Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Примеры решений неравенств методом интервалов
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Примеры решений неравенств методом интервалов

библиотека
материалов

I. Примеры решения иррациональных неравенств

1. wpe44.jpg (987 bytes).

Решение. Введем функцию f(x) =wpe45.jpg (845 bytes) – 3. Необходимо определить промежутки, на которых f(x) 0. Очевидно, что D(f) = [0;). Нули f(x): x = 9.no39_1.gif (795 bytes)

f(16) >0,
f(4) < 0.

Ответ: [0; 9].

2. wpe40.jpg (1075 bytes)< 2 – x.

Решение. Традиционное решение этого неравенства приводит к системе неравенств

no39_22.gif (288 bytes)

Решение этого неравенства можно осуществить, положив wpe40.jpg (1075 bytes)y, где y  0. Получаем

y < 20 – y2,  y2 + y – 20 < 0,  (y + 5)(y – 4) < 0,

откуда y < 4, поскольку y0. Итак, wpe40.jpg (1075 bytes)< 4 и – 18 x  –2.

Интересен и такой вариант (графический) решения примера. Если заметить, что f(x) =wpe40.jpg (1075 bytes) – функция возрастающая на луче [– 18; + ), а g(x) = 2 – x – убывающая на R и x = 2 – абсцисса их точки пересечения и при этом f(– 14) < g(– 14), то ясен и

ответ: [– 18; – 2).

Обратимся к теме статьи. Пусть f(x) =wpe40.jpg (1075 bytes)+ x – 2. Надо решить неравенство f(x)< 0. Заметим, что D(f)=[– 18; +). Нули функции найдем, решив уравнение  wpe40.jpg (1075 bytes)= 2 – x, откуда x = – 2.

Применяем метод интервалов:no39_2.gif (889 bytes)

f(– 14) < 0,
f(7) > 0.

Ответ: [– 18; – 2).

3.  wpe43.jpg (1562 bytes)< 20.

Решение. Область допустимых значений определяется системой неравенств

.wpe45.jpg (1724 bytes)      x

Для функции f(x) = wpe43.jpg (1562 bytes)– 20   D(f) = [4; +). Далее находим нули f(x):

wpe46.jpg (6438 bytes)

откуда x = 29 и x = 13 – посторонний корень.no39_3.gif (896 bytes)

f(30) =wpe47.jpg (1246 bytes) – 20 = 0,3 > 0,
f(5) =wpe48.jpg (950 bytes) – 1 – 20 = – 10 < 0.

Ответ: [4; 29).

Примечание. Это неравенство можно решить, например, выполнив замену переменной wpe4B.jpg (982 bytes) = y, где y 0.

4.   wpe4C.jpg (1419 bytes)< 1.

Решение. Область определения функции f(x) =wpe4C.jpg (1419 bytes) – 1 найдем, решив систему неравенств

wpe4D.jpg (1576 bytes)

Легко видеть, что   wpe4E.jpg (2457 bytes) .

Находим нули функции f(x):

1 – 2x = wpe50.jpg (1070 bytes),  – 4x + 12x2 = 0, x = 0 – посторонний корень, x =wpe51.jpg (839 bytes) ;

no39_4.gif (1274 bytes)

f(– 0,1) =wpe52.jpg (1424 bytes) – 1 =wpe53.jpg (1408 bytes) – 1 < 0,
f(0,1) = 
wpe54.jpg (1396 bytes)– 1 =wpe55.jpg (1567 bytes) < 0,
f(0,34) =
wpe56.jpg (1604 bytes) – 1 = wpe57.jpg (1843 bytes)> 0.

Ответ:wpe58.jpg (2048 bytes).

Примечание. Этот пример показывает, что для двух чисел, «близко» расположенных на координатной прямой, применение метода интервалов осуществимо.

5.  wpe59.jpg (1371 bytes)>x – 1.

Решение. Пусть f(x) = wpe59.jpg (1371 bytes)– x + 1. Найдем область определения этой функции, для чего решим неравенство x3 + x2 – 2x  0  методом интервалов:

no39_5.gif (867 bytes)

D(f) =wpe5A.jpg (1469 bytes).

Ищем нули функции f, решив уравнение

wpe59.jpg (1371 bytes)x – 1, x3 = 1 и x = 1,

где x = 1 удовлетворяет уравнению, но не удовлетворяет исходному неравенству.

Далее применяем метод интервалов:no39_6.gif (994 bytes)

f(– 1) =wpe5B.jpg (843 bytes) + 2 > 0,
f(2) = wpe5C.jpg (840 bytes)– 1 > 0.

Ответ: wpe5A.jpg (1469 bytes).

Традиционное решение данного неравенства сводится к совокупности двух систем:

wpe5D.jpg (3300 bytes)

Примечание. Отметим, что не идет речь о преимуществах того или иного способа решения неравенств, а показывается применение метода интервалов на более широком классе неравенств.

Упражнения

Решите неравенства методом интервалов:

1.  wpe5E.jpg (1726 bytes).
2.  
wpe5F.jpg (1715 bytes) .
3.  
wpe60.jpg (2088 bytes) .
4.  
wpe61.jpg (1898 bytes).

II. Примеры решения показательных неравенств

1. 4x < 2x+1 + 3.

Решение. Если f(x) = 4x – 2•2x – 3, то D(f) = R и необходимо решить неравенство f(x) < 0. Найдем нули                 

f:  4x–2•2x – 3 = 0, откуда 2x = 3, x = log23.

Далее применяем метод интервалов:no39_7.gif (923 bytes)

f(0) < 0,  f(2) > 0.

Ответ: (– ; log23).

2. wpe62.jpg (1210 bytes) – 3  0.

Решение. Пусть f(x) =wpe62.jpg (1210 bytes)  – 3. Решаем неравенство f(x) 0. Заметим, что D(f) = (– ; 0)(0; + ). Для нахождения нулей функции f решаем уравнение:

wpe62.jpg (1210 bytes) – 3 = 0.

Полагая wpe65.jpg (888 bytes)t, где t > 0, приходим к уравнению t2 – wpe64.jpg (854 bytes)t – 3 = 0 с положительным корнем t = 2. Следовательно,  wpe65.jpg (888 bytes) = 2 и x =wpe66.jpg (854 bytes) .

Применяем метод интервалов:no39_8.gif (772 bytes)

f(1) < 0,
f wpe67.jpg (1024 bytes)> 0,
f(– 1) < 0.

Ответ: (–  ; 0) wpe68.jpg (1353 bytes).

3. 4x wpe69.jpg (1259 bytes) .

Решение. Рассмотрим функцию

f(x) = 4x – (wpe69.jpg (1259 bytes)) .

Область определения функции f есть луч [0; + ). Найдем теперь нули функции f:

4x – (wpe69.jpg (1259 bytes)) = 0.

Разделив обе части последнего уравнения на wpe6A.jpg (869 bytes), получим

wpe6C.jpg (1609 bytes),    wpe6D.jpg (1645 bytes)

откуда   wpe6E.jpg (878 bytes)= 4, xwpe6F.jpg (845 bytes) = 2, а это уравнение имеет единственный корень x = 4.

no39_9.gif (874 bytes)

f(1) < 0, f(9) = 49 – 3•212 – 44 = 28(210 – 2•24 – 1) > 0.

Ответ: [0; 4].

4.   wpe70.jpg (1422 bytes)< 1.

Решение. Введем в рассмотрение функцию f(x) =wpe70.jpg (1422 bytes) – 1. Легко видеть, что D(f) =wpe71.jpg (1942 bytes) . Находим нули функции f(x): 4x – 2 – 22x +wpe72.jpg (843 bytes)= 0. Уравнение корней не имеет.no39_11.gif (782 bytes)

 

f(0) =wpe72.jpg (843 bytes)> 0,
f(1) = 
wpe73.jpg (2630 bytes) < 0.

Ответwpe74.jpg (1271 bytes).

Упражнения

Решите методом интервалов неравенства:

5. 9x < 3x + 2.
6. 
wpe75.jpg (1622 bytes) .
7. 
wpe76.jpg (1963 bytes) .
8. 3•4
x – 7•10x + 2•25x > 0.
9.
wpe79.jpg (1365 bytes).

III. Примеры решения логарифмических 
неравенств методов интервалов.

1. lg2 x – 2lg x – 8  0.

Решение. f(x) = lg2 x – 2lg x – 8, D(f) = (0; +). Для нахождения нулей функции f решаем уравнение

lg2 x – 2lg x – 8 = 0,

откуда lg x = – 2, lg x = 4 и x =wpe7A.jpg (991 bytes) , x = 10000.no39_12.gif (1281 bytes)

f(105) = 25 – 10 – 8 = 7 > 0,
f(1) < 0,
f(10–3) = 9 + 6 – 8 = 7 > 0.

Ответwpe7B.jpg (1558 bytes) .

2. log0,3 (x2 – x – 20) – log0,3 (x + 4) > 0.

Решение. Найдем область определения функции f в левой части неравенства, решив систему неравенств

wpe7C.jpg (1900 bytes)   x > 5.

Решая уравнение log 0,3 (x2 – x – 20) – log0,3 (x + 4) = 0, находим нули функции f: x2 – x – 20 = x + 4, x2 – 2x – 24 = 0, x = – 4 – посторонний корень и x = 6.no39_13.gif (1281 bytes)

 

f(7) = log0,3 22 – log0,3 7 <0,
f(5,5) = log0,3 4,75 – log0,3 9,5>5.

Ответ: (5; 6).

3.  wpe82.jpg (2005 bytes).

Решение. Пусть f(x) = wpe83.jpg (1851 bytes)– 1. Необходимо решить неравенство f(x)  0.

Область определения функции f определяется системой неравенств

wpe84.jpg (3742 bytes)

Итак, D(f) = wpe85.jpg (2514 bytes) .

Найдем нули функции f:

log3 (5x + 1) = log3 (7x – 1)2,

откуда 49x2 – 19x = 0, x = 0 – посторонний корень, x =wpe86.jpg (995 bytes) – корень уравнения.

no39_14.gif (1281 bytes)

f(1) = wpe87.jpg (1730 bytes)< 0,
f(0,3) = wpe88.jpg (2011 bytes)> 0,
f(0,2) = wpe89.jpg (1381 bytes)– 1 < 0, так как log3 2 > 0, log3 0,4 < 0.
f(0,1) =
wpe8A.jpg (2086 bytes) < 0,
f(– 0,1) =
wpe8B.jpg (2101 bytes) < 0.

Ответwpe8C.jpg (3369 bytes) .

4. log3x+1wpe8D.jpg (1100 bytes)  0.

Решение. Для функции f(x) = log3x+1wpe8E.jpg (1100 bytes)   находим область определения. Решаем систему неравенств:

wpe8F.jpg (3778 bytes).

Найдем нули функции: log3x+1wpe8E.jpg (1100 bytes) = 0, wpe8E.jpg (1100 bytes)= 1, но последнее уравнение корней не имеет.

Применяем метод интервалов:

no39_15.gif (1144 bytes)

f(5) = log16 3 > 0,
f(1) = log4wpe90.jpg (839 bytes)< 0,
f(– 0,2) = log
0,4wpe91.jpg (959 bytes) > 0.

Ответ: wpe92.jpg (1331 bytes)(4; + ).

5. logx2 wpe93.jpg (963 bytes)2.

Решение. Для функции f(x) = logx 2 – wpe93.jpg (963 bytes)2 имеем D(f) = (0; 1) (1; + ). Очевидно, что для нахождения нулей f необходимо решить уравнение x =wpe94.jpg (1027 bytes) , откуда x = 2.

Применяем метод интервалов:

no39_16.gif (1149 bytes)

f(4) = log4 2 – log2 2 < 0,

f(1,5) = wpe96.jpg (4850 bytes),

wpe97.jpg (1955 bytes).

Ответ: (0; 1)  [2; +).

Упражнения

Решите методом интервалов неравенства:

10. wpe9A.jpg (1714 bytes)
11.  log
2 (x + 1) < 1 – 2log4 x.
12.  
wpe98.jpg (1971 bytes).
13.  log
xwpe99.jpg (1078 bytes) < 1.
14.  log
x 3  log2x+3 9.
15.  log
x (1 – 2x) < 1.
16.  log
3 log27 log2 (x2 + x + 2)  –1.

IV. Примеры на применение метода интервалов 
к неравенствам, содержащим знак модуля.

1. x2 > | 5x + 6 |.

Решение. Функция f(x) = x2 – | 5x + 6 | определена при любом x. Найдем ее нули, решив уравнение 
x2=| 5x + 6 |, откуда x2 = 5x + 6 или x2 = – (5x + 6), т. е.

x2 – 5x – 6 = 0 или x2 + 5x + 6 = 0.

Корни этих уравнений – 1, 6, – 2, – 3.

Далее применяем метод интервалов:

no39_17.gif (826 bytes)

f(7) > 0, f(0) < 0, f(– 1,5) > 0, f(– 2,5) < 0, f(– 4) > 0.

Ответ: (–; – 3)  (– 2; – 1)  (6; + ).

Примечание. Неравенство можно также решить, заменив его на равносильное (x2 – 5x – 6)(x2 + 5x + 6) > 0.

2. y2 – 4| y | < 12.

Решение. Здесь положим f(y) = y2 – 4| y | – 12. Заметим, что D(y) = R и найдем нули функции fy2 – 4| y | – 12=0, откуда | y | = 6, | y | = – 2. Последнее уравнение корней не имеет.

Ответ: – 6 < y < 6.

3. wpe9B.jpg (1359 bytes) .

Решение. Заменим неравенство на равносильное wpe9C.jpg (1665 bytes) 0 и положим f(x) =wpe9C.jpg (1665 bytes) . Ясно, что D(f) = (– ; – 2)  (– 2; 2)  (2; + ). Находим нули функции f, решая уравнение | 3x | = | x2 – 4 |, которое распадается на два:

x2 – 3x – 4 = 0 и x2 + 3x – 4 = 0.

Корни этих уравнений соответственно равны – 1; 4 и 1; – 4.

Далее применяем метод интервалов:

no39_18.gif (1009 bytes)

Ответ: (– ; – 4]  [ – 1; 1]  [4; + ).

Замечание. Конечно, при решении этого неравенства можно было учесть, что |x2 – 4 | > 0 при x ±2.

4. x2 + 2| x – 1 | + 7  4| x – 2 |.

Решение. Если f(x) = x2 + 2| x – 1 | + 7 – 4| x – 2 |, то D(f) = R и необходимо решить неравенство f(x)  0.

Находим нули f:

а) wpe9D.jpg (3626 bytes)

x = – 1 – нуль функции;

б) wpe9E.jpg (3423 bytes)

система решений не имеет;

в) wpe9F.jpg (3269 bytes)

система не имеет решений.

Применяем метод интервалов:

no39_20.gif (740 bytes)

f(0) > 0,
f(– 2) > 0.

Ответ: – 1.

5.wpeA0.jpg (1037 bytes) + 3 > | x – 1 |.

Решение. Для f(x) = wpeA0.jpg (1037 bytes)+ 3 – | x – 1 | находим D(f) =wpeA1.jpg (1772 bytes) .

Находим нули функции f(x).

Если xwpeA2.jpg (1249 bytes) , то

wpeA0.jpg (1037 bytes)+3 – x + 1 = 0,  wpeA0.jpg (1037 bytes)x – 4, 8x = 21,

x = 2wpeA3.jpg (877 bytes) – не корень.

Если xwpeA4.jpg (1256 bytes) , то

wpeA0.jpg (1037 bytes)+3+x–1 = 0,  wpeA0.jpg (1037 bytes)= – x – 2,  4x = – 9,

x = – 2,25 – корень.

Итак, функция f имеет один нуль x = –2,25.

Применяем метод интервалов:

no39_19.gif (837 bytes)

f(3) >0,

f(– 2,24) =wpeA5.jpg (1130 bytes) + 3 – 3,24 < 0,1 – 0,24 < 0,

f(– 3) > 0.

Ответ: (–  ; – 2,25)  [5; +  ).

Упражнения

Решите методом интервалов неравенства:

17. | x – 6 | > x2 – 5x + 9.
18. 16| x
2 – 2(x + | x | + 1 | < 1.
19. | x
2 – | x + 1 ||  2x – 3.

20. wpeA6.jpg (1721 bytes)

Ответы

1. (– ; – 6] 
2. 
wpeA7.jpg (1858 bytes) [0; 2).  
3. (– 
; 0]  [5; 7)  (9; + ).  
4. [3; 4].  
5. (– 
; log3 2).  
6. (– 
; 2) wpeA8.jpg (1518 bytes) .  
7. [0; 16].  
8.
wpeA9.jpg (1827 bytes)
9.
wpeAA.jpg (1279 bytes) 
10.
;1025]


11. (0;1)
12.[
wpeAB.jpg (845 bytes);2]
13.(0;1)
14. (0;1)
 (3;+)  
15.
wpeAC.jpg (1130 bytes)
16.[-3;-1)

17.(1;3)
18. 
wpeAD.jpg (2799 bytes)
19. 
wpeAE.jpg (1554 bytes)
20.
wpeAF.jpg (1200 bytes)

А. Смоляков,
г. Нефтекумск

TopList


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 24.08.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1514
Номер материала ДA-014178
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх