ПРИМЕНЕНИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ  В

НАВИГАЦИИ

Преподаватель математики ИВТ им. Г.Я. Седова

Голенкова Ирина Александровна

              ЭЛЕМЕНТЫ  СФЕРИЧЕСКОЙ  ГЕОМЕТРИИ

       Широко известно, что евклидова геометрия является одной из наиболее древних наук: уже в III в. до н. э. появился классический труд Евклида — «Начала». Менее известно, что сферическая геометрия лишь немного моложе. Ее первое систематическое изложение относится к I—II вв. В книге «Сферика», написанной греческим математиком Менелаем (I в.), изучались свойства сферических треугольников; доказывалось, в частности, что сумма углов сферического треугольника больше 180°. Большой шаг вперед сделал другой греческий математик Клавдий Птолемей (II в.). По существу он первый составил таблицы тригонометрических функций, ввел стереографи-ческую проекцию.

       Так же как и геометрия Евклида, сферическая геометрия возникла при решении задач  практического характера, и в первую очередь задач астрономии. Эти задачи были необходимы, например, путешественникам и мореплавателям, которые ориентировались по звездам. А поскольку при астрономических наблюдениях удобно считать, что и Солнце, и Луна, и звезды движутся по воображаемой «небесной сфере», то естественно, что для изучения их движения потребовались знания о геометрии сферы. Не случайно поэтому, что самая известная работа Птолемея называлась «Великое математическое построение астрономии в 13 книгах».

       Сферическая геометрия быстро нашла применения и при решении сугубо земных задач. Довольно давно появилась гипотеза о том, что Земля имеет форму шара (радиус Земли с довольно большой степенью точности уже в III в. до н. э. вычислил Эратосфен). Поэтому для вычисления географических координат, для нахождения курса корабля, для составления географических карт тоже потребовались сведения о сфере.

       Однако, чтобы найти основные теоремы и формулы сферической геометрии, понадобилось существенно больше времени, чем для решения задач евклидовой геометрии. Сферическая геометрия последовательно развивалась благодаря работам индийских (Ариабхата, V в.) и арабских ученых (Аль-Баттани — IX в.; Абу-Аль Вефа — XI в.), азербайджанского математика Насирэддина Туей (XIII в.). Достраивали здание сферической геометрии европейские математики Региомонтан, Непер, Меркатор и другие. Особую роль здесь сыграли работы Леонарда Эйлера. Благодаря Эйлеру сферическая геометрия приобрела современный вид.

     В настоящее время сферическая геометрия особенно широкое применение находит в астрономии и геодезии (науке о форме и размерах Земли), навигации и картографии.

         Так же как и в планиметрии, в сферической геометрии рассматриваются точки и «прямые» (кратчайшие на сфере), расстояния между точками, перемещения. После введения этих понятий мы увидим, что между планиметрией и сферической геометрией много общего, однако имеются и важные различия. Мы познакомимся также с простейшими приложениями сферической геометрии.

       НАЧАЛЬНЫЕ   ПОНЯТИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ   ГЕОМЕТРИИ.

        Напомним, что сферой радиуса R>0 с центром в точке О называется множество точек пространства, удаленных от точки О на расстояние R. Сферу с центром О радиуса R будем обозначать Сф (О, R).

        Первый вопрос, который мы обсудим, таков: как вдоль сферы измерить кратчайшее расстояние между двумя ее точками А и В?  Иными словами, какова кратчайшая линия на сфере, соединяющая точки А и В?

        Простейшие линии на сфере — это окружности (рис. 1), по которым сфера пересекается со всевозможными плоскостями. Плоскостям, проходя-щим через центр сферы, отвечают окружности на сфере, имеющие наиболь-ший возможный радиус, равный радиусу сферы R; они называются большими окружностями.

         Если точки А и В сферы (О, R) не диаметрально противоположны, т. е. не являются концами одного диаметра, то через А и В можно провести единственную большую окружность, которую мы обозначим (АВ) - она получится в пересечении сферы с однозначно определенной плоскостью АОВ. Пусть [АВ]- меньшая из дуг окружности (АВ), соединяющей точки А и В. Если рассмотреть дугу любой другой окружности, проходящей через точки А и В (например, дугу γ— рис. 2, а), то оказывается, длина дуги γ будет больше длины дуги [АВ]. Чтобы сравнить эти длины,  можно пово-ротом  вокруг  прямой АВ совместить  плоскость дуги γ с плоскостью большой окружности (АВ), тогда γ  будет содержать дугу [АВ] внутри себя (рис. 2,б); как нетрудно понять, отсюда и следует, что длина γ  больше длины [АВ] 

       Итак, расстояние между двумя точками при измерении вдоль дуги большого круга меньше, чем при измерении вдоль дуги любой другой окружности. Поэтому естественно определить расстояние на сфере следующим образом.

     Определение. Сферическим расстоянием между двумя точками сферы называется длина кратчайшей из дуг большой окружности, проведенной через эти точки.

(В случае, когда точки А и В диаметрально противоположны, через них можно провести бесконечно много больших окружностей, но все они будут иметь одинаковую длину).

                 Рис. 1                                                         Рис.2

           Навигация (это слово происходит от латинского navigatio - плыву на судне) - одна из наиболее древних наук. Простейшие задачи навигации, такие, например, как определение кратчайшего маршрута, выбор направ-ления движения, встали перед самыми первыми мореплавателями. В настоя-щее время эти же и другие задачи приходится решать не только морякам, но и летчикам, и космонавтам. Некоторые понятия и задачи навигации, тесно связанные со сферической геометрией, рассмотрим подробнее.             

      Задача 1. Известны географические координаты - широта и долгота пунктов А и В земной поверхности: φ_А, λ_А и φв, λв. Требуется найти кратчайшее расстояние между пунктами А и В вдоль земной поверхности (радиус Земли считается известным: R = 6371 км)

                      Рис. 3                                                     Рис. 4       

    Решение. Напомним сначала, что широтой пункта М земной поверхности называется величина φ_М угла, образованного радиусом ОМ, где О- центр Земли, с плоскостью экватора: - 90°<φ_М<90°, причем к северу от экватора широта считается положительной, а к югу - отрицательной (рис.3).    Долгота λм  пункта  М есть величина двугранного угла между плоскостями СОМ и СОН, где С - Северный полюс Земли, а Н -точка, отвечающая гринвичской обсерватории: -180°<λ_М<180° (к востоку от гринвичского меридиана долгота считается положительной, к западу - отрицательной).

 Как уже известно, кратчайшее расстояние между пунктами А и В земной поверхности - это длина меньшей из дуг большой окружности, соединяющей А и В (такую дугу называют ортодромией -в переводе с греческого означает «прямой бег»).

         Поэтому наша задача сводится к определению длины стороны АВ сферического треугольника ABC (С- северный полюс). Применяя стандартные обозначения для элементов треугольника ABC и соответству-ющего трехгранного угла  ОАВС, из  условия  задачи  находим:   α = <СОВ = 90°-φ_В,   β = 90°-φ_А    (рис.   4).   Угол  С также нетрудно выразить через координаты  точек А и В.   По определению  <С≤180°, поэтому либо

<С=|λ_А-λ_В|, если  |λ_А-λ_В|≤180°, либо < С=360°-| λ_А-λ_В |,    если |λ_А-λ_В |> 180°. Зная α, β, <C,  находим  γ=<АОВ с помощью теоремы косинусов:

cos γ= cosλ cosβ + sinλsinβcos<C=sinφ_А sinφ_В + cosφ_А cosφв cos (λ_А-λв). Зная cos γ  и, следовательно, угол γ, находим искомое расстояние: |AB|s = R γ 

     Задача 2. Вычислить начальный курс корабля при движении по ортодро-мии из A в B, если известны географические координаты этих точек φ_А, λ_А и φ_В, λ_В.

      Решение. Сначала уточним условие. Курсом корабля в точке М называ-ется  величина угла, образованного меридианом, проходящим через М, и продольной плоскостью судна. Таким образом, начальный курс судна в точке А- это угол CAB (рис. 4).

Для вычисления этого угла применим теорему косинусов к сферическому треугольнику ABC:                                  

cos< COB = cos< COA cos<AОВ + sin<COA sin<AОB cos<A. Подставляя найденное значение cos γ (см. задачу  1), получаем:

cos<A =sin φв-sin φA(sin φA sin φв +cos φA cos φв cos(λA-λв))/( cos φAsin γ)

        Хотя ортодромия и является кратчайшим путем на сфере, самолеты и корабли движутся иными маршрутами. Дело в том, что ортодромия, отличная от дуги меридиана или экватора, пересекает различные меридианы под различными углами, и, следовательно, при движении по ортодромии приходится непрерывно менять курс. Это, конечно, практически неосуществимо. Намного проще плавать по постоянному курсу.

       Кривые, которые пересекают все меридианы под постоянным углом, называют локсодромиями (в переводе «косой бег»).

 На рисунке 5 показана локсодромия, пересекающая все меридианы под углом 70°. Конечно, при движении по локсодромиям путь удлиняется.

Но если пункты A и В находятся сравнительно близко друг от друга, то удлинение пути по сравнению с движением по ортодромии АВ довольно незначительно.

                                           Рис. 5

         Если же сферическое расстояние |AВ|_S  велико, то и проигрыш при движении по локсодромии достигает большой величины. Тогда поступают следующим образом: рассчитывают ортодромию, связывающую А и В, вычисляют координаты нескольких промежуточных точек: А₀ =А, А₁, ..., А_n= В, затем определяют курс по локсодромиям, связывающим А₀ и А₁, А₁ и А₂,..., и следуют этими курсами.

        Разумеется, чем больше промежуточных точек нанесено на ортодромию, тем меньше этот маршрут отличается от ортодромии (в морской практике промежуточные точки намечают, как правило, так, чтобы они отличались по долготе на 10°).

Для прокладки курса описанным способом необходимо ре­шить ряд задач. Одна из них такова:

Задача 3. Найти соотношение, позволяющее по координа­там точек А и В вычислить координаты промежуточных точек ортодромии  АВ.

(Иными словами, требуется вывести уравнение ортодромии, соединяющей А и В ).

Решение задачи 3 позволяет находить координаты точек ортодромии, соединяющей А(λ₁, φ₁₎,  В(λ₂, φ₂)- Но для того чтобы проложить курс из А в В, требуется также и умение решать следующую задачу: зная координаты точек А и В, найти курс при движении корабля по лодсодромии АВ. Для решения этой задачи можно вывести уравнение локсодромии АВ. Но существует и более простой способ.

Этот способ связан с другой проблемой навигации — проб­лемой выбора карт, наиболее пригодных в судовождении. По­скольку при прокладке курса важнейшую роль играют углы, то первое требование, которым должны

удовлетворять карты применяемые в навигации, таково: углы между кри-выми на сфере должны быть равны соответствующим им углам на кар­те. Так как траектории судов на земной поверхности часто со­стоят из локсодромий, желательно, чтобы локсодромии на на­вигационных картах изображались возможно проще а лучше всего отрезками.

Карты, удовлетворяющие двум этим требованиям, сущест­вуют. Впервые их предложил фламандский картограф Меркатор около 400 лет тому назад (на рис. 7 приведен пример такой карты). Задачи, связанные с изготовлением карт также решаются с участием сферической геометрии.

       КАРТОГРАФИЧЕСКИЕ  ПРОЕКЦИИ.

        Как уже говорилось, при решении многих практических задач Землю удобно считать шаром. Уменьшая этот шар примерно в 10 млн. раз и изображая очертания материков и океанов озер и рек и т. д., получим глобус. Но пользоваться глобусом далеко не всегда удобно. Основная задача картографии состоит в возможно более точном изображении поверхности глобуса на плоскости. При этом возникает целый ряд трудностей, которые вынуждают искать самые разные способы изображения  карт.

   Основную причину этих трудностей можно увидеть на наглядном примере. Как бы мы ни пытались наложить сколь угодно малый кусочек резинового мяча или шарика для игры в пинг-понг на поверхность стола, это никак не удается сделать без разрывов, растяжений или налегания отдельных частей друг на друга. На языке математики это означает:

     Теорема.   Если подмножество ω сферы содержит сферический сегмент, то ω нельзя отобразить на плоскую фигуру с сохранением расстояний.

       Это свойство называют свойством неизгибаемости сферы: в отличие от таких поверхностей, как цилиндрическая или коническая, любой участок сферы нельзя, «изогнув» его, наложить на плоскость. Из теоремы мы сразу получаем, что любое плоское изображение участка земной поверхности неизбежно искажает расстояния. Поэтому, например, измеряя расстояния между точками на карте, нельзя находить расстояние между соответству-ющими точками земной поверхности - это приводит, как правило, к большим  искажениям.

 Тем не менее разработанные методы построения карт с успехом решают многие  частные задачи. Например, существуют карты, по которым с большой степенью точности можно измерять площади.

 При изображении участков сферы в меркаторской проекции сохраняются углы (такие отображения называют конформными). Важным примером конформных отображений является стереографическая проекция.

Возьмем произвольную точку S на сфере и проведем касательную плоскость α  к этой сфере через точку S', диаметрально противоположную точке S (рис. 6). Любая прямая SM, где М - произвольная точка сферы, пересекает плоскость α  в некоторой точке М'. Отображение, при котором каждой точке М сферы ставится в соответствие указанным способом точка М' плоскости α, есть отображение этой сферы (за исключением точки S) на всю плоскость. Это отображение называется стереографической проекцией.

                          Рис 6.   

Рассмотрим два основных свойства стереографической проекции.

1). Круговое свойство:  Образом при стереографической проекции любой окружности, не проходящей через центр S проекции, является окружность.

2). Свойство конформности: При стереографической проекции величины углов между кривыми сохраняются.

Доказанное свойство конформности стереографической про­екции делает ее удобной для применения в картографии. Напри­мер, карта, показанная на рисунке 8, выполнена в стереогра­фической проекции (за центр проекции принят южный полюс).

Свойство 2) поможет нам также объяснить, как задается меркаторская проекция. При стереографической проекции глобуса углы сохраняются, но такие локсодромии, как параллели, ото­бражаются не на отрезки, а на окружности.

Рис. 8

 Если теперь удаст­ся подыскать отображение плоскости, сохраняющее углы, а по­лученную сетку параллелей и меридианов, переводящее в пря­моугольную сетку, то и второе требование, предъявляемое к на­вигационным картам (изображение локсодромии - отрезок), также будет выполнено. Такое конформное отображение най­дено в теории функций комплексного переменного. Его можно задать следующим образом.

Рассмотрим карту северного полушария, выполненную в сте­реографической проекции с центром в Южном полюсе. Любую точку М карты можно задать двумя числами: ρ- расстояние от изображения Северного полюса и φ- долгота точки М. По­ставим в соответствие точке М(ρ,φ) точку М'(х, у) в прямо­угольной системе координат:

х =φ,    у =Lnρ.

Как показано в теории функций комплексного переменного, это отображение сохраняет углы. Очевидно, также, что сетка параллелей

(ρ = const) и меридианов (φ= const) переходит при этом в прямоугольную сетку, что и требовалось.

Карту, выполненную в меркаторской проекции, можно полу­чить и без предварительного стереографического проектирова­ния. Покажем, например, как изготовить такую карту приэква­ториальных областей Земли.

Этот способ основан на том, что цилиндрические поверхно­сти можно развернуть на плоскость. Рассмотрим цилиндр с осью l, касающийся глобуса.

Срезав полярные области, можно оставшуюся часть сферы спроектировать из ее центра на по­верхность цилиндра. Разрежем цилиндрическую поверхность по образующей и развернем ее на плоскость (рис. 9). Очевидно, что в результате сетка параллелей и меридианов отображается на прямоугольную сетку. Правда, углы при этом не сохраняют­ся, но можно получить и конформное отображение участка сфе­ры на плоскость- меркаторскую проекцию. Этот вид картографических  проекций  называют  также   цилиндрической    равно­угольной проекцией.

Рис 9.

           Для навигации и картографии сферическая  геометрия – это инструмент, такой же, как зубило или напильник для слесаря. Всем ясно, что без современной сферической геометрии с её логическим и вычислительным аппаратом невозможно  развитие многих областей знаний и практики, в том числе навигации и картографии.

Список литературы:

1).Избранные вопросы математики. Факультативный курс 10.

А.М. Абрамов, Н.Я. Виленкин, Г.В. Дорофеев и др.

Москва: Просвещение, 1980г.