Примеры решения задачи №16 ЕГЭ

№16

УСЛОВИЕ:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD. Из точки D параллельно основанию проведена прямая, пересекающая сторону AB в точке K.

a) Докажите, что треугольник AKD – равнобедренный
б) Найдите длину отрезка AD, если AC=5, AB=BC=20

РЕШЕНИЕ

∠КАD=∠DAC – биссектриса AD делит угол пополам.
∠КDA=∠DAC – внутренние накрест лежащие при параллельных прямых KD и AC и секущей AD.
Значит ∠КАD=∠KDA, треугольник АКD– равнобедренный.
2) Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Пусть СD=x, тогда DB=20–х
СD:DB=AC:AB
x:(20–x)=5:20
20x=100–5x;
25x=100
x=4
Высота ВМ– медиана и биссектриса.
Из прямоугольного треугольника ВСМ:
сos∠C=MC/BC=2,5/20=1/8
По теореме косинусов из треугольника ADC
AD²=AC²+DC²–2·AC·DC·cos∠C=
=5²+4²–2·5·4·(1/8)=
=36
AD=6
О т в е т. 6

ЛЕММА О ТРЕХЛИСТНИКЕ (ТРЕЗУБЦЕ)