Признак Ермакова, логарифмический признак

• 1 слайд

  Признак Ермакова. Логарифмический признак
  Выполнила: Борисова Полина Алексеевна
  

• 2 слайд

  Понятие числового ряда
  Пусть а - произвольная последовательность вещественных чисел. Составим из ее элементов выражение вида:
  𝑎 1 + 𝑎 2 +…+ 𝑎 𝑛 +…= 𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛 . (1)
  Выражение вида (1) принято называть числовым рядом или просто рядом, а элементы 𝑎 𝑛 - членами данного ряда.
  𝑛-ой частичной суммой ряда называется сумма 𝑛 его первых членов:
  𝑆 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑎 2 +…+ 𝑎 𝑛 = 𝑘=1 𝑛 𝑎 𝑘
  

• 3 слайд

  Понятие сходимости рядов
  Ряд (1) называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм. Предел 𝑆 последовательности 𝑆 𝑛 при этом называют суммой ряда (1) и пишут равенство
  𝑆= 𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛
  

• 4 слайд

  Классификация числовых рядов
  Положительный ряд — вещественный ряд, все члены которого неотрицательны. У положительных рядов сумма всегда существует, но может быть бесконечна.
  𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑎 2 +…+ 𝑎 𝑛 +…
  Знакочередующийся ряд — вещественный ряд, в котором знаки членов чередуются: плюс, минус, плюс, минус и т. д. 
  𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛 = 𝑛=1 ∞ (−1) 𝑘+1 𝑎 𝑛
  

• 5 слайд

  Признак сходимости числового ряда Ермакова
  

• 6 слайд

  Биография В. П. Ермакова
  Василий Петрович Ермаков (27 февраля (11 марта) 1845, Терюха, Могилёвская губерния — 16 марта 1922, Киев) — российский математик и механик, член-корреспондент Петербургской академии наук (1884), с 1899 года заслуженный профессор.
  

• 7 слайд

  Обучение Василий Петрович начал в церковно-приходской школе, затем обучался в гомельской и черниговской гимназиях.
  В 1864 году поступил в Киевский университет, получил звание действительного студента, а позже — степень кандидата за студенческую работу, посвященную кватернионам.
  
  

• 8 слайд

  Профессора Михаил Георгиевич Ващенко-Захарченко и Павел Эмилиевич Ромер обратились к руководству физико-математического факультета с просьбой оставить Ермакова на два года при университете для подготовки к профессорскому званию.
  
  В 1879 г. был избран экстраорди- нарным, а впоследствии утверждён ординарным профессором.
  
  
  М.Г. Ващенко-Захарченко
  

• 9 слайд

  Труды В.П. Ермакова:
  «Замена переменных, как способ разыскания интегрирующего множителя» (1881);
  «Нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка со многими переменными и канонические уравнения»( 1884);
  «Теория векторов» (1887);
  «Линейные дифференциальные уравнения с частными производными 1-го порядка» (1889);
  В 1884—86 гг. издавал «Журнал элементарной математики»;
  «Геодезические линии» (1890);
  
  

• 10 слайд

  «Определение силовой функции по данным интегралам» (1890);
  «Полная теория наибольших и наименьших величин функций с одной переменной» (1891);
  «Принцип наименьшего действия в связи с преобразованием дифференциальных выражений 2-го порядка» (1891);
  «Вариационное исчисление в новом изложении» (1891);
  «Разложение функции, имеющей две особенные точки в ряд» (1892);
  И др.
  
  

• 11 слайд

  Признак сходимости числовых рядов Ермакова
  Признак Ермакова — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Василием Петровичем Ермаковым.
  В 1870 г. Ермаков открыл новый признак сходимости числовых рядов, превосходящий все прочие признаки своей чувствительностью. Эта работа опубликована в статьях: «Общая теория сходимости рядов», «Новый признак сходимости и расходимости бесконечных знакоперемен- ных рядов»
  
  

• 12 слайд

  Пусть функция 𝑓 𝑥 непрерывна, положительна и монотонно убывает для x>1. Тогда, если для достаточно больших 𝑥 (скажем, для 𝑥≥ 𝑥 0 ) выполняется неравенство
  𝑓 𝑒 𝑥 ∗ 𝑒 𝑥 𝑓(𝑥) ≤𝑞<1,
  То ряд (1) сходится, если же (для 𝑥≥ 𝑥 0 )
  𝑓 𝑒 𝑥 ∗ 𝑒 𝑥 𝑓(𝑥) ≥1,
  То ряд (1) расходится.
  В предельной форме:
  Если существует предел 𝜀= lim 𝑥→∞ 𝜀(𝑥) , то при 𝜀<1 ряд сходится, в при 𝜀>1 – расходится.
  
  

• 13 слайд

  Доказательство признака Ермакова
  Пусть выполняется неравенство 𝑓 𝑒 𝑥 ∗ 𝑒 𝑥 𝑓(𝑥) ≤𝑞<1. При любом 𝑥≥ 𝑥 0 (подстановка 𝑡= 𝑒 𝑢 ) будем иметь 𝑒 𝑥0 𝑒 𝑥 𝑓 𝑡 = 𝑥 0 𝑥 𝑓( 𝑒 𝑢 ) 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 ≤𝑞 𝑥 0 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡. Отсюда (1−𝑞) 𝑒 𝑥0 𝑒 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡≤𝑞 𝑥 0 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡− 𝑒 𝑥0 𝑒 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 ≤ 𝑞 𝑥 0 𝑒 𝑥0 𝑓 𝑡 𝑑𝑡− 𝑥 𝑒 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 ≤𝑞 𝑥 0 𝑒 𝑥0 𝑓 𝑡 𝑑𝑡, так как 𝑒 𝑥 >𝑥, вычитаемое в последних скобках положительно.
  

• 14 слайд

  В таком случае 𝑥 0 𝑒 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 ≤ 𝑞 1−𝑞 𝑥 0 𝑒 𝑥0 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 ,
  прибавляя к обеим частям интеграл 𝑥 0 𝑒 𝑥0 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 , получим
  𝑥 0 𝑒 𝑥0 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 ≤ 𝑞 1−𝑞 𝑥 0 𝑒 𝑥0 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =L, тем более – учитывая 𝑒 𝑥 >𝑥 -
  𝑥 0 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡≤𝐿 (𝑥≤ 𝑥 0 ) ,
  Так как с возрастанием 𝑥 и интеграл возрастает, то для него существует конечные предел 𝑥→∞:
  𝑥 0 ∞ 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 , по интегральному признаку ряд сходится.
  Второе неравенство доказывается аналогично.
  

• 15 слайд

  Примеры
  

• 16 слайд

  Логарифмический признак сходимости числового ряда
  

• 17 слайд

  Логарифмический признак сходимости — признак сходимости числовых рядов с положительными членами.
  Фактически этот признак сходимости сводится к сравнению исследуемого на сходимость ряда с обобщённым гармоническим рядом (рядом Дирихле).
  
  

• 18 слайд

  Числовой ряд (1) сходится, если существует 𝛼>0 такое, что 𝑙𝑛 1 𝑎 𝑛 ln⁡(𝑛) ≥1+𝛼 при 𝑛≥ 𝑛 0 , и расходится, если 𝑙𝑛 1 𝑎 𝑛 ln⁡(𝑛) ≤1 при 𝑛≥ 𝑛 0
  
  
  В предельной форме:
  Если существует предел 𝐿= lim 𝑛→∞ 𝐿 𝑛 , то при 𝐿<1 ряд расходится, в при 𝐿>1 – сходится.
  
  

• 19 слайд

  Доказательство логарифмического признака
   
  

• 20 слайд

• 21 слайд

  Пример 1
  

• 22 слайд

  Пример 2
   
  

• 23 слайд

  Пример 3
   
  

• 24 слайд

  Спасибо за внимание!