МУНИЦИПАЛЬНАЯ УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

«ЮНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬ ЧУКОТКИ»

Направление Математика

Признаки делимости чисел

Исследовательская работа

Выполнил: ученик 6 класса муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения «Центр образования села Конергино»

Гырголькау Владимир Александрович

Научныйруководитель: учитель математики муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения «Центр образования села Конергино»

Ташбулатова Айсылу Абильевна

с. Конергино, 2023 год

Содержание

Введение __________________________________________2

1.      История возникновения народных игр _______________3

2.      Анкетирование родителей__________________________4

3.      Результаты анкетирования__________________________5

4.      Описание некоторых игр___________________________8

5.      Спортивные игры нашего села_______________________9

Заключение_________________________________________10

Литература_________________________________________11

Введение.

На уроках математики при изучении темы «Признаки делимости», где мы познакомились с признаками делимости на 2; 5; 3; 9; 10, меня заинтересовало, а есть ли признаки делимости на другие числа, и существует ли универсальный метод делимости на любое натуральное число. Поэтому я занялся исследовательской работой на данную тему.

Целью вопрос проекта изучение признаков делимости натуральных чисел до 100, дополнение уже известных признаков делимости натуральных чисел нацело, изучаемых в школе. Дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе и дополнить свои знания о признаках делимости чисел. найти и систематизировать признаки делимости, позволяющие решить задачи, не прибегая к громоздким расчетам и вычислениям.

Как узнать, не выполняя деления, делится ли число на 4, 25, 11?

Исходя из цели, мы поставили перед собой следующие задачи:

1.      Собрать, изучить и систематизировать материал о признаках делимости натуральных чисел, воспользовавшись различными источниками информации.

2.      Найти универсальный признак делимости на любое натуральное число.

3.      Научиться пользоваться признаком делимости Паскаля для определения делимости чисел, а также попытаться сформулировать признаки делимости на любое натуральное число.

Узнать признаки делимости на натуральные чисел от 2 до 25. Изучить дополнительную литературу, подтверждающую правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел и правильность выявленных нами признаков делимости. 1) Самостоятельно исследовать делимость чисел.

2) Изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими признаками делимости.

3) Объединить и обобщить признаки из разных источников.

4) Сделать вывод.

2. Выписать найденные из дополнительной литературы признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37.

3. Сделать вывод.

3. Изучить свойства делимости чисел.

Гипотеза: признаки делимости способствуют эффективному и рациональному решению задач. Если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа. А как узнать, деление получится с остатком или без остатка? Нет ли признаков делимости на 7? А на другие числа? Мы предполагаем, что если можно определить делимость чисел на 2, 3, 5, 9 и 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость и на другие числа.

Если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.

Объектом исследования делимость натуральных чисел.

Предмет исследования – признаки делимости натуральных чисел.

Методы исследования - Методы исследования: сбор информации; работа с печатными материалами; анализ; синтез; аналогия; опрос; анкетирование; систематизация и обобщение материала.

1.      Изучение литературы и электронных источников.

2.      Систематизация и обобщение полученной информации.

3.      Применение изученной теории при решении проблемных задач.

Актуальность исследования - При изучении на уроках математики темы: «Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10» у меня возник интерес к исследованию чисел на делимость. Не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. Деля натуральное число, мы получаем остаток, допускаем ошибки, тем самым теряем время. Возникает необходимость, не выполняя деление установить, делится ли одно натуральное число на другое.при изучении темы: «Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10» нас заинтересовал вопрос о делимости чисел. Известно, что не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. При делении натуральных чисел, мы получаем остаток, допускаем ошибки, в результате - теряем время. Признаки делимости помогают, не выполняя деление, установить, делится ли одно натуральное число на другое. Мы решили написать исследовательскую работу по данной теме.

Научная новизна работы заключается в подборе материала по теме, не изучаемой в школьном курсе математики. Новизна проведённой исследовательской работы заключается в том, что данная работа систематизирует знания о признаках делимости и универсальном методе делимости натуральных чисел.

Данная исследовательская работа дала мне возможность развивать логическое мышление, совершенствовать навыки работы с научно-популярной литературой и совершенствовать свои умения использования компьютерных программ.

Практическая значимость: материал данной исследовательской работы можно использовать в 6 – 8 классах на факультативных занятиях при изучении темы «Делимость чисел».

Введение.

Мы сталкиваемся с числами на каждом шагу, они сопровождают нас от рождения до старости.

В школе на уроках математики мы изучаем разные числа, выполняем действия с ними. Часто приходится выполнять деление для решения задачи.

 Из уроков математики я узнала признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9 и 10. По этим правилам я теперь могу ,не выполняя деления, узнать, кратно ли данное число ,например, двум или девяти.

Я заинтересовалась историей делимости чисел. Изученные признаки недостаточны для решения олимпиадных задач, примеров на уроках математики, чтобы развивать вычислительные навыки. Мне, как ученице 6 класса, интересны задания, где требуется быстрый счет, которые помогает развивать вычислительные навыки, необходимые для решения задания на ОГЭ и ЕГЭ по математике. Для этого надо знать признаки делимости чисел на простые и составные числа и уметь применять их для решения различных задач. Мне стало интересно, какие еще есть признаки деления натуральных чисел и можно ли ещё самой получить новые признаки делимости? Именно поэтому для исследовательской работы мной выбрана тема «Признаки делимости натуральных чисел».

Кто из древних учёных занимался делимостью чисел?  Кто такой Эратосфен? Что такое  решето Эратосфена? Что собой представляет таблица простых чисел? Есть ли последнее простое число? Теория чисел – раздел математики, в котором изучаются свойства чисел. Основной объект теории чисел – натуральные числа. [3,53] Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел, это делимость. Определение: Целое число a делится на целое число b, не равное нулю, если существует такое целое число k, что a = bk (например, 56 делится на 8, т.к. 56 = 8х7). [9,23]Признак делимости — правило, позволяющее установить, делится ли данное натуральное число на некоторые другие числа нацело, т.е. без остатка.

На уроках математики мы изучали основные признаки делимости чисел на 2,3,5, 9 и на 10. Но оказывается,  признаков делимости гораздо больше. Есть признаки делимости на 4, 8,11,13,7 и другие числа.  Неоценимо значение признаков делимости для развития умений устного счета, а также при решении цифровых головоломок и некоторых практических задач.

Мир вокруг нас поражает разнообразием различных тайн. Одним из ключей к загадкам Вселенной являются числа. Еще Пифагор сказал: «Мир построен на силе числа».

В школьном курсе я изучила признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Этого недостаточно и я решила расширить круг своих познаний по этому вопросу. Так и началась работа над этой темой.

Делитель – это число, которое делит данное число без остатка.   Все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами. Числа, имеющие другие делители, называются составными (или сложными) числами. Простых чисел – бесконечное множество. Наименьшим простым числом является 2, это единственное чётное простое число. Все остальные простые числа следует искать среди нечётных чисел, но, разумеется, далеко не всякое нечётное число является простым. Так, например, нечётные числа 3, 5, 7, 11, 13 простые, а такие нечётные числа как 9, 15, 21 -  составные, 9 имеет 3 делителя, число 15 – 4 делителя и т.д. Любое составное число можно разлагать на сомножители до тех пор, пока оно не распадётся на одни только простые числа. Простые числа являются как бы первичными элементами, из которых составляются все числа.

2. Признаки делимости Признак делимости — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу.При помощи интернета и дополнительной литературы я нашла признаки делимости на числа, которые я не изучала по школьной программе :

 Представим признаки делимости в виде таблицы:

Признаки делимости натуральных чисел, полученные самостоятельно.

Проанализировав представленные выше признаки делимости и используя их за основу, можно сформулировать следующие признаки делимости:

2.3. Признаки делимости натуральных чисел из разных источников.

Признаки делимости на натуральные числа, полученные в ходе изучения различных источников:

ТАБЛИЦА ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ

Признак делимости на  2.

Число делится на 2 в том и, только в том случае, если его последняя цифра чётная.          

Пример: 124, 200, 152, 68, 406.

Признак делимости на 3.

Число делится на 2 в том и, только в том случае, если сумма его цифр делится на 3.

Пример: 144 на 3, т.к. 1+4+4 =9 делится на 3.

Признак делимости на 4.

Число делится на 4 в том и только в том случае, если две его последние цифры образуют двузначное число, делящееся на 4.        

Пример: 724 делится на 4, т.к. 24 делится на 4.

Признак делимости на 5.

Число делится на 5 в том и только в том случае, если оно оканчивается на 0 или на 5.

Пример: 720,  655 делятся на 5.

Признак делимости на 6.

Число делится на 6 в том и только в том случае, если оно чётное и делится на 3.

Пример: 720 делится и на 2 и на 3. 

Признак делимости на 7.
     Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из числа десятков делится на 7.

Пример: 259 делится на 7, т. к. 25 — (2 * 9) = 7 делится на 7.

  Признак делимости на 8.

Число делится на 8 в  том и только в том случае, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 8.

 Пример: 6136 делится на 8, т.к. 136 делится на 8.

Признак делимости на 9.

Число делится на 9 в том и только в том случае, если сумма его цифр делится на 9.

Пример: 6102 делится на 9, т.к. 6+1+0+2 = 9 делится на 9.

Признак делимости  на  10.

Число делится на 10 в том  и только в том случае, если оно оканчивается  на 0.

Пример: 720 делится на 10.

Признак делимости  на  11.  

Число делится на 11 тогда и только тогда, если модуль разности суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11

Пример: 100397 делится на 11, т.к. .

1+0+9=10; 0+3+7=10; =0 (нумерация идет слева направо).

Можно проверить делимость числа на 11 другим способом:

испытуемое число разбивают справа налево на группы по две цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.

Пример:15235 делится на 11, т.к. разбивая на группы и складывая их: 1+52+35=88 делится на 11.

 Признак делимости на 12.  

Число  делится на 12 в  том  и только в том случае, если  оно делится одновременно и на 3, и на 4.

Пример: 720 делится на 12, т.к. число делится и на 3, и на 4.

Признак делимости на 13.
Число делится на 13 тогда:

- когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.

Пример: 845 делится на 13, так как на 13 делятся   84+ 5*4 = 104 и 10+4*4=26.

- когда разность числа десятков с девятикратным числом единиц делится на 13.

 Пример: 845 делится на 13, так как на 13 делятся 84-9*5=39.

Признак делимости на 14.

Число  делится на 14 в  том  и только в том случае, если  оно делится одновременно и на 2, и на 7.

Пример: 420 делится на 14, т.к. число делится и на 2, и на 7.

Признак делимости на 15.

Число  делится на 15 в  том  и только в том случае, если  оно делится одновременно и на 3, и на 5.

Пример: 420 делится на 15, т.к. число делится и на 2, и на 5.

Признак делимости на 17.

Число делится на 17 тогда:

- когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.

Пример: 221 делится на 17, так как делится на 17.

- когда модуль суммы числа десятков и двенадцатикратного числа единиц делится на 17.

Пример:  221 делится на 17, так как делится на 17.

Признак делимости на 18.

Число  делится на 18 в  том  и только в том случае, если  оно делится одновременно и на 2, и на 9.

Пример: 432 делится на 18, т.к. число делится и на 2, и на 9.

Признак делимости на 19.

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Пример: 646 делится на 19, так как на 19 делятся и

Признак делимости на 20.

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.

Другая формулировка: число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.

Пример: 640 делится на 20, т.к. 40 делится на 20.

Признак делимости на 21.

Число  делится на 21 в  том  и только в том случае, если  оно делится одновременно и на 3, и на 7.

Пример: 231 делится на 21, т.к. число делится и на 3, и на 7.

Признак делимости на 22.

Число  делится на 22 в  том  и только в том случае, если  оно делится одновременно и на 2, и на 11.

Пример: 352 делится на 22, т.к. число делится и на 2, и на 11.

Признак делимости на 23.

Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.

Пример: 28842 делится на 23, так как на 23 делятся и
        Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23.    

         Пример: 391 делится на 23, так как  делится на 23.
        Признак 3: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23.

 Пример: 391 делится на 23, так как  делится на 23.

Признак делимости на 24.

Число  делится на 24 в  том  и только в том случае, если  оно делится одновременно и на 3, и на 8.

Пример:  8136 делится на 24, т.к. число делится и на 3, и на 8.

Признак делимости на 25.

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.

Пример: 175делится на 25, т.к. 75 делится на 25.

Признак делимости на 59. Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59. Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся 76 + 6*7 = 118 и 11 + 6*8 = 59.

Признак делимости на 79. Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79. Например, 711 делится на 79, так как на 79 делятся 71 + 8*1 = 79.

Признак делимости на 99. Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 12573 делится на 99, так как на 99 делится 1 + 25 + 73 = 99.

Признак делимости на 100. На 100 делятся только те числа, у которых две последние цифры нули. [3,70]

Признак делимости на 125: число, содержащее не менее четырех цифр, делится на 125 тогда и только тогда, когда делится на 125 число, образованное тремя последними цифрами.

Экспериментальная часть

Опрос

Анкетирование проводилось среди обучающихся 6-х, 7-х классов. В опросе приняли участие 58 обучающихся МОБУ Караидельская СОШ № 1 МР Караидельский район РБ. Им было предложено ответить на следующие вопросы:

1.      Как вы думаете, существуют ли другие признаки делимости отличные от тех, которые изучались на уроке?

2.      Есть ли признаки делимости для других натуральных чисел?

3.      Хотели бы вы узнать эти признаки делимости?

4.      Известны ли вам какие-либо признаки делимости натуральных чисел?

Результаты проведенного опроса показали, что 77% опрошенных считают, что существуют и другие признаки делимости кроме тех, которые изучаются в школе; Так не считают – 9%, затруднились ответить – 13% опрашиваемых. На второй вопрос «Хотели бы вы узнать признаки делимости для других натуральных чисел?» утвердительно ответили 33%, дали ответ «Нет» - 17% респондентов и затруднились ответить – 50%. На третий вопрос 100% опрашиваемых ответили утвердительно. На четвертый вопрос положительно ответили 89%, ответили «Нет» - 11% обучающихся, участвовавших в опросе в ходе проведения исследовательской работы.

Заключение

В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по математике. Я узнала, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 и 25. Поняла, что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись.

Результатом исследовательской работы стал систематизированный материал в виде таблицы «Признаки делимости чисел», который можно использовать на уроках математики, во внеклассных занятиях с целью подготовки учащихся к решению олимпиадных задач, при подготовке обучающихся к ОГЭ и ЕГЭ.

В дальнейшем предполагаю продолжить работу над применением признаков делимости чисел к решению задач.

Познакомившись с признаками делимости чисел, я считаю, что полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации.

Считаю, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий интеллектуальных конкурсов, математического конкурса -игры «Кенгуру». В современном мире тоже  используют признаки делимости! Например, в банковском деле, при денежных расчетах в магазине.

Узнав много других признаков делимости, я сделала вывод:

Работая с разными источниками, я убедилась в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел.

Знание и использование вышеперечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления, этим самым, экономя время; исключая вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления. Следует отметить, что формулировки некоторых признаков трудные. Может, поэтому они не изучаются в школе.

Для осуществления цели и задач исследовательской работы мною изучено много различной математической литературы. Я провела эксперименты, которые подтвердили доступность материала о признаках делимости, важность его изучения. В своей работе систематизировала материал, объединив в группы по схожести правил, исследовала возможности использования признаков делимости при решении практических задач, предлагаемых на ЕГЭ, и олимпиадных задач. Познакомившись с признаками делимости чисел, я считаю, что полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации.

Информацию по данной теме я искала в энциклопедии и интернет источниках. Все найденное поможет мне при решении примеров, сделает мою работу легче и быстрее. В результате изучения различной литературы, наша гипотеза была подтверждена.

Работа имеет практическое применение. Данное исследование будет полезным для учащихся при самостоятельной подготовке к контрольным работам, а в будущем при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике. А также будет полезно и для учеников, целью которых стали высокие места на городских олимпиадах, конкурсах, турнирах.

Список использованной литературы (источников):

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика. 6 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений /— 25-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2009. — 288 с.

Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. М.: Просвещение, 1989. - 97с.

http://www.doronchenko.ru/2009/01/13/vse_pro_chislo_13.html

8. http://ru.wikipedia.org/wiki/3

9. htpp: // www.krugosvet.ru/articles/07/1000723/1000723a1.htm