I.
Примеры решения иррациональных неравенств
1. .
Решение. Введем
функцию f(x) = – 3. Необходимо
определить промежутки, на которых f(x)£ 0.
Очевидно, что D(f) = [0;¥). Нули f(x):
x = 9.
f(16) >0,
f(4) < 0.
Ответ: [0;
9].
2. < 2 – x.
Решение. Традиционное
решение этого неравенства приводит к системе неравенств
Решение этого
неравенства можно осуществить, положив = y,
где y ³ 0. Получаем
y <
20 – y2, y2 + y –
20 < 0, (y + 5)(y – 4) < 0,
откуда y <
4, поскольку y³0. Итак, < 4 и – 18£ x £ –2.
Интересен и такой
вариант (графический) решения примера. Если заметить, что f(x) = – функция возрастающая на луче [– 18; +¥ ),
а g(x) = 2 – x – убывающая на R и x =
2 – абсцисса их точки пересечения и при этом f(– 14) <
g(– 14), то ясен и
ответ: [– 18;
– 2).
Обратимся к теме
статьи. Пусть f(x) =+ x – 2.
Надо решить неравенство f(x)< 0. Заметим, что D(f)=[– 18;
+¥).
Нули функции найдем, решив уравнение = 2
– x, откуда x = – 2.
Применяем метод
интервалов:
f(– 14) < 0,
f(7) > 0.
Ответ: [– 18;
– 2).
3. < 20.
Решение.
Область допустимых значений определяется системой неравенств
. Þ x³ 4.
Для функции f(x) = – 20 D(f) = [4; + ¥).
Далее находим нули f(x):
откуда x =
29 и x = 13 – посторонний корень.
f(30)
= – 20 = 0,3 > 0,
f(5) = – 1 – 20 =
– 10 < 0.
Ответ: [4;
29).
Примечание. Это
неравенство можно решить, например, выполнив замену переменной = y, где y ³ 0.
4. < 1.
Решение.
Область определения функции f(x) = –
1 найдем, решив систему неравенств
Легко видеть,
что .
Находим нули
функции f(x):
1 – 2x = , – 4x + 12x2 =
0, x = 0 – посторонний корень, x = ;
f(– 0,1) = – 1 = – 1 < 0,
f(0,1) = – 1 = < 0,
f(0,34) = – 1 = >
0.
Ответ:.
Примечание.
Этот пример показывает, что для двух чисел, «близко» расположенных на
координатной прямой, применение метода интервалов осуществимо.
5. >x – 1.
Решение.
Пусть f(x) = – x +
1. Найдем область определения этой функции, для чего решим неравенство x3 +
x2 – 2x ³ 0 методом
интервалов:
D(f) =.
Ищем нули функции f,
решив уравнение
= x –
1, x3 = 1 и x = 1,
где x =
1 удовлетворяет уравнению, но не удовлетворяет исходному неравенству.
Далее применяем метод
интервалов:
f(– 1) = + 2 > 0,
f(2) = – 1 > 0.
Ответ: .
Традиционное решение
данного неравенства сводится к совокупности двух систем:
Примечание. Отметим,
что не идет речь о преимуществах того или иного способа решения неравенств, а
показывается применение метода интервалов на более широком классе неравенств.
Упражнения
Решите неравенства
методом интервалов:
1. .
2. .
3. .
4. .
II.
Примеры решения показательных неравенств
1. 4x <
2x+1 + 3.
Решение. Если f(x) =
4x – 2•2x – 3, то D(f) = R и
необходимо решить неравенство f(x) < 0. Найдем нули
f:
4x–2•2x – 3 = 0, откуда 2x = 3, x =
log23.
Далее применяем метод
интервалов:
f(0)
< 0, f(2) > 0.
Ответ:
(– ¥; log23).
2. – 3 £ 0.
Решение.
Пусть f(x) = – 3. Решаем
неравенство f(x)£ 0. Заметим, что D(f) =
(– ¥; 0)È(0; + ¥). Для нахождения нулей
функции f решаем уравнение:
– 3 = 0.
Полагая = t, где t > 0,
приходим к уравнению t2 – t – 3 = 0 с положительным корнем t =
2. Следовательно, = 2 и x = .
Применяем метод интервалов:
f(1)
< 0,
f > 0,
f(– 1) < 0.
Ответ: (– ¥;
0) È .
3. 4x £ .
Решение.
Рассмотрим функцию
f(x) =
4x – () .
Область определения
функции f есть луч [0; + ¥). Найдем теперь нули
функции f:
4x – () = 0.
Разделив обе части
последнего уравнения на , получим
,
откуда = 4, x– =
2, а это уравнение имеет единственный корень x = 4.
f(1) < 0, f(9) = 49 –
3•212 – 44 = 28(210 –
2•24 – 1) > 0.
Ответ:
[0; 4].
4. < 1.
Решение.
Введем в рассмотрение функцию f(x) = – 1. Легко
видеть, что D(f) = . Находим нули
функции f(x): 4x – 2 – 22x += 0. Уравнение корней не имеет.
f(0) => 0,
f(1) = < 0.
Ответ: .
Упражнения
Решите методом
интервалов неравенства:
5. 9x <
3x + 2.
6. .
7. .
8. 3•4x – 7•10x + 2•25x > 0.
9..
III.
Примеры решения логарифмических
неравенств методов интервалов.
1. lg2 x
– 2lg x – 8 £ 0.
Решение.
f(x) = lg2 x – 2lg x – 8, D(f) = (0; + ¥).
Для нахождения нулей функции f решаем уравнение
lg2 x
– 2lg x – 8 = 0,
откуда lg x = – 2,
lg x = 4 и x = , x = 10000.
f(105)
= 25 – 10 – 8 = 7 > 0,
f(1) < 0,
f(10–3) = 9 + 6 – 8 = 7 > 0.
Ответ: .
2. log0,3 (x2 –
x – 20) – log0,3 (x + 4) > 0.
Решение.
Найдем область определения функции f в левой части неравенства,
решив систему неравенств
Þ x
> 5.
Решая уравнение log 0,3 (x2 –
x – 20) – log0,3 (x + 4) = 0, находим нули функции f: x2 –
x – 20 = x + 4, x2 – 2x – 24 = 0, x = – 4 – посторонний
корень и x = 6.
f(7) =
log0,3 22 – log0,3 7 <0,
f(5,5) = log0,3 4,75 – log0,3 9,5>5.
Ответ: (5; 6).
3. .
Решение. Пусть f(x) = – 1. Необходимо решить неравенство f(x) £ 0.
Область определения
функции f определяется системой неравенств
Итак, D(f) = .
Найдем нули
функции f:
log3 (5x
+ 1) = log3 (7x – 1)2,
откуда 49x2 –
19x = 0, x = 0 – посторонний корень, x = – корень
уравнения.
f(1)
= < 0,
f(0,3) = > 0,
f(0,2) = – 1 < 0, так как
log3 2 > 0, log3 0,4 < 0.
f(0,1) = < 0,
f(– 0,1) = < 0.
Ответ: .
4. log3x+1 ³ 0.
Решение.
Для функции f(x) = log3x+1
находим область определения. Решаем систему неравенств:
.
Найдем нули функции:
log3x+1 = 0, = 1, но последнее уравнение корней не имеет.
Применяем метод
интервалов:
f(5) =
log16 3 > 0,
f(1) = log4<
0,
f(– 0,2) = log0,4 >
0.
Ответ: (4; + ¥).
5. logx2 £ 2.
Решение. Для
функции f(x) = logx 2 – 2 имеем D(f) =
(0; 1) È (1; + ¥). Очевидно,
что для нахождения нулей f необходимо решить уравнение x = , откуда x = 2.
Применяем метод
интервалов:
f(4)
= log4 2 – log2 2 < 0,
f(1,5)
= ,
f = .
Ответ: (0; 1) È [2;
+¥).
Упражнения
Решите методом
интервалов неравенства:
10.
11. log2 (x + 1) < 1 – 2log4 x.
12. .
13. logx <
1.
14. logx 3 £ log2x+3 9.
15. logx (1 – 2x) < 1.
16. log3 log27 log2 (x2 +
x + 2) £ –1.
IV.
Примеры на применение метода интервалов
к неравенствам, содержащим знак модуля.
1. x2 >
| 5x + 6 |.
Решение.
Функция f(x) = x2 – | 5x + 6 |
определена при любом x. Найдем ее нули, решив уравнение
x2=| 5x + 6 |, откуда x2 =
5x + 6 или x2 = – (5x + 6), т. е.
x2 –
5x – 6 = 0 или x2 + 5x + 6 = 0.
Корни этих уравнений
– 1, 6, – 2, – 3.
Далее применяем метод
интервалов:
f(7)
> 0, f(0) < 0, f(– 1,5) > 0, f(–
2,5) < 0, f(– 4) > 0.
Ответ: (– ¥;
– 3) È (– 2; – 1) È (6;
+ ¥).
Примечание.
Неравенство можно также решить, заменив его на равносильное (x2 –
5x – 6)(x2 + 5x + 6) > 0.
2. y2 –
4| y | < 12.
Решение.
Здесь положим f(y) = y2 – 4| y |
– 12. Заметим, что D(y) = R и найдем нули
функции f: y2 – 4| y |
– 12=0, откуда | y | = 6, | y | = – 2.
Последнее уравнение корней не имеет.
Ответ: – 6
< y < 6.
3. .
Решение.
Заменим неравенство на равносильное £ 0
и положим f(x) = . Ясно,
что D(f) = (– ¥; – 2) È (– 2;
2) È (2; + ¥). Находим нули функции f,
решая уравнение | 3x | = | x2 – 4 |, которое
распадается на два:
x2 – 3x
– 4 = 0 и x2 + 3x – 4 = 0.
Корни этих уравнений
соответственно равны – 1; 4 и 1; – 4.
Далее применяем метод
интервалов:
Ответ: (– ¥;
– 4] È [ – 1; 1] È [4; + ¥).
Замечание.
Конечно, при решении этого неравенства можно было учесть, что |x2 –
4 | > 0 при x¹ ±2.
4. x2 +
2| x – 1 | + 7 £ 4| x – 2 |.
Решение.
Если f(x) = x2 + 2| x – 1 | + 7 –
4| x – 2 |, то D(f) = R и необходимо
решить неравенство f(x) £ 0.
Находим нули f:
а)
x = – 1 – нуль функции;
б)
система решений не
имеет;
в)
система не имеет
решений.
Применяем метод
интервалов:
f(0)
> 0,
f(– 2) > 0.
Ответ:
– 1.
5. + 3 > | x – 1 |.
Решение.
Для f(x) = + 3 – | x –
1 | находим D(f) = .
Находим нули
функции f(x).
Если x , то
+3 – x + 1 = 0, = x – 4, 8x = 21,
x =
2 – не корень.
Если x , то
+3+x–1 = 0, = – x – 2, 4x =
– 9,
x =
– 2,25 – корень.
Итак, функция f имеет
один нуль x = –2,25.
Применяем метод
интервалов:
f(3) >0,
f(– 2,24) = + 3 – 3,24 < 0,1 – 0,24 < 0,
f(– 3) >
0.
Ответ:
(– ¥; – 2,25) È [5; + ¥).
Упражнения
Решите методом
интервалов неравенства:
17. | x – 6 |
> x2 – 5x + 9.
18. 16| x2 – 2(x + | x | + 1 | < 1.
19. | x2 – | x + 1 || £ 2x
– 3.
20.
Ответы
А. Смоляков,
г. Нефтекумск
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.