Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Примеры решений неравенств методом интервалов

Примеры решений неравенств методом интервалов

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

I. Примеры решения иррациональных неравенств

1. wpe44.jpg (987 bytes).

Решение. Введем функцию f(x) =wpe45.jpg (845 bytes) – 3. Необходимо определить промежутки, на которых f(x) 0. Очевидно, что D(f) = [0;). Нули f(x): x = 9.no39_1.gif (795 bytes)

f(16) >0,
f(4) < 0.

Ответ: [0; 9].

2. wpe40.jpg (1075 bytes)< 2 – x.

Решение. Традиционное решение этого неравенства приводит к системе неравенств

no39_22.gif (288 bytes)

Решение этого неравенства можно осуществить, положив wpe40.jpg (1075 bytes)y, где y  0. Получаем

y < 20 – y2,  y2 + y – 20 < 0,  (y + 5)(y – 4) < 0,

откуда y < 4, поскольку y0. Итак, wpe40.jpg (1075 bytes)< 4 и – 18 x  –2.

Интересен и такой вариант (графический) решения примера. Если заметить, что f(x) =wpe40.jpg (1075 bytes) – функция возрастающая на луче [– 18; + ), а g(x) = 2 – x – убывающая на R и x = 2 – абсцисса их точки пересечения и при этом f(– 14) < g(– 14), то ясен и

ответ: [– 18; – 2).

Обратимся к теме статьи. Пусть f(x) =wpe40.jpg (1075 bytes)+ x – 2. Надо решить неравенство f(x)< 0. Заметим, что D(f)=[– 18; +). Нули функции найдем, решив уравнение  wpe40.jpg (1075 bytes)= 2 – x, откуда x = – 2.

Применяем метод интервалов:no39_2.gif (889 bytes)

f(– 14) < 0,
f(7) > 0.

Ответ: [– 18; – 2).

3.  wpe43.jpg (1562 bytes)< 20.

Решение. Область допустимых значений определяется системой неравенств

.wpe45.jpg (1724 bytes)      x

Для функции f(x) = wpe43.jpg (1562 bytes)– 20   D(f) = [4; +). Далее находим нули f(x):

wpe46.jpg (6438 bytes)

откуда x = 29 и x = 13 – посторонний корень.no39_3.gif (896 bytes)

f(30) =wpe47.jpg (1246 bytes) – 20 = 0,3 > 0,
f(5) =wpe48.jpg (950 bytes) – 1 – 20 = – 10 < 0.

Ответ: [4; 29).

Примечание. Это неравенство можно решить, например, выполнив замену переменной wpe4B.jpg (982 bytes) = y, где y 0.

4.   wpe4C.jpg (1419 bytes)< 1.

Решение. Область определения функции f(x) =wpe4C.jpg (1419 bytes) – 1 найдем, решив систему неравенств

wpe4D.jpg (1576 bytes)

Легко видеть, что   wpe4E.jpg (2457 bytes) .

Находим нули функции f(x):

1 – 2x = wpe50.jpg (1070 bytes),  – 4x + 12x2 = 0, x = 0 – посторонний корень, x =wpe51.jpg (839 bytes) ;

no39_4.gif (1274 bytes)

f(– 0,1) =wpe52.jpg (1424 bytes) – 1 =wpe53.jpg (1408 bytes) – 1 < 0,
f(0,1) = 
wpe54.jpg (1396 bytes)– 1 =wpe55.jpg (1567 bytes) < 0,
f(0,34) =
wpe56.jpg (1604 bytes) – 1 = wpe57.jpg (1843 bytes)> 0.

Ответ:wpe58.jpg (2048 bytes).

Примечание. Этот пример показывает, что для двух чисел, «близко» расположенных на координатной прямой, применение метода интервалов осуществимо.

5.  wpe59.jpg (1371 bytes)>x – 1.

Решение. Пусть f(x) = wpe59.jpg (1371 bytes)– x + 1. Найдем область определения этой функции, для чего решим неравенство x3 + x2 – 2x  0  методом интервалов:

no39_5.gif (867 bytes)

D(f) =wpe5A.jpg (1469 bytes).

Ищем нули функции f, решив уравнение

wpe59.jpg (1371 bytes)x – 1, x3 = 1 и x = 1,

где x = 1 удовлетворяет уравнению, но не удовлетворяет исходному неравенству.

Далее применяем метод интервалов:no39_6.gif (994 bytes)

f(– 1) =wpe5B.jpg (843 bytes) + 2 > 0,
f(2) = wpe5C.jpg (840 bytes)– 1 > 0.

Ответ: wpe5A.jpg (1469 bytes).

Традиционное решение данного неравенства сводится к совокупности двух систем:

wpe5D.jpg (3300 bytes)

Примечание. Отметим, что не идет речь о преимуществах того или иного способа решения неравенств, а показывается применение метода интервалов на более широком классе неравенств.

Упражнения

Решите неравенства методом интервалов:

1.  wpe5E.jpg (1726 bytes).
2.  
wpe5F.jpg (1715 bytes) .
3.  
wpe60.jpg (2088 bytes) .
4.  
wpe61.jpg (1898 bytes).

II. Примеры решения показательных неравенств

1. 4x < 2x+1 + 3.

Решение. Если f(x) = 4x – 2•2x – 3, то D(f) = R и необходимо решить неравенство f(x) < 0. Найдем нули                 

f:  4x–2•2x – 3 = 0, откуда 2x = 3, x = log23.

Далее применяем метод интервалов:no39_7.gif (923 bytes)

f(0) < 0,  f(2) > 0.

Ответ: (– ; log23).

2. wpe62.jpg (1210 bytes) – 3  0.

Решение. Пусть f(x) =wpe62.jpg (1210 bytes)  – 3. Решаем неравенство f(x) 0. Заметим, что D(f) = (– ; 0)(0; + ). Для нахождения нулей функции f решаем уравнение:

wpe62.jpg (1210 bytes) – 3 = 0.

Полагая wpe65.jpg (888 bytes)t, где t > 0, приходим к уравнению t2 – wpe64.jpg (854 bytes)t – 3 = 0 с положительным корнем t = 2. Следовательно,  wpe65.jpg (888 bytes) = 2 и x =wpe66.jpg (854 bytes) .

Применяем метод интервалов:no39_8.gif (772 bytes)

f(1) < 0,
f wpe67.jpg (1024 bytes)> 0,
f(– 1) < 0.

Ответ: (–  ; 0) wpe68.jpg (1353 bytes).

3. 4x wpe69.jpg (1259 bytes) .

Решение. Рассмотрим функцию

f(x) = 4x – (wpe69.jpg (1259 bytes)) .

Область определения функции f есть луч [0; + ). Найдем теперь нули функции f:

4x – (wpe69.jpg (1259 bytes)) = 0.

Разделив обе части последнего уравнения на wpe6A.jpg (869 bytes), получим

wpe6C.jpg (1609 bytes),    wpe6D.jpg (1645 bytes)

откуда   wpe6E.jpg (878 bytes)= 4, xwpe6F.jpg (845 bytes) = 2, а это уравнение имеет единственный корень x = 4.

no39_9.gif (874 bytes)

f(1) < 0, f(9) = 49 – 3•212 – 44 = 28(210 – 2•24 – 1) > 0.

Ответ: [0; 4].

4.   wpe70.jpg (1422 bytes)< 1.

Решение. Введем в рассмотрение функцию f(x) =wpe70.jpg (1422 bytes) – 1. Легко видеть, что D(f) =wpe71.jpg (1942 bytes) . Находим нули функции f(x): 4x – 2 – 22x +wpe72.jpg (843 bytes)= 0. Уравнение корней не имеет.no39_11.gif (782 bytes)

 

f(0) =wpe72.jpg (843 bytes)> 0,
f(1) = 
wpe73.jpg (2630 bytes) < 0.

Ответwpe74.jpg (1271 bytes).

Упражнения

Решите методом интервалов неравенства:

5. 9x < 3x + 2.
6. 
wpe75.jpg (1622 bytes) .
7. 
wpe76.jpg (1963 bytes) .
8. 3•4
x – 7•10x + 2•25x > 0.
9.
wpe79.jpg (1365 bytes).

III. Примеры решения логарифмических 
неравенств методов интервалов.

1. lg2 x – 2lg x – 8  0.

Решение. f(x) = lg2 x – 2lg x – 8, D(f) = (0; +). Для нахождения нулей функции f решаем уравнение

lg2 x – 2lg x – 8 = 0,

откуда lg x = – 2, lg x = 4 и x =wpe7A.jpg (991 bytes) , x = 10000.no39_12.gif (1281 bytes)

f(105) = 25 – 10 – 8 = 7 > 0,
f(1) < 0,
f(10–3) = 9 + 6 – 8 = 7 > 0.

Ответwpe7B.jpg (1558 bytes) .

2. log0,3 (x2 – x – 20) – log0,3 (x + 4) > 0.

Решение. Найдем область определения функции f в левой части неравенства, решив систему неравенств

wpe7C.jpg (1900 bytes)   x > 5.

Решая уравнение log 0,3 (x2 – x – 20) – log0,3 (x + 4) = 0, находим нули функции f: x2 – x – 20 = x + 4, x2 – 2x – 24 = 0, x = – 4 – посторонний корень и x = 6.no39_13.gif (1281 bytes)

 

f(7) = log0,3 22 – log0,3 7 <0,
f(5,5) = log0,3 4,75 – log0,3 9,5>5.

Ответ: (5; 6).

3.  wpe82.jpg (2005 bytes).

Решение. Пусть f(x) = wpe83.jpg (1851 bytes)– 1. Необходимо решить неравенство f(x)  0.

Область определения функции f определяется системой неравенств

wpe84.jpg (3742 bytes)

Итак, D(f) = wpe85.jpg (2514 bytes) .

Найдем нули функции f:

log3 (5x + 1) = log3 (7x – 1)2,

откуда 49x2 – 19x = 0, x = 0 – посторонний корень, x =wpe86.jpg (995 bytes) – корень уравнения.

no39_14.gif (1281 bytes)

f(1) = wpe87.jpg (1730 bytes)< 0,
f(0,3) = wpe88.jpg (2011 bytes)> 0,
f(0,2) = wpe89.jpg (1381 bytes)– 1 < 0, так как log3 2 > 0, log3 0,4 < 0.
f(0,1) =
wpe8A.jpg (2086 bytes) < 0,
f(– 0,1) =
wpe8B.jpg (2101 bytes) < 0.

Ответwpe8C.jpg (3369 bytes) .

4. log3x+1wpe8D.jpg (1100 bytes)  0.

Решение. Для функции f(x) = log3x+1wpe8E.jpg (1100 bytes)   находим область определения. Решаем систему неравенств:

wpe8F.jpg (3778 bytes).

Найдем нули функции: log3x+1wpe8E.jpg (1100 bytes) = 0, wpe8E.jpg (1100 bytes)= 1, но последнее уравнение корней не имеет.

Применяем метод интервалов:

no39_15.gif (1144 bytes)

f(5) = log16 3 > 0,
f(1) = log4wpe90.jpg (839 bytes)< 0,
f(– 0,2) = log
0,4wpe91.jpg (959 bytes) > 0.

Ответ: wpe92.jpg (1331 bytes)(4; + ).

5. logx2 wpe93.jpg (963 bytes)2.

Решение. Для функции f(x) = logx 2 – wpe93.jpg (963 bytes)2 имеем D(f) = (0; 1) (1; + ). Очевидно, что для нахождения нулей f необходимо решить уравнение x =wpe94.jpg (1027 bytes) , откуда x = 2.

Применяем метод интервалов:

no39_16.gif (1149 bytes)

f(4) = log4 2 – log2 2 < 0,

f(1,5) = wpe96.jpg (4850 bytes),

wpe97.jpg (1955 bytes).

Ответ: (0; 1)  [2; +).

Упражнения

Решите методом интервалов неравенства:

10. wpe9A.jpg (1714 bytes)
11.  log
2 (x + 1) < 1 – 2log4 x.
12.  
wpe98.jpg (1971 bytes).
13.  log
xwpe99.jpg (1078 bytes) < 1.
14.  log
x 3  log2x+3 9.
15.  log
x (1 – 2x) < 1.
16.  log
3 log27 log2 (x2 + x + 2)  –1.

IV. Примеры на применение метода интервалов 
к неравенствам, содержащим знак модуля.

1. x2 > | 5x + 6 |.

Решение. Функция f(x) = x2 – | 5x + 6 | определена при любом x. Найдем ее нули, решив уравнение 
x2=| 5x + 6 |, откуда x2 = 5x + 6 или x2 = – (5x + 6), т. е.

x2 – 5x – 6 = 0 или x2 + 5x + 6 = 0.

Корни этих уравнений – 1, 6, – 2, – 3.

Далее применяем метод интервалов:

no39_17.gif (826 bytes)

f(7) > 0, f(0) < 0, f(– 1,5) > 0, f(– 2,5) < 0, f(– 4) > 0.

Ответ: (–; – 3)  (– 2; – 1)  (6; + ).

Примечание. Неравенство можно также решить, заменив его на равносильное (x2 – 5x – 6)(x2 + 5x + 6) > 0.

2. y2 – 4| y | < 12.

Решение. Здесь положим f(y) = y2 – 4| y | – 12. Заметим, что D(y) = R и найдем нули функции fy2 – 4| y | – 12=0, откуда | y | = 6, | y | = – 2. Последнее уравнение корней не имеет.

Ответ: – 6 < y < 6.

3. wpe9B.jpg (1359 bytes) .

Решение. Заменим неравенство на равносильное wpe9C.jpg (1665 bytes) 0 и положим f(x) =wpe9C.jpg (1665 bytes) . Ясно, что D(f) = (– ; – 2)  (– 2; 2)  (2; + ). Находим нули функции f, решая уравнение | 3x | = | x2 – 4 |, которое распадается на два:

x2 – 3x – 4 = 0 и x2 + 3x – 4 = 0.

Корни этих уравнений соответственно равны – 1; 4 и 1; – 4.

Далее применяем метод интервалов:

no39_18.gif (1009 bytes)

Ответ: (– ; – 4]  [ – 1; 1]  [4; + ).

Замечание. Конечно, при решении этого неравенства можно было учесть, что |x2 – 4 | > 0 при x ±2.

4. x2 + 2| x – 1 | + 7  4| x – 2 |.

Решение. Если f(x) = x2 + 2| x – 1 | + 7 – 4| x – 2 |, то D(f) = R и необходимо решить неравенство f(x)  0.

Находим нули f:

а) wpe9D.jpg (3626 bytes)

x = – 1 – нуль функции;

б) wpe9E.jpg (3423 bytes)

система решений не имеет;

в) wpe9F.jpg (3269 bytes)

система не имеет решений.

Применяем метод интервалов:

no39_20.gif (740 bytes)

f(0) > 0,
f(– 2) > 0.

Ответ: – 1.

5.wpeA0.jpg (1037 bytes) + 3 > | x – 1 |.

Решение. Для f(x) = wpeA0.jpg (1037 bytes)+ 3 – | x – 1 | находим D(f) =wpeA1.jpg (1772 bytes) .

Находим нули функции f(x).

Если xwpeA2.jpg (1249 bytes) , то

wpeA0.jpg (1037 bytes)+3 – x + 1 = 0,  wpeA0.jpg (1037 bytes)x – 4, 8x = 21,

x = 2wpeA3.jpg (877 bytes) – не корень.

Если xwpeA4.jpg (1256 bytes) , то

wpeA0.jpg (1037 bytes)+3+x–1 = 0,  wpeA0.jpg (1037 bytes)= – x – 2,  4x = – 9,

x = – 2,25 – корень.

Итак, функция f имеет один нуль x = –2,25.

Применяем метод интервалов:

no39_19.gif (837 bytes)

f(3) >0,

f(– 2,24) =wpeA5.jpg (1130 bytes) + 3 – 3,24 < 0,1 – 0,24 < 0,

f(– 3) > 0.

Ответ: (–  ; – 2,25)  [5; +  ).

Упражнения

Решите методом интервалов неравенства:

17. | x – 6 | > x2 – 5x + 9.
18. 16| x
2 – 2(x + | x | + 1 | < 1.
19. | x
2 – | x + 1 ||  2x – 3.

20. wpeA6.jpg (1721 bytes)

Ответы

1. (– ; – 6] 
2. 
wpeA7.jpg (1858 bytes) [0; 2).  
3. (– 
; 0]  [5; 7)  (9; + ).  
4. [3; 4].  
5. (– 
; log3 2).  
6. (– 
; 2) wpeA8.jpg (1518 bytes) .  
7. [0; 16].  
8.
wpeA9.jpg (1827 bytes)
9.
wpeAA.jpg (1279 bytes) 
10.
;1025]


11. (0;1)
12.[
wpeAB.jpg (845 bytes);2]
13.(0;1)
14. (0;1)
 (3;+)  
15.
wpeAC.jpg (1130 bytes)
16.[-3;-1)

17.(1;3)
18. 
wpeAD.jpg (2799 bytes)
19. 
wpeAE.jpg (1554 bytes)
20.
wpeAF.jpg (1200 bytes)

А. Смоляков,
г. Нефтекумск

TopList

Автор
Дата добавления 24.08.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров820
Номер материала ДA-014178
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх