Примеры решения иррациональных, тригонометрических, логарифмических и других уравнений, решаемых нетрадиционными методами

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ НЕКОТОРЫХ ОРИГИНАЛЬНЫХ ПРИЕМОВ.

  
1. Решение иррациональных уравнений.

1.1. Метод подстановки.

1.1.1   Решите уравнение    .

Заметим, что знаки  х под радикалом различные. Введем обозначение

                                              ,      .

Тогда,       

 Выполним почленное сложение обеих частей уравнения    .

Имеем систему уравнений                  

Т.к. а + в = 4,  то  

                           

 

Значит:                       9 – x = 8  Þ  х = 1.  Ответ : х = 1.

1.1.2. Решите уравнение  .

Введем обозначения: , ; , .

Значит:  

Сложив почленно левую и правую части уравнений, имеем   .

Имеем систему уравнений       

а + в = 2,      ,      ,        ,

.

Вернемся к системе уравнений:    

 , .

Решив уравнение относительно  (ab), имеем   ab  =  9,  ab  =  -1 (-1  посторонний корень, т.к. , .).

            Данная система не имеет решений, значит, исходное уравнение также не имеет решения.

                   Ответ : нет решений.

1.1.3.      Решите уравнение: .

   Введем обозначение  , где .  Тогда ,.

, ,

.                

                                           Рассмотрим три случая:

1) .                                    2) .                                       3) .

   - а  +  1  -  а  +  2  =  1,                    а  -  1  -  а  +  2  =  1,                          а  -  1  +  а  -  2  =  1,                                a   =  1, 1 Ï [ 0;1 ).                                                [ 1 ;  2  ).                                             а  =  2.

                                    Решение: [ 1 ;  2 ].

Если  ,  то     ,    ,  .

                          Ответ: .    

1.2.   Метод оценки левой и правой частей (метод мажорант).

     Метод мажорант – метод нахождения ограниченности функции.

Мажорирование – нахождение точек ограничения функции. М – мажоранта.

Если имеем     f(x)  =  g(x) и известно  ОДЗ,    и  если

, , то   

1.2.3.      Решите уравнение: .

ОДЗ: .

  Рассмотрим  правую часть уравнения.  

Введем функцию  . Графиком является парабола с вершиной  А(3 ; 2 ).

Наименьшее значение функции      у(3) = 2,     то есть  .

  Рассмотрим левую часть уравнения.

Введем функцию  . С помощью производной нетрудно найти максимум функции, которая дифференцируема на x Î ( 2 ; 4 ).

.

 при ,

                   ,

                    ,  x=3.

   g`                         +                    -

               2                              3                              4

   g

         max

g(3)  = 2.  

Имеем, .

В результате , , то   

Составим систему уравнений , исходя из вышеуказанных условий :

  

Решая первое уравнение системы , имеем     х   =   3.  Подстановкой этого значения во второе уравнение, убеждаемся, что  х  =  3  есть решение системы.

                       Ответ: х  =  3.

1.3.  Применение монотонности функции.

1.3.1. Решите уравнение :

ОДЗ : , т.к    .   Þ .

Известно, что сумма возрастающих функций есть функция возрастающая.

Левая часть представляет собой   возрастающую функцию.  Правая часть – линейная функция (к=0). Графическая интерпретация подсказывает, что корень единственный. Найдем его подбором, имеем   х  =  1.

Доказательство:

   Предположим имеется корень   х₁   , больший 1, тогда выполняется

, т.к. х₁ >1,

,

,

.

.Делаем вывод, что корней больших единицы нет.

Аналогично, можно доказать, что нет корней, меньших единицы.

Значит x=1 – единственный корень.

           Ответ: x = 1.

1.3.2.   Решите уравнение:

ОДЗ: [ 0,5 ; +¥ ), т.к .     т.е. .

Преобразуем уравнение ,

,

.

Левая часть представляет собой возрастающую функцию ( произведение возрастающих функций ), правая часть – линейная функция ( к = 0). Геометрическая интерпретация показывает, что исходное уравнение должно иметь единственный корень, который можно найти подбором,  х  =  7.

Проверка:   

 Можно доказать, что других корней нет( см. пример выше).

                                               Ответ:  х  =  7.

2.Логарифмические уравнения.              

2.1   Метод оценки левой и правой частей.

2.1.1. Решите уравнение:   log₂  (2х  -  х²  +  15 )  =  х²  -  2х  +  5.

Дадим оценку левой части уравнения.

2х  -  х²  +  15  =  -  (х²  -  2х  -  15 )  = - ( ( х²  -  2х  +  1 )  - 1  -  15  )  =  -  ( х  -  1 ) ²  +  16  £16.

Тогда   log₂  (2х  -  х²  +  15  ) £  4.

Оценим правую часть уравнения.

x²  -  2х  +  5  =  (х²  -  2х  +  1  )   -  1  +  5   =  (х  -  1) ²  +  4  ³  4.

   

Исходное уравнение  может иметь решение  только при  равенстве обеих частей четырем.

      значит      

                                Ответ:  х  =  1.  

Для самостоятельной работы.

2.1.2. log₄ (6х  -  х ² +  7  )  =  х²  -  6х  +  11                          Отв.:  х  = 3.

2.1.3. log₅ ( 8x  -  x ² +  9  )  =  x²  -  8x  +  18                         Отв.:  х  = 6.

2.1.4. log₄ (2x  -  x ² +  3  )  =  x ² -  2x  +  2                            Отв.:  х  = 1.

2.1.5. log₂ (  6x  -  x²  -  5  )  =  x ² -  6x  +  11                         Отв.:  х  = 3.

2.2. Использование монотонности функции, подбор корней.

2.2.1.   Решите уравнение  :   log₂ (2х  -  х²  +  15  ) =  х² -  2х  +  5.

Выполним замену    2x  -  x ² +  15  =  t,  t>0.   Тогда       x²   -  2x  +  5  =  20  -  t,  значит

log₂  t  =  20  -  t  .

 Функция    y  =  log₂ t  - возрастающая,  а функция    y  =  20  -  t   -  убывающая. Геометрическая интерпретация дает нам понять, что исходное уравнение  имеет единственный корень, который нетрудно найти подбором     t  =  16.

Решив уравнение 2х  -  х²  +  15  =  16, находим, что  х  =  1.

Проверкой убеждаемся в верности подобранного значения.

                                                                    Ответ:  х  =  1.

2.3. Некоторые  “интересные” логарифмические уравнения.

2.3.1.  Решите уравнение   .

ОДЗ:  (  x  -  15  ) cosx > 0.

 Перейдем к уравнению

 ,     ,  ,

.

Перейдем к равносильному уравнению

(x  -  15)  (cos² x  -  1)  =  0,

x  - 15 = 0,                          или                                    cos² x  =  1 ,   

x = 15.                                                         cos x  =  1          или            cos x  =  -1,

                                                               x  =  2 pk, kÎZ .                  x  =  p +  2pl, lÎZ.

Проверим найденные значения, подставив их в ОДЗ.

1) если      x  =  15 ,   то         (15  -  15) cos 15  >  0,   

                    0       >  0,   неверно.

     x = 15 – не является корнем уравнения.

2) если      x  =  2pk, kÎZ,   то   (2 pk - 15) l  >  0,

                                                       2pk  >  15,    заметим, что    15 » 5p.   Имеем

                                                             k  >  2,5 ,  kÎZ,

                                                             k  =  3,  4,  5,  … .

3)   если  x  =  p +  2pl,  lÎZ,  то    (p  + 2pl  -  15 )  ( - 1 )   >  0,

                                                           p + 2pl  <  15,

                                                           2pl  < 15  -  p,  заметим, что    15 » 5 p.

     Имеем:      l  <  2,

                                                            l  =  1,  0 ,  -1,  -2,… .

Ответ: х  =  2pk (k = 3,4,5,6,…);  х  =  p +2p1(1 = 1,0, -1,- 2,…).

3.Тригонометрические уравнения.

3.1. Метод оценки левой и правой частей уравнения.

4.1.1. Решите уравнение   cos3x  cos2x   =  -1.

Первый способ..

0,5 ( cos x  + cos 5x )  =  -1,       cos x  +  cos 5x  = -2.

Поскольку  cos x ³  - 1 ,  cos 5x  ³  - 1,    заключаем,­ что  cos x  +  cos 5x  >  -2,  отсюда

следует система уравнений

cos x  =  -1,

cos 5x  =  - 1.

Решив уравнение cos x  =  -1, получим   х  =  p +  2pк ,где  kÎZ.

Эти значения  х  являются также решениями уравнения      cos 5x  =  -1,  т.к.

 cos 5x  =  cos 5 (p +  2pk)  =  cos  (p  +  4p  +  10pk)  =  -1.

Таким образом , х  =  p +  2pк , где kÎZ , -  это все решения системы, а значит и исходного уравнения.

                Ответ:  х  =   p ( 2k  +  1  ),  kÎZ.

Второй способ.

 Можно показать, что из исходного уравнения следует  совокупность систем

      cos 2x = - 1,

      cos 3x  =  1.

      cos 2x  =  1,

      cos 3x  = - 1.

Решив каждую систему уравнений , найдем объединение корней.

Ответ:  x = ( 2pк  +  1 ), kÎZ.

Для самостоятельной работы.

Решите уравнения:

3.1.2.   2 cos 3x  +  4 sin x/2  =  7.        Ответ:  нет решений.

3.1.3.   2 cos 3x  +  4 sin x/2  =  -8.       Ответ:  нет решений.

3.1.4.   3 cos 3x  +  cos x  =  4.              Ответ:  х  =  2pк, kÎZ. 

3.1.5.   sin x sin 3 x  =  -1.                     Ответ:  х  =  p/2  +  pк, kÎZ.

3.1.6.   cos⁸  x  +  sin⁷  x  =  1.              Ответ:  х  =  pm, mÎZ; х  =  p/2  +  2pn, nÎZ.

3.1.7.   cos 3x  +  cos  5x/2  =  2.

 Поскольку     ½ cos 3x ½  £  1   и  ½cos  5x/2½  £ 1 , то данное  уравнение равносильно  системе

    cos 3x  =  1,                                  x  =  2pn / 3,         

    cos 5x/2  =  1;                               x  =  4pk / 5.

Ответ:  4pm, mÎZ.

3.1.8.   cos 2x  +  cos  3 x / 4  - 2  =  0.        Ответ:  8pк, kÎZ .

3.1.9.   cos²(2 x +  p/3 )  +  cos²( p / 12  -  x )  =  0.    Ответ:  7p/12  +  pк, kÎZ.