• Министерство образования и науки

  Российской Федерации

  Муниципальное образовательное учреждение

  «Краснопресненская средняя общеобразовательная школа
  им. В.П. Дмитриева»

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  проблемно - реферативная работа

  
  

  
  

  
  

  
  

  «ФОРМУЛА ГЕРОНА ДУМАЕТ ЗА НАС»

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  Выполнил:

  учащийся 8 класса

  Иванов Дмитрий

  Научный руководитель:

  Глазунова В.Г.
  учитель математики и информатики,
  высшая квалификационная категория

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  Тверь, 2013

  ОГЛАВЛЕНИЕ

  
  

  
  

  
  

  
  

  Введение.............................................................................................................3

  Глава 1. Теоретическая часть

  1.1.... Герон Александрийский – кто он? .......................................................4

  1.2....Вывод формулы Герона. Героновы треугольники............................... 7

  1.3…Что можно узнать из формулы Герона?……………………………….8

  Глава 2. Практическая часть

  2.1 .. Применение формулы Герона при решении задач...............................12

  2.2. Применение преобразованных формул Герона при решении задач....................................................................................................................15

  Заключение.........................................................................................................17

  Список литературы............................................................................................18

  Приложение…………………………………………………………………..19

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  ВВЕДЕНИЕ

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  Одной из самых интересных и объемных тем в курсе геометрии является тема «Площадь треугольника». В ней рассматриваются различные формулы для нахождения площади треугольника. Особое внимание следует уделить формуле Герона, так как по сравнению с другими формулами имеет очень сложный вид, она редко используется учащимися, несмотря на то, что ее применение в практических задачах наиболее удобно, ведь необходимо знать всего три стороны треугольника.
  Изучению использования данной формулы посвящено довольно небольшое количество работ российских ученых. Рассмотрением формулы занимались доктор педагогических наук А.И. Люберанский и профессор ГОУВПО «МГУПП», доктор физико-математических наук А. Ш. Чавчанидзе. Недостаток внимания формуле Герона с научной точки зрения объясняет актуальность изучения данной формулы более подробно, в том числе старшими школьниками, для которых формула Герона может стать отличным «помощником» в решении задач повышенного уровня сложности ЕГЭ.

  Гипотеза: можно ли преобразовать формулу Герона таким образом, чтобы она позволила без лишних затрат времени находить площадь треугольника со сторонами, выраженными иррациональными числами.
  Цель: доказать значимость и актуальность использования формулы Герона при решении задач.
  Задачи:
  1) найти информацию о Героне Александрийском,
  2) найти различные преобразования формулы Герона,
  3) подобрать и решить задачи, применяя различные варианты формулы Герона,
  4) сделать выводы из результатов исследования,
  5) познакомить старшеклассников с различными вариантами формулы Герона.

  ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  1. 1. Герон Александрийский – кто он?

  
  

  
  

  
  

  Александрийский¹ (Heronus Alexandrinus) - великий физик, математик, механик и инженер древней Греции. Автор работ («Пневматика», «Механика», «Метрика», «О диоптре», «Катоптрика»), в которых изложил основные достижения античного мира в области прикладной механики.

  Годы жизни Герона в XX веке стали предметом обсуждения. Согласно античным источникам он жил после Архимеда, но перед Паппом, т.е. где-то между 200 до н.э. и 300 гг. н.э. Некоторые историки XVIII-XIX веков указывали более конкретные даты в этом интервале, например, Бальди помещает Герона под 120 годом до н.э., а в ЭСБЕ указан год рождения Герона — 155 год до н.э. В 1938 году Отто Нойгебауер предположил, что Герон жил в 1-м веке н.э. Это предположение было основано на том, что в его книге «О диоптре» упоминается лунное затмение, которое было замечено за 10 дней до весеннего равноденствия. Его указание, что оно произошло в Александрии в 5 часов ночи, однозначно указывает в интервале между 200 до н. э. и 300 н.э. на лунное затмение от 13 марта 62 года (юлианская дата).

  В книге «О диоптре» описан диоптр (первый прообраз современного теодолита) — простейший прибор, применявшийся для геодезических работ. Этот прибор представляет собой линейку с двумя смотровыми отверстиями, которую можно поворачивать в горизонтальной плоскости и при помощи которой можно измерять углы. Герон излагает в своём трактате правила земельной съёмки, основанные на использовании прямоугольных координат. В нём описывается, как строится геодезическое обоснование при прокладке тоннеля сквозь гору, когда работы ведутся одновременно с обоих его концов. Так же описан одометр — прибор для измерения расстояния, пройденного повозкой. Даётся описание сходного устройства, позволяющего определять расстояние, пройденное кораблём.
  В «Пневматике» Герон описал различные механизмы, приводимые в движение нагретым или сжатым воздухом или паром: эолипил, т. е. шар, вращающийся под действием пара, автомат для открывания дверей, пожарный насос, различные сифоны, водяной орган, механический театр марионеток.
  В «Механике» Герон описал 5 простейших машин: рычаг, ворот, клин, винт и блок. Он построил прибор для измерения протяжённости дорог, основанный на том же принципе, что и современные таксометры. Автомат Герона для продажи «священной» воды явился прообразом наших автоматов для отпуска жидкостей. Но механизмы и автоматы не нашли широкого практического применения, они употреблялись в основном в конструкциях механических игрушек. Исключение составляют только гидравлические машины Герона, при помощи которых были усовершенствованы античные водочерпалки.
  В «Катоптрике» Герон обосновывает прямолинейность световых лучей с бесконечно большой скоростью их распространения. Он приводит доказательство закона отражения, основанное на предположении о том, что путь, проходимый светом, должен быть наименьшим из всех возможных.
  «Метрика» Герона и извлечённые из неё «Геометрика» и «Стереометрика» представляют собой справочники по прикладной математике.

  Среди содержащихся в «Метрике» сведений:
  1.Формулы для площадей правильных многоугольников.
  2. Объёмы правильных многогранников, пирамиды, конуса, усечённого конуса, тора, шарового сегмента.
  3. Формула Герона для расчёта площади треугольника по длинам его сторон (открытая Архимедом).
  4. Правила численного решения квадратных уравнений.
  5. Алгоритмы извлечения квадратных и кубических корней.

  В основном изложение в математических трудах Герона догматично — правила часто не выводятся, а только показываются на примерах.

  Многие из открытий Герона Александрийского значительно опережали свое время.² Они не были востребованы в древнем мире с его рабовладельческим строем. Этому миру не нужны были машины, у него были рабы. К механикам в древней Греции относились с пренебрежением. Их труд приравнивали к ремеслу, которым занимались только ремесленники и рабы.

  Большая часть из изобретений Герона была забыта на тысячелетия. Многие из его открытий, впоследствии открывались заново, учеными, которые даже никогда не слышали о Героне Александрийском.

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  1. 2. Вывод формулы Герона³. Героновы треугольники

  
  

  
  

  
  

  Пусть S — площадь треугольника со сторонами a, b и c; p — его полупериметр. Докажите, что
  
  

  Доказательство:

  Рассмотрим треугольник АВС, в котором АВ = с, ВС = а, АС = b.

  В любом треугольнике по крайней мере два угла острые.

  Пусть А и В – острые углы треугольника АВС.

  Тогда основание Н высоты СН треугольника лежит на стороне АВ.

  Введём обозначения СН= h, АН= y, HB=x.

  По теореме Пифагора ,

  откуда , или .

  Так как , то .

  Сложив два последних равенства и разделив на 2, получим: .

  Поэтому

  

  Следовательно, .

  Но , откуда и получаем:

  ,
  Что и требовалось доказать.

  Герон рассматривал треугольники с целочисленными сторонами, площади которых также являются целыми числами. Такие треугольники называют героновыми.

  Примеры таких задач.

  1. Определить площадь треугольника, если даны три его стороны: .

  Решение. Герон решает эту задачу по своей формуле

  и получает .

  2. Определить площадь треугольника, если его стороны: .

  Решение. Герон решает эту задачу по своей формуле

  и получает .

  3. Определить площадь треугольника, если: .

  Решение. Герон решает эту задачу по своей формуле

  и получает .

  
  

  
  

  1. 3. Преобразования формулы Герона

  
  

  
  

  
  

  В статье А.И. Люберанского «Что можно узнать из формулы Герона?»⁴ выведена формула для вычисления площади треугольника, более удобная для работы с иррациональными числами

  
  

  Предлагаемый вывод формулы:

  
  

  Формула Герона: , где (1)

  
  

  

  

  

  

  (2)

  Аналогично можно вывести еще две симметричные формулы, полученные путем перестановки чисел a,b,c.

  

  где

  

  =

  Таким образом,

  _(2*)

  
  

  _{Считаю, что эта формула самая простая для запоминания и удобная}

  для вычисления площади треугольника, если длины его сторон выражены через радикалы, например, .

  Кроме того, полученные формулы подходят для исследования.

  Рассмотрим различные виды треугольников, выводя зависимость между длинами их сторон.

  Пусть треугольник прямоугольный с гипотенузой и катетами и . Тогда справедлива теорема Пифагора . Подставляя полученное выражение в формулу , имеем:

  формула для вычисления прямоугольного треугольника через длины его катетов.

  Если треугольник равнобедренный с основанием и боковой стороной , то .

  Если треугольник равносторонний со стороной , то из равенства , получаем .

  В книге Я.И. Перельмана «Занимательная алгебра» есть задача с названием «Уравнение думает за нас». Вот и формула Герона в определенной мере думает за нас. Так, знак корня накладывает ограничения на подкоренное выражение и тем самым сигнализирует о вырожденных случаях. Речь идет о случаях, когда стороны не образуют треугольник. Если при вычислениях по формуле Герона подкоренное выражение становится отрицательным, то это, естественно, подвигает на проверку предыдущих вычислений.

  К примеру, если (не выполнено неравенство треугольника), то и все подкоренное выражение отрицательно.

  Если же , то треугольник вырождается в отрезок. Принято считать, что площадь отрезка равна 0. Продемонстрируем это, используя формулу .

  Имеем:

  
  

  А.Ш. Чавчанидзе в статье «Еще один вариант формулы Герона»⁵ показывает, как можно получить еще один вариант формулы Герона, который обеспечивает с его точки зрения большую простоту вычислений.

  Итак, дана формула

  
  

  , (1)
  где

  (1*)

  
  

  Подставим выражение (1*) в формулу (1)

  
  

  

  Проведем алгебраические преобразования в числителе подкоренного выражения следующим образом:

  

  
  

  

  
  

  

  
  

  Таки образом, можно записать формулу для упрощения вычисления S треугольника:

  
  (3)

  
  

  А.Ш. Чавчанидзе показывает удобство использования этой формулы, когда длины сторон выражены с помощью радикалов.

  Например, если то вычислять по формуле Герона достаточно затруднительно, а по выведенной формуле (3) это сделать легко:

  = .

  
  

  
  

  ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

  
  

  
  

  
  

  2.1. Примеры задач, решаемых с использованием формулы Герона⁶

  
  

  
  

  Задача 1.
  В треугольнике АВС даны три стороны: , . Найдите часть площади этого треугольника, заключённую между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины В.

  

  
  

  
  

  
  

  Решение:
  Пусть ВР и BQ – высота и биссектриса данного треугольника АВС.

  По формуле Герона = = .

  С другой стороны,

  Поэтому .

  По свойству биссектрисы треугольника .

  По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника находим, что = = =.

  Следовательно, .

  Ответ: 36.

  
  

  Задача 2.

  Найдите площадь треугольника, если две стороны его соответственно равны 27 и 29, а медиана, проведённая к третьей, равна 26.

  

  
  

  
  

  
  

  Решение:

  Пусть стороны и треугольника равны соответственно 27 и 29, а его медиана . На продолжении медианы за точку отложим отрезок , равный . Из равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) следует равенство площадей треугольника . В треугольнике известно, что .

  По формуле Герона Следовательно, .

  Ответ: 270

  
  

  Задача 3.

  В треугольнике каждую сторону увеличили на 1. Обязательно ли при этом увеличилась его площадь?
  Решение:

  Пусть стороны треугольника . Воспользуемся формулой Герона для площади треугольника:

  Из этой формулы видно, что при увеличении каждой стороны треугольника на 1 все четыре сомножителя возрастают, и следовательно, возрастает и площадь.

  Ответ: Да, обязательно.

  
  

  Задача 4.

  Диагонали трапеции равны 12 и 6, а сумма оснований равна 14. Найдите площадь трапеции.

  
  Решение:

  Пусть - диагонали трапеции , - её основания, причём . Через вершину C проведём прямую, параллельную диагонали . Пусть – точка пересечения этой прямой с прямой Тогда - параллелограмм, , Если - высота трапеции, то . По формуле Герона .

  Ответ:

  Задача 5.

  Дан треугольник со сторонами 13, 14, 15. Найдите высоту, проведённую к большой стороне.

  Решение:

  Пусть - указанная высота треугольника со сторонами По формуле Герона . С другой стороны, Откуда находим, что

  Примеры дополнительных задач приведены в ПРИЛОЖЕНИИ.

  
  

  2.2. Применение преобразованных формул Герона при решении задач

  
  

  
  

  Задача 1. Диалог в социальной сети:

  Дана: Предлагаю Вашему вниманию задачу - фрагмент С2. Надо найти площадь треугольника со сторонами корень из 3, корень из 5 и 2. Какие будут идеи?

  4 мая 2012 в 17:23

  Антон: Формула Герона?

  Аня: можно по теореме косинусов найти косинус любого угла, по основному тригонометрическому тождеству найти его синус и по формуле S=1/2ab*sinA найти площадь. но по формуле Герона по-моему проще

  4 мая 2012 в 17:56

  Дана: так - есть две идеи. Антон, посчитай по формуле Герона, доведи до ответа. Аня, посчитай через теорему косинусов, доведи до ответа. По возможности - показывайте промежуточные выкладки, пожалуйста, хоть это и сложно тут делать. Можно картинкой в фотоальбом.

  4 мая 2012 в 20:41|

  Антон: Да, по способу Ани всё легче получается. По формуле Герона: я запутался с корнями.

  6 мая 2012 в 3:07|

  
  

  Зная новую формулу: _{,
  можно легко помочь Дане в решении С2.}

  _{Подставим в формулу}

  _{, получим}

  

  
  

  _{Задача 2. Стороны треугольника равны 3, 4 и Найти его площадь.}

  

  Ответ:

  
  
  

  
  
  

  Задача 3. По данным рисунка найдите площадь треугольника.

  
  
  

  Предлагаемое решение.

  
  
  

  AC² = 19, AB² + BC² = 5 + 14 =19.

  Так как AC² = AB² + BC², то по теореме, обратной теореме Пифагора B=90^о, поэтому ABBC.

  S =AB * BC, S=*= . S = 

  Зная новую формулу Герона, задачу можно решить так:

  

  

  
  
  

  Задача 4. (задание С2 из ЕГЭ 2011г.)

  
  
  

  DABC – правильная треугольная пирамида. Сторона основания – три корня из трех. Боковое ребро – 5, MC – медиана треугольника ABC. Найти площадь треугольника MDC.

  Предлагается решение:

  В правильной треугольной пирамиде основание – равносторонний треугольник. Следовательно, MC – высота и биссектриса.

  Значит:

  MC = BC*sin(60 градусов) = 3*sqrt(3)*sqrt(3)/2 = 9/2.

  DM = sqrt(DB^2-BM^2) sqrt(5^2-(3*sqrt(3)/2)^2) = sqrt(73)/2.

  DC = 5;

  А дальше – например, по формуле Герона:

  Полупериметр p = (MC+DM+DC)/2

  S = sqrt(p*(p-MC)*(p-DM)*(p-DC))

  Но без калькулятора такую штуку считать – с ума сойдешь.

  Можно иначе:

  Пусть DP – высота пирамиды. Точка P – точка пересечения медиан/биссектрис/высот треугольника ABC, и мы знаем, что она делит их в отношении 2:1.

  То есть, PC = MC*2/3 = 9/2*2/3 = 3.

  Значит, высота пирамиды

  DP = sqrt(DC^2-PC^2) = 4

  Площадь треугольника MDC равна MC*DP/2 = 9/2*4/2 = 9.

   Ответ: 9.

  Наше решение:

  Найдя МС, DM (см. выше) и зная DC, найдем площадь треугольника по преобразованной формуле Герона.

  S= 9

  
  
  

  
  
  

  Эксперимент

  
  
  

  На уроке геометрии учащимся 10-11 классов были предложены 2 задачи из КИМов по математике 2012г.:

  1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ с основанием АВСD известны ребра АВ=2, ВС=3, DD₁=. Найти площадь сечения параллелепипеда плоскостью АСD₁.

  2. Вычислить площадь треугольника с вершинами О(0; 0), А(1; 3), В(3; 2).

  Условия: пользоваться можно любым учебником геометрии, время ограничено – урок.

  Цель: сравнить количество времени, необходимое для решения задач по-своему, и используя преобразованную формулу Герона.

  
  
  

  Результаты получились следующие: за урок (45 мин) 2 задачи решили 50% учащихся, трудность вызвала первая задача, вторая задача решена всеми. Используя новую формулу Герона, 1-ая задача была решена за 7 минут.

  Решение 1-ой задачи учащимися:

  AD₁=

  CD₁ =

  AC=

  По теореме косинусов

  32=37+13-2^...cоs A

  2^...cоs A = 18

  cos A=

  По основному тригонометрическому тождеству

  sin A =

  S_ACD1=

  Решение, используя преобразованную формулу Герона:

  Вычислив AD₁ = , CD₁ = , AC=,

  подставим в формулу

  Получим: S===

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  ЗАКЛЮЧЕНИЕ

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  Вот уже не одну сотню лет человечество использует математическое наследие Герона (Александрийского), в том числе формулу площади треугольника по трём сторонам. В курсе геометрии эта формула незаслуженно отодвинута на второй план и приводится в разделе «дополнительные задачи». Поэтому была поставлена цель: «реабилитировать» и актуализировать формулу Герона при решении задач старшеклассниками. В работе рассмотрены задачи разного уровня сложности, в решении которых использованы и формула Герона, и преобразованная формула.

  Выдвинутая гипотеза подтверждена: мы сумели преобразовать формулу Герона таким образом, чтобы она позволила без лишних затрат времени находить площадь треугольника со сторонами, выраженными иррациональными числами. Так, при решении задач обычным способом у старшеклассников уходило порядка 25 минут, а при использовании формулы Герона время решения сократилось до 7 минут. Тем самым мы доказали необходимость уделения более высокого внимания данной формуле при изучении данной темы.

  Работа поспособствовала повышению интереса к геометрии, развитию самостоятельности и познавательного интереса.

  Умение вычислять площадь геометрических фигур нужно не только в стенах школы для решения задач. Оно может пригодиться и в повседневной жизни.

  
  Цель работы считаю достигнутой, задачи – выполненными.

  
  

  
  

  СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  
  
  

  1. Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия 7-9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: М.: - Просвещение. – 2012.

  2. Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Изучение геометрии в 7-9 классах: методические рекомендации к учебнику: Кн.для учителя. М.: - Просвещение. – 1997.

  3. С.Б. Еременко, А.М. Сохет, В.Г. Ушаков Элементы геометрии в задачах. – М.:МЦНМО.2003.

  4. А. И. Люберанский Что можно узнать из формулы Герона?// Математика в школе. – 1998. – №6. – с.55–56

  5. А.Ш. Чавчанидзе Еще один вариант формулы Герона.// Математика в школе. – 2000. – №10. – с.20–21

  
  

  Интернет-источники

  
  

  6. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.bymath.net/studyguide/great_math/Heronus/Heronus.html. - Загл. с экрана.

  7. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.istex.ru/geron-aleksandrijskij/1- Загл. с экрана.

  8. Проект МЦНМО Задачи: [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.problems.ru - Загл. с экрана.

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  ПРИЛОЖЕНИЕ

  
  
  

  Примеры задач, при решении которых используется формула Герона.

  
  

  1. Вычислите площадь трапеции по разности оснований, равной 14, и двум непараллельным сторонам, равным 13 и 15, если известно, что в трапецию можно вписать окружность.

  Решение

  Через вершину C меньшего основания трапеции ABCD (AB = 15, CD = 13) проведём прямую, параллельную боковой стороне AB, до пересечения с основанием AD в точке K.

  Тогда стороны треугольника CKD равны:

  CK = AB = 15, CD = 13, KD = AD - AK = AD - BC = 14.
  По формуле Герона

  S_CKD = = 7 ^. 3 ^. 4 = 84.

  Если CM — высота треугольника CKD, то

  CM = = = 12.

  Поскольку в трапецию ABCD можно вписать окружность, то AD + BC = AB + CD. Следовательно,

  S_ABCD = (AD + BC)CM = (AB + CD)CM = 14 ^. 12 = 168.

  Ответ: 168.

  
  

  
  

  2. Найдите площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 16 и 44, а непараллельные — 17 и 25.

  Решение:

  Через вершину C трапеции ABCD
  (BC = 16, AD = 44, AB = 17, CD = 25) проведём прямую, параллельную стороне AB, до пересечения с основанием AD в точке K.

  В треугольнике CKD: CK = 17, CD = 25, KD = AD - BC = 28.

  По формуле Герона S_CKD = = 5 ^. 7 ^. 6 = 210.

  Если CM — высота этого треугольника, то

  CM = =15.

  Следовательно,

  S_ABCD =CM = 450.

  Ответ: 450.

  
  

  3. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найдите радиус окружности, которая имеет центр на средней стороне и касается двух других сторон.

  
  

  
  

  
  

  
  

  Решение:

  Пусть AC = 13, AB = 14, BC = 15, O — центр указанной окружности (O на стороне AB), R — её радиус, P и Q — точки касания окружности со сторонами AC и BC соответственно.

  По формуле Герона

  S_ABC = = = 84.

  Поскольку OP и OQ — высоты треугольников AOC и BOC, то

  S_ABC = S_AOC + S_BOC = AC ^. OP +BC ^. OQ = (AC + BC)R = 14R.

  Следовательно, R = = = 6.

  Ответ: 6.

  
  

  4. В треугольнике ABC на стороне AC взята точка D так, что окружности, вписанные в треугольники ABD и BCD, касаются. Известно, что AD = 2, CD = 4, BD = 5. Найдите радиусы окружностей.

  Решение. Пусть M — точка касания окружностей, DM = x. Тогда AB = 7 - 2x, BC = 9 - 2x. Выразим через x площади треугольников ABD и BCD по формуле Герона. Отношение площадей равно = .
  Из полученного уравнения находим, что x = 1.
  Радиусы вписанных окружностей найдём, разделив площади треугольников ABD и BCD на их полупериметры.
  Ответ: ; .

  5. Дан треугольник ABC со сторонами AB = 6, AC = 4, BC = 8. Точка D лежит на стороне AB, а точка E — на стороне AC, причём AD = 2, AE = 3. Найдите площадь треугольника ADE.
     
     
     

  S_ADE = ^{. .} S_ABC.
  
  
  

  Решение. Пусть p — полупериметр треугольника ABC. Из условия задачи следует, что p = (AB + AC + BC) = (6 + 4 + 8) = 9. По формуле Герона S_ABC = = = 3.

  Следовательно,

  S_ADE = ^{. .} S_ABC = ^{. .} 3 = .

  Ответ:

  
  

  
  

  6. В треугольник со сторонами 10, 17 и 21 вписан прямоугольник с периметром 24 так, что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника. Найдите стороны прямоугольника.

  

  Решение.

  Пусть вершины P и Q прямоугольника MPQK принадлежат сторонам соответственно AB = 10 и BC = 17 треугольника ABC, а вершины M и K — стороне AC = 21. По формуле Герона

  S_ABC = = 7 ^. 3 ^. 4 = 84.

  Если BD — высота треугольника ABC, то BD = = 8.

  Пусть PM = x. Тогда PQ = 12 - x. Из подобия треугольников BPQ и BAC следует, что их высоты BT и BD относятся, как основания PQ и AC, т.е.

  = .

  Отсюда находим, что x = . Ответ: , .

  7. Расстояния от точки M, лежащей внутри треугольника ABC, до его сторон AC и BC соответственно равны 2 и 4. Найдите расстояние от точки M до прямой AB, если AB = 10, BC = 17, AC = 21.

  
  
  
  

  
  
  

  Решение. Соедините данную точку M с вершинами треугольника ABC и рассмотрите площади трёх образовавшихся треугольников.

  По формуле Герона S_ABC = = 7 ^. 3 ^. 4 = 84.
  Пусть P и Q — проекции точки M на стороны BC и AC, а T — на сторону AB. Тогда

  S_ABC = S_BMC + S_AMC + S_AMB = BC ^. MP + AC ^. MQ + AB ^. MT =

  = ^. 17 ^. 4 + ^. 21 ^. 2 + ^. 10 ^. MT = 34 + 21 + 5MT.

  Отсюда находим, что

  MT = = = . Ответ: .

  8. В треугольник вписана окружность радиуса 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на части, равные 6 и 8. Найдите две другие стороны треугольника.

  
  Решение

  Пусть K, M, N — точки касания вписанной окружности со сторонами соответственно BC, AC и AB треугольника ABC; BK = 8, KC = 6. Тогда CM = KC = 6, BN = BK = 8.

  Обозначим AM = AN = x. Поскольку площадь треугольника равна произведению полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности, то S_ABC = (8 + 6 + x)4 = (14 + x)4.

  С другой стороны, по формуле Герона S_ABC = .

  Решив уравнение 4(14 + x) = , найдём, что x = 7.

  Следовательно, AC = x + 6 = 13, AB = x + 8 = 15.

  
  

  Ответ: 13 и 15.

  
  

  9. В трапеции основания равны 84 и 42, а боковые стороны – 39 и 45. Через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям проведена прямая. Найдите площади получившихся трапеций.

  Решение. Пусть прямая, проходящая через точку O пересечения диагоналей AC и BD трапеции ABCD параллельно основаниям AD и BC , пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N соответственно, причём AD=84 , BC=42 . AB=39 и CD=45 . Через вершину C проведём прямую, параллельную AB до пересечения с основанием AD в точке K . В треугольнике CKD известно, что CK=AB = 39, KD = AD-AK = AD-BC = 84-42 = 42, CD=45.

  По формуле Герона
  S_{Δ CKD} = = = 756.

  Пусть h – высота трапеции ABCD . Тогда h – высота треугольника CKD , проведённая из вершины C , поэтому h = = = 36.

  Треугольники BOC и DOA подобны с коэффициентом = = , а треугольник AOM подобен треугольнику ACB с коэффициентом = , поэтому MO = BC = · 42=28.

  Аналогично находим, что ON = 28 , значит, MN = 56 . Из подобия треугольников BOC и DOA также следует, что высота первого из них, проведённая из вершины O , равна h , а соответствующая высота второго – h , следовательно, S_MBCN = (MN+BC)· h = (56+42)· · 36 = 588,

  S_AMND = (MN+AD)· h = (56 +84)· · 36 = 1680.

  Ответ: 588 Х 1680.

  Олимпиадные задания

  
  

  1. Длины сторон треугольника – простые числа. Докажите, что его площадь не может быть целым числом.

  Решение

  Пусть длины сторон треугольника равны a , b , c . Из формулы Герона имеем:

  16S²=P(P-2a)(P-2b)(P-2c), (1)

  где S – площадь, а P=a+b+c – периметр треугольника. Допустим, что S – целое число. Тогда из (1) следует, что P – четное число (если P – нечетно, то правая часть (1) также нечетна). Следовательно, либо числа a , b , c – четные, либо среди них одно четное и два нечетных. В первом случае, так как a , b , c – простые числа, a=b=c=2 , и площадь треугольника равна , т.е. нецелая. Во втором случае будем считать, что a=2 , а b и c – нечетные простые числа. Если b c , то |b-c|2 , и неравенство треугольника не выполнено. Следовательно, b=c . Из (1) получаем, что S²=b²-1 , или (b-S)(b+S)=1 , что невозможно для натуральных b и S .

  Итак, оба случая невозможны, т.е. S не может быть целым числом.

  
  
  

  2. Докажите, что из всех треугольников данного периметра равносторонний имеет наибольшую плошадь.

  Подсказка. Примените формулу Герона и неравенство Коши дли трёх чисел (среднее арифметическое трёх неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического).
  Решение

  Известно, что если числа x, y, z неотрицательны, то ,

  причём равенство достигается тогда и только тогда, когда x = y = z. Отсюда следует, что при постоянной сумме положительных чисел x, y, z их произведение максимально, если эти числа равны между собой.

  Пусть a, b и c — стороны треугольника, p — полупериметр, S — площадь. По формуле Герона

  S =    S² = p(p - a)(p - b)(p - c) 

   p = p ^. = ,
  причём равенство имеет место в случае, если слагаемые равны между собой, т.е. p - a = p - b = p - c. Отсюда следует, что a = b = c. Следовательно, из всех треугольников с заданным периметром 2p наибольшую площадь имеет равносторонний и эта наибольшая площадь равна .

  3. Докажите, что из всех треугольников данной площади равносторонний имеет наименьший периметр.

  Решение

  Известно, что если числа x, y, z, t неотрицательны, то ,
  причём равенство достигается тогда и только тогда, когда x = y = z = t. Отсюда следует, что при постоянном произведении положительных чисел x, y, z, t их сумма минимальна, если эти числа равны между собой.

  Пусть a, b и c — стороны треугольника, p — полупериметр, S — площадь. По формуле Герона
  S =    S² = p(p - a)(p - b)(p - c).

  Заметим, что p = + (p - a) + (p - b) + (p - c).

  Поскольку произведение четырёх сомножителей

  ^. (p - a)(p - b)(p - c) = S² постоянно, то их сумма минимальна, если все они равны между собой. В нашем случае = p - a = p - b = p - c. Отсюда следует, что a = b = c = , т.е. треугольник — равносторонний.

  
  

  4. B некоторой трапеции сумма длин боковой стороны и диагонали равна сумме длин другой боковой стороны и другой диагонали. Докажите, что трапеция равнобокая.

  

  Bведем обозначения, как показано на рисунке. Tогда по условию, x + d₁ = y + d₂. Tреугольники ABD и ACD имеют равные высоты и общее основание, а значит, их площади равны.

  Далее воспользуемся формулой Герона.

  

  Приравняв эти выражения, возведем обе части в квадрат, и, воспользовавшись условием, придем к равенству (a + (d₁ – x))(a – (d₁ – x)) = (a + (d₂ – y)) ( a – (d₂ – y)) ↔ a² – (d₁ – x)² = a ² – (d₂ – y)² ↔ |d₁ – x| = |d₂ – y|. Tаким образом (с учетом условия), мы получили две системы:

  

  Из первой системы следует сразу (вычтем из второго уравнения первое), что x = y, а следовательно, трапеция равнобокая.

  Bторая система приводит к соотношениям .

  Это означает, что треугольники BAC и BDC  — равнобедренные.

  Oни имеют равные высоты и общее основание, поэтому точки A и D должны совпадать, что невозможно по условию.

  
  

  Задания ЕГЭ (Гордин Р.К. ЕГЭ 2012. Математика. Решение задачи С4)

  В решении используем формулы Герона

  
  

  1. Три шара радиусов 1, 2 и 5 расположены так, что каждый из них касается двух других шаров и двух данных плоскостей. Найдите расстояние между точками касания первого из этих шаров с плоскостями.

  2. Основание пирамиды – квадрат. Высота пирамиды пересекает диагональ основания. Найдите наибольший объём такой пирамиды, если периметр диагонального сечения, содержащего высоту пирамиды, равен 5.
     
     
     
     

  1 [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.bymath.net/studyguide/great_math/Heronus/Heronus.html. - Загл. с экрана.

  
  

  
  

  2 [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.istex.ru/geron-aleksandrijskij/1-geron-aleksandrijskij.html Загл. с экрана.

  3 Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия 7-9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: М.: - Просвещение. – 2012.

  4 А. И. Люберанский «Что можно узнать из формулы Герона?» - научно-теоретический и методический журнал Математика в школе. 1998. №6, с.55

  
  

  5 А.Ш. Чавчанидзе «Еще один вариант формулы Герона» - научно-теоретический и методический журнал Математика в школе.2000. №10, с.20

  6 Проект МЦНМО Задачи: [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.problems.ru/view_by_subject_new.php?parent=658&start=
  30 - Загл. с экрана.

  
  

  31

  
  

• Описание презентации по слайдам:

  • 

    1 слайд

    Формула Герона думает за нас Дмитрий Иванов, учащийся 8 класса МОУ «Краснопресненская СОШ им. В.П. Дмитриева» Руководитель: В.Г. Глазунова

  • 

    2 слайд

    Цель: доказать значимость и актуальность использования формулы Герона при решении задач.

  • 

    3 слайд

    Герон Александрийский – великий физик, математик, механик и инженер древней Греции.

  • 

    4 слайд

    Пусть S — площадь треугольника со сторонами a, b и c; p — его полупериметр Формула Герона

  • 

    5 слайд

    Героновы треугольники

  • 

    6 слайд

    Что можно узнать из формулы Герона? (А.И. Люберанский)

  • 

    7 слайд

    Преобразованная формула (А.Ш.Чавчанидзе)

  • 

    8 слайд

    Таким образом,

  • 

    9 слайд

    Диалог в социальной сети Дана: Предлагаю Вашему вниманию задачу - фрагмент С2. Надо найти площадь треугольника со сторонами корень из 3, корень из 5 и 2. Какие будут идеи? 4 мая 2012 в 17:23 Антон: Формула Герона? Аня: можно по теореме косинусов найти косинус любого угла, по основному тригонометрическому тождеству найти его синус и по формуле S=1/2ab*sinA найти площадь. но по формуле Герона по-моему проще 4 мая 2012 в 17:56 Дана: так - есть две идеи. Антон, посчитай по формуле Герона, доведи до ответа. Аня, посчитай через теорему косинусов, доведи до ответа. По возможности - показывайте промежуточные выкладки, пожалуйста, хоть это и сложно тут делать. Можно картинкой в фотоальбом. 4 мая 2012 в 20:41| Антон: Да, по способу Ани всё легче получается. По формуле Герона: я запутался с корнями.

  • 

    10 слайд

  • 

    11 слайд

    Задачи: 1. Найдите площадь треугольника, если две стороны его соответственно равны 27 и 29, а медиана, проведённая к третьей, равна 26. 2. В треугольнике АВС даны три стороны: AB=26, BC=30, AC=28. Найдите часть площади этого треугольника, заключённую между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины В.

  • 

    12 слайд

    3. Диагонали трапеции равны 12 и 6, а сумма оснований равна 14. Найдите площадь трапеции. 4. Дан треугольник со сторонами 13, 14, 15. Найдите высоту, проведённую к большой стороне.

  • 

    13 слайд

    5. Стороны треугольника равны 3, 4 и Найти его площадь. 6. По данным рисунка найдите площадь треугольника.

  • 

    14 слайд

    7. Вычислите площадь трапеции по разности оснований, равной 14, и двум непараллельным сторонам, равным 13 и 15, если известно, что в трапецию можно вписать окружность. 8. Найдите площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 16 и 44, а непараллельные — 17 и 25.

  • 

    15 слайд

    9. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найдите радиус окружности, которая имеет центр на средней стороне и касается двух других сторон. 10. В треугольник со сторонами 10, 17 и 21 вписан прямоугольник с периметром 24 так, что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника. Найдите стороны прямоугольника.

  • 

    16 слайд

    Эксперимент: 10-11 классы 2 задачи ЕГЭ, 1 урок 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 с основанием АВСD известны ребра АВ=2, ВС=3, DD1= Найти площадь сечения параллелепипеда плоскостью АСD1. 2. Вычислить площадь треугольника с вершинами О(0; 0), А(1; 3), В(3; 2).

  • 

    17 слайд

    Решили 100% учащихся. Время решения задачи – 7 минут. Результат Традиционный способ Формула Герона Решили 50% учащихся. Время решения задачи – 45 минут. ? ?

  • 

    18 слайд

    Решение задачи: По теореме косинусов 32=37+13-2. .cоs A cos A = По основному тригонометрическому тождеству sin A = SACD1 AD1 = CD1 = AC=

  • 

    19 слайд

    «Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии» А.С. Пушкин.

Краткое описание материала