Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Примеры применения неравенства Коши в решении школьных задач

Примеры применения неравенства Коши в решении школьных задач

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Туголуков.В.А. учитель математики


Применение неравенства Коши в решении некоторых задач

Задача Докажите, что при hello_html_m5b36ef28.gif имеют место следующие неравенства:

  1. hello_html_1a854e31.gif

  2. hello_html_m734cf2ca.gif

  3. hello_html_m49a2d709.gif

  4. hello_html_m2ed92f83.gif;

  5. hello_html_2691c499.gif

Докажем эти неравенства

  1. Запишем неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом для чисел hello_html_73bdb7d7.gif

hello_html_m2e9a6c8b.gif

Так как левая и правая части этих неравенств при при hello_html_20d5b1b2.gif положительны, то эти неравенства одинакового смысла можно почленно перемножить, в результате чего получим

hello_html_7fffc3d1.gif

Окончательно имеем

hello_html_55f24d30.gif

  1. Запишем неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом для пар чисел hello_html_555a1f56.gif

hello_html_24983c6b.gif; hello_html_m5d2d26e.gif

Обе части неравенств положительны, неравенства одинакового смысла, значит, мы их можем почленно перемножить. Имеем

hello_html_3678eee4.gif

Преобразовав правую часть неравенства, окончательно получим

hello_html_4f9547c2.gif

  1. Запишем на основании неравенства Коши следующие неравенства для пар чисел hello_html_m4614349c.gif

hello_html_54905e95.gif


Сложив полученные неравенства почленно, получим

hello_html_m7ca954c7.gif


Запишем теорему о среднем арифметическом и среднем геометрическом для чисел hello_html_mab36bc3.gif

hello_html_m3d2b7c0b.gif

Тогда неравенство (*) может быть записано в следующем виде:

hello_html_m423d5f46.gif

  1. Запишем неравенство Коши для пар чисел hello_html_mdbc84b9.gif

hello_html_5a26ed37.gif=2hello_html_6e659a7b.gif.

hello_html_6857280c.gif

hello_html_6268fce6.gif

hello_html_7f15e388.gif

hello_html_3934a5cd.gif

С учетом последнего неравенства неравенство (**)может быть записано следующим образом:

hello_html_m1b215408.gif

  1. Запишем в развернутом виде квадрат суммы трех чисел:

hello_html_m68e64626.gif

hello_html_m5764f95.gif

hello_html_74cc5b18.gif

hello_html_m4d44ab23.gif



Применим к каждой скобке hello_html_m4f21531d.gif неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом не отрицательных чисел. Будем иметь

hello_html_m7f2f68ab.gif

Это же неравенство применим и к каждому из слагаемых:

hello_html_m328ba073.gif

hello_html_m78ac269b.gif

Тогда мы можем записать:

hello_html_m68e64626.gif


Задача Известно, что a>0, b>0, c>0, d>0 и abcd=1.

Доказать, что

hello_html_5313334c.gif

Доказательство

Так как x>0, y>0, то, согласно неравенству Коши , имеем

hello_html_3955ecc5.gifили hello_html_m61ef2ab2.gif

Так как по условию abcd=1, то

hello_html_3608bdec.gif

hello_html_57d925d1.gif

(Последнее неравенство следует из неравенства Коши, примененного к каждой паре слагаемых.) Складывая последние четыре неравенства, получим требуемо

Задача Решите уравнение

hello_html_570b6409.gif

Уравнение задано на отрезке [-1; 1]. На этом отрезке его левую часть оценим сверху, используя неравенство Коши :

hello_html_6e9f8e7b.gif

В приведенных оценках равенства будет иметь место только тогда, когда выполняются условия hello_html_454c8d2.gifт.е. при x= 0. Но достижение равенства в оценках соответствует удовлетворению исходного уравнения. Значит, x = 0 – его единственный корень.

Ответ:х = 0

Задача Решите уравнение

hello_html_5e726884.gif

Данное уравнение задано для hello_html_11968438.gif и легко видеть, что в области допустимых значений левая часть уравнения всегда положительна. Преобразуем левую часть уравнения следующим образом:

hello_html_356b38e5.gif


По неравенству Коши будем иметь

hello_html_m7f96d0f8.gif

в котором равенство достигается лишь тогда, когда hello_html_2610c79d.gif Решая это уравнение, находим корниhello_html_6a9c9cac.gifТак как оба найденных значения положительны, то это и есть искомые корни заданного уравнения.

Ответ:hello_html_m4602d8ee.gif

Задача Решите уравнение

hello_html_m512db960.gif

Все кому предлагалось решить это уравнение, поступали по шаблону: искали значение аргумента функции синус, при которых значения самой функции равны нулю, и затем решали уравнениеhello_html_mb778fb3.gif Однако традиционный способ решения этого уравнения заводит в тупик.

Покажем оригинальное решение этого уравнения, для чего вначале преобразуем его левую часть:

hello_html_760d29c6.gif

Так какhello_html_m4be3ff9f.gif - соответственно среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел hello_html_6b2fd1c.gifи x. По известному неравенству Коши имеем, что hello_html_70c8195.gifтогда

hello_html_531e47e1.gif


Задача Решите неравенство

hello_html_m7a688d6.gif

Решение

Найдя корни уравнения hello_html_35d7d1c9.gifразложим квадратный трехчлен на множители; применив к заданному неравенству другие преобразования, запишем его в виде

hello_html_m350dcfed.gif(*)

Заметим, что выражение hello_html_7344127b.gifесть сумма двух взаимно обратных положительных ичисе6л, а значит, согласно неравенству (38), имеем

hello_html_m67043b6c.gif

Тогда неравенство(*) равносильно системе

hello_html_m7b194925.gif

Решая ее стандартным способом, получим ответ hello_html_m745c86eb.gif

Ответ: hello_html_m745c86eb.gif



Задача Решите уравнение


hello_html_442e1657.gif

Решение:

Будем первое подкоренное выражение hello_html_6e47f059.gif рассматривать как произведение (hello_html_6e47f059.gif)*1 и тогда по неравенству Коши можем записать: hello_html_m6901d7d9.gif

Илиhello_html_2edd43b9.gif (*)

Рассуждая аналогично, мы можем записать для второго слагаемого следующее неравенство:

hello_html_m6f471f5c.gif(**)

Сложим почленно неравенства (*) и (**):

hello_html_m57308621.gif

Откуда

hello_html_7ac277d9.gif

Так как левая часть заданного уравнения не больше hello_html_m277a3ae5.gif,то и правая часть его должна быть не больше этого же выражения.

Тогда hello_html_m6bf37a35.gif ,

Откудаhello_html_m3cc7acb7.gif а значит x= -1.

Ответ: x= -1.

Задача Решите уравнение

hello_html_m76c8e3f5.gif

Решение:

hello_html_8d794f0.gif

hello_html_799b2503.gif

hello_html_m324552f8.gif

hello_html_11ac8b4.gif

hello_html_1a23de41.gif

Так как левая часть заданного уравнения не превосходит выражения 1-x,значит и его правая часть не должна превосходить того же выраженияhello_html_m571a1bf0.gif, то есть

hello_html_m51c49ed2.gif.

Ответ: hello_html_3e56d1a5.gif..

Задача Решите уравнение

xhello_html_75f1eae5.gif + 240hello_html_5c4fbaa1.gif=hello_html_mbf0e565.gif

Решение

Известно, что

hello_html_31f7e355.gif+ hello_html_129ce53b.gif *hello_html_m2aa22a2e.gif,

Этот частный случай неравенства Коши - Буняковского (9) при n=2

Если векторы hello_html_464482e5.gif(hello_html_m69dd5dcc.gif) и hello_html_m22f25179.gif(hello_html_7bc84fed.gif) коллинеарны, то выполняется равенство.

Преобразуем данное уравнение:

xhello_html_4749f865.gif + 240hello_html_5a7b5768.gif=hello_html_mbf0e565.gif,

или hello_html_379b0cc9.gif+60hello_html_5a7b5768.gif=hello_html_mb613cc4.gif,

или xhello_html_4ca481a4.gif + 60hello_html_5a7b5768.gif=hello_html_3cd4419b.gif.

Следовательно, векторы (x;15) и (hello_html_4ca481a4.gif; 4hello_html_5a7b5768.gif) коллинеарны, т.е. выполняется условие

hello_html_m6f60fba4.gif=hello_html_m4d1cf602.gif, где hello_html_7fab0216.gif hello_html_m66b7171f.gif

Тогда

xhello_html_4ca481a4.gif+ 15*hello_html_m795f7562.gif*hello_html_mfdfa464.gif=

=hello_html_m498ec35d.gif*hello_html_2182303d.gif=hello_html_3cd4419b.gif.

Тогда

hello_html_21aeb8bb.gif=hello_html_77bff530.gif, или 16hello_html_7a2a5240.gif(1+hello_html_7a2a5240.gif)= 225(hello_html_m46fadd69.gif).

Далее заменой hello_html_7a2a5240.gif=y, где yhello_html_m57af8f8c.gif, полученное уравнение приводится к виду

128hello_html_1f84427b.gif+1928y-1125=0,

корни которого hello_html_3a9ff127.gif

Ответ:hello_html_m5f73557b.gif .


Задача Решите уравнение

hello_html_m1d7fb598.gif+hello_html_m4d5258e1.gif=hello_html_6eec8aff.gif(3hello_html_7a2a5240.gif-2x+3).

на основании неравенства Коши имеем

hello_html_58dce921.gif

hello_html_27cf9d9a.gif,

hello_html_m4d5258e1.gif=hello_html_32fef8aa.gif

Тогда

hello_html_m9c7d15.gif+hello_html_76d01623.gif(hello_html_7a2a5240.gif-2x+1).

Следовательно, и правая часть исходного уравнения должна удовлетворять условию

hello_html_6eec8aff.gif(3hello_html_7a2a5240.gif-2x+3)hello_html_m766622b.gif(hello_html_7a2a5240.gif-2x+1), или 2hello_html_24b4efc5.gifx+2hello_html_m160e7a5a.gif

hello_html_m7acb5cc5.gif

Ответ:x=1.

Задача. Найти наименьшее значение функции

hello_html_2405b4b4.gif.

Решение

Учитывая, что каждое слагаемое положительно, используем теорему о среднем арифметическом и среднем геометрическом (a+bhello_html_6b59e97d.gif, ahello_html_m6d1256d7.gif 0, bhello_html_m6d1256d7.gif 0). Итак, имеем

hello_html_m6d21a6d5.gif2hello_html_72d8d157.gif = 4hello_html_7edc7515.gif =4hello_html_m57d58cea.gif = 8hello_html_39f1b7ec.gif .

Окончательно имеем yнаим. =8hello_html_39f1b7ec.gif .

Ответ:yнаим. =8hello_html_39f1b7ec.gif .

Задача. Найти наименьшее значение функции

f(x)=hello_html_414a9e42.gif

Решение

Представим заданную функцию в следующем виде:

f(x)=hello_html_5668a8d3.gif=hello_html_7f69fed7.gif=hello_html_ma2f5093.gif.

Применим неравенство Коши к этим пяти положительным слагаемым:

f(x)=hello_html_5668a8d3.gif=hello_html_2a1f6139.gif =5, то есть при любом hello_html_m544218aa.giff(x)hello_html_71d46cde.gif.

Отсюда f(x)наим.=5.Ответ:f(x)наим.=5.

Задача . Найти наибольшее значение функции

f(x)=(1-2hello_html_m30338f12.gif(1+7x)(x+1) при -hello_html_6c691cbf.gif.

Решение

Представим заданную функцию в виде:

f(x)=(1-2hello_html_m30338f12.gif(1+7x)(x+1) = (1-2x)(1-2x)(1-2x)(1-2x)(1+7x)(x+1).

При -hello_html_6c691cbf.gif все сомножители положительны, а значит, мы можем применить неравенство Коши (12):

hello_html_b4e3ca5.gif=hello_html_m5fc40d52.gif=1.

Ответ:f(x)наиб. =1.

Задача .Найти наименьшее значение функции

y=hello_html_72c26075.gif + hello_html_m1e7a5126.gif.

Решение

Так как оба корня в формуле, задающей функцию, неотрицательны (по свойству арифметического квадратного корня), то, по неравенству Коши, будем иметь

y=hello_html_m7c480448.gif + hello_html_m7e02a87d.gif + hello_html_6cfd1eaf.gif = hello_html_25e4f8a9.gif = 2hello_html_3a1a40a9.gif.

Итак, yhello_html_m6d1256d7.gif2hello_html_243317c5.gif. Равенство достигается только при x=0.

При x=0 выражение 2hello_html_243317c5.gif принимает наименьшее значение, равное 1. И тогда yнаим.=2.

Ответ:yнаим.=2.

Задача . Найдите наибольшее значение выражения

hello_html_m638a3f0c.gif

и укажите точки, в которых оно достигается.

Решение

Ясно, что переменные xи yудовлетворяют ограничениям hello_html_41417c27.gif причем в соответствии с поставленной задачей имеет смысл рассматривать только неотрицательные значения переменных xи y. Оценивая каждое слагаемое выражения zсверху посредством неравенства Коши , будем иметь

hello_html_m1ec6b5d3.gif

следовательно, zбудет принимать наибольшее значение, равное 1. Это значение будет приниматься лишь тогда, когда

hello_html_4e3011d1.gif

т.е. при условииhello_html_35d2ef80.gif Следовательно, наибольшее значение, равное 1, величиной zдостигается в точках дуги hello_html_m50579629.gif

Задача. Какое наибольшее значение может иметь многочлен hello_html_b9036f3.gif?

Решение

hello_html_111b3440.gif

Пусть (2-x)=y ,то

Согласно неравенству Коши имеем

hello_html_m362155ac.gif

Отсюда следует, что наибольшее значение много члена равно 1 и оно достигается, если x=2-x, то есть при x=1

Ответ: наибольшее значение многочлена hello_html_1fd7b26c.gif равно 1


Задача. Какое наименьшее значение может иметь выражение hello_html_m127b22b7.gif для положительных значений x?

Решение

Пусть hello_html_m329f5a7d.gif = y. Согласно неравенству Коши имеем

hello_html_m3e548715.gif

Итак, наименьшее значений равно 2, оно достигается при hello_html_m2cdc6fa5.gif

Ответ:x=2

Задача

Задача. Найдите наименьшее значение выражения hello_html_60e5083b.gif для положительных значений x, если a и bположительны, а m иn – натуральные числа

Решение

hello_html_3d5b32f6.gif

Тогда, согласно неравенству Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическим, имеем

hello_html_4215693f.gif

Равенство достигается при hello_html_69735156.gif, то есть при hello_html_54dedc4b.gif, или hello_html_339b5f49.gif.

Итак, наименьшее значение данного выражения равно

hello_html_m349fa03a.gif

Ответ:hello_html_m349fa03a.gif

Задача. Найти наименьшее значение функции

hello_html_7636825d.gif

Решение

Имеем hello_html_m5318e28d.gif

Корней не имеет следовательно вся функция положительная


hello_html_7636825d.gif=hello_html_4f7298bc.gif

То есть hello_html_137c9525.gif откуда следует, что наименьшее значение функции равно 2: hello_html_m180c4244.gif

Ответ:hello_html_m180c4244.gif




Алгебраическое доказательство неравенства Коши.

(а – в)² ≥ 0;

Применим формулу «квадрат разности»:

а² - 2ав + в² ≥0;


Литература

  1. Берколайко С.Т. Использование неравенства Коши при решении задач.- М.: Квант, 1975.- №4.

  2. Айзенштайн Я.И. Доказательство неравенств методом математической индукции. – М., 1976. № 2. – С. 89.

  3. Седракян Н.М. Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства. – М.: Физматлит, 2002.

  4. Сивашинский И.Х. Неравенства в задачах. – М.: Наука, 1967.

  5. Далингер В.А. Классические неравества.Омск,2013

  6. Далингер В.А. Задачи с параметрами.Омск,2012





Автор
Дата добавления 04.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1999
Номер материала ДВ-030551
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх