Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Примеры решения иррациональных, тригонометрических, логарифмических и других уравнений, решаемых нетрадиционными методами

Примеры решения иррациональных, тригонометрических, логарифмических и других уравнений, решаемых нетрадиционными методами



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ НЕКОТОРЫХ ОРИГИНАЛЬНЫХ ПРИЕМОВ.


1hello_html_m53d4ecad.gif
. Решение иррациональных уравнений.


    1. Метод подстановки.

1.1.1 Решите уравнение hello_html_7e43400e.gif.

Заметим, что знаки х под радикалом различные. Введем обозначение

hello_html_4afd3440.gif, hello_html_m26d3fc64.gif.

Тогда, hello_html_1d1cadd0.gif

Выполним почленное сложение обеих частей уравнения hello_html_m2b747c00.gif.

Иhello_html_6c75df44.gifhello_html_6c75df44.gifhello_html_6c75df44.gifмеем систему уравнений hello_html_m557e5986.gif hello_html_5137ddf7.gif hello_html_4761ac56.gif

Т.к. а + в = 4, то hello_html_m1178e2fd.gif hello_html_m5606fa49.gif

hello_html_53e11fbd.gifhello_html_6c75df44.gifhello_html_6c75df44.gifhello_html_6c75df44.gifhello_html_m752ce7f2.gifhello_html_79ae94e.gif

hello_html_3e4273ec.gif

Зhello_html_6c75df44.gifначит: hello_html_m2eb94161.gif hello_html_m7ab37b85.gif 9 – x = 8 х = 1. Ответ : х = 1.


1.1.2. Решите уравнение hello_html_2ccaa364.gif.


Введем обозначения: hello_html_m28e6c904.gif, hello_html_496ac251.gif; hello_html_m5209faca.gif, hello_html_7cbde938.gif.

Значит: hello_html_m580004b4.gif

Сложив почленно левую и правую части уравнений, имеем hello_html_496d0a12.gif.

Иhello_html_6c75df44.gifмеем систему уравнений hello_html_7666b9eb.gif

а + в = 2, hello_html_18dc6a59.gif, hello_html_433eb9dc.gif, hello_html_m748bd7c9.gif,

hello_html_m1ce64825.gif.

Вhello_html_6c75df44.gifернемся к системе уравнений: hello_html_1a371f13.gif

hello_html_2f0468aa.gif, hello_html_32c801a7.gif.

Решив уравнение относительно (ab), имеем ab = 9, ab = -1 (-1 посторонний корень, т.к. hello_html_496ac251.gif, hello_html_7cbde938.gif.).


hello_html_6c75df44.gifhello_html_m5e6c15d6.gifДанная система не имеет решений, значит, исходное уравнение также не имеет решения.

Ответ : нет решений.

      1. Решите уравнение: hello_html_m3b5759ad.gif.

Введем обозначение hello_html_599282ba.gif, где hello_html_496ac251.gif. Тогда hello_html_m13f5ab51.gif,hello_html_625c97ed.gif.

hello_html_m28f142f9.gif, hello_html_e40c928.gif,

hello_html_m69745397.gif.

Рассмотрим три случая:

1) hello_html_m304ecb9b.gif. 2) hello_html_m4faf3a48.gif. 3) hello_html_55f68c3d.gif.

- а + 1 - а + 2 = 1, а - 1 - а + 2 = 1, а - 1 + а - 2 = 1, a = 1, 1 [ 0;1 ). [ 1 ; 2 ). а = 2.


Решение: [ 1 ; 2 ].


Если hello_html_m2a9230d9.gif, то hello_html_7e4e7d64.gif, hello_html_m4091a3f2.gif, hello_html_m41e769be.gif.


Ответ: hello_html_m41e769be.gif.


1.2. Метод оценки левой и правой частей (метод мажорант).


Метод мажорант – метод нахождения ограниченности функции.

Мажорирование – нахождение точек ограничения функции. М – мажоранта.

Если имеем f(x) = g(x) и известно ОДЗ, и если

hello_html_m2d20bc5.gifhello_html_6c75df44.gif, hello_html_m5b2fa8c2.gif, то hello_html_6d309ad4.gif

      1. Решите уравнение: hello_html_m334cfe4c.gif.

ОДЗ: hello_html_2c71b3cc.gif.

Рассмотрим правую часть уравнения.

Введем функцию hello_html_m6d787f96.gif. Графиком является парабола с вершиной А(3 ; 2 ).

Наименьшее значение функции у(3) = 2, то есть hello_html_m1431dfd9.gif.

Рассмотрим левую часть уравнения.

Введем функцию hello_html_1c6cfff2.gif. С помощью производной нетрудно найти максимум функции, которая дифференцируема на x ( 2 ; 4 ).

hello_html_m1cb6459b.gif.

hello_html_m3e32a845.gifпри hello_html_m107ce2f9.gif,

hello_html_m1366814c.gif,

hello_html_76d762f4.gif, x=3.


hello_html_2b2ea22b.gifhello_html_1fac1a5.gifhello_html_1fac1a5.gifhello_html_27adac18.gifg` + -

hello_html_m47922108.gifhello_html_52291ee3.gif2 3 4

g

max

g(3) = 2.

Имеем, hello_html_759c3dac.gif.

Вhello_html_6c75df44.gif результате hello_html_m1f618ac7.gif, hello_html_m6b038e1b.gif, то hello_html_m867adb4.gif

Составим систему уравнений , исходя из вышеуказанных условий :

hello_html_de2c2d7.gifhello_html_m7ebd0efc.gif

Решая первое уравнение системы , имеем х = 3. Подстановкой этого значения во второе уравнение, убеждаемся, что х = 3 есть решение системы.


Ответ: х = 3.


1.3. Применение монотонности функции.

1.3.1. Решите уравнение : hello_html_11342bf6.gif

Оhello_html_m6f418e8d.gifДЗ : hello_html_7c2c0e75.gif, т.к . hello_html_2fcade31.gif hello_html_7c2c0e75.gif.


Известно, что сумма возрастающих функций есть функция возрастающая.

Левая часть представляет собой hello_html_m669f886e.gif возрастающую функцию. Правая часть – линейная функция (к=0). Графическая интерпретация подсказывает, что корень единственный. Найдем его подбором, имеем х = 1.

Доказательство:

Предположим имеется корень х1 , больший 1, тогда выполняется

hello_html_m5262a329.gif, т.к. х1 >1,

hello_html_17e5b0b3.gif,

hello_html_7e50e9d6.gif,

hello_html_m17232f34.gif.

hello_html_m46791953.gif.Делаем вывод, что корней больших единицы нет.

Аналогично, можно доказать, что нет корней, меньших единицы.

Значит x=1 – единственный корень.

Ответ: x = 1.

1.3.2. Решите уравнение: hello_html_7bc8847.gif

Оhello_html_3e4273ec.gifДЗ: [ 0,5 ; + ), т.к . hello_html_m7bbbd11a.gif т.е. hello_html_1ec91ef4.gif.

Преобразуем уравнение hello_html_m5e0068c6.gif,

hello_html_75c42f2b.gif,

hello_html_30ecbd20.gif.

Левая часть представляет собой возрастающую функцию ( произведение возрастающих функций ), правая часть – линейная функция ( к = 0). Геометрическая интерпретация показывает, что исходное уравнение должно иметь единственный корень, который можно найти подбором, х = 7.

Проверка: hello_html_m60cac492.gif

Можно доказать, что других корней нет( см. пример выше).

Ответ: х = 7.





2.Логарифмические уравнения.

    1. Метод оценки левой и правой частей.

2.1.1. Решите уравнение: log2 (2х - х2 + 15 ) = х2 - 2х + 5.

Дадим оценку левой части уравнения.

2х - х2 + 15 = - (х2 - 2х - 15 ) = - ( ( х2 - 2х + 1 ) - 1 - 15 ) = - ( х - 1 ) 2 + 16 16.

Тогда log2 (2х - х2 + 15 ) 4.

Оценим правую часть уравнения.

x2 - 2х + 5 = (х2 - 2х + 1 ) - 1 + 5 = (х - 1) 2 + 4 4.

hello_html_6c75df44.gifhello_html_m52a4e1b7.gif

Исходное уравнение может иметь решение только при равенстве обеих частей четырем.

hello_html_6c75df44.gifhello_html_6c75df44.gifhello_html_68a715e.gifзначит hello_html_m72d49932.gif

Ответ: х = 1.


Для самостоятельной работы.


2.1.2. log4 (6х - х 2 + 7 ) = х2 - 6х + 11 Отв.: х = 3.

2.1.3. log5 ( 8x - x 2 + 9 ) = x2 - 8x + 18 Отв.: х = 6.

2.1.4. log4 (2x - x 2 + 3 ) = x 2 - 2x + 2 Отв.: х = 1.

2.1.5. log2 ( 6x - x2 - 5 ) = x 2 - 6x + 11 Отв.: х = 3.


2.2. Использование монотонности функции, подбор корней.

2.2.1. Решите уравнение : log2 (2х - х2 + 15 ) = х2 - 2х + 5.

Выполним замену 2x - x 2 + 15 = t, t>0. Тогда x2 - 2x + 5 = 20 - t, значит

log2 t = 20 - t .

Функция y = log2 t - возрастающая, а функция y = 20 - t - убывающая. Геометрическая интерпретация дает нам понять, что исходное уравнение имеет единственный корень, который нетрудно найти подбором t = 16.

Решив уравнение 2х - х2 + 15 = 16, находим, что х = 1.

Проверкой убеждаемся в верности подобранного значения.

Ответ: х = 1.


2.3. Некоторые “интересные” логарифмические уравнения.

2.3.1. Решите уравнение hello_html_m47fa5747.gif.

ОДЗ: ( x - 15 ) cosx > 0.

Перейдем к уравнению

hello_html_m67a3f3c2.gif, hello_html_5205603d.gif, hello_html_m83fe085.gif,

hello_html_283a3a04.gif.

Перейдем к равносильному уравнению

(x - 15) (cos2 x - 1) = 0,

x - 15 = 0, или cos2 x = 1 ,

x = 15. cos x = 1 или cos x = -1,

x = 2 k, kZ . x = + 2l, lZ.


Проверим найденные значения, подставив их в ОДЗ.

1) если x = 15 , то (15 - 15) cos 15 > 0,

0 > 0, неверно.

x = 15 – не является корнем уравнения.

2) если x = 2k, kZ, то (2 k - 15) l > 0,

2k > 15, заметим, что 15 5. Имеем


k > 2,5 , kZ,

k = 3, 4, 5, … .

3) если x = + 2l, lZ, то ( + 2l - 15 ) ( - 1 ) > 0,

+ 2l < 15,

2l < 15 - , заметим, что 15 5 .

Имеем: l < 2,

l = 1, 0 , -1, -2,… .

Ответ: х = 2k (k = 3,4,5,6,…); х = +21(1 = 1,0, -1,- 2,…).


3.Тригонометрические уравнения.

3.1. Метод оценки левой и правой частей уравнения.

4.1.1. Решите уравнение cos3x cos2x = -1.

Первый способ..

0,5 ( cos x + cos 5x ) = -1, cos x + cos 5x = -2.

Поскольку cos x - 1 , cos 5x - 1, заключаем,­ что cos x + cos 5x > -2, отсюда

следует система уравнений

chello_html_de2c2d7.gifos x = -1,

cos 5x = - 1.

Решив уравнение cos x = -1, получим х = + 2к ,где kZ.

Эти значения х являются также решениями уравнения cos 5x = -1, т.к.

cos 5x = cos 5 ( + 2k) = cos ( + 4 + 10k) = -1.

Таким образом , х = + 2к , где kZ , - это все решения системы, а значит и исходного уравнения.

Ответ: х = ( 2k + 1 ), kZ.

Второй способ.

Можно показать, что из исходного уравнения следует совокупность систем

hello_html_de2c2d7.gifhello_html_m2d25aff7.gifcos 2x = - 1,

cos 3x = 1.


hello_html_de2c2d7.gifcos 2x = 1,

cos 3x = - 1.

Решив каждую систему уравнений , найдем объединение корней.

Ответ: x = ( 2к + 1 ), kZ.

Для самостоятельной работы.

Решите уравнения:

3.1.2. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = 7. Ответ: нет решений.

3.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8. Ответ: нет решений.

3.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. Ответ: х = 2к, kZ.

3.1.5. sin x sin 3 x = -1. Ответ: х = /2 + к, kZ.

3.1.6. cos8 x + sin7 x = 1. Ответ: х = m, mZ; х = /2 + 2n, nZ.

3.1.7. cos 3x + cos 5x/2 = 2.

Поскольку cos 3x 1 и cos 5x/2 1 , то данное уравнение равносильно системе


hello_html_6c75df44.gifhello_html_6c75df44.gifcos 3x = 1, x = 2n / 3,

cos 5x/2 = 1; x = 4k / 5.


Ответ: 4m, mZ.


3.1.8. cos 2x + cos 3 x / 4 - 2 = 0. Ответ: 8к, kZ .

3.1.9. cos2(2 x + /3 ) + cos2( / 12 - x ) = 0. Ответ: 7/12 + к, kZ.





57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 05.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров112
Номер материала ДБ-012040
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх