Примеры применения неравенства Коши в решении школьных задач

Туголуков.В.А. учитель математики

Применение неравенства Коши в решении некоторых задач

Задача  Докажите, что при  имеют место следующие неравенства:

1. 
2. 
3. 
4. ;
5. 

Докажем эти неравенства

1)      Запишем неравенство Коши  о среднем арифметическом и среднем геометрическом для чисел

       Так как левая и правая части этих неравенств при при  положительны, то эти неравенства одинакового смысла можно почленно перемножить, в результате чего получим

       Окончательно имеем

2)      Запишем неравенство Коши  о среднем арифметическом и среднем геометрическом для пар чисел

; 

Обе части неравенств положительны, неравенства одинакового смысла, значит, мы их можем почленно перемножить. Имеем

       Преобразовав правую часть неравенства, окончательно получим

3)   Запишем на основании неравенства Коши  следующие неравенства для пар чисел

  Сложив полученные неравенства почленно, получим

Запишем теорему о среднем арифметическом и среднем геометрическом для чисел  

              Тогда неравенство (*) может быть записано в следующем виде:

4)   Запишем неравенство Коши  для пар чисел

=2.

С учетом последнего неравенства неравенство (**)может быть записано следующим образом:

5)      Запишем в развернутом виде квадрат суммы трех чисел:

Применим к каждой скобке   неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом не отрицательных чисел. Будем иметь

             Это же неравенство применим и к каждому из слагаемых:

Тогда мы можем записать:

Задача Известно, что a>0, b>0, c>0, d>0 и abcd=1.

Доказать, что

Доказательство

Так как x>0, y>0, то, согласно неравенству Коши , имеем

   или   

Так как по условию abcd=1, то

(Последнее неравенство следует из неравенства Коши, примененного к каждой паре слагаемых.) Складывая последние четыре неравенства, получим требуемо

Задача  Решите уравнение

Уравнение задано на отрезке [-1; 1]. На этом отрезке его левую часть оценим сверху, используя неравенство Коши :

В приведенных оценках равенства будет иметь место только тогда, когда выполняются условия т.е. при x= 0. Но достижение равенства в оценках  соответствует удовлетворению исходного уравнения. Значит, x  = 0 – его единственный корень.

Ответ:х = 0

Задача Решите уравнение

Данное  уравнение задано для  и легко видеть, что в области допустимых значений левая часть уравнения всегда положительна. Преобразуем левую часть уравнения следующим образом:

По неравенству Коши  будем иметь

в  котором  равенство  достигается  лишь тогда, когда  Решая это уравнение, находим корниТак как оба найденных значения положительны, то это и есть искомые корни заданного уравнения.

Ответ:

Задача  Решите уравнение

Все кому предлагалось решить это уравнение, поступали по шаблону: искали значение аргумента функции синус, при которых значения самой функции равны нулю, и затем решали уравнение Однако традиционный способ решения этого уравнения заводит в тупик.

Покажем оригинальное решение этого уравнения, для чего вначале преобразуем его левую часть:

Так  как - соответственно среднее арифметическое  и среднее геометрическое чисел и x. По известному неравенству Коши  имеем, что тогда

Задача  Решите неравенство

Решение

Найдя корни уравнения разложим квадратный трехчлен на множители; применив к заданному неравенству другие преобразования, запишем его в виде

     (*)

Заметим, что выражение есть сумма двух взаимно обратных  положительных ичисе6л, а значит, согласно неравенству (38), имеем

Тогда неравенство(*) равносильно системе

Решая ее стандартным способом, получим ответ

Ответ:

Задача Решите уравнение

Решение:

Будем первое подкоренное выражение  рассматривать как произведение ()*1 и тогда по неравенству Коши  можем записать:

Или                                               (*)

Рассуждая аналогично, мы можем записать для второго слагаемого следующее неравенство:

 (**)

Сложим почленно неравенства (*) и (**):

Откуда

Так как левая часть заданного уравнения не больше ,то и правая часть его должна быть не больше этого же выражения.

Тогда              ,

Откуда а значит x= -1.

Ответ: x= -1.

Задача Решите уравнение

Решение:

Так как левая часть заданного уравнения не превосходит выражения 1-x,значит  и его правая часть не должна превосходить того же выражения, то есть

.

Ответ: ..

Задача   Решите уравнение

x + 240=

Решение

Известно, что

 +  *,

Этот частный случай неравенства Коши - Буняковского (9) при n=2

Если векторы () и () коллинеарны, то выполняется равенство.

Преобразуем данное уравнение:

x + 240=,

или +60=,

или    x + 60=.

Следовательно, векторы (x;15) и (; 4) коллинеарны, т.е. выполняется условие

=, где  –

Тогда

x+ 15**=

=*=.

Тогда

=, или 16(1+)= 225().

Далее заменой =y, где y, полученное уравнение приводится к виду

128+1928y-1125=0,

корни которого

Ответ: .

Задача  Решите уравнение

 +=(3-2x+3).

 на основании неравенства Коши  имеем

,

=

Тогда

 +(-2x+1).

Следовательно, и правая часть исходного уравнения должна удовлетворять условию

(3-2x+3)(-2x+1), или 2x+2

Ответ:x=1.

Задача.  Найти наименьшее значение функции

.

Решение

Учитывая, что каждое слагаемое положительно, используем теорему о среднем арифметическом и среднем геометрическом (a+b, a 0, b 0).  Итак, имеем

 2 = 4 =4 = 8 .

Окончательно имеем y_наим. =8 .

Ответ:y_наим. =8 .

Задача.  Найти наименьшее значение функции

f(x)=

Решение

Представим заданную функцию в следующем виде:

f(x)===.

Применим неравенство Коши  к этим пяти положительным слагаемым:

f(x)== =5, то есть при любом f(x).

Отсюда f(x)_наим.=5.Ответ:f(x)_наим.=5.

Задача . Найти наибольшее значение функции

f(x)=(1-2(1+7x)(x+1) при -.

Решение

Представим заданную функцию в виде:

f(x)=(1-2(1+7x)(x+1) = (1-2x)(1-2x)(1-2x)(1-2x)(1+7x)(x+1).

При -  все сомножители положительны, а значит, мы можем применить неравенство Коши (12):

 ==1.

Ответ:f(x)_наиб. =1.

Задача .Найти наименьшее значение функции

y= + .

Решение

Так как оба корня в формуле, задающей функцию, неотрицательны (по свойству арифметического квадратного корня), то, по неравенству Коши, будем иметь

y= +  +  =  = 2.

Итак, y2. Равенство достигается только при x=0.

При x=0  выражение 2 принимает наименьшее значение, равное 1. И тогда y_наим.=2.

Ответ:y_наим.=2.

Задача . Найдите наибольшее значение выражения

и укажите точки, в которых оно достигается.

Решение

Ясно, что переменные xи yудовлетворяют ограничениям  причем в соответствии с поставленной задачей имеет смысл рассматривать только неотрицательные значения переменных xи y. Оценивая каждое слагаемое выражения zсверху посредством неравенства Коши , будем иметь

следовательно, zбудет принимать наибольшее значение, равное 1. Это значение будет приниматься лишь тогда, когда

т.е. при условии Следовательно, наибольшее значение, равное 1, величиной zдостигается в точках дуги

Задача.  Какое наибольшее значение может иметь многочлен ?

Решение

Пусть (2-x)=y ,то

Согласно неравенству Коши  имеем

Отсюда следует, что наибольшее значение много члена равно 1 и оно достигается, если x=2-x, то есть при x=1

Ответ: наибольшее значение многочлена  равно 1

Задача. Какое наименьшее значение может иметь выражение  для положительных значений x?

Решение

Пусть   = y. Согласно неравенству Коши  имеем

Итак, наименьшее значений равно 2, оно достигается при

Ответ:x=2

Задача

Задача. Найдите наименьшее значение выражения   для  положительных значений x, если a и bположительны, а m иn – натуральные числа

Решение

Тогда, согласно неравенству Коши  о среднем арифметическом и среднем геометрическим, имеем

Равенство достигается при  , то есть при , или .

Итак, наименьшее значение данного выражения равно

Ответ:

Задача. Найти наименьшее значение функции

Решение

Имеем

Корней не имеет следовательно  вся функция положительная

=

То есть  откуда следует, что наименьшее значение функции равно 2:

Ответ:

Алгебраическое доказательство неравенства Коши.

(а – в)² ≥ 0;

Применим формулу «квадрат разности»:

а² - 2ав + в² ≥0;

Литература

1. Берколайко С.Т. Использование неравенства Коши при решении задач.- М.: Квант, 1975.- №4.
2. Айзенштайн Я.И. Доказательство неравенств методом математической индукции. – М., 1976. № 2. – С. 89.
3. Седракян Н.М. Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства. – М.: Физматлит, 2002.
4. Сивашинский И.Х. Неравенства в задачах. – М.: Наука, 1967.
5. Далингер В.А. Классические неравества.Омск,2013
6. Далингер В.А. Задачи с параметрами.Омск,2012