Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Проблемно-реферативная работа "Формула Герона думает за нас"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Проблемно-реферативная работа "Формула Герона думает за нас"

Выбранный для просмотра документ Формула Герона думает за нас.doc

библиотека
материалов

Министерство образования и науки

Российской Федерации

Муниципальное образовательное учреждение

«Краснопресненская средняя общеобразовательная школа
им. В.П. Дмитриева»







проблемно - реферативная работа





«ФОРМУЛА ГЕРОНА ДУМАЕТ ЗА НАС»








Выполнил:

учащийся 8 класса

Иванов Дмитрий

Научный руководитель:

Глазунова В.Г.
учитель математики и информатики,
высшая квалификационная категория














Тhello_html_491b7477.gifверь, 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ





Введение.............................................................................................................3

Глава 1. Теоретическая часть

1.1.... Герон Александрийский – кто он? .......................................................4

1.2....Вывод формулы Герона. Героновы треугольники............................... 7

1.3…Что можно узнать из формулы Герона?……………………………….8

Глава 2. Практическая часть

2.1 .. Применение формулы Герона при решении задач...............................12

2.2. Применение преобразованных формул Герона при решении задач....................................................................................................................15

Заключение.........................................................................................................17

Список литературы............................................................................................18

Приложение…………………………………………………………………..19






















hello_html_6820c1f8.gif

ВВЕДЕНИЕ







Одной из самых интересных и объемных тем в курсе геометрии является тема «Площадь треугольника». В ней рассматриваются различные формулы для нахождения площади треугольника. Особое внимание следует уделить формуле Герона, так как по сравнению с другими формулами имеет очень сложный вид, она редко используется учащимися, несмотря на то, что ее применение в практических задачах наиболее удобно, ведь необходимо знать всего три стороны треугольника.
Изучению использования данной формулы посвящено довольно небольшое количество работ российских ученых. Рассмотрением формулы занимались доктор педагогических наук А.И. Люберанский и профессор ГОУВПО «МГУПП», доктор физико-математических наук А. Ш. Чавчанидзе. Недостаток внимания формуле Герона с научной точки зрения объясняет актуальность изучения данной формулы более подробно, в том числе старшими школьниками, для которых формула Герона может стать отличным «помощником» в решении задач повышенного уровня сложности ЕГЭ.

Гипотеза: можно ли преобразовать формулу Герона таким образом, чтобы она позволила без лишних затрат времени находить площадь треугольника со сторонами, выраженными иррациональными числами.
Цель: доказать значимость и актуальность использования формулы Герона при решении задач.
Задачи:
1) найти информацию о Героне Александрийском,
2) найти различные преобразования формулы Герона,
3) подобрать и решить задачи, применяя различные варианты формулы Герона,
4) сделать выводы из результатов исследования,
5) познакомить старшеклассников с различными вариантами формулы Герона.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ







    1. Герон Александрийский – кто он?




Аhello_html_m8d78886.pngлександрийский1 (Heronus Alexandrinus) - великий физик, математик, механик и инженер древней Греции. Автор работ («Пневматика», «Механика», «Метрика», «О диоптре», «Катоптрика»), в которых изложил основные достижения античного мира в области прикладной механики.

Годы жизни Герона в XX веке стали предметом обсуждения. Согласно античным источникам он жил после Архимеда, но перед Паппом, т.е. где-то между 200 до н.э. и 300 гг. н.э. Некоторые историки XVIII-XIX веков указывали более конкретные даты в этом интервале, например, Бальди помещает Герона под 120 годом до н.э., а в ЭСБЕ указан год рождения Герона — 155 год до н.э. В 1938 году Отто Нойгебауер предположил, что Герон жил в 1-м веке н.э. Это предположение было основано на том, что в его книге «О диоптре» упоминается лунное затмение, которое было замечено за 10 дней до весеннего равноденствия. Его указание, что оно произошло в Александрии в 5 часов ночи, однозначно указывает в интервале между 200 до н. э. и 300 н.э. на лунное затмение от 13 марта 62 года (юлианская дата).

В книге «О диоптре» описан диоптр (первый прообраз современного теодолита) — простейший прибор, применявшийся для геодезических работ. Этот прибор представляет собой линейку с двумя смотровыми отверстиями, которую можно поворачивать в горизонтальной плоскости и при помощи которой можно измерять углы. Герон излагает в своём трактате правила земельной съёмки, основанные на использовании прямоугольных координат. В нём описывается, как строится геодезическое обоснование при прокладке тоннеля сквозь гору, когда работы ведутся одновременно с обоих его концов. Так же описан одометр — прибор для измерения расстояния, пройденного повозкой. Даётся описание сходного устройства, позволяющего определять расстояние, пройденное кораблём.
В «Пневматике» Герон описал различные механизмы, приводимые в движение нагретым или сжатым воздухом или паром: эолипил, т. е. шар, вращающийся под действием пара, автомат для открывания дверей, пожарный насос, различные сифоны, водяной орган, механический театр марионеток.
В «Механике» Герон описал 5 простейших машин: рычаг, ворот, клин, винт и блок. Он построил прибор для измерения протяжённости дорог, основанный на том же принципе, что и современные таксометры. Автомат Герона для продажи «священной» воды явился прообразом наших автоматов для отпуска жидкостей. Но механизмы и автоматы не нашли широкого практического применения, они употреблялись в основном в конструкциях механических игрушек. Исключение составляют только гидравлические машины Герона, при помощи которых были усовершенствованы античные водочерпалки.
В «Катоптрике» Герон обосновывает прямолинейность световых лучей с бесконечно большой скоростью их распространения. Он приводит доказательство закона отражения, основанное на предположении о том, что путь, проходимый светом, должен быть наименьшим из всех возможных.
«Метрика» Герона и извлечённые из неё «Геометрика» и «Стереометрика» представляют собой справочники по прикладной математике.

Среди содержащихся в «Метрике» сведений:
1.Формулы для площадей правильных многоугольников.
2. Объёмы правильных многогранников, пирамидыконуса, усечённого конуса, тора, шарового сегмента.
3. Формула Герона для расчёта площади треугольника по длинам его сторон (открытая Архимедом).
4. Правила численного решения квадратных уравнений.
5. Алгоритмы извлечения квадратных и кубических корней.

В основном изложение в математических трудах Герона догматично — правила часто не выводятся, а только показываются на примерах.

Многие из открытий Герона Александрийского значительно опережали свое время.2 Они не были востребованы в древнем мире с его рабовладельческим строем. Этому миру не нужны были машины, у него были рабы. К механикам в древней Греции относились с пренебрежением. Их труд приравнивали к ремеслу, которым занимались только ремесленники и рабы.

Большая часть из изобретений Герона была забыта на тысячелетия. Многие из его открытий, впоследствии открывались заново, учеными, которые даже никогда не слышали о Героне Александрийском.








    1. Вывод формулы Герона3. Героновы треугольники




hello_html_41d6457c.pngПусть S — площадь треугольника со сторонами a, b и c; p — его полупериметр. Докажите, что hello_html_58adc63d.gif

Доказательство:

Рассмотрим треугольник АВС, в котором АВ = с, ВС = а, АС = b.

В любом треугольнике по крайней мере два угла острые.

Пусть А и В – острые углы треугольника АВС.

Тогда основание Н высоты СН треугольника лежит на стороне АВ.

Введём обозначения СН= h, АН= y, HB=x.

По теореме Пифагора hello_html_373157cf.gif,

откуда hello_html_66570dd3.gif, или hello_html_75f6d1c0.gif.

Так как hello_html_271a9fc2.gif, то hello_html_m4e2a4357.gif.

Сложив два последних равенства и разделив на 2, получим: hello_html_m3729c294.gif.

Поэтому hello_html_m644f2c0c.gif

hello_html_582c0d64.gif

Следовательно, hello_html_medc53f9.gif.

Но hello_html_m788df49e.gif, откуда и получаем:hello_html_58adc63d.gif

,
Что и требовалось доказать.

Герон рассматривал треугольники с целочисленными сторонами, площади которых также являются целыми числами. Такие треугольники называют героновыми.

Примеры таких задач.

  1. Определить площадь треугольника, если даны три его стороны: hello_html_7381199c.gif.

Решение. Герон решает эту задачу по своей формуле

hello_html_74b6e819.gifи получает hello_html_m182e8be9.gif.

  1. Определить площадь треугольника, если его стороны: hello_html_m2a7330bc.gif.

Решение. Герон решает эту задачу по своей формуле

hello_html_74b6e819.gifи получает hello_html_613bd8ff.gif.

  1. Определить площадь треугольника, если: hello_html_m4e215017.gif.

Решение. Герон решает эту задачу по своей формуле

hello_html_74b6e819.gifи получает hello_html_m4f81d704.gif.



    1. Преобразования формулы Герона




hello_html_m35a6906a.gifВ статье А.И. Люберанского «Что можно узнать из формулы Герона?»4 выведена формула для вычисления площади треугольника, более удобная для работы с иррациональными числами


Предлагаемый вывод формулы:


Формула Герона: hello_html_52b1514e.gif, где hello_html_41649dd.gif (1)


hello_html_74e75d1c.gif

hello_html_eacabc9.gif

hello_html_6edd9082.gif

hello_html_m5cd49532.gif

hello_html_m35a6906a.gif (2)

Аналогично можно вывести еще две симметричные формулы, полученные путем перестановки чисел a,b,c.

hello_html_m16288f19.gif

где hello_html_377e37c1.gif

hello_html_m537d593b.gif

hello_html_m137de749.gif=hello_html_m7227bbb0.gif

Тhello_html_22f43ea1.gifаким образом,

(2*)


Считаю, что эта формула самая простая для запоминания и удобная

для вычисления площади треугольника, если длины его сторон выражены через радикалы, например, hello_html_m2b2b547e.gif.

Кроме того, полученные формулы подходят для исследования.

Рассмотрим различные виды треугольников, выводя зависимость между длинами их сторон.

Пусть треугольник прямоугольный с гипотенузой hello_html_m12550da.gif и катетами hello_html_m734afb91.gif и hello_html_559071c1.gif. Тогда справедлива теорема Пифагора hello_html_13757c41.gif. Подставляя полученное выражение в формулу hello_html_m28e1a30a.gif, имеем:

hello_html_320bf1a6.gifформула для вычисления прямоугольного треугольника через длины его катетов.

Если треугольник равнобедренный с основанием hello_html_m734afb91.gif и боковой стороной hello_html_559071c1.gif, то hello_html_m28e1a30a.gifhello_html_m6deda00c.gif.

Если треугольник равносторонний со стороной hello_html_m734afb91.gif, то из равенства hello_html_m28e1a30a.gif, получаем hello_html_71b024c.gif.

В книге Я.И. Перельмана «Занимательная алгебра» есть задача с названием «Уравнение думает за нас». Вот и формула Герона в определенной мере думает за нас. Так, знак корня накладывает ограничения на подкоренное выражение и тем самым сигнализирует о вырожденных случаях. Речь идет о случаях, когда стороны hello_html_m3a3413f2.gif не образуют треугольник. Если при вычислениях по формуле Герона подкоренное выражение становится отрицательным, то это, естественно, подвигает на проверку предыдущих вычислений.

К примеру, если hello_html_m57cb027e.gif(не выполнено неравенство треугольника), то hello_html_m3b8aaa6d.gif и все подкоренное выражение отрицательно.

Если же hello_html_28fc0cee.gif, то треугольник вырождается в отрезок. Принято считать, что площадь отрезка равна 0. Продемонстрируем это, используя формулу hello_html_m28e1a30a.gif.

Имеем: hello_html_702d78c3.gif hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gif


А.Ш. Чавчанидзе в статье «Еще один вариант формулы Герона»5 показывает, как можно получить еще один вариант формулы Герона, который обеспечивает с его точки зрения большую простоту вычислений.

Итак, дана формула


hello_html_52b1514e.gif , (1)
где

hello_html_41649dd.gif(1*)


Подставим выражение (1*) в формулу (1)


hello_html_74e75d1c.gif

Проведем алгебраические преобразования в числителе подкоренного выражения следующим образом:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_69d401b5.gif


hello_html_mce3c41.gif


hello_html_m5ba3aa6b.gif


Таки образом, можно записать формулу для упрощения вычисления S треугольника:

hello_html_6e285126.gif
(3)


А.Ш. Чавчанидзе показывает удобство использования этой формулы, когда длины сторон выражены с помощью радикалов.

Например, если hello_html_2f399385.gifто вычислять по формуле Герона достаточно затруднительно, а по выведенной формуле (3) это сделать легко:

hello_html_5887d322.gif= hello_html_mf3633df.gif.



ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ




2.1. Примеры задач, решаемых с использованием формулы Герона6



Задача 1.
В треугольнике АВС даны три стороны: hello_html_7272ff2c.gif, hello_html_m570ca535.gif. Найдите часть площади этого треугольника, заключённую между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины В.

hello_html_m6efdd886.png




Решение:
Пусть ВР и BQ – высота и биссектриса данного треугольника АВС.

По формуле Герона hello_html_m4c9e1268.gif = hello_html_m46cf7253.gif= hello_html_mbe12f09.gif.

С другой стороны, hello_html_6848e1cb.gif

Поэтому hello_html_4330509e.gif.

По свойству биссектрисы треугольника hello_html_m7fdf5aef.gif.

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника hello_html_m6a9adda8.gif находим, что hello_html_41c6455a.gif=hello_html_143db6ea.gif = hello_html_6a8106c7.gif =hello_html_c160352.gif.

Следовательно, hello_html_m47255502.gif.

Ответ: 36.


Задача 2.

Найдите площадь треугольника, если две стороны его соответственно равны 27 и 29, а медиана, проведённая к третьей, равна 26.

hello_html_3524d1a7.png




Решение:

Пусть стороны hello_html_m5f770060.gif и hello_html_m459cffaa.gifтреугольника hello_html_m75b1aea8.gif равны соответственно 27 и 29, а его медиана hello_html_3b632a00.gif. На продолжении медианы hello_html_80cada6.gif за точку hello_html_4a46073b.gif отложим отрезок hello_html_32418eea.gif, равный hello_html_80cada6.gif. Из равенства треугольников hello_html_m3aa34c86.gif (по двум сторонам и углу между ними) следует равенство площадей треугольника hello_html_7ef06235.gif. В треугольнике hello_html_6f7708a.gif известно, что hello_html_m7dc8066d.gif.

По формуле Герона hello_html_3db0c7bd.gif Следовательно, hello_html_m1b4b6f4.gif.

Ответ: 270


Задача 3.

В треугольнике каждую сторону увеличили на 1. Обязательно ли при этом увеличилась его площадь?
Решение:

Пусть стороны треугольника hello_html_3a6de232.gif. Воспользуемся формулой Герона для площади треугольника: hello_html_74b6e819.gif

Из этой формулы видно, что при увеличении каждой стороны треугольника на 1 все четыре сомножителя hello_html_m1dd2a58b.gif возрастают, и следовательно, возрастает и площадь.

Ответ: Да, обязательно.


Задача 4.

Диагонали трапеции равны 12 и 6, а сумма оснований равна 14. Найдите площадь трапеции.

hello_html_4b36b740.png
Решение:

Пусть hello_html_m5d6a64cb.gif - диагонали трапеции hello_html_m3768394c.gif, hello_html_mbfaf401.gif - её основания, причём hello_html_1a757cba.gif. Через вершину C проведём прямую, параллельную диагонали hello_html_4fff5c90.gif. Пусть hello_html_m6bfa6d8b.gif – точка пересечения этой прямой с прямой hello_html_m50b3db84.gif Тогда hello_html_m4745b5ac.gif - параллелограмм, hello_html_dd8e4cd.gif, hello_html_365b7a2.gifЕслиhello_html_m38594120.gif - высота трапеции, то hello_html_53fb698.gif . По формуле Герона hello_html_m4e1ba4e6.gif.

Ответ: hello_html_m46192601.gif

Задача 5.

Дан треугольник со сторонами 13, 14, 15. Найдите высоту, проведённую к большой стороне.

hello_html_m29a1b9d4.pngРешение:

Пусть hello_html_m53a92d40.gif - указанная высота треугольника hello_html_m75b1aea8.gif со сторонами hello_html_m10b8913c.gif По формуле Герона hello_html_30cf1ece.gif. С другой стороны, hello_html_3e3388aa.gifОткуда находим, что hello_html_m7eb7167a.gif

Примеры дополнительных задач приведены в ПРИЛОЖЕНИИ.


2.2. Применение преобразованных формул Герона при решении задач



Задача 1. Диалог в социальной сети:

Дана: Предлагаю Вашему вниманию задачу - фрагмент С2. Надо найти площадь треугольника со сторонами корень из 3, корень из 5 и 2. Какие будут идеи?

4 мая 2012 в 17:23

Антон: Формула Герона?

Аня: можно по теореме косинусов найти косинус любого угла, по основному тригонометрическому тождеству найти его синус и по формуле S=1/2ab*sinA найти площадь. но по формуле Герона по-моему проще

4 мая 2012 в 17:56

Дана: так - есть две идеи. Антон, посчитай по формуле Герона, доведи до ответа. Аня, посчитай через теорему косинусов, доведи до ответа. По возможности - показывайте промежуточные выкладки, пожалуйста, хоть это и сложно тут делать. Можно картинкой в фотоальбом.

4 мая 2012 в 20:41|

Антон: Да, по способу Ани всё легче получается. По формуле Герона: я запутался с корнями.

6 мая 2012 в 3:07|

hello_html_22f43ea1.gif

Зная новую формулу: ,
можно легко помочь Дане в решении С2.

hello_html_m7408b954.gifПодставим в формулу

hello_html_m28e1a30a.gif, получим

hello_html_m221f85ea.gif


Задача 2. Стороны треугольника равны 3, 4 и hello_html_48c25411.gifНайти его площадь.

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m7e8db98b.gif

Ответ: hello_html_m281b8bd7.gif





Задача 3. По данным рисунка найдите площадь треугольника.

hello_html_m732da409.jpg

Предлагаемое решение.



AC2 = 19, AB2 + BC2 = 5 + 14 =19.

Так как AC2 = AB2 + BC2, то по теореме, обратной теореме Пифагора hello_html_27d11bf0.pngB=90о, поэтому ABhello_html_m67cdde42.pngBC.

S =hello_html_22ba2d3f.pngAB * BC, S=hello_html_22ba2d3f.pnghello_html_66b92f87.png*hello_html_m2be52fd9.png= hello_html_22ba2d3f.pnghello_html_m86ffc75.png. S = hello_html_22ba2d3f.pnghello_html_m86ffc75.png

Зная новую формулу Герона, задачу можно решить так:

hello_html_m28e1a30a.gif

hello_html_1121c7d7.gif



Задача 4. (задание С2 из ЕГЭ 2011г.)



DABC – правильная треугольная пирамида. Сторона основания – три корня из трех. Боковое ребро – 5, MC – медиана треугольника ABC. Найти площадь треугольника MDC.

Предлагается решение:

В правильной треугольной пирамиде основание – равносторонний треугольник. Следовательно, MC – высота и биссектриса.

Значит:

MC = BC*sin(60 градусов) = 3*sqrt(3)*sqrt(3)/2 = 9/2.

DM = sqrt(DB^2-BM^2) sqrt(5^2-(3*sqrt(3)/2)^2) = sqrt(73)/2.

DC = 5;

А дальше – например, по формуле Герона:

Полупериметр p = (MC+DM+DC)/2

S = sqrt(p*(p-MC)*(p-DM)*(p-DC))

Но без калькулятора такую штуку считать – с ума сойдешь.

Можно иначе:

Пусть DP – высота пирамиды. Точка P – точка пересечения медиан/биссектрис/высот треугольника ABC, и мы знаем, что она делит их в отношении 2:1.

То есть, PC = MC*2/3 = 9/2*2/3 = 3.

Значит, высота пирамиды

DP = sqrt(DC^2-PC^2) = 4

Площадь треугольника MDC равна MC*DP/2 = 9/2*4/2 = 9.

 Ответ: 9.

Наше решение:

Найдя МС, DM (см. выше) и зная DC, найдем площадь треугольника по преобразованной формуле Герона.

S= hello_html_4b620434.gifhello_html_3fdd93d.gif9





Эксперимент



На уроке геометрии учащимся 10-11 классов были предложены 2 задачи из КИМов по математике 2012г.:

  1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 с основанием АВСD известны ребра АВ=2, ВС=3, DD1=hello_html_6dba2dd0.gif. Найти площадь сечения параллелепипеда плоскостью АСD1.

  2. Вычислить площадь треугольника с вершинами О(0; 0), А(1; 3), В(3; 2).

Условия: пользоваться можно любым учебником геометрии, время ограничено – урок.

Цель: сравнить количество времени, необходимое для решения задач по-своему, и используя преобразованную формулу Герона.



Результаты получились следующие: за урок (45 мин) 2 задачи решили 50% учащихся, трудность вызвала первая задача, вторая задача решена всеми. Используя новую формулу Герона, 1-ая задача была решена за 7 минут.

Решение 1-ой задачи учащимися:

hello_html_3880b3bb.pngAD1=hello_html_m46e00cb2.gif

CD1 = hello_html_577e42e9.gif

AC=hello_html_m471b92ab.gif

По теореме косинусов

32=37+13-2.hello_html_m43dedbaa.gif.hello_html_48c25411.gif.cоs A

2.hello_html_m43dedbaa.gif.hello_html_48c25411.gif.cоs A = 18

cos A=hello_html_m42ca97e0.gif

По основному тригонометрическому тождеству

sin A =hello_html_m4d71b0e9.gif

SACD1=hello_html_3e56a780.gif

Решение, используя преобразованную формулу Герона:

Вычислив AD1 =hello_html_m46e00cb2.gif , CD1 = hello_html_577e42e9.gif , AC=hello_html_m471b92ab.gif,

подставим в формулу hello_html_m28e1a30a.gif

Получим: S=hello_html_m40341a07.gif=hello_html_m378c6238.gif=hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_29091545.gif







ЗАКЛЮЧЕНИЕ







Вот уже не одну сотню лет человечество использует математическое наследие Герона (Александрийского), в том числе формулу площади треугольника по трём сторонам. В курсе геометрии эта формула незаслуженно отодвинута на второй план и приводится в разделе «дополнительные задачи». Поэтому была поставлена цель: «реабилитировать» и актуализировать формулу Герона при решении задач старшеклассниками. В работе рассмотрены задачи разного уровня сложности, в решении которых использованы и формула Герона, и преобразованная формула.

Выдвинутая гипотеза подтверждена: мы сумели преобразовать формулу Герона таким образом, чтобы она позволила без лишних затрат времени находить площадь треугольника со сторонами, выраженными иррациональными числами. Так, при решении задач обычным способом у старшеклассников уходило порядка 25 минут, а при использовании формулы Герона время решения сократилось до 7 минут. Тем самым мы доказали необходимость уделения более высокого внимания данной формуле при изучении данной темы.

Работа поспособствовала повышению интереса к геометрии, развитию самостоятельности и познавательного интереса.

Умение вычислять площадь геометрических фигур нужно не только в стенах школы для решения задач. Оно может пригодиться и в повседневной жизни.


Цель работы считаю достигнутой, задачи – выполненными.



СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ



  1. Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия 7-9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: М.: - Просвещение. – 2012.

  2. Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Изучение геометрии в 7-9 классах: методические рекомендации к учебнику: Кн.для учителя. М.: - Просвещение. – 1997.

  3. С.Б. Еременко, А.М. Сохет, В.Г. Ушаков Элементы геометрии в задачах. – М.:МЦНМО.2003.

  4. А. И. Люберанский Что можно узнать из формулы Герона?// Математика в школе. – 1998. – №6. – с.55–56

  5. А.Ш. Чавчанидзе Еще один вариант формулы Герона.// Математика в школе. – 2000. – №10. – с.20–21


Интернет-источники


  1. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.bymath.net/studyguide/great_math/Heronus/Heronus.html. - Загл. с экрана.

  2. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.istex.ru/geron-aleksandrijskij/1- Загл. с экрана.

  3. Проект МЦНМО Задачи: [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.problems.ru - Загл. с экрана.









ПРИЛОЖЕНИЕ



Примеры задач, при решении которых используется формула Герона.


  1. Вычислите площадь трапеции по разности оснований, равной 14, и двум непараллельным сторонам, равным 13 и 15, если известно, что в трапецию можно вписать окружность.

Рhello_html_m50c0ad84.pngешение

Через вершину C меньшего основания трапеции ABCD (AB = 15, CD = 13) проведём прямую, параллельную боковой стороне AB, до пересечения с основанием AD в точке K.

Тогда стороны треугольника CKD равны:

CK = AB = 15, CD = 13, KD = AD - AK = AD - BC = 14.
По формуле Герона

SCKD =hello_html_59ee1cef.gif = 7 . 3 . 4 = 84.

Если CM — высота треугольника CKD, то

CM = hello_html_m475c7d89.gif = = 12.

Поскольку в трапецию ABCD можно вписать окружность, то AD + BC = AB + CD. Следовательно,

SABCD = hello_html_2c648b39.gif(AD + BC)CM = hello_html_2c648b39.gif(AB + CD)CM = 14 . 12 = 168.

Ответ: 168.



  1. hello_html_5c1c37d2.pngНайдите площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 16 и 44, а непараллельные — 17 и 25.

Решение:

Через вершину C трапеции ABCD
(BC = 16, AD = 44, AB = 17, CD = 25) проведём прямую, параллельную стороне AB, до пересечения с основанием AD в точке K.

В треугольнике CKD: CK = 17, CD = 25, KD = AD - BC = 28.

По формуле Герона SCKD = hello_html_m5acb7bcf.gif = 5 . 7 . 6 = 210.

Если CM — высота этого треугольника, то

CM = hello_html_m25704db6.gif =15.

Следовательно,

SABCD =hello_html_m7ed878e5.gifCM = 450.

Ответ: 450.


  1. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найдите радиус окружности, которая имеет центр на средней стороне и касается двух других сторон.

hello_html_m133f9ef3.png




Решение:

Пусть AC = 13, AB = 14, BC = 15, O — центр указанной окружности (O на стороне AB), R — её радиус, P и Q — точки касания окружности со сторонами AC и BC соответственно.

По формуле Герона

SABC = hello_html_9ad8f29.gif = hello_html_m579fb18a.gif = 84.

Поскольку OP и OQ — высоты треугольников AOC и BOC, то

SABC = SAOC + SBOC = hello_html_6c83d7fc.gifAC . OP +hello_html_6c83d7fc.gifBC . OQ = hello_html_6c83d7fc.gif (AC + BC)R = 14R.

Следовательно, R = hello_html_m6835335b.gif =hello_html_46c4819f.gif = 6.

Ответ: 6.


  1. В треугольнике ABC на стороне AC взята точка D так, что окружности, вписанные в треугольники ABD и BCD, касаются. Известно, что AD = 2, CD = 4, BD = 5. Найдите радиусы окружностей.

Решение. Пусть M — точка касания окружностей, DM = x. Тогда AB = 7 - 2xBC = 9 - 2x. Выразим через x площади треугольников ABD и BCD по формуле Герона. Отношение площадей равно hello_html_6b267efd.png= hello_html_m2b19f7c3.png.
Из полученного уравнения находим, что x = 1.
Радиусы вписанных окружностей найдём, разделив площади треугольников ABD и BCD на их полупериметры.
Ответ: hello_html_m25d5e165.png; hello_html_42cbb039.png.

  1. Дhello_html_m4589173b.pngан треугольник ABC со сторонами AB = 6, AC = 4, BC = 8. Точка D лежит на стороне AB, а точка E — на стороне AC, причём AD = 2, AE = 3. Найдите площадь треугольника ADE.


Shello_html_m32afe2d9.pngADE = hello_html_28d0d53c.png. hello_html_m59724d16.png. Shello_html_m32afe2d9.pngABC.


Решение. Пусть p — полупериметр треугольника ABC. Из условия задачи следует, что p = hello_html_m2b19f7c3.png(AB + AC + BC) = hello_html_m2b19f7c3.png(6 + 4 + 8) = 9. По формуле Герона Shello_html_m32afe2d9.pngABC = hello_html_m7662c1ca.png= hello_html_fe67263.png= 3hello_html_m32669a9f.png.

Следовательно,

Shello_html_m32afe2d9.pngADE = hello_html_m5fdaf27f.png. hello_html_m7b8f3817.png. Shello_html_m32afe2d9.pngABC = hello_html_m23159754.png. hello_html_7c10d25.png. 3hello_html_m32669a9f.png = hello_html_m22481376.png.

Ответ: hello_html_m6bf57425.png



  1. В треугольник со сторонами 10, 17 и 21 вписан прямоугольник с периметром 24 так, что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника. Найдите стороны прямоугольника.

hello_html_4eceb5bb.png

Решение.

Пусть вершины P и Q прямоугольника MPQK принадлежат сторонам соответственно AB = 10 и BC = 17 треугольника ABC, а вершины M и K — стороне AC = 21. По формуле Герона

Shello_html_m32afe2d9.pngABC = hello_html_32156ce3.png= 7 . 3 . 4 = 84.

Если BD — высота треугольника ABC, то BD = hello_html_m16e12601.png= 8.

Пусть PM = x. Тогда PQ = 12 - x. Из подобия треугольников BPQ и BAC следует, что их высоты BT и BD относятся, как основания PQ и AC, т.е.

hello_html_m66e9dd8c.png= hello_html_m3f39046a.png.

Отсюда находим, что x = hello_html_40e49d25.png. Ответ: hello_html_40e49d25.png, hello_html_e754e0e.png.

  1. Расстояния от точки M, лежащей внутри треугольника ABC, до его сторон AC и BC соответственно равны 2 и 4. Найдите расстояние от точки M до прямой AB, если AB = 10, BC = 17, AC = 21.

hello_html_6d11c1c3.png




Решение. Соедините данную точку M с вершинами треугольника ABC и рассмотрите площади трёх образовавшихся треугольников.

По формуле Герона Shello_html_m32afe2d9.pngABC = hello_html_m3e902fd6.png= 7 . 3 . 4 = 84.
Пусть P и Q — проекции точки M на стороны BC и AC, а T — на сторону AB. Тогда

Shello_html_m32afe2d9.pngABC = Shello_html_m32afe2d9.pngBMC + Shello_html_m32afe2d9.pngAMC + Shello_html_m32afe2d9.pngAMB = hello_html_m2b19f7c3.pngBC . MP + hello_html_m2b19f7c3.pngAC . MQ + hello_html_m2b19f7c3.pngAB . MT =

= hello_html_m2b19f7c3.png. 17 . 4 + hello_html_m2b19f7c3.png. 21 . 2 + hello_html_m2b19f7c3.png. 10 . MT = 34 + 21 + 5MT.

Отсюда находим, что

MT = hello_html_516416a1.png= hello_html_fa3ff80.png= hello_html_29142c9f.png. Ответ: hello_html_29142c9f.png.

  1. В треугольник вписана окружность радиуса 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на части, равные 6 и 8. Найдите две другие стороны треугольника.

hello_html_74ea16d0.png
Решение

Пусть K, M, N — точки касания вписанной окружности со сторонами соответственно BC, AC и AB треугольника ABC; BK = 8, KC = 6. Тогда CM = KC = 6, BN = BK = 8.

Обозначим AM = AN = x. Поскольку площадь треугольника равна произведению полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности, то Shello_html_m32afe2d9.pngABC = (8 + 6 + x)4 = (14 + x)4.

С другой стороны, по формуле Герона Shello_html_m32afe2d9.pngABC = hello_html_7c81f6f2.png.

Решив уравнение 4(14 + x) = hello_html_7c81f6f2.png, найдём, что x = 7.

Следовательно, AC = x + 6 = 13, AB = x + 8 = 15.


Ответ: 13 и 15.


  1. В трапеции основания равны 84 и 42, а боковые стороны – 39 и 45. Через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям проведена прямая. Найдите площади получившихся трапеций.

Решение. Пусть прямая, проходящая через точку O пересечения диагоналей AC и BD трапеции ABCD параллельно основаниям AD и BC , пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N соответственно, причём AD=84 , BC=42 . AB=39 и CD=45 . Через вершину C проведём прямую, параллельную AB до пересечения с основанием AD в точке K . В треугольнике CKD известно, что CK=AB = 39, KD = AD-AK = AD-BC = 84-42 = 42, CD=45.

По формуле Герона
SΔ CKD = hello_html_490de5d5.png= hello_html_m5c65bbf3.png= 756.

Пусть h – высота трапеции ABCD . Тогда h – высота треугольника CKD , проведённая из вершины C , поэтому h = hello_html_7f14656a.png= hello_html_4cb571aa.png= 36.

Треугольники BOC и DOA подобны с коэффициентом hello_html_5be79d5f.png= hello_html_e707b36.png= hello_html_m58d718bb.png, а треугольник AOM подобен треугольнику ACB с коэффициентом hello_html_m32884de2.png= hello_html_m4b48b58e.png, поэтому MO = hello_html_m4b48b58e.pngBC = hello_html_m4b48b58e.png· 42=28.

Аналогично находим, что ON = 28 , значит, MN = 56 . Из подобия треугольников BOC и DOA также следует, что высота первого из них, проведённая из вершины O , равна hello_html_4086ba86.pngh , а соответствующая высота второго – hello_html_m4b48b58e.pngh , следовательно, SMBCN = hello_html_m58d718bb.png(MN+BC)· hello_html_4086ba86.pngh = hello_html_m58d718bb.png(56+42)· hello_html_4086ba86.png· 36 = 588,

SAMND = hello_html_m58d718bb.png(MN+AD)· hello_html_m4b48b58e.pngh = hello_html_m58d718bb.png(56 +84)· hello_html_m4b48b58e.png· 36 = 1680.

Ответ: 588 Х 1680.

Олимпиадные задания


  1. Длины сторон треугольника – простые числа. Докажите, что его площадь не может быть целым числом.

Решение

Пусть длины сторон треугольника равны a , b , c . Из формулы Герона имеем:

16S2=P(P-2a)(P-2b)(P-2c), (1)

где S – площадь, а P=a+b+c – периметр треугольника. Допустим, что S – целое число. Тогда из (1) следует, что P – четное число (если P – нечетно, то правая часть (1) также нечетна). Следовательно, либо числа a , b , c – четные, либо среди них одно четное и два нечетных. В первом случае, так как a , b , c – простые числа, a=b=c=2 , и площадь треугольника равна hello_html_m60bfd1f6.png, т.е. нецелая. Во втором случае будем считать, что a=2 , а b и c – нечетные простые числа. Если bhello_html_76d41089.png c , то |b-c|hello_html_m1b0304b.png2 , и неравенство треугольника не выполнено. Следовательно, b=c . Из (1) получаем, что S2=b2-1 , или (b-S)(b+S)=1 , что невозможно для натуральных b и S .

Итак, оба случая невозможны, т.е. S не может быть целым числом.



  1. Докажите, что из всех треугольников данного периметра равносторонний имеет наибольшую плошадь.

Подсказка. Примените формулу Герона и неравенство Коши дли трёх чисел (среднее арифметическое трёх неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического).
Решение

Известно, что если числа x, y, z неотрицательны, то hello_html_m5e524092.pnghello_html_16a5a2a3.pnghello_html_a5791ef.png,

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда x = y = z. Отсюда следует, что при постоянной сумме положительных чисел x, y, z их произведение максимально, если эти числа равны между собой.

Пусть a, b и c — стороны треугольника, p — полупериметр, S — площадь. По формуле Герона

S = hello_html_m3115306c.png  hello_html_81f5f5.png S2 = p(p - a)(p - b)(p - chello_html_m61a802a8.png

hello_html_m61a802a8.png phello_html_6bfa7ad7.pnghello_html_75af545b.pnghello_html_ba3cede.png = p . hello_html_m31cd8e0e.pnghello_html_m18843c16.pnghello_html_71251e08.png= hello_html_m4b1363d8.png,
причём равенство имеет место в случае, если слагаемые равны между собой, т.е. p - a = p - b = p - c. Отсюда следует, что a = b = c. Следовательно, из всех треугольников с заданным периметром 2p наибольшую площадь имеет равносторонний и эта наибольшая площадь равна hello_html_m5777de8e.png.

  1. Докажите, что из всех треугольников данной площади равносторонний имеет наименьший периметр.

Решение

Известно, что если числа x, y, z, t неотрицательны, то hello_html_6ec438b.pnghello_html_16a5a2a3.pnghello_html_m3ce568da.png,
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда x = y = z = t. Отсюда следует, что при постоянном произведении положительных чисел x, y, z, t их сумма минимальна, если эти числа равны между собой.

Пусть a, b и c — стороны треугольника, p — полупериметр, S — площадь. По формуле Герона
S = hello_html_m3115306c.png  hello_html_81f5f5.png S2 = p(p - a)(p - b)(p - c).

Заметим, что p = hello_html_m67b9927b.pnghello_html_m31cd8e0e.pnghello_html_m18843c16.png+ (p - a) + (p - b) + (p - c)hello_html_m3f63b728.png.

Поскольку произведение четырёх сомножителей

hello_html_48473aa5.gif. (p - a)(p - b)(p - c) = hello_html_566302e8.gifS2 постоянно, то их сумма минимальна, если все они равны между собой. В нашем случае hello_html_48473aa5.gif= p - a = p - b = p - c. Отсюда следует, что a = b = c = hello_html_190ea185.gif, т.е. треугольник — равносторонний.


  1. B некоторой трапеции сумма длин боковой стороны и диагонали равна сумме длин другой боковой стороны и другой диагонали. Докажите, что трапеция равнобокая.

hello_html_1eeeaea4.png

Bведем обозначения, как показано на рисунке. Tогда по условию, x + d1 = y + d2. Tреугольники ABD и ACD имеют равные высоты и общее основание, а значит, их площади равны.

Далее воспользуемся формулой Герона.

hello_html_13858862.png

Приравняв эти выражения, возведем обе части в квадрат, и, воспользовавшись условием, придем к равенству (a + (d1x))(a – (d1x)) = (a + (d2y)) ( a – (d2y)) ↔ a2 – (d1x)2 = a 2 – (d2y)2 ↔ |d1x| = |d2y|. Tаким образом (с учетом условия), мы получили две системы:

hello_html_m4ce43554.png

Из первой системы следует сразу (вычтем из второго уравнения первое), что x = y, а следовательно, трапеция равнобокая.

Bторая система приводит к соотношениям hello_html_333560a5.png.

Это означает, что треугольники BAC и BDC  — равнобедренные.

Oни имеют равные высоты и общее основание, поэтому точки A и D должны совпадать, что невозможно по условию.


Задания ЕГЭ (Гордин Р.К. ЕГЭ 2012. Математика. Решение задачи С4)

В решении используем формулы Герона


  1. Три шара радиусов 1, 2 и 5 расположены так, что каждый из них касается двух других шаров и двух данных плоскостей. Найдите расстояние между точками касания первого из этих шаров с плоскостями.

  2. Основание пирамиды – квадрат. Высота пирамиды пересекает диагональ основания. Найдите наибольший объём такой пирамиды, если периметр диагонального сечения, содержащего высоту пирамиды, равен 5.



1 [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.bymath.net/studyguide/great_math/Heronus/Heronus.html. - Загл. с экрана.



2 [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.istex.ru/geron-aleksandrijskij/1-geron-aleksandrijskij.html Загл. с экрана.

3 Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия 7-9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: М.: - Просвещение. – 2012.

4 А. И. Люберанский «Что можно узнать из формулы Герона?» - научно-теоретический и методический журнал Математика в школе. 1998. №6, с.55


5 А.Ш. Чавчанидзе «Еще один вариант формулы Герона» - научно-теоретический и методический журнал Математика в школе.2000. №10, с.20

6 Проект МЦНМО Задачи: [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.problems.ru/view_by_subject_new.php?parent=658&start=
30 - Загл. с экрана.


31


Выбранный для просмотра документ Формула Герона думает за нас.pptx

библиотека
материалов
Формула Герона думает за нас Дмитрий Иванов, учащийся 8 класса МОУ «Краснопре...
Цель: доказать значимость и актуальность использования формулы Герона при реш...
Герон Александрийский – великий физик, математик, механик и инженер древней...
Пусть S — площадь треугольника со сторонами a, b и c; p — его полупериметр Ф...
Героновы треугольники
Что можно узнать из формулы Герона? (А.И. Люберанский)
Преобразованная формула (А.Ш.Чавчанидзе)
 Таким образом,
Диалог в социальной сети Дана: Предлагаю Вашему вниманию задачу - фрагмент С2...
Задачи: 1. Найдите площадь треугольника, если две стороны его соответственно...
3. Диагонали трапеции равны 12 и 6, а сумма оснований равна 14. Найдите площ...
5. Стороны треугольника равны 3, 4 и 	 	 Найти его площадь. 6. По данным рису...
7. Вычислите площадь трапеции по разности оснований, равной 14, и двум непар...
9. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найдите радиус окружности, которая...
Эксперимент: 10-11 классы 2 задачи ЕГЭ, 1 урок 1. В прямоугольном параллелепи...
Решили 100% учащихся. Время решения задачи – 7 минут. Результат Традиционный...
Решение задачи: По теореме косинусов 32=37+13-2. .cоs A cos A = По основному...
 «Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии» А.С. Пушкин.
19 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Формула Герона думает за нас Дмитрий Иванов, учащийся 8 класса МОУ «Краснопре
Описание слайда:

Формула Герона думает за нас Дмитрий Иванов, учащийся 8 класса МОУ «Краснопресненская СОШ им. В.П. Дмитриева» Руководитель: В.Г. Глазунова

№ слайда 2 Цель: доказать значимость и актуальность использования формулы Герона при реш
Описание слайда:

Цель: доказать значимость и актуальность использования формулы Герона при решении задач.

№ слайда 3 Герон Александрийский – великий физик, математик, механик и инженер древней
Описание слайда:

Герон Александрийский – великий физик, математик, механик и инженер древней Греции.

№ слайда 4 Пусть S — площадь треугольника со сторонами a, b и c; p — его полупериметр Ф
Описание слайда:

Пусть S — площадь треугольника со сторонами a, b и c; p — его полупериметр Формула Герона

№ слайда 5 Героновы треугольники
Описание слайда:

Героновы треугольники

№ слайда 6 Что можно узнать из формулы Герона? (А.И. Люберанский)
Описание слайда:

Что можно узнать из формулы Герона? (А.И. Люберанский)

№ слайда 7 Преобразованная формула (А.Ш.Чавчанидзе)
Описание слайда:

Преобразованная формула (А.Ш.Чавчанидзе)

№ слайда 8  Таким образом,
Описание слайда:

Таким образом,

№ слайда 9 Диалог в социальной сети Дана: Предлагаю Вашему вниманию задачу - фрагмент С2
Описание слайда:

Диалог в социальной сети Дана: Предлагаю Вашему вниманию задачу - фрагмент С2. Надо найти площадь треугольника со сторонами корень из 3, корень из 5 и 2. Какие будут идеи? 4 мая 2012 в 17:23 Антон: Формула Герона? Аня: можно по теореме косинусов найти косинус любого угла, по основному тригонометрическому тождеству найти его синус и по формуле S=1/2ab*sinA найти площадь. но по формуле Герона по-моему проще 4 мая 2012 в 17:56 Дана: так - есть две идеи. Антон, посчитай по формуле Герона, доведи до ответа. Аня, посчитай через теорему косинусов, доведи до ответа. По возможности - показывайте промежуточные выкладки, пожалуйста, хоть это и сложно тут делать. Можно картинкой в фотоальбом. 4 мая 2012 в 20:41| Антон: Да, по способу Ани всё легче получается. По формуле Герона: я запутался с корнями.

№ слайда 10
Описание слайда:

№ слайда 11 Задачи: 1. Найдите площадь треугольника, если две стороны его соответственно
Описание слайда:

Задачи: 1. Найдите площадь треугольника, если две стороны его соответственно равны 27 и 29, а медиана, проведённая к третьей, равна 26. 2. В треугольнике АВС даны три стороны: AB=26, BC=30, AC=28. Найдите часть площади этого треугольника, заключённую между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины В.

№ слайда 12 3. Диагонали трапеции равны 12 и 6, а сумма оснований равна 14. Найдите площ
Описание слайда:

3. Диагонали трапеции равны 12 и 6, а сумма оснований равна 14. Найдите площадь трапеции. 4. Дан треугольник со сторонами 13, 14, 15. Найдите высоту, проведённую к большой стороне.

№ слайда 13 5. Стороны треугольника равны 3, 4 и 	 	 Найти его площадь. 6. По данным рису
Описание слайда:

5. Стороны треугольника равны 3, 4 и Найти его площадь. 6. По данным рисунка найдите площадь треугольника.

№ слайда 14 7. Вычислите площадь трапеции по разности оснований, равной 14, и двум непар
Описание слайда:

7. Вычислите площадь трапеции по разности оснований, равной 14, и двум непараллельным сторонам, равным 13 и 15, если известно, что в трапецию можно вписать окружность. 8. Найдите площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 16 и 44, а непараллельные — 17 и 25.

№ слайда 15 9. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найдите радиус окружности, которая
Описание слайда:

9. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найдите радиус окружности, которая имеет центр на средней стороне и касается двух других сторон. 10. В треугольник со сторонами 10, 17 и 21 вписан прямоугольник с периметром 24 так, что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника. Найдите стороны прямоугольника.

№ слайда 16 Эксперимент: 10-11 классы 2 задачи ЕГЭ, 1 урок 1. В прямоугольном параллелепи
Описание слайда:

Эксперимент: 10-11 классы 2 задачи ЕГЭ, 1 урок 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 с основанием АВСD известны ребра АВ=2, ВС=3, DD1= Найти площадь сечения параллелепипеда плоскостью АСD1. 2. Вычислить площадь треугольника с вершинами О(0; 0), А(1; 3), В(3; 2).

№ слайда 17 Решили 100% учащихся. Время решения задачи – 7 минут. Результат Традиционный
Описание слайда:

Решили 100% учащихся. Время решения задачи – 7 минут. Результат Традиционный способ Формула Герона Решили 50% учащихся. Время решения задачи – 45 минут. ? ?

№ слайда 18 Решение задачи: По теореме косинусов 32=37+13-2. .cоs A cos A = По основному
Описание слайда:

Решение задачи: По теореме косинусов 32=37+13-2. .cоs A cos A = По основному тригонометрическому тождеству sin A = SACD1 AD1 = CD1 = AC=

№ слайда 19  «Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии» А.С. Пушкин.
Описание слайда:

«Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии» А.С. Пушкин.

Краткое описание документа:

         Одной из самых интересных и объемных тем в курсе геометрии  является тема «Площадь треугольника». В ней рассматриваются различные формулы для нахождения площади треугольника. Особое внимание  необходимо  уделить формуле Герона, так как по сравнению с другими формулами  имеет очень сложный вид,  она редко используется учащимися, несмотря на то, что ее применение в практических задачах  наиболее удобно, ведь необходимо знать всего три стороны треугольника.

 

         Гипотеза: можно ли преобразовать формулу Герона таким образом, чтобы она  позволила без лишних затрат времени находить площадь треугольника со сторонами, выраженными иррациональными числами.
         Цель:  доказать значимость и актуальность использования формулы Герона при решении задач.
         Задачи:
1)  найти информацию  о Героне Александрийском,
2) найти различные преобразования формулы Герона,
3) подобрать и решить  задачи, применяя различные варианты формулы Герона,
4) сделать выводы из результатов исследования
,
5) познакомить старшеклассников с различными вариантами формулы Герона.

Работу выполнил ученик 8 класса. Работа представлена на районной научно-практической конференции "Открываем новые горизонты". 

Автор
Дата добавления 05.11.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров2254
Номер материала 108336
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх