемого.

2) К полученному числу прибавляй десятки этого слагаемого и т.д.

45 + 38 + 64 + 93 + 17 + 56

45 + 8 = 53 53 + 30 = 83 83 + 4 = 87 87 + 60 =147 147 + 3 = 150 и т.д.

Проверка проводится письменно:

45 + 38 =83 83 + 64 = 147 147 + 93 =243 и т.д.

Далее детям предлагается сложить так же несколько двузначных чисел самостоятельно.

Приём 5.

Сложение нескольких последовательных чисел натурального ряда.

1) Вычисли удобным способом:

6 + 7 + 8 + 9 + 10 =

Пример вычисляется уже известным способом: сложение первого и последнего чисел, второго и предпоследнего чисел и т.д. Затем складываются все полученные суммы.

6 + 10 = 16 7 + 9 = 16 16 + 16 + 8 = 40

Затем предлагается оригинальный приём вычисления:

! Если в сумме нечётное число слагаемых, надо слагаемое, стоящее посередине, умножить на число всех слагаемых: 8 х 5 = 40

2) Вычисли:

6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15

После нахождения суммы удобным способом предлагается применить оригинальный приём. Выясняется, что в данном примере чётное число слагаемых, поэтому средних чисел будет два и предлагается следующий оригинальный приём:

! Если в сумме чётное число слагаемых, надо сумму двух средних слагаемых умножить на половину числа всех слагаемых: (10 + 11) х (10 : 2) = 21 х 5 =105

Далее детям предлагается применить эти приёмы при сложении нескольких последовательных двузначных чисел:

12 + 13 + 14 + 15 + 16

11 +1 2 + 13 + 14 + 15 + 16



Приём 6.

«Швейцарский банк».

Подготовительной работой к ознакомлению с данным приёмом является отработка вычитания числа 11 из двузначных чисел (от 11 до 20):

9 + 7 – 11 8 + 7 – 11 6+ 7 – 11 8 + 5 – 11 и т.д.

-Найди сумму нескольких слагаемых (записать в столбик):

3 4 5

. 9 1 1

6 5 3

. 8 .9 .2

3 1 4

0 7 9 4

0 2 1 1

3 1 1 5

Последовательность вычислений в «Швейцарском банке» такова:

1.Начинаем вычислять со старших разрядов. Если получится число больше, чем 11, надо вычесть 11 и внизу у цифры поставить точку (поправку). К остатку 1 прибавляем следующие числа, пока сумма не будет больше 11.

2.Например: 3 + 9 = 12. Вычитаем 11, получаем остаток 1, у цифры 9 ставим внизу точку-поправку. К остатку 1 прибавляем следующее число 6, получим 7, затем к 7 прибавляем 8, получится 15. Это число больше 11, значит, вычтем из него 11, получим остаток 4 и внизу у цифры 8 ставим точку-поправку. К остатку 4 прибавляем 3, получим 7. Под чертой пишем 7 и под этой цифрой 7 пишем число поправок 2 (две точки), а слева пишем по нулю (на рост числа).

3.Подобным образом проводится работа с каждым разрядом.

4.Затем проводим вторую черту и вычисляем результат с младших разрядов. Складываем числа 4 и 1, (направо цифры нет), значит, полученное число 5 пишем под чертой.

-Складываем число десятков: 9 + 1 = 10. Справа перед десятками есть цифра, значит, к полученной сумме десятков прибавляем 1: 10 + 1 = 11. Под десятками пишем 1, а 1 запоминаем.

- Складываем число сотен: 7 + 2 = 9, справа есть цифра, значит, прибавляем 1 к полученной сумме сотен: 9 + 1 = 10. Запоминали 1, прибавим её к 10, получаем 11. Пишем под сотнями 1, а 1 запоминаем.

-Складываем цифру числа нулей 2 и 1, которую запоминали, получим 3. Пишем под нулями 3.

5. Читаем ответ: 3115.

Проверка: Построчно складываются все числа каждого разряда; как только сумма каких-либо цифр будет равна двузначному числу, оно сводится к однозначному, т.е. складываются единицы и десятки.

-Проверим правильность полученного ответа:

3 + 4 + 5 = 12, это - 3, так как к 1 + 2 =3

9 + 1 + 9 = 9 + 1 = 10, это – 1: (1 + 0) + 1 = 2

6 + 5 + 3 = 6 + 5 = 11, это – 2: (1 + 1) + 3 = 5

8 + 9 + 2 = 8 + 9 =17, это – 8: (1 + 7) + 2 = 10, это – 1: (1 + 0) = 1

3 + 1 + 4 = 4 + 4 = 8

Полученные числа складываются так же:

3 + 2 + 5 + 1 + 8 = 3 + 2 = 5, 5 + 5 = 10, это – 1: (1 + 0) + 1 = 2 + 8 = 10, это – 1.

Таким же образом складываются цифры результата сложения:

3 + 1 + 1 + 5 = 4 + 1 = 5 , 5 + 5 = 10, это – 1: (1 + 0) = 1.

-Сравним полученные числа в проверке: 1 = 1, значит, сложение выполнено правильно.

Предложенные приёмы рациональных вычислений можно использовать, начиная с 1 класса. Овладение ими не только обеспечивает новый уровень усвоения, но и даёт существенные сдвиги в умственном развитии. То есть, математика становится «гимнастикой ума» не на словах, а на деле и помогает «двигать вперёд» развитие логического мышления учащихся.


Краткое описание документа:

     

     Развитие логического мышления младших школьников – одна из главных целей уроков математики Владение навыками устных вычислений в пределах 100 является культурой математики и в некоторой степени показателем сформированности логического мышления. Правильно организованная  деятельность учащихся, приведёт к формированию у них логического мышления.

 

     Предложенные приёмы рациональных вычислений можно использовать, начиная с 1 класса. Овладение ими не только обеспечивает новый уровень усвоения, но и даёт существенные сдвиги в умственном развитии. То есть, математика становится «гимнастикой ума» не на словах, а на деле и помогает «двигать вперёд» развитие логического мышления учащихся. 

Автор
Дата добавления 12.02.2015
Раздел Начальные классы
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров929
Номер материала 383945
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх