Инфоурок Алгебра Другие методич. материалы"Признаки возрастания и убывания функции. Применение производной к исследованию функции на монотонность и экстремумы"

"Признаки возрастания и убывания функции. Применение производной к исследованию функции на монотонность и экстремумы"

Скачать материал

 

Министерство образования и науки Донецкой Народной Республики

ГБПОУ «Великоанадольский лесотехнический специализированный

колледж имени Виктора Егоровича фон Граффа»

 

 

 

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ОТКРЫТОГО ЗАНЯТИЯ

по  учебной дисциплине

«Математика»

для студентов I курса

специальности   35.02.01 Лесное и лесопарковое хозяйство

 

 

тема: «Признаки возрастания и убывания функции. Применение производной к исследованию функции на монотонность и экстремумы»



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2024

 

 

Математика. Методическая разработка открытого занятия на тему: «Признаки возрастания и убывания функции. Применение производной к исследованию

функции на монотонность и экстремумы»

 

Подготовила Кривая Л.В. - преподаватель высшей квалификационной категории, преподаватель-методист.

 

В разработке открытого занятия изложена методика проведения практического занятия с использованием нестандартных форм обучения, исследовательской работы.

 

Рецензент: Охременко Н.Н.– преподаватель –методист    Великоанадольского лесотехнического специализированного колледжа имени  Виктора Егоровича фон Граффа

 

Одобрена и рекомендована

с целью практического применения

методическим советом 

протокол № ___ от «___»_________2024 г.

Председатель  МС__________ Н.С.Пятигорец

 

Рассмотрена и одобрена                                                                   

цикловой комиссией                                                          

общеобразовательных и социально-экономических дисциплин                                                                                              Протокол № __ от  ________  2024г.                                

Председатель цикловой                                                                                                                          комиссии  _________    Т.И. Васечко

 

 

 

 

Аннотация

Данная методическая разработка предназначена для изучения темы «Признаки возрастания и убывания функции. Применение производной к исследованию функции» с использованием информационно-компьютерных технологий, исследовательской работы. Данный материал  будет полезен преподавателям математики в учреждениях специального профессионального  образования. Занятие построено с применением методов исследовательской деятельности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

1.     Введение                                                                                        5

2.     Технологическая карта занятия                                                     6

3.     Конспект занятия                                                                           9

4.     Заключение                                                                                    17

5.      Литература                                                                                   18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Проблема повышения качества знаний студентов и их интереса к учению была и остается одной из главных в системе образования. Ее решение связано с совершенствованием содержания образования, методов и организационных форм обучения. Научить студентов учиться, укрепить их способности к саморазвитию в процессе обучения, развивать критическое мышление – важнейшая задача преподавателя.

Применение алгоритмов в обучении – один из наиболее перспективных путей совершенствования учебного процесса. Алгоритмизация учебной деятельности при изучении теоретического материала позволяет наглядно представить системные связи между изучаемыми явлениями, что обеспечивает его усвоение с соблюдением принципа системности.

Исследовательская работа в учебном процессе помогает:

- развивать у студентов познавательную активность и способность к самостоятельной деятельности;

- сформировать умения вести дискуссию и находить ключ к той или иной проблеме;

- развивать умения мыслить наперед, просчитывать все возможные варианты;

- развивать способности выбрать из множества решений самое нужное.

Другими словами, способствует развитию самоорганизации, самообразованию, самоопределению, которые в свою очередь обеспечивают саморазвитие личности.

 

 

 

 

Технологическая  карта занятия

__ группа                                                                                       _________

Дисциплина Математика

Преподаватель Кривая Любовь Владимировна

Тема занятия Признаки возрастания и убывания функции. Применение производной к исследованию функции на монотонность и экстремумы.

Тип занятия Комбинированный

Цели занятия

Образовательные

- выявить взаимосвязь между знаком производной функции на промежутке и монотонностью функции;

- формирование умения находить промежутки монотонности функции с помощью производной;

- формирование умения использовать необходимый признак экстремума и свойства монотонности для нахождения точек экстремума.

Развивающие

- развитие логического мышления на основе индуктивных выводов;

- развитие умения рационально выбирать пути для решения практических задач;

- развитие способности правильно формулировать свои мысли в процессе обобщения изученного.

Воспитательные

- воспитание навыков рационального планирования учебной деятельности;

- воспитание стремления к творчеству.

Межпредметные связи физика,  химия и т.д.

Методы обучения

- продуктивные (эвристическая беседа);

- объяснительно-иллюстративный;

 

- опытно-индуктивный (выдвижение гипотезы);

- логический (анализ, абстрагирование).

Формы организации познавательной деятельности на занятии

- фронтальная;

- групповая;

- индивидуально – обособленная.

Обеспечение занятия

- раздаточный материал;

-информационные листы;

- мультимедийное сопровождение.

План занятия

1.     Организационный момент

- проверка присутствующих;

- ответы на вопросы.

2. Проверка домашнего задания

1. Решить примеры на доске

2. Устный счет по слайдам:

- повторение: возрастание и убывание функций;

- используя, график функции (слайд), ответить на вопросы:

на каких промежутках функция возрастает?

на каких промежутках  функция убывает?

сколько промежутков возрастания функции?

3. Актуализация опорных знаний и практических умений  

- эвристическая беседа о графическом способе задания функции;

- свойство монотонности;

- работа с графиками.

4. Исследовательская работа 

Выполнение исследовательской работы по выдвижению гипотезы о способе исследования монотонности функции, заданной аналитически:

- построение касательной;

- формулировка утверждений.

 

 

5. Восприятие и осознание нового материала

- доказательство теоремы о достаточном условии возрастания функции с помощью теоремы Лагранжа;

- критические точки, теорема Ферма;

- алгоритм исследования функции;

- выполнение заданий на исследование монотонности функций.

6 Домашнее задание: выполнить задания(слайд)

7. Рефлексивно-оценочный этап

- подведение итогов;

- заключительное слово преподавателя.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Конспект занятия.

 

1.     Организационный этап

Добрый день! Сегодня мы продолжаем изучение практического применения понятия производной.

     Но, чтобы эффективно использовать производные при решении конкретных задач, необходимо уметь их находить. Поэтому, сначала повторим, как найти производные некоторых функций.

2.     Проверка домашнего задания

1.В таблице заданы функции, заданы функции, производные которых найдем устно.

 

задания

ответы

задания

ответы

1.

3х²-5х-6

6х-5

4.

x⁵+3x³-4x

5x+9x²-4

2.

- 2х³+18х+5

- 6х²+18

5.

- 3x³+2x²-x-5

-9x²+4x-1

3.

2sinx+x³

2cosx+3x²

6.

5e ͯ +x-9

5e ͯ +1

2.

а

 

 

3.     Актуализация опорных знаний

А так ли важно в жизни – умение находить производную?

Производная относится к числу математических понятий, которые широко применяются в физике, химии, биологии, в технике и других отраслях наук. С помощью производной исследуются количественные характеристики самых различных процессов, учитывая, что механический смысл производной – это скорость изменения.

Как вы думаете, применяется ли производная в вашей выбранной профессии?

(Примерные ответы студентов:

- применение производной при приближенных вычислениях;

- решение задач с использованием геометрического смысла производной, в том числе нахождение угла между некоторыми кривыми в точке их пересечения, нахождение общей касательной к заданным кривым, построение прямой, перпендикулярной данной прямой и т.д.).

Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, или, как часто говорят, оптимального решения поставленной задачи. Как, располагая определенными ресурсами, добиться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени – так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому. Но все такие задачи поддаются точному математическому описанию, не для всех из них найдены короткие пути решения. Однако часть таких задач можно решить – это задачи, которые сводятся к нахождению наибольшего или наименьшего значения функции.

Задача. Для конструкторского бюро строится комната в форме прямоугольного параллелепипеда, одна из стен которой должна быть сделана из стекла, а остальные из обычного материала. Высота комнаты должна равняться 4 м, а площадь 80 м². Известно, что 1 м² стеклянной стены стоит 75 рублей, а обычного материала 50 рублей. Какими должны быть размеры комнаты, чтобы общая стоимость всех стен была наименьшей?

 

Как вы думаете, каким способом можно задать функцию по условию задачи? (аналитическим)

Как найти наибольшее и наименьшее значение этой функции? (построить график этой функции по точкам).

Сколько точек нужно найти, чтобы построить график функции? (студенты дают предположительные ответы).

На доске на координатной плоскости поставить две точки и попросить студентов показать, как может выглядеть график «между ними».

 

 

Возникла проблема: какой линией соединить имеющиеся точки графика, чтобы она более точно передавала свойства заданной функции? Как ведет себя функция между этими точками? Предложенный способ очень громоздкий, неудобный и, главное, не точный. Так как же можно определить, при каких значениях функция убывает или возрастает? В каких точках принимает наибольшее или наименьшее значения? На все эти вопросы может найти ответ производная. Итак, тема нашего занятия: «Признаки возрастания и убывания функции. Исследование функций с помощью производной» .

Но прежде, чем приступить к изучению новой темы, повторим основные направления исследования функции.

Ранее мы уже рассматривали вопросы об исследовании функций. Основным объектом исследования для нас был график, по нему мы определяли основные свойства функции. Умения читать графики функции – важный элемент математической культуры. Эти умения необходимы будущему технику, экономисту, инженеру, врачу.

 

 

Давайте повторим основные определения.

- дайте определение возрастающей функции, убывающей. (Функцию  у = f(х)  называют       возрастающей на множестве Х,  если для любых двух точек  х1  и х2  из области определения,  таких, что х1 < х2,  выполняется неравенство   f1) < f2). Функцию  у = f(х)  называют убывающей на множестве  Х, если для любых двух точек х1 и х2 из области определения, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f1) >f2)).

Переформулируем утверждения:

- Функция y=f(x)  называется возрастающей в некотором интервале, если в точках этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

12.pngЧтобы на чертеже определить возрастание, убывание функций, достаточно использовать следующие положения:

12.pngЕсли двигаться по графику слева направо, то ординаты точек все время увеличиваются («поднимаемся в горку»): говорят, что функция возрастает.

 

 

Если двигаться по графику слева направо, то ординаты все время уменьшаются («спускаемся с горки»), говорят, что функция убывает.

Как называют указанные свойства (монотонность).

 

 

Что за промежуток указан на чертеже? (Промежуток убывания).

Почему он указывается на оси ОХ (х – аргумент функции).

Как называются указанные точки (точки экстремума).

4.     Исследовательская работа.

Начнем изучение новой темы с исследовательской работы, после выполнения которой, вы должны предложить способ, позволяющий установить (исследовать) свойство монотонности функции, заданной аналитически.

В ходе выполнения работы вам потребуется построить схематически касательную к графику функции. Как это сделать?

Чтобы составить наглядное представление о том, как провести касательную, нужно вообразить себе, что к кривой, изготовленной из жесткого материала (например из проволоки), вы приставляете линейку так, чтобы она коснулась этой кривой в выбранной точке.

По окончании работы студенты выдвигают гипотезы. Преподаватель корректирует и направляет деятельность студентов.

Получили цепочку рассуждений: «возрастание функции» → «угловой коэффициент касательной положительный» → «производная тоже положительная».

Вопрос: как вы думаете, а обратные рассуждения тоже верны? (Да).

Сформулируем эти утверждения.

 

 

 

5.     Восприятие и осознание нового материала.

        При доказательстве этих утверждений используется теорема, которая называется теоремой Лагранжа. Жозеф Луи Лагранж – французский математик. Именно он ввел термин «производная», ему мы обязаны современным обозначением производной (с помощью штриха).

        Теорема Лагранжа. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), то существует точка с ϵ (a;b) такая, что f(c) = .

       На доске преподаватель поясняет геометрический смысл этой формулы. Угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке х = с равен угловому коэффициенту некоторой секущей, т. е. на интервале (a;b) найдется такая точка х = с, что касательная к графику функции y = f(x) в этой точке будет параллельна секущей.

       Докажем достаточный признак возрастания функции. Если f ′(x) ˃ 0 в каждой точке интервала (a;b), то функция = f(x) возрастает на этом интервале.

Доказательство: (проводится преподавателем на доске)

Пусть x1 и  x2 – произвольные точки интервала (a;b) такие, что х1 < х2. Применяя к отрезку [х1; х2] теорему Лагранжа, получаем f(c) = , где с  [х1; х2]. Так как f ′˃0 и х1 -  х2 ˃0, получаем из последней формулы f(x2) – f(x1) ˃ 0 т. е.

f(x2) ˃ f(x1). Это означает, что функция y = f(x) возрастает на (a;b). ч. т. д.

        Мы установили, что промежутки возрастания и убывания функции совпадают с промежутками, в которых производная этой функции имеет постоянный знак (плюс или минус). Следовательно, переход от возрастания к убыванию или обратно возможен лишь в точках, где производная меняет знак. Такими точками могут служить только точки, в которых  f ′(x) = 0 или не существует.

               

Определение: Точки в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими.

      Но точки, в которых меняется монотонность функции, являются также точками экстремума.

       Сформулируем следующее утверждение, которое называют теоремой Ферма (в честь французского математика Пьера Ферма).

        Необходимое условие экстремума. Если точка х0 точкой экстремума функции f(x) в этой точке существует производная f ′ (x), то она равна нулю:

f ′ (x) = 0.

        Важно отметить, что теорема Ферма есть лишь необходимое условие экстремума: из того, что производная в точке х0 обращается в нуль, необязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум. Например, производная функции

f(x) = x³ обращается в нуль в точке х = 0, но экстремума в этой точке функция не имеет. (Преподаватель демонстрирует график функции).

       А как вы думаете, какое еще условие нужно, чтобы критическая точка стала точкой экстремума? (При переходе через эту точку должна меняться монотонность функции, то есть знак производной).

Составим алгоритм нахождения монотонности функции и точек экстремума.

 

 

 

 

 

 

 

 После составления алгоритма преподаватель показывает оформление решения на примере функции y =  - 4. Для наглядности свойств монотонности функции демонстрируется схематический график.

Выполнении заданий из таблицы. Найти промежутки монотонности функций.

 

1.

2.

3.

4.

 

Каждое решение сопровождается демонстрацией алгоритма и схематическим графиком функции.

6. Домашнее задания.

                Выполните задания из таблицы. Найдите промежутки монотонности функций и точки экстремума.

1.

2

3

4

                Повторите к следующему занятию:

а) как найти область определения функции, заданной аналитически;

б) схему исследования функции.

7. Рефлексивно – оценочный этап.

                 

 

 

 

 

Заключение

     Проведение занятий с использованием информационно-компьютерных технологий, исследовательской работы является  современным инструментарием педагогического арсенала. При этом увеличивается качество и темп занятия за счет повышения мотивации учебной деятельности обучающихся, повышается эмоциональное их равновесие.

     Применение этой методики обучения способствует у будущих специалистов необходимых профессиональных компетенций, навыков самостоятельной работы, совершенствованию умения использовать знания в практической деятельности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

1.                 Богомолов, Н. В.  Практические занятия по математике в 2 ч. Часть 1 : учебное пособие для среднего профессионального образования / Н. В. Богомолов. — 11-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2021. — 326 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-08799-4. — Текст : электронный // ЭБС Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/470650.

2.                 Богомолов, Н. В.  Практические занятия по математике в 2 ч. Часть 2 : учебное пособие для среднего профессионального образования / Н. В. Богомолов. — 11-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2021. — 251 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-08803-8. — Текст : электронный // ЭБС Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/470651.

3.                 Башмаков М.И. Математика.: учебник – Москва: Издательский центр» Академия». 2021.- 256 с.

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал ""Признаки возрастания и убывания функции. Применение производной к исследованию функции на монотонность и экстремумы""

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Менеджер спортивного клуба

Получите профессию

Бухгалтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Данная методическая разработка предназначена для изучения темы «Признаки возрастания и убывания функции. Применение производной к исследованию функции» с использованием информационно-компьютерных технологий, исследовательской работы. Данный материал будет полезен преподавателям математики в учреждениях специального профессионального образования. Занятие построено с применением методов исследовательской деятельности.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 714 688 материалов в базе

Материал подходит для УМК

  • «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.

    «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.

    Тема

    1.5. Исследование функций и построение их графиков элементарными методами

    Больше материалов по этой теме
Скачать материал

Другие материалы

Презентация по алгебре и началам анализа на тему: "Показательная функция"
  • Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
  • Тема: § 11. Показательная функция, её свойства и график
  • 21.05.2024
  • 116
  • 1
«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 22.05.2024 44
    • DOCX 1.4 мбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Кривая Любовь Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Кривая Любовь Владимировна
    Кривая Любовь Владимировна
    • На сайте: 1 год и 8 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 171
    • Всего материалов: 2

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Мини-курс

Правовые аспекты корпоративного управления

2 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Брендинг и архитектура бренда: создание уникальности и цельности в маркетинге

2 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Здоровые взаимоотношения: адаптация и развитие ребенка через привязанность и игрушки

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 80 человек из 36 регионов
  • Этот курс уже прошли 72 человека