Примеры действий с комплексными числами, решение уравнений

Решение уравнений с комплексными числами

Примеры.

Задача 1.  Решите уравнение   (2 − i) x + (5 + 6i) у = 1 − 3i

относительно действительных переменных  х  и  у.

Решение.  Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду     a + bi   получаем уравнение, равносильное данному:

(2х + 5у ) + (− х + 6у ) i = 1 − 3i .

Так как два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе:

 

Решая эту систему, получаем :   х =   ;        у = .

Ответ: х = ;  у =  ;   .

Задача 2.    При каких действительных значениях х и у

комплексные числа z1 = x2 + yi − 5 −  и   z2 = –у – х2 i – 4i  будут сопряженными?

Решение.   Комплексные числа  z1 = (х2 - 5) + (у + 7i) и    z2 = (–у) – (х + 4)i   будут комплексно сопряженными, если выполняются условия :

 

Решая полученную систему, находим:     х1 = 2 ,   у1 = 1 ;         х2 = −2 ,   у2 = 1 .

Ответ:  (2;1) ; (−2;1) .

Задача 3.    При каких действительных значениях х и у комплексные числа:

  z1 = 2x2 – yi −1−            и           z2 = у –3 + х2i – 2i             будут равными?

Решение.   Комплексные числа  z1= (2х2 –1)+ (3 – y)i,   z2 = (у–3) + (х2–2)i  будут равными, если выполняются условия:

Решая систему, находим:   х1 = −1 ,   у1 = 4 ;         х2 = 1 ,   у2 = 4 .

Ответ :   (-1 ; 4) ; (1 ; 4) .