Примеры заданий для итоговой оценки достижения планируемых результатов по геометрии в 9 классе

Глава 1. Примеры заданий для итоговой оценки достижения планируемых результатов

Примеры заданий.

Задание 1 базового уровня.

Используя необходимые геометрические термины, опишите взаимное расположение улицы Потанина и улицы Бульварной.

Ответ: ________________________________________ Варианты правильных ответов:

а) улицы Потанина и Бульварная параллельны;

б) улицы Потанина и Бульварная перпендикулярны

                                                                                            улице 4-я линия;

в) улицы Потанина и Бульварная пересекают улицы 1, 2, 3, 4, и т.д. линии

г) улицы Потанина и Бульварная параллельны улице Плеханова.

Планируемый результат распознавать и изображать на чертежах и рисунках геометрические фигуры и их отношения. Умения, характеризующие достижения этого результата:  распознавать на чертежах и рисунках геометрические фигуры; •    изображать на чертежах и рисунках геометрические фигуры; •    изображать на чертежах и рисунках отношения геометрических фигур; •    отражать условие задачи на чертежах и рисунках; •    соотносить чертеж, сопровождающий задачу, с текстом задачи; •    выделять конфигурацию, необходимую для поиска решения задачи, используя определения, признаки и свойства выделяемых фигур или их отношений; •    выполнять дополнительные построения, необходимые для решения задач; •    определять взаимное расположение фигур, применяя определения, признаки и свойства выделяемых фигур или их отношений.

Примеры заданий.

Задание 2 базового уровня.

Определите какие многоугольники использовались при создании паркета, представленного на рисунке.

Ответ: __________________________ Возможный вариант ответа:

Квадраты и восьмиугольники

 

Задание 3 базового уровня.

Изобразите ромб ABCD, три вершины которого даны

 

Задание 4 повышенного уровня

Изобразите четыре прямые так, чтобы у них было шесть точек попарных пересечений.

Ответ: 6.

Комментарий. Задание считается выполненным верно, если приведен правильный рисунок.

 

Задание 5 повышенного уровня На клетчатой бумаге изобразите центр O окружности, описанной около четырехугольника ABCD, показанного на рисунке.

 

 

Ответ:

 

Задание 6 базового уровня

 

Задание 7 базового уровня

На клетчатой бумаге изобразите треугольник A’B’C’, подобный треугольнику ABC, две вершины которого даны на рисунке.

                           

Ответ: ABC ~ ABC

 

Задание 7 повышенного уровня

На клетчатой бумаге изобразите касательную к окружности с центром в точке О, походящую через точку С.

 

Задание 8 повышенного уровня.

Две окружности с радиусами 9 см и 3 см касаются внешним образом в точке А. Через точку А проходит их общая секущая BC, которая второй раз пересекает окружность радиусом 9 см в точке B, а окружность радиусом 3 см в точке C. Найдите длину отрезка AB, если AC равен 5 см.

Ответ: ___________________________________

Комментарий. В условии задачи даны две окружности, касающиеся внешним образом в точке А. На рисунке изображаются две окружности с центрами в точках O₁ и O₂, которые имеют одну общую точку А. Через точку А проводится общая секущая

 ВС, которая второй раз пересекает окружность с центром в точке O₁ в точке B, а окружность с центром в точке O₂ в точке C.

Задание 9 повышенного уровня.

Радиус окружности, касающейся гипотенузы прямоугольного треугольника и продолжений его катетов, равен R. Найдите периметр данного треугольника.

Ответ: ___________________________________

Комментарий. В условии задачи дан прямоугольный треугольник и окружность, касающаяся гипотенузы и продолжений катетов. Проведем окружность с центром в точке О. Нарисуем прямоугольный треугольник АВС так, что точки K и N являются точками касания окружности с продолжениями катетов АС и ВС соответственно; а точка M – точка касания  окружности с гипотенузой АВ.

Задание 10 базового уровня.

На рисунке треугольник ABC – равнобедренный с основанием AC. Определите 2, если 1 = 56.

Ответ: _________________________________________

 

Задание 11 повышенного уровня.

На рисунке две окружности касаются в точке D. Угол между диаметром FD и хордой FE меньшей окружности равен 20. Найдите градусную меру угла .

Ответ: _________________________________________

 

Задание 12 базового уровня.

Во вписанном четырехугольнике ABCD, диагонали которого пересекаются в точке P, стороны АВ и CD равны соответственно 28 см и 7 см. Найдите длину отрезка АP, если DP = 5 см.

Ответ: ___________________________________

Комментарий. По условию задачи выполняется чертеж и делается запись условия задачи. Анализ чертежа и условия позволяет определить равенство углов ABD и ACD, по свойству вписанных углов; и углов APB и DPC, как вертикальных. Это позволяет определить отношение треугольников ABP и DCP, как отношение подобия (ABP ~ DCP). Таким образом, выделена конфигурация  необходимая для решения задачи.

Задание 13 повышенного уровня.

В выпуклом четырехугольнике ABCD точка O является точкой пересечения диагоналей. Известно, что AO = OC, а стороны AB и CD параллельны. Определите вид четырехугольника ABCD.

Ответ: ___________________________________

Комментарий. По условию задачи выполняется чертеж. Анализ чертежа и условия задачи позволяет определить: углы BAC и DCA – накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC, углы AOB и COD вертикальные, AO = CO по условию. Это позволяет определить отношение треугольников AOB и

COD, как отношение равенства (AOB = COD), Таким образом,  выделена конфигурация, необходимая для решения задачи.

Задание 14 базового уровня.

В треугольнике AВC из вершины В проведена медиана BF и на ее продолжении отмечена точка D так, что BF = FD. Найдите расстояние между точками A и D, если стороны треугольника AВ и ВC соответственно равны 6 см и 14 см.

О_твет: ___________________________________

 

а)                                                         б)

Комментарий. По условию задачи выполняется рисунок. Дополнительное построение: соединим точки А и D (рис. б) – позволяет доказать равенство треугольников BFC и DFA. Таким образом, построена конфигурация необходимая для решения задачи.

Задание 15 повышенного уровня.

В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении 17 : 15, считая от вершины, а боковая сторона равна 34 см. Найдите основание данного треугольника.

Ответ: ___________________________________

Комментарий. По условию задачи выполняется чертеж, на котором изображен равнобедренный треугольник ABD, в который вписана окружность и проведена высота BD. Выполним дополнительное построение: соединим центр вписанной окружности точку О - с точкой K каса ния вписанной окружности и стороны АВ. 

Дополнительное построение позволило выделить пару подобных треугольников (BKO ~ BDA). Таким образом, построена конфигурация необходимая для решения задачи.

Задание 16 базового уровня.

Дано 1 = 5, 4  5. Определите, какое из утверждений верно.

1. c ∥ d ,  c ∦ f;     2. c ∦ d,   d ∥ f;

3. c ∥ f , c ∦ d;     4. c ∦ d,  c ∦ f.

                                                                                                                                                Ответ: 2. (c ∦ d,   d ∥ f).

Задание 17 базового уровня.

Расстояние от центра окружности до прямой равно 13 см, а диаметр окружности равен 30 см. Определите, сколько общих точек имеют окружность и прямая.

О_твет: ________________________________

Ответ: Две точки.

Задание 18 повышенного уровня. Равные углы, образованные при пересечении прямых n и m секущей k обозначены буквой . Определите взаимное расположение прямых n и m, если  = 130.

1.  прямые n и m перпендикулярны;

2.  прямые n и m пересекаются, но не перпендикулярны;

3.  прямые n и m параллельны.

 

Ответ: 2. (Прямые n и mпересекаются, но не перпендикулярны).

Планируемый результат: решать задачи на вычисление длин линейных элементов фигур с необходимыми теоретическими обоснованиями, опирающимися на изученные свойства фигур и их элементов. Умения, характеризующие достижения этого результата: •  применять при решении задач на вычисление длин линейных элементов фигур определения, свойства и признаки фигур и их элементов; •  применять отношения фигур и их элементов (равенство, подобие, симметрии, поворот, параллельный перенос, теорему Пифагора, теоремы синусов и косинусов, неравенство треугольника) при решении задач на вычисление длин линейных элементов фигур. •  применять при решении задач на вычисление длин линейных элементов фигур, формулы для вычисления: стороны правильного многоугольника; радиуса

Примеры заданий

Задание 19 базового уровня.

Медиана ВМ треугольника АВС перпендикулярна его биссектрисе АD. Найдите АВ, если АС = 12 см.

Ответ: _____________________________________

Ответ: 6 см

Комментарий. Решение задачи следует из свойства биссектрисы равнобедренного треугольника и определения медианы.

Задание 20 повышенного уровня.

В равнобедренную трапецию АВСD вписан четырехугольник KLMN так, что его стороны параллельны диагоналям. Вершина M четырехугольника является серединой основания ВС, а вершина K – серединой основания АD. Найдите периметр четырехугольника KLMN, если одна из диагоналей трапеции равна 12 см.

Ответ: _________________________________

Ответ: 24 см Комментарий. Решение задачи следует из свойства средней линии треугольника.

Задание 21 базового уровня.

В треугольниках BOC и AOD: BC = AD; BCO = OAD. Найдите ВО, если BD = 5 см.

Ответ: ____________________________

 

Ответ: 2,5 см.

Комментарий. Решение задачи следует из равенства треугольников BOC и AOD.

Задание 22 базового уровня.

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника со сторонами 7 см и 24 см.

Ответ: ____________________________

Ответ: 12,5 см.

Комментарий. Решение задачи следует из теоремы Пифагора и свойств диагоналей прямоугольника.

Задание 23 базового уровня.

Внутри квадрата отмечена такая точка F, что треугольник AFD равносторонний.

Найдите угол AFB.

Ответ: ________________________

Ответ: 75.

Комментарий. Решение задачи следует из свойств равностороннего треугольника и квадрата.

Задание 24 базового уровня.

На сторонах угла B отложены равные отрезки BA и BC и отмечены точки Е и D так, что BAD = BCE. Найдите длину FС, если AF = 4 см.  Ответ: _______________________________________ Ответ: 4 см.

 

Комментарий. Решение задачи следует из равенства треугольников CDF и AЕF.

Задание 25 повышенного уровня.

Три окружности с радиусами 1 см, 2 см и 3 см попарно касаются друг друга. Найдите радиус окружности, проходящей через центры данных окружностей.

Ответ: ____________________________________

Ответ: 2,5 см.

 

Комментарий. Решение задачи следует из определений касающихся окружностей, теоремы, обратной теореме Пифагора, и свойства медианы прямоугольного треугольника.

Задание 26 базового уровня.

Найдите радиус окружности, описанной около правильного треугольника, если радиус вписанной в него окружности 3 см.

3

1. 6 3 см;   2.1,5 см;   3. 6 см;   4. 3 см 2

Ответ: 3. (6 см).

 

Задание 27 базового уровня.

Найдите отношение стороны квадрата, описанного около окружности, к стороне квадрата, вписанного в нее.

                                                                                                                                             1.  ;     2. 2;     3. 2 ;     4.          .

Ответ: 3. ( 2 ).

Задание 28 повышенного уровня.

Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в окружность, если сторона правильного шестиугольника, описанного около этой окружности, равна 2 см.

1. 1,5 см;     2. 2 3 см;     3. 3 см;     4. 2 2 см. Ответ: 3. (3 см).

Комментарий. Используются формулы, связывающие стороны правильного многоугольника с радиусами вписанной и описанной окружностей.

Задание 29 базового уровня.

Угол между эскалаторной лестницей и полом пассажирского зала метро равен 150^о. Используя таблицу тригонометрических функций, найдите приближенную длину эскалаторной лестницы в метрах, если подошва лестницы равна 117 м?

Ответ: ______________________________________

Ответ: 152 м.

 

Комментарий. При решении задачи используются определения тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника и умение применять таблицу тригонометрических функций при решении задач с контекстом из реальной жизни.

Задание 30 базового уровня.

Высота Останкинской телевизионной башни – 540 м. Используя таблицу тригонометрических функций, найдите приближенное расстояние в метрах от нее до человека, который видит башню под углом 37^о.

Ответ: ______________________ Ответ: : 720 м.

 

Комментарий. При решении задачи используются определения тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника, таблица тригонометрических функций.

Для спектакля театра теней из картона вырезали силуэт елочки высотой 10 см. Источник света размещен на расстоянии 1,2 м от экрана. На каком расстоянии от экрана надо разместить силуэт елочки, чтобы ее изображение  на экране имело высоту 20 см?

Ответ: ______________________

Ответ: 60 см. Комментарий. При решении задачи используются определения средней линии, либо подобие треугольников.

Планируемый результат: решать задачи на вычисление градусной меры углов от 0 до 180 с необходимыми теоретическими обоснованиями, опирающимися на изученные свойства фигур и их элементов. Умения, характеризующие достижения этого результата; •  применять при решении задач градусных мер углов от 0 до 180 определения, свойства и признаки фигур и их элементов; •  применять отношения фигур и их элементов (равенство, подобие, симметрии, поворот, параллельный перенос, теорему Пифагора, теоремы синусов и косинусов) при решении задач на вычисление градусных мер углов от 0 до 180; •  применять при решении задач на вычисление градусных мер углов от 0 до 180 формулы для вычисления: стороны правильного многоугольника; радиуса окружности, вписанной в правильный многоугольник; радиуса окружности, описанной около правильного многоугольника. •  применять сформированные умения находить градусные меры углов к решению задач с контекстом из реальной жизни.

Примеры заданий

Задание 31 базового уровня.

В равнобедренной трапеции ABCD острый угол при основании равен 70. Найдите угол BQC, образованный биссектрисами тупых углов В и С.

Ответ: _____________________________________

Ответ: 70.

Комментарий. Решение задачи следует из свойств равнобедренной трапеции.

Задание 32 базового уровня.

Внутри равностороннего треугольника ABC отмечена точка D такая, что BAD = BCD = 15. Найдите угол ADC.

О_твет: ________________________

Ответ: 90.

Комментарий. Решение задачи следует из теоремы о сумме углов треугольника  Задание 33 повышенного уровня.

Три стороны AB, BC и CD трапеции ABCD равны. Диагональ BD равна основанию AD. Найдите угол BCD.

Ответ: _________________________________ Ответ: 108^о.

Комментарий. Решение задачи следует из свойств равнобедренной трапеции, свойств равнобедренного треугольника и теоремы о сумме углов треугольника.

Задание 34 повышенного уровня.

В ромбе ABCD из вершины тупого угла B , равного 142, проведена высота BM к стороне CD, а из вершины острого угла A проведена высота AN к стороне BC.

Определите, под каким углом пересекаются прямые BM и AN.

Ответ: ____________________________ Ответ: 38.

Комментарий. Решение задачи следует из свойств углов со взаимно параллельными или перпендикулярными сторонами.

Задание 35 повышенного уровня.

Найдите угол между диагоналями параллелограмма, если его большая сторона

7

                       равна  см, а диагонали равны        3 см и 1 см.

2

Ответ: ___________________________________

Ответ: 30.

Комментарий. Решение задачи следует из теоремы косинусов.

Задание 36 повышенного уровня.

Определите градусную меру внешнего угла правильного многоугольника, у которого сумма его внешних углов с одним из внутренних равна 468.

Ответ: ___________________________________

Ответ: 72.

Комментарий. Используется теорема о сумме внешних углов правильного многоугольника.

Задание 37 базового уровня.

Какой угол описывает часовая стрелка за 20 мин?

Ответ: ___________________________________

Ответ: 10^о.

Примеры заданий.

Задание 38 базового уровня.

Найдите приближенную градусную меру угла, под которым на землю падает луч солнца, если вертикально воткнутый в землю шест возвышается над землей на 18 м и отбрасывает тень, равную 22,2 м.

Ответ: _______________________________

Ответ: 54 Задание 39 повышенного уровня.

Найдите больший угол параллелограмма, если его стороны равны 1 и 3 , а одна из диагоналей равна 7 .

Ответ: _______________________________

Ответ: 150

Задание 40 повышенного уровня. В треугольнике ABC сторона АС равна 8 см, угол C, равен 45, а угол B равен 30. Найдите сторону АВ.

Ответ: _______________________________

8 6

Ответ:  см..

3

Задание 41 повышенного уровня.

Диагональ параллелограмма делит его угол на части равные 45 и 30. Найдите отношение большей стороны параллелограмма к его меньшей стороне.

Ответ: _______________________________

Ответ: 2 .

Задание 42 базового уровня.

Найдите значение тангенса угла , если его косинус равен 0,8.

Ответ: _______________________________

Ответ: 0,75.

Задание 43 базового уровня.

Косинус угла равен –0,6. Определите вид угла: прямой; тупой; острый.

Ответ: _______________________________ Ответ: Тупой.

•       анализировать текст задачи на доказательство, выстаивать ход ее решения, в процессе решения выделять условия, позволяющие применять изученные теоремы о свойствах, признаках и отношениях фигур;

Примеры заданий.

Задание 44 базового уровня.

В трапеции ABCD, основания которой BC и AD, проведены диагонали AC и BD, которые пересекаются в точке O. Докажите, что COB ∾ AOD.

Комментарий. При анализе условия задачи устанавливаем равенство углов, используя свойство углов при параллельных прямых и теоремы о вертикальных углах. Затем - прямое  применение признака подобия треугольников.

Задание 45 повышенного уровня.

Боковая сторона трапеции равна одному основанию и вдвое меньше другого. Докажите, что вторая боковая сторона перпендикулярна одной из диагоналей трапеции.

Комментарий. Используются свойства параллелограмма и ромба.

Задание 46 базового уровня.

Точки A, B, C принадлежат одной прямой. Точки D₁ и D₂ лежат по разные стороны от этой прямой. Докажите, что если треугольники ABD₁ и ABD₂ равны, то треугольники BCD₁ и BCD₂ тоже равны.

Задание 47 базового уровня.

На продолжениях сторон квадрата ABCD последовательно отложены равные отрезки AA₁, BB₁, CC₁, DD₁. Докажите, что четырехугольник A₁B₁C₁D₁ – квадрат.

Задание 48 повышенного уровня.

В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны AB и BC равны, а сторона  AD меньше стороны CD. Докажите, что A  C. Задание 49 повышенного уровня.

Две окружности касаются внутренним образом, причем меньшая окружность проходит через центр большей. Докажите, что всякая хорда большей окружности, проходящая через точку касания, делится меньшей окружностью пополам.

Задание 50 повышенного уровня.

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Определите, какая из его сторон АВ или ВС больше, если ВМА = 80.

Ответ: ___________________________________

Ответ: ВC  АВ.

Комментарий. Используется теорема косинусов.

Задание 51 повышенного уровня.

Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, между которыми она заключается.

Задание 52 базового уровня.

Точки A, B и C лежат на одной прямой. Может ли точка B принадлежать отрезку AC, если AC = 7 см, а BC = 9 см.

Комментарий. Используется метод от противного. Задание 53 повышенного уровня.

Докажите, что если три окружности имеют общую хорду, то их центры расположены на одной прямой.

Комментарий. Используется метод геометрических мест точек.

Задание 54 повышенного уровня.

Точка K - середина медианы BF треугольника ABC. Прямая AK пересекает  сторону BC в точке D. Докажите, что BD =  BC.

Комментарий. Используется метод подобия или теорема Фалеса.

Задание 55 повышенного уровня.

Расстояние от точки A до точек B и C равны 3 см и 14 см соответственно, а расстояние от точки D до точек B и C равны 5 см и 6 см соответственно. Докажите, что точки A , B, C и D лежат на одной прямой.

Комментарий. Используется неравенство треугольника.

Примеры заданий.

Задание 56 базового уровня.

Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при основании.

Комментарий. Решение начать с построения заданного угла.

Задание 57 повышенного уровня.

Построить треугольник по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и радиусу описанной окружности.

Комментарий. Решение начать с построения окружности.

Задание 58 базового уровня.

Постройте треугольник ABC по углу A и стороне BC, если известно, что AB : AC = 2 : 3.

Комментарий. Используется метод подобия.

Задание 59 повышенного уровня.

Найдите геометрическое место середин всех хорд данной окружности, имеющих заданную длину, меньшую диаметра этой окружности.

Ответ: ___________________________________

Решение. Рассмотрим окружность с центром О и радиусом R. Пусть хорда АВ имеет заданную длину d (d < 2R, рис. а).

Если M – середина АВ, то ОМАВ, поэтому, из прямоугольного треугольника BОМ получим, что ОМ = OB²  MB² =

. Следовательно, середины всех

хорд заданной длины равноудалены от 

точки О, то есть лежат на указанной окружности.

Обратное: если точка М лежит окружности с центром О и  радиусом r, то проведем через М касательную АВ, являющуюся хордой данной окружности (рис. б). Так как ОМАВ, то М – середина АВ, причем АВ = 2 R² r² = d, что и требовалось доказать.

Ответ: окружность с тем же центром и радиусом r = R   , где R – радиус данной окружности, d – заданная длина хорды.

Планируемый результат решать простейшие планиметрические задачи в пространстве. Умение, характеризующие достижения этого результата. •      распознавать на чертежах и рисунках пространственные; •      изображать на чертежах и рисунках пространственные фигуры; •      решать задачи на нахождение геометрических величин в пространстве с использованием свойств и теорем планиметрии; •      решать задачи на нахождение геометрических величин в пространстве, используя развертки и модели пространственных геометрических фигур.

Примеры заданий.

Задание 60 базового уровня.

Определите, какие пространственные фигуры изображены на рисунке.

Ответ: ______________________ Ответ: Конус, пирамида, куб

 

Задание 61 высокого уровня

На рисунке изображён многогранник – звезда Кеплера, составленный из двух тетраэдров. Какой многогранник является общей частью этих тетраэдров?

Ответ: ______________________

Ответ: Правильный октаэдр

 

Комментарий. Кроме выше приведенного ответа, верным считается ответ: «Фигура состоит из 8 тетраэдров (треугольных пирамид)».

Задание 62 базового уровня.

На клетчатой бумаге изобразите куб, три ребра которого изображены на рисунке.

 

Задание 63 повышенного уровня.

На клетчатой бумаге изобразите правильную шестиугольную призму, четыре ребра которой изображены на рисунке.

 

Задание 64 базового уровня.

Основаниями прямой четырехугольной призмы являются квадраты ABCD и A₁B₁C₁D₁. Сторона основания призмы равна 7 см, а боковое ребро равно 6 см. Найдите сумму площадей боковых граней призмы.

Ответ: _______________________________

Ответ: 168 см².

 

Задание 65 повышенного уровня.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведено сечение AB₁C₁D – прямоугольник. Найдите диагональ сечения, если ребро куба равно 2 см.

Ответ: _______________________________

Ответ: 2 3 см.

 

Задание 66 повышенного уровня.

Найдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного куба из вершины A в вершину B.

Ответ: _______________________________

Ответ:.

 

Задание 67 высокого уровня

Найдите длину кратчайшего пути по поверхности многогранника, составленного из прямоугольных параллелепипедов, изображенного на рисунке, из вершины A в вершину B.

Ответ: _______________________________ Ответ: .

 

Преобразования плоскости

Примеры заданий.

Задание 68 базового уровня

Определите по рисунку вид движения, при котором одна фигура переходит в другую. Укажите на рисунке, как оно может быть задано.

1.  центральная симметрия (указать цент);

2.  поворот (указать угол и направление);

3.  осевая симметрия (указать ось);

4.  параллельный перенос (указать вектор).

 

Ответ: центральная симметрия

 

Задание 69 базового уровня 2. Определите по рисунку вид движения, при котором одна фигура переходит в другую. Укажите на рисунке, как оно может быть задано.

1.  центральная симметрия (указать центр);

2.  поворот (указать угол и направление);

3.  осевая симметрия (указать ось);

4.  параллельный перенос (указать вектор).

нос AA₁ = BB₁ = a

 

Задание 70 базового уровня

Определите, какие среди приведенных на рисунке трапеций имеют оси симметрии. Укажите номера этих рисунков в ответе.

 

___________________

Ответ: 3).

Задание 71 базового уровня

Определите, какие среди приведенных на рисунке фигур получены при помощи поворота. Укажите номера этих рисунков в ответе.

 

1)                      2)                         3)                           4)                         5)

Ответ: ___________________

Ответ: 1);     4);      5).

Задание 72 базового уровня.

Какие фигуры, изображённые на рисунке, имеют центр симметрии? В ответе отметьте букву, соответствующую правильному ответу.

а), б), в), г), д), е).

Ответ: б);     в);      г);     е).

 

Задание 73 базового уровня.

Какие фигуры, изображённые на рисунке, имеют ось симметрии? В ответе отметьте букву, соответствующую правильному ответу.

Ответ: а), б), в), г), д), е).

 

Задание 74 базового уровня.

Сколько осей симметрии имеет правильный: 

а) пятиугольник;

б) шестиугольник;

в) семиугольник?

Ответ:

а)________________________

                                                                                                                                           б)_______________________

в)_______________________

_

Ответ: а) 5;    б) 6;    в) 7.

Задание 75 базового уровня.

Даны прямая а и точка О. Постройте фигуру, симметричную прямой а относительно О, если: а) О  а; б) О  а; 

Ответ:  Ответ:

а) О  а б) О  а

 

Задание 76 базового уровня.

                                                                        Постройте четырех-             Ответ:

угольник, симметричный данному четырехугольнику ABCD относительно середины стороны BC.

 

Задание 77 базового уровня.

Постройте фигуру, симметричную данной окружности относительно данной прямой:

а) не пересекающей окружность;

б) пересекающей окружность;

в) касающейся окружности.

Ответ: а) прямая не пересекает      Ответ: б) прямая пересека- Ответ: в) прямая касается окружность             ет окружность           окружности.

 

Задание 78 базового уровня.

Постройте фигуру, в которую переходит данный треугольник ABC при параллельном переносе, переводящем точку А в точку С.

 

Задание 79 базового уровня.

 

Планируемый результат: использовать определения и свойства преобразований плоскости для решения задач. Умения, характеризующие достижения этого результата:  решать задач на вычисление;  решать задачи на доказательство.

Примеры заданий.

Задание 80 базового уровня

В результате параллельного переноса окружности радиуса r получили окружность, касающуюся данной. Найдите расстояние между центрами данной и полученной окружностей.

Ответ: _____________________________________

Ответ: 2r

Задание 81 базового уровня.

Отрезок АВ при повороте около точки А на 60° переходит в отрезок АВ₁. Найдите расстояние ВВ₁, если АВ = 3 см.

Ответ: _____________________________________ Ответ: 3 см.

Задание 82 базового уровня

Внутри угла АОВ, равного 40°, отмечена точка М. Точки M₁ и М2 симметричны точке М относительно сторон угла. Найдите градусную меру угла M₁OМ₂.

Ответ: _____________________________________ Ответ: 80.

Задание 83 повышенного уровня.

Квадрат ABCD повернули около его вершины А так, что вершина В перешла в вершину D, а вершина С в некоторую точку С1. Найдите отрезок СС1, если AB = 4 см.

Ответ: _____________________________________ Ответ: 8 см.

Задание 84 базового уровня Точки A’ и B’ симметричны относительно центра O соответственно точкам A и B.

Докажите, что отрезок A’B’ равен отрезку AB.

Задание 85 базового уровня

Докажите, что если у треугольника есть две оси симметрии, то он равносторонний.

Задание 86 повышенного уровня.

Треугольник A₁BC₁ симметричен треугольнику ABC относительно вершины B. Определите вид четырехугольника AC₁A₁C.

Задание 87 повышенного уровня.

Докажите, что четырехугольник, имеющий центр симметрии, является параллелограммом.

Раздел «Измерение геометрических величин»

Планируемый результат: использовать свойства измерения длин, площадей и углов при решении задач на нахождение длины отрезка, длины окружности, длины дуги окружности, градусной меры угла. Умения, характеризующие достижения этого результата: •           находить длину отрезка, длину окружности, длину дуги окружности, используя свойства измерения длин отрезков;  •           находить градусную меру угла, используя свойства измерения углов;

Примеры заданий

Задание 88 базового уровня.

Треугольник A₃A₄A₅ – равносторонний и его периметр равен 21см. Найдите периметр многоугольника A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇, если периметр шестиугольника A₁A₂A₃A₅A₆A₇ в два раза больше периметра равностороннего треугольника A₃A₄A₅.

Ответ: ______________________________

 .

Решение. Периметр многоугольника A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇ равен

PA1A2A3A4A5A6A7 = A1A2 + A2A3 + A3A4 + A4A5 + A5A6 + A6A7 + A7 A1 = = (A₁A₂ + A₂A₃ + A₃A₅ + A₅A₆ + A₆A₇ + A₇A₁) + A₃A₄ + A₄A₅ - A₃A₅ =  = PA1A2A3A5A6A7 + A3A4 + A4A5 - A3A5 = 2PA3A4A5 + (A3A4 + A4A5 - A3A5).

Стороны A₃A₄, A₄A₅ и A₃A₅ являются сторонами равностороннего треугольника A₃A₄A₅ и, значит, каждая равна 7 см. Следовательно,P_{A1A2A3A4A5A6A7} = 2·21 + 7 + 7 - 7 = 49 (см).

Ответ: 49 см

Задание 89 повышенного уровня.

На прямой от одной точки в одном направлении отложены три отрезка, сумма которых равна 28 см. Конец первого отрезка служит серединой второго, а конец второго отрезка – серединой третьего. Найдите длину меньшего отрезка.

Ответ: __________________________

Решение. Анализируем условие задачи:

На прямой n от одной точки (точка A) в одном направле нии (все вторые концы отрезков лежат на одном луче, с

началом в точке A) отложены отрезки: AB, AC и AD. Теперь собственно решение. Пусть AB = x, тогда AC = 2x, так как точка B является серединой отрезка AC, а, следовательно, AD = 4x, так как точка C является серединой отрезка AD. Отсюда AB + AC + AD = x + 2x + 4x = 28. x = 4 см.

Ответ: 4 см.

Задание 90 базового уровня.

Луч k – биссектриса угла (gh), градусная мера которого равна 72. Луч t – биссектриса угла (kh). Найдите градусную меру угла (kt).

Ответ: ___________________________

                                                                                                                                          Ответ: 18.

Задание 91 повышенного уровня.

Лучи k и t проходят между сторонами угла (gh). Угол, образованный биссектрисами углов (gk) и (th), равен 48. Найдите градусную меру угла (kt) , если градусная мера угла (gh) равна 70.

Ответ: ___________________________

                                                                                                                                                             Ответ: 26.

Задание 92 базового уровня.

Фигура на рисунке состоит из квадрата и треугольника. Высота треугольника равна стороне, к которой она проведена. Найти сторону квадрата, если площадь фигуры равна 96 см². 

Ответ: ___________________________

                                                                                                                                                                     Ответ: 8 см.

Комментарий. При решении задачи, чтобы найти длину стороны квадрата, используется свойство площади: площадь фигуры равна сумме площадей составляю-

1 ² щих ее частей. Площадь треугольника (S =    a ) в два раза меньше площади квад2

рата (S = a²).

Задание 93 базового уровня.

Найти длину границы фигуры, изображенной на рисунке, если площадь фигуры равна 2 см². 

                                                                                                           Ответ: ___________________________

Ответ: 6 см.

Комментарий. При решении задачи, чтобы найти длину границы фигуры, изображенной на рисунке, используется свойство площади: площадь фигуры равна сумме площадей составляющих ее частей. Площадь фигуры равна: площадь полуокружности с центром в точке О3 минус площадь полуокружности с центром в точке О1 плюс площадь полуокружности с центром в точке О2.

Планируемый результат: вычислять длины линейных элементов фигур и их углы, используя формулы длины окружности и длины дуги окружности, формулы площадей фигур; Умения, характеризующие достижения этого результата: •           применять формулы длины окружности и длины дуги окружности для вычисления длин отрезков; •           применять формулы длины окружности и длины дуги окружности для вычисления величин углов; •           применять формулы площадей фигур для вычисления длин отрезков; •           применять формулы площадей фигур для вычисления величин углов.

Примеры заданий

Задание 94 базового уровня.

Длина дуги ВС равна 4 см, длина дуги АВ равна 2 см. Найти длину хорды АВ.

Ответ: _____________________________ Ответ: 6 см.

 

Комментарий. Заметим, что точки А, В и С являются вершинами прямоугольного треугольника.

Задание 95 повышенного уровня.

Радиус окружности равен 15 см, длина дуги АВ равна 4 см, длина дуги CD равна 3 см. Найти градусную меру угла α.

Ответ: _____________________________

Ответ: 42°.

 

Комментарий. Применяя формулу для вычисления длины дуги находим градусную меру дуг АВ и CD. Затем по теореме о градусной мере угла, образованного при пересечении хорд, находим градусную меру угла α

Задание 96 базового уровня.

Площадь ромба ABCD равна 242 2 см². Вычислите сторону ромба, если один из его углов равен 135.

Ответ: _____________________________

Ответ: 22 см. Комментарий. Применить формулу S = а²sin = 242 2 см²,  = 45. Отсюда а

Задание 97 повышенного уровня. На рисунке площадь заштрихованной фигуры в 15 раз больше

R

площади белой. Найти отношение радиусов окружностей       r

Ответ: ___________________________

 

Ответ: 2.

 

Комментарий. Отношение радиусов находится, используя формулы  площади.

Площадь белой фигуры равна r², а площадь заштрихованной фигуры равна R² - r,

R² r²

                   2 = 15, R = 2r.

r

Задание 98 повышенного уровня.

Площадь треугольника, описанного около окружности, равна 84 см². Найдите периметр треугольника, если радиус окружности равен 3 см.

Ответ: __________________________________ Ответ: 24 см.

Комментарий. Следует воспользоваться формулой S = rp, где p - полупериметр треугольника, r -радиус вписанной окружности Задание 99 повышенного уровня.

Параллелограмм и прямоугольник имеют соответственно равные стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника.

Ответ: _____________________________

Ответ: 30 Комментарий. Sпрямоугольник = ab,   Sпараллелограмм = absin Sпараллелограмм =  Sпрямоугольник, absin =  ab, sin =  . Отсюда  =30.

Задание 100 базового уровня.

Площадь треугольника ABC равна 14 см². Стороны AB и AC соответственно равны 7 см и 8 см. Найдите угол между сторонами AB и AC.

Ответ: ________________________________

 

Ответ: 30 Комментарий. Следует воспользоваться формулой S =  absin, и найти синус

                  угла BAC.   14, sin =  , BAC = 30.

Планируемый результат: вычислять площади фигур. Умения, характеризующие достижения этого результата: •  находить  площади треугольников, прямоугольников, параллелограммов, трапеций, кругов и секторов, непосредственно применяя соответствующие формулы. •  находить площади фигур, равновеликость и равносоставленность фигур, соотношение между площадями подобных фигур;

Примеры заданий

Задание 101 базового уровня.

Сторона CD параллелограмма ABCD равна 6 см. Диагональ AC перпендикулярна стороне CD и равна 8 см. Найдите площадь параллелограмма.

                                                                                                                  Ответ: __________________________

Ответ: 48 см². Комментарий. Заметим, что точки треугольник АВС – прямоугольный и его площадь равна S =  ACCD, а площадь параллелограмма ABCD равна 2S.

Задание 102 базового уровня.

Найдите площадь прямоугольника, если его диагональ равна 14 см и образует с большей стороной угол, равный 30.

Ответ: ______________________________

                                                                                                                                                               Ответ: 98 см²

Возможный вариант решения. Стороны прямоугольника равны 14sin 30 и

             14cos30. S = ab = 14²sin30cos30 = 14² ¹  ³ = 49 3 см².

                                                                                                                    2     2

Задание 103 повышенного уровня.

Одна из диагоналей прямоугольной трапеции делит эту трапецию на два прямоугольных равнобедренных треугольника. Какова площадь трапеции, если её боковая сторона, прилежащая к прямому углу, равна 4?

Ответ: ________________________________ Ответ: 24.

Решение. Площадь трапеции состоит из суммы площадей двух прямоугольных равнобедренных треугольников, стороны которых равны 4 и 4 2 . S₁ =  4², S₂ =

 (4 2 )², S = S₁ + S₂ = 8 + 16 = 24

Задание 104 повышенного уровня. 

В равнобедренной трапеции ABCD проведены диагональ АС и высота СH. Найдите отношение площади трапеции к площади треугольника AСH.

Ответ:__________________________________ Ответ: 2 : 1.

Комментарий. Если провести через вершину C прямую, параллельную стороне AB, то получим параллелограмм ABCF (точка F – точка пересечения прямых AD и CF). Диагональ AC делит параллелограмм ABCF на два равных треугольника ABC и ACF. Треугольник FCD

 –треуго равнобедренный, и высота льника CDH и CFH. Отсюда, площадь трапеции в СH делит его на два равных два раза больше площади треугольника AСH.

Умение: находить площади фигур, используя: свойства площади, равновеликость и равносоставленность фигур, соотношение между площадями подобных фи-

гур.

Задание 105 базового уровня.

По данным рисунка найдите площадь заштрихованной фигуры.

Ответ: _______________________

Ответ: 16 см².

 

 

Комментарий. Площадь заштрихованной фигуры равновелика площади квадрата.

Задание 106 повышенного уровня. 

Противоположные стороны выпуклого шестиугольника равны и параллельны. Его вершины соединены диагоналями через одну. Найдите отношение площади заштрихованной части фигуры к  площади незаштрихованной.

Ответ:__________________________________

                                                                                                                                                                  Ответ: 1.

Комментарий. Площадь заштрихованной части фигуры равновелика площади . незаштрихованной.

Планируемый результат: вычислять длину окружности, длину дуги окружности. Умения, характеризующие достижения этого результата: •           применять для нахождения длин окружностей и дуг формулы длины окружности и длины дуги; •           находить длины окружностей и дуг, используя формулы площадей фигур.

Примеры заданий

Задание 107 базового уровня.

Найдите длину границы заштрихованной фигуры, используя данные рисунка.

1. 6 + 6;     2. 12;     3. 6 + 6;     4. 3+6.

Ответ:____________________________

                                                                                                                                                Ответ: 3 (6 + 6).

Решение. Длина границы заштрихованной фигуры равна сумме длин полуокружности BC радиуса r = 3, дуги окружности AC радиуса R = 6, градусная мера которой равно 90, и радиуса окружности AB равного 6. Таким образом, длина границы заштрихованной фигуры равна L =  (2r) +  (2R) + AB = 3 + 3 + 6 = 6 + 6.

Задание 108 повышенного уровня.

На рисунке изображен поперечный разрез листа гофрированного железа. Его высота равна 10 см. Определите, какой длины нужен плоский лист железа, чтобы  сделать 1 м гофрированного железа.

Ответ: _____________________________ Ответ: 50 см.

Комментарий. Заметим, что профиль состоит из полуокружностей, при этом 10 см – это диаметр этих полуокружностей. Отсюда в один метр гофрированного железа состоит из 10 полуокружностей. Значит, площадь его поверхности равна 50 см.

Задание 109 базового уровня.

Внутри круга радиуса 2 2 проведена окружность, делящая его на две равновеликие фигуры. Найти длину этой окружности.

Ответ: _________________________________________

Ответ: 4 см

 

Решение. Площадь круга, ограниченного окружностью радиуса r, равна S = r², а площадь фигуры, ограниченной окружностями радиусов R и r, равна разности площади круга, ограниченного окружностью радиуса R, и площади круга, ограниченного окружностью радиуса r, то есть S =R² - r². По условию R² - r² = r². Отсюда, r =2 (см) и l = 4 (см).

Планируемый результат: решать задачи на доказательство с использованием формул длины окружности и длины дуги окружности, формул площадей фигур. Умения, характеризующие достижения этого результата:

Примеры заданий

Задание 110 базового уровня. Точки А, В и С лежат на одной прямой, точки M и N – середины отрезков АВ и АС. Докажите, что ВС = 2 MN.

Задание 111 повышенного уровня.

Треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О. Докажите, что если АС = АО + СО, то угол между биссектрисами углов АОВ и ВОС равен 90°.

Задание 112 базового уровня. 

Докажите, что длины дуг окружности, заключенных между параллельными хордами, равны.

Задание 113 повышенного уровня.

Длины дуг AB и CD равны. Докажите, что АQ = QD.

 

 

Задание 114 базового уровня. 

Основание CD трапеции ABCD и основание KL трапеции ABKL лежат на одной прямой. Докажите, что площади трапеций ABCD и ABKL равны, если CD = KL.

 

Задание 115 повышенного уровня. В трапеции ABCD с основаниями BC и  AD диагонали пересекаются в точке О.

Площади треугольников BОC и AОD равны S₁ и S₂ . Докажите, что площадь трапе-

2 ции равна  S₁  S₂  .

Планируемый результат: решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин (используя при необходимости справочники и технические средства). Умение, характеризующие достижения этого результата:  применять свойства измерений длин, площадей и углов и изученные формулы  для решения практических задач, связанные с нахождением геометрических величин (используя при необходимости справочники и технические средства).

Примеры заданий

Задание 116 базового уровня.

Рассчитать количество краски, необходимой для окрашивания внешней поверхности ангара, имеющего форму полуцилиндра, если на окрашивание 1 м²  уходит  0,25 кг краски. В ответе указать минимальное количество 10-ти килограммовых ведер краски, которое необходимо купить.

Ответ:____________________________________

 

Ответ: 7 ведер.

Задание 117 повышенного уровня.

От треугольного (ABC) листа кровельного железа весом 5 кг нужно отрезать параллельно стороне BC полосу весом 2 кг. Найти отношение FВ к АF.

Ответ:__________________

5

                                                                                                                                                           Ответ:     ₃ –1.

Раздел «Координаты»

Планируемый результат: Объяснять и иллюстрировать понятие декартовой системы координат. Умения, характеризующие достижения этого результата:  изображать на координатной плоскости точки с заданными свойствами,   находить координаты точек;

Примеры заданий.

Задание 118 базового уровня.

На координатной плоскости прямая заданна уравнением 2х + 3y = 6. Найдите точки пересечения прямой с осями координат.

Ответ: (3, 0) и (0, 2).

Задание 119 базового уровня

Изобразите точку A’, симметричную точке A(4,

 

Задание 120 базового уровня

Точки O(0, 0), B(6, 2), C(0, 6) и A являются вершинами параллелограмма. Найдите координаты точки A.

Ответ: (6, 8).

 

Планируемый результат: использовать координатный метод для исследования свойств прямых и отрезков. Умения, характеризующие достижения этого результата: •  применять формулы для нахождения  координат середины отрезка  применять формулы для вычисления длин отрезков. •  составлять уравнения прямой; •  устанавливать взаимное расположение прямых по их уравнениям.

Примеры заданий.

Задание 121 базового уровня.

В треугольнике ABC с вершинами в точках A(7, 3), B(5, 1), C(1,14) проведена медиана CD. Найдите координаты ее основания.

1. (1; 1);          2. (1; 2);          3. (6; 1);          4. (6; 2).

Ответ: 4. D (6; 2). Задание 122 повышенного уровня.

Точки O(0, 0), A(10, 8), B(8, 2), C(2, 6) являются вершинами четырехугольника. Найдите координаты точки P пересечения его диагоналей.

Ответ: (5, 4).

 

Задание 123 базового уровня

В треугольнике ABC с вершинами в точках A(7, 3), B(5, 1), C(1,14) проведена медиана CD. Найдите ее длину.

Ответ:___________________________________ Ответ: 13. Решение. Основание медианы CD треугольника ABC делит сторону AC пополам,

то есть AD = DB. Координаты середины отрезка находим по формулам: x = x^{1 x2} 2

и y = y^{1  y2} . Точка D является серединой отрезка AB, концы которого имеют ко2 ординаты A(7, 3) и B(5, 1). Значит, x =  = 6, y =  = 2. Таким образом, D (6,

2). Расстояние между точками вычисляется по формуле d² = (x₁ – x₂)² + (y₁ – y₂)².

Координаты концов отрезка CD: C(1, 14) и D (6, 2), значит, CD =

Найдите длину отрезка касательной, проведенной из начала координат O к окружности с центром в точке P(-3,

Ответ:___________________ Ответ: 17 .

Решение: Пусть Q – точка касания. Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то треугольник OPQ прямоугольный, OP =

3 2 , PQ = 1. По теореме Пифагора, искомый отрезок OQ равен 17 .

Задание 125 повышенного уровня.

Определите вид четырехугольника ABCD, вершинами которого являются точки A

(2, 1), B (0, 3), C (2, 5) и D (4, 3).

Ответ:___________________

Ответ: квадрат.

Задание 126 базового уровня. 

Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А(1, –1) и B(2, 2) Ответ:___________________

Ответ: y = 3 x – 4.

Задание 127базового уровня

Напишите уравнение прямой, проходящей через точку A (2, 2) и параллельную прямой, заданной уравнением y = 2x.

Ответ: y = 2x – 2.

Задание 128 повышенного уровня

Напишите уравнение прямой, проходящей через точку A(2, 1) и перпендикулярную прямой, заданной уравнением y = x. Изобразите эту прямую. Ответ: x + y – 3 = 0.

. 

Задание 129 повышенного уровня.

Напишите уравнение прямой, симметричной прямой, заданной уравнением 2x + 3y – 6 = 0, относительно оси абсцисс. Изобразите эту прямую. Ответ: 2x – 3y – 6 = 0.

. 

Задание 130 повышенного уровня.

Напишите уравнения касательных к окружности   x² + y² – 9 = 0, параллельных биссектрисе первого координатного угла.

Ответ:___________________

Ответ:  y  =   x + 3 2 , y  =   x – 3 2 .

Задание 131повышенного уровня.

Даны  координаты точек А(–1, 1), В(0, 3), С(2, 7) D(–2, –1). Определите взаимное расположение прямых AB  и  CD:

Ответ: ___________________

Ответ: прямые совпадают Задание 132 базового уровня. 

Прямые  a и b заданы своими уравнениями:  y  = 2x + 3, y  = 2x – 2 соответственно. Определите взаимное расположение этих прямых. 

Ответ: ___________________

Ответ: прямые параллельны.

Задание 133 повышенного уровня Определите взаимное расположение прямых, заданных уравнениями:

а) y = 3x,                           x + y – 4 = 0.

б) x + y - 1 = 0,                  x + y + 1 = 0;

в) x + y - 1 = 0,                  x - y - 1 = 0;

Ответ: а) прямые пересекаются в точке (1, 3);

б) параллельны;

в) перпендикулярны.

Планируемый результат: использовать координатный метод для исследования свойств окружностей. Умения, характеризующие достижения этого результата: •  составлять уравнение окружности с заданными свойствами; •  по заданному уравнению окружности находить центр и радиус.

Примеры заданий

Задание 134 базового уровня

Составьте уравнение окружности с центром в точке P(2, 1) и радиусом 3. Ответ: (x-2)² +(y-1)² = 9.

 

Задание 135 базового уровня. 

Напишите уравнение окружности, проходящей через точку А(1, 6) с центром в точке O(3, –1).

Ответ:___________________

Ответ: x² + y² – 6 x + 2y  = 43. Задание 136 повышенного уровня.

Напишите уравнение окружности описанной около треугольника ABC, если заданы координаты его вершин А(0, 3), B(4, 0) C(4, 3).

Ответ:___________________

Ответ: (x – 2)² + (y – 1,5)²  =  6, 25. Задание 137 повышенного уровня.

Составить уравнение окружности, вписанной в треугольник OAB, если  его вершины имеют  координаты  O (0, 0), A(0, 3), B(4, 0).

Ответ: ___________________

Задание 138 базового уровня

Найдите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением x² + y² – 2x – 6y + 12 = 0. Ответ: P(2, 3), R = 1.

 

Задание 139 базового уровня

Найдите координаты центра окружности, описанной около прямоугольника ABCD, вершины которого имеют координаты соответственно A(-2, -2), B(6, -2), C(6, 4), D(-2, 4).

Ответ:___________________

Ответ: (2, 1).

Задание 140 базового уровня.

Отрезок AB - диаметр окружности. Определите координаты центра окружности, если A(1, 5), B(7, -3).

1. (4; 1);          2. (4; 4);          3. (- 3; - 4);          4. (4; - 1). Ответ: 1 (O (4, 1)).

Решение. Центр окружности, точка O, лежит на ее диаметре AB и делит его по-

x¹ x² и y полам, то есть AO = BO. Координаты точки O находим по формулам: x =

2

= y^{1  y2} . Точка O является серединой отрезка AB, концы которого имеют коорди2 наты A(1, 5) и B(7, -3). Значит, x =  = 4, y =  = 1. Таким образом, O (4, 1).

Задание 141 повышенного уровня.

Окружность задана уравнением x² + y² – 8ax + 2ay  = b (a > 0, b > 0).

Определите, в каком координатном угле расположен центр окружности. Ответ: ___________________

Ответ: в четвертом

Раздел «Векторы»

Планируемый результат: оперировать с векторами, заданными геометрически: Умения, характеризующие достижение этого результата: •  устанавливать равенство векторов; •  находить длину вектора; •  выполнять операции сложения векторов и умножения вектора на число;  вычислять скалярное произведение векторов.

Примеры заданий

Задание 4 базового уровня

Диагонали правильного шестиугольника ABCDEF пересе-

каются в точке O. Укажите векторы, равные вектору FO .

Ответ: ___________________

Ответ: ED; OC ; AB .

Комментарий. Задание считается выполненным, если ука зан хотя бы один из векторов.

Задание 142 базового уровня

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8.

Найдите длину вектора AC .

Ответ: ___________________

                                                                                                                                                                      Ответ:10.

Задание 143 повышенного уровня.

Стороны правильного треугольника ABC равны 1. Найдите длину векто-

ра AB + AC .

Ответ: ___________________ Ответ: 3 .

Задание 144 базового уровня.

В прямоугольнике ABCD диагонали AC и BD  пересекаются

в точке O. Укажите векторы, равные сумме векторов AO и

Ответ: ___________________

Ответ: AB , DC .

Комментарий. Задание считается выполненным, если указан хотя бы один из векторов.

Задание 145 базового уровня. 

Длина вектора b в три раза больше длины вектора a , векторы a и b противо-

положно направлены. Выразите вектор b через вектор a .

Ответ: ___________________________________

Ответ: b = - 3a .

Задание 146 повышенного уровня.

Дан прямоугольник ABCD. Найти длину вектора OA + OB + OC + OD, где точка O является точкой пересечения диагоналей прямоугольника.

Ответ: _______________________________ Ответ: 0.

Вариант решения. От произвольной точки плоскости отложим

вектор OA. От точки A(O) отложим

вектор, равный OB . Затем отложим  векторы соответственно равные 

OC и OD. Векторы OA и OC лежат на диагонали AC, а векторы OB и OD лежат на диагонали BD, следовательно, они попарно коллинеарны. Отсюда следует, что у полученного четырехугольника стороны попарно параллельны. Значит, полученный четырехугольник – параллелограмм. Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то стороны полученного параллелограмма равны. Следовательно, полученный параллелограмм – ромб. По правилу много-

угольника сложения векторов OA + OB + OC + OD = 0.

Задание 147 повышенного уровня.

Упростите выражение MB + AM + BA.

Решение. В силу переместительного закона MB + AM + BA = AM + MB + BA = AB + BA. Векторы AB и BA равны по модулю, но противоположно направлены, значит AB + BA = 0 .

Ответ: ___________________ Ответ: 0.

Задание 148 повышенного уровня.

Даны два вектора a = AA' и b = BB ', точка C – середина отрезка AB, C′ – сере-

дина отрезка A′B′ . Выразить вектор c =CC ' через векторы  a и b .

Ответ: ___________________

Ответ:  (a +b ).

Задание 149 повышенного уровня.

Выразите вектор CK через вектор KA, если OK = OA + OC , где O – произ-

вольная точка.

Ответ: ___________________ Ответ: CK = KA.

Решение. Вычтем из обеих частей вектор OC , тогда OK - _OC =  OA + OC

- ^OC =  OA - ^OC , то есть CK =  CA^.. Отсюда следует, что эти векторы коллинеарны, то есть точка K лежит на отрезке СА и делит его в отношении 2 : 5.

CK  KA

Задание 150 базового уровня. 

rr

Вычислить скалярное произведение  векторов  a₁ = 3i + 4 j и a₂ =  2 j – i .

Ответ: _______________________________ Ответ: 5.

Задание 151 повышенного уровня.

                                                                                                                            r     r                      r     r

Найдите скалярное произведение векторов a ·и b , если векторы a ·и b сона-

                                                r         r

правлены и  a  = 3, b  = 1

Ответ: _______________________________ Ответ: 3.

Планируемый результат: оперировать с векторами, заданными координатами. Умения, характеризующие достижение этого результата: •  находить координаты начала и конца вектора; •  находить координаты вектора по координатам его начала и конца; •  находить длину вектора; находить координаты суммы и произведения вектора на число; •  вычислять скалярное произведение векторов по их координатам.

Примеры заданий

Задание 152 базового уровня. 

r

Вектор a (5; 2) отложен от начала координат. Определите координаты его концов.

Ответ:_________________________

Ответ: (0; 0), (5; 2). Задание 153 базового уровня.

Конец вектора AB (9, 3)  имеет координаты (12, 9). Найдите координаты точки A.

Ответ:_________________________

Ответ: (3, 6)

Задание 154 базового уровня. 

Даны точки A (0;1), B (1;0) C (1;2) и D (2; 1). Докажите равенство векторов AB и

CD.

Задание 118 повышенного уровня.

Даны три точки A (1; 1), B (-1; 0) и C (0; 1). Найдите такую точку D, чтобы векто-

ры AB и CD были равны.

Ответ:_________________________

Ответ: D (-2, 0)

Задание 155 базового уровня. 

Даны координаты точек А(2, 4), B(5, 1), C(1, –1). Найти длину вектора CD, если известно, что точка D принадлежит отрезку  AB и  |AD| : |DB| =1 : 2.

Ответ:_________________________ Ответ: 20 .

Задание 156 повышенного уровня.

 Пусть А - точка пересечения прямой  y = x + 2 и биссектрисы первого коорди-

натного угла. Найти длину вектора OA,

Ответ: _______________________________ Ответ: 3 2 .

Задание 157 базового уровня. 

Найдите координаты вектора с = 2а – 3b., если а (–2; 1); b (1; 0).

Ответ: _______________________________

Ответ: с (-7; 2)

Задание 158 базового уровня. 

В треугольнике ABC точка O является точкой пересечения его медиан. В треугольнике AOC проведена медиана ON. Найдите координаты векто-

ра BN , если ON = a^r (-3; -1).

Ответ: ___________________________

Ответ: BN =(–9; –3)

Задание 159 повышенного уровня.

В треугольнике АВC проведены медианы ВM и АN, которые пересекаются в

точке O. OM = (1; –3), ON = (2; 2). Найдите координаты вектора BC . 

Ответ: _______________________________

Ответ: BC = (8; –8).

Планируемый результат: применять скалярное произведение векторов при решении задач. Умения, характеризующие достижение этого результата: •  находить угол между векторами; •  определять взаимное расположение прямых.

Примеры заданий

Задание 160 базового уровня. 

                                                                                                                       r             r

Найдите косинус угла между  векторами a₁ = (2, 3), a₂ =(1, -2).

Ответ: _______________________________

Ответ:  .

Задание 161 повышенного уровня.

Векторыa и b направлены из вершины равнобедренного треугольника к

вершинам основания. Найдите угол между векторами a+b и a ^b .

                                                                                                                                                    2             2

Ответ: _______________________________ Ответ: 90.

Решение. Перемножим:           . По условию вектора a и b имеют общее начало в вершине равнобедренного треугольника, а их концы находятся в вершинах при основании этого треугольника, значит, модули этих векторов равны, так как отрезки a и b являются сторонами равнобед-

a  b

ренного треугольника. Следовательно, скалярное произведение векторов  · 2

a b

 = 0. По следствию из теоремы о скалярном произведении векторов, если ска2 лярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны. Следова-

                                                                                          a  b      a ^b

                  тельно, угол между векторами            и           равен 90.

                                                                                              2            2

Задание 162 базового уровня.  

Известны координаты точек A( –1, 4),  B (1, 3). Определить взаимное расположение прямой AB и прямой y =2x + 7.

1.  прямые параллельны;

2.  прямые совпадают;

3.  прямые пересекаются, но не перпендикулярны;

4.  прямые перпендикулярны 

Ответ: _______________________________ Ответ: 4. (прямые перпендикулярны).

Задание 163 повышенного уровня.

Составьте уравнение серединного перпендикуляра к отрезку AB, если точка A имеет координаты (-2; 3), а координаты точки  B – (1; –4).

Ответ: _______________________________ Ответ: 3x – 7y –2 =0.