Признаки делимости исследовательская работа

Научно-практическая конференция

Малая академия наук школьников муниципального района Белокатайский район

Секция: Математика

Номинация: Математика

Исследовательская работа

Признаки делимости натуральных чисел

                                                                      Багаутдинов Данил Русланович

                                                                       МБОУ СОШ с Ургала, 6 класс,

Руководитель:

Багаутдинова Люция Салимьяновна,

учитель математики МБОУ СОШ с Ургала

Ургала 2017

СОДЕРЖАНИЕ

                                                                                                                                             

1.     Введение     …………………………………………………….. стр.  3-4

2.     Теоретическая  часть  

2.1. Признаки делимости на 2, 3. 5, 9, 10 (школьный курс)……..стр.    5

2.2. Признаки делимости натуральных чисел на 4, 25, 50………стр.     6                                                               2.3. Признаки делимости натуральных чисел на 7,11, 13, 17, 19, стр.  7-10    

3. Практическая часть

3.1. Применение признаков делимости при решении задач……..стр.  11-12

3.2   Анкетирование ………………………………………………..стр   13

     4. Заключение……………………………………………………….стр.  14                                            

5.     Список литературы и интернет-ресурсов………………….….стр.  15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Введение

Актуальность: В начале учебного года на уроках математики мы изучали тему: «Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10». При изучении этой темы у нас не возникло никаких проблем, выучили признаки, научились их применять при выполнении заданий. При разложении чисел на простые множители мне пришлось делить число на 7. А как узнать, деление получится с остатком или без остатка? Нет ли признаков делимости на 7? А на другие числа?

Так меня заинтересовал вопрос о делимости натуральных чисел на другие числа. Я решил написать исследовательскую работу по данной теме.

Гипотеза: Существуют признаки делимости натуральных чисел на другие числа, которые не изучаются в школьном курсе математики. 

   Объект исследования: Делимость натуральных чисел.

   Предмет исследования: Признаки делимости натуральных чисел.

Цель: Найти признаки делимости натуральных чисел на другие числа, которые не изучаются в школьном курсе математики. 

Задачи:

1.     Повторить признаки делимости на 2, 3. 5, 9, 10, изученные мною в школе.

2.     Исследовать самостоятельно признаки делимости натуральных чисел на 4, 8, 11, 13, 15, 17, 25, 50 и другие числа.

3.     Изучить дополнительную литературу, подтверждающую правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел и правильность выявленных мной признаков делимости.

4.     Провести опрос учащихся 9 и 11 классов

5.     Оформить материал

6.     Представить результаты исследований. Составить буклет «Признаки делимости натуральных чисел».

Новизна:

В ходе выполнения проекта я пополнила свои знания о признаках делимости натуральных чисел.

Методы исследования: Сбор материала, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение, проведение опроса среди учащихся по данной теме.

2 Теоретическая часть

2.1.  Признаки делимости натуральных чисел (школьный курс).

При изучении данной темы необходимо знать понятия делитель, кратное, простое и составное числа.

Делителем натурального числа а называют натуральное число b, на которое а делится без остатка.

Часто утверждение о делимости числа а на число b выражают другими  равнозначными словами: а кратно b, b - делитель а, b делит а.

Простыми называются натуральные числа, которые имеют два делителя: 1 и само число.  Например, числа 5,7,19 – простые, т.к. делятся на 1 и само себя.

Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Например, число 14 имеет 4 делителя: 1, 2, 7, 14, значит оно составное.

2.2. Признаки делимости натуральных чисел на 4,  25, 50.

Выполняя действия деления, умножения натуральных чисел, наблюдая за результатами действий, я нашел закономерности и получил следующие признаки делимости.

Признак делимости на 4.

25·4=100;  56·4=224;  123·4=492;  125·4=500;  2345·4=9380;  2500·4=10000; …

Умножая натуральные числа на 4, я заметил, что числа образованные из двух последних цифр числа делятся на 4 без остатка.

Признак делимости на 4 читается так:

Натуральное число делится на 4 тогда, когда две его последние цифры 0 или образуют число, делящееся на 4.

Признак делимости на 25.

Выполняя умножение натуральных различных чисел на 25, я увидел такую закономерность: произведения оканчиваются на 00, 25, 50, 75.

Значит, натуральное число делится на 25, если оканчивается цифрами 00, 25, 50, 75.

Признак делимости на 50.

  На 50 делятся числа: 50, 100, 150, 200, 250, 300,…  Они оканчиваются либо на 50, либо на 00.

Значит, натуральное число делится на 50 тогда и только тогда, когда оканчивается двумя нулями или 50.

2.3. Признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 13, 17, 19.

Из дополнительной литературы я нашел подтверждение правильности сформулированных нами признаков делимости натуральных чисел на 4, 25, 50. Так же я нашел несколько признаков делимости на 7:

1. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами, делится на 7.

Примеры:

478009 делится на 7, т.к. 478-9=469, 469  делится на 7.

479345 не делится на 7, т.к. 479-345=134, 134 не делится на 7.

2. Натуральное число делится на 7, если сумма удвоенного числа, стоящего до десятков и оставшегося числа делится на 7.

Примеры:

4592 делится на 7, т.к. 45·2=90, 90+92=182, 182 делится на 7.

57384 не делится на 7, т.к. 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 не делится на 7.

3. Трехзначное натуральное число вида аbа будет делиться на 7, если а+b делится на 7.

Примеры:

252 делится на 7, т.к. 2+5=7, 7/7.

636 не делится на 7, т.к. 6+3=9, 9 не делится на 7.

4. Трехзначное натуральное число вида bаа будет делиться на 7, если сумма цифр числа делится на 7.

Примеры:

455 делится на 7, т.к. 4+5+5=14, 14/7.

244 не делится на 7, т.к. 2+4+4=12, 12 не делится на 7.

5. Трехзначное натуральное число вида ааb будет делиться на 7, если 2а-b делится на 7.

Примеры:

882 делится на 7,т.к. 8+8-2=14, 14/7.

996 не делится на 7, т.к. 9+9-6=12, 12 не делится на 7.

6. Четырехзначное натуральное число вида bаа , где b-двухзначное число, будет делиться на 7, если b+2а делится на 7.

         Примеры:

2744 делится на 7, т.к. 27+4+4=35, 35/7.

1955 не делится на 7, т.к. 19+5+5=29, 29 не делится на 7.

7. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

         Примеры:

483 делится на 7, т.к. 48-3·2=42, 42/7.

564 не делится на 7, т.к. 56-4·2=48, 48 не делится на 7.

8. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма произведений цифр числа на соответствующие остатки получаемые при делении разрядных единиц на число 7, делится на 7.

         Примеры:

10׃7=1 (ост 3)

100׃7=14 (ост 2)

1000׃7=142 (ост 6)

10000׃7=1428 (ост 4)

100000׃7=14285 (ост 5)

1000000׃7=142857 (ост 1) и снова повторяются остатки.

Число 1316 делится на 7, т.к. 1·6+3·2+1·3+6=21, 21/7(6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7; 3- ост. от деления 10 на 7).

Число 354722 не делится на7,т.к. 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 не делится на 7(5-ост. от деления 100 000 на 7;  4 -ост. от деления 10 000 на 7; 6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7;  3-ост. от деления 10 на 7).

Признаки делимости на 11.

1. Число делится на 11, если разность суммы цифр стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.

Разность может быть отрицательным числом или 0, но обязательно должна быть кратной 11. Нумерация идет слева направо.

Пример:

2135704   2+3+7+4=16,  1+5+0=6,  16-6=10,  10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11.

1352736      1+5+7+6=19,   3+2+3=8,   19-8=11,  11 кратно 11, значит, это число делится на 11.

2. Натуральное число разбивают справа налево на группы по 2 цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.

Пример: Определим, делится ли число 12561714 на 11.

Разобьем число на группы по две цифры в каждой: 12/56/17/14;  12+56+17+14=99, 99 делится на 11, значит, данное число делится на 11.

3. Трехзначное натуральное число делится на 11, если сумма боковых цифр числа равна цифре, которая в середине. Ответ будет состоять из тех самых боковых цифр.

Примеры:

594 делится на11, т.к. 5+4=9,  9-в середине.

473 делится на 11, т.к. 4+3=7, 7- в середине.

861 не делится на 11, т.к. 8+1=9, а в середине 6.

Признаки делимости на 13

1. Натуральное число делится на 13, если разность числа тысяч и числа, образованного последними тремя цифрами, делится на 13.

Примеры:

Число 465400 делится на 13, т.к. 465 – 400 = 65,   65 делится на 13.

Число 256184 не делится на 13, т.к. 256 – 184 = 72,   72 не делится на 13.

2. Натуральное число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры, умноженной на 9, из этого числа без последней цифры , делится на 13. 

Примеры:

988 делится на 13, т.к.  98 - 9·8 = 26,  26 делится на 13.

853 не делится на 13, т.к.  85 - 3·9 = 58,  58 не делится на 13.

Признак делимости на 19

Натуральное число делится на 19 без остатка тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Следует учесть, что число десятков в числе надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.

Примеры:

1534   десятков-153,  4·2=8,  153+8=161, 161 не делится на 19,значит, и 1534 не делится на 19.

1824          182+4·2=190, 190/19, значит, число 1824/19.

Все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

Ø 1группа- когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми) – это признаки делимости на 2, на 5,на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на 50;

Ø 2 группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа – это признаки делимости  на3, на 9, на 7(1 признак), на 11, на 37;

Ø 3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа – это признаки делимости на 7, на 11, на 13, на 19;

Ø 4 группа – когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости - это признаки делимости на 6, на12, на 14, на 15.

3.     Практическая часть

3.1. Применение признаков делимости при решении задач        

         Рассмотрим применение признаков делимости натуральных чисел на примере  

задачи 19 (по теме «Натуральные числа») - КИМ ЕГЭ 2017 года, базовый уровень.

                                                                       Задача 3

    Вычеркните в числе 181615121 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12.             В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение.

Раскладываем делитель - число 12 на простые множители. 12 = 3×4. Следователь- но, заданное число после вычеркивания чисел должно делиться на 3 и 4.

Признак делимости на 4: Натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры 0 или образуют число, делящееся на 4.

Признак делимости на 3: Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.

Признак делимости на 4 утверждает, что на 4 должно делиться двузначное число, образованное последними двумя цифрами. Значит, 181615121  последнюю цифру 1 вычеркиваем сразу. 12:4 = 3, поэтому две последние цифры числа 18161512 вычеркивать нельзя. Они гарантируют делимость числа на 4.
Чтобы число делилось на 3, нужно чтобы на 3 делилась сумма его цифр.
1+8+1+6+1+5+1+2=25
25 = 3×8 + 1 - можно вычеркнуть одну из единиц, но по условию задачи нужно вычеркнуть еще две цифры;
25 = 3×7 + 4 - нет двух цифр для вычеркивания, сумма которых равнялась бы 4, т.к. последние цифры 1 и 2 трогать нельзя;
25 = 3×6 + 7 - сумма двух вычеркнутых цифр будет равна 7, если вычеркнуть 6-ку и любую из единиц, кроме последней.
Итак, возможные ответы: 811512, 181512 или 181152. Выбираем один из них, например                                        Ответ:181512                                                                                                                                                                 Замечание: на реальном ЕГЭ нужно сделать  проверку своего ответа делением в столбик.

Следующая задача из  Открытого банка заданий Федеральнного института педагогических измерений.

Задача 4

     Приведите пример пятизначного числа кратного 12, произведение цифр которого равно 40. В ответе укажите ровно одно такое число.

Решение.

     Разложим число 40 на простые множители. 40 = 2×2×2×5.
Таких множителей всего четыре, цифр недостаточно для пятизначного числа, но в произведение всегда можно добавить единицу, результат от этого не изменится: 40 = 2×2×2×5×1.
    Таким образом, число в ответе можно составить только из этих цифр: 1,2,2,2,5.
Чтобы число было кратным 12 (то же самое, что делилось на 12 без остатка) оно должно удовлетворять признакам делимости на 3 и на 4, так как 12 = 3×4.
Проверим сумму цифр 1+2+2+2+5 = 12. Она делится на 3, поэтому наше число будет делиться на 3 при любых перестановках цифр.
А чтобы оно делилось на 4, в конце нужно поставить две цифры так, чтобы образованное ими число делилось на 4. 
Очевидно, что последней цифрой должна быть 2-ка, другие - нечетные. Проверим варианты 12, 22, 52.
12:4 = 3; 22:4 = 5,5 - не делится нацело; 52:4 = 13.
Вывод: число должно быть составлено так, чтобы в конце было 12 или 52, а в начале любые перестановки из оставшихся трёх цифр.
Возможные ответы: 12252, 21252, 22152, 22512, 25212, 52212. В ответ пишем один из них. Например,

Ответ: 21252 Таким образом, мы убедились в применении признаков делимости натуральных чисел при решении задач.

Рассмотрев задачи, мне стало интересно, а знают ли наши выпускники о признаках делимости. И я решил провести опрос.

3.2Анкетирование    «Помогают Вам признаки делимости при делении?»

Анкетирование проводилось среди обучающихся 9 и 11-х классов. В опросе приняли участие 29 обучающихся МБОУ СОШ с Ургала. Им было предложено ответить на следующие вопросы:

1.   Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку?

2.   Какие вы знаете признаки делимости натуральных чисел?

3.   Помогают ли вам признаки делимости натуральных чисел при делении?

4.   А хотели бы узнать еще о других признаках делимости натуральных чисел?

80% опрошенных считают, что современному человеку нужно уметь считать.

Большинство обучающихся знают признаки делимости, изученные в школе

 на 2,3, 5, 10.  – это 87%

88 % опрошенных считают, что признаки делимости помогают при делении.                      

По результатам проведенного анкетирования 76 % опрошенных хотели бы познакомиться с признаками делимости, не изученными в школе. 

4. Заключение.

Работая с разными источниками, я убедился в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11, 13, 19), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел.

Решая задачи я убедился, что знание и использование выше перечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления,  экономит время; исключает вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления. Следует отметить, что формулировки некоторых признаков сложны. Может быть, поэтому они не изучаются в школе.

 Собранный мной материал я оформил в виде буклета, который можно использовать на  уроках математики, на занятиях математического кружка. Учителя математики могут использовать его при изучении данной темы. Также рекомендую ознакомиться со своей работой старшеклассников, которые хотят получить высокие баллы на экзаменах по математике. Перед 11-классниками своей школы я выступил, рассказал о признаках делимости, показал решение задач и раздал им буклеты.

   В дальнейшем планирую рассмотреть такие вопросы:

-историю возникновения признаков делимости;

- признак Паскаля.

5. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ И ИНТЕРНЕТ – РЕСУРСОВ

1.     Перельман Я.И. Математика – это интересно ! – М.: ТЕРРА – Книжный клуб, 2006

2.     Виленкин Н.Я.,  Жохов В.И.,  Чесноков А.С.,  Шварцбурд С.И. Математика. 6 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений /— 25-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2009. — 288 с.

3.     Internet

Секция: Математика

Номинация: Математика

Признаки делимости натуральных чисел

Автор     Багаутдинов Данил Русланович  МБОУ СОШ с Ургала, 6 класс,

Руководитель: Багаутдинова Люция Салимьяновна,  учитель математики МБОУ СОШ с Ургала

Работа посвящена изучению признаков делимости  натуральных чисел, которые не изучаются в школьном курсе математики.  Знание этих признаков  имеет большое значение при выполнении заданий  КИМов ЕГЭ базового уровня.