•  

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

  Адрес школы: Тверская область, Калининский район,
                               ж/д ст. Кулицкая, ул. Титова, д.1

  Министерство образования и науки

   Российской Федерации

  Муниципальное образовательное учреждение

  «Краснопресненская средняя общеобразовательная

  школа им. В.П.Дмитриева»

   

   

   

   

   

   

  Круги Эйлера в задачах

   

   

   

   

  Составитель:

  Гунбетова Карина, 6 класс

  Руководитель:

   Глазунова В.Г., учитель математики

   

   

   

   

   

  2012

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

                                   Содержание

   

   

  1.      Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

  2.      Задачи «Разберись и научись» . . . . . . . . . . . . . . . . 

  3.      Задачи «Реши сам и проверь себя» . . . . . . . . . . . .

  4.      Задачи «Ждем решения» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5.      Ответы к задачам «Реши сам и проверь себя» . .

  6.      От составителя  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

  Дорогие ребята!

   

        На уроках математики учитель непременно знакомит нас, учеников, с историей развития математических понятий, символов, идей, методов. Но из-за нехватки учебного времени ему не всегда удается рассказать о жизни великих творцов математики – интенсивной, целенаправленной, поучительной, хотя подчас и драматичной; раскрыть все стороны древнейшей и, в то же время, современной науки.

       В этой работе мне захотелось показать вам решение задач с помощью кругов Эйлера. Задачи решаются значительно быстрее, решение понятно.

       Я надеюсь, что вы также поймете, как решаются такого рода задачи и решите те, которые предложены в задачнике.

  Ответы на решения задач из рубрики «Ждем решения» присылайте нам на электронную почту krasnopresnenskaja@yandex.ru с темой «для Гунбетовой Карины».

   Я желаю вам успехов в обучении математике.

   

                                                          Карина, 6 класс.

   

   

  9.Ответ: 2 вратаря

  18+11+17-3-10-6+1=28 (игроков) на этой диаграмме. Но в команде всего 30 футболистов. Значит, вратарей будет 30-28=2.  .

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

  Введение

                 «…Нет ученого, имя которого упоминалось бы в учебной литературе по математике столь же часто, как имя Эйлера. В Энциклопедии можно найти сведения о шестнадцати формулах, уравнениях, теоремах и т. д., носящих имя Эйлера…».

            При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов, и они получили название «круги Эйлера». Применение кругов Эйлера придает задачам  наглядность и простоту. Изображение условий задачи в виде кругов Эйлера, как правило, упрощает и облегчает путь к её решению.  Эйлер писал, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».
               Использование метода Эйлера расширяет математический кругозор учащихся, обогащает арсенал средств, используемых в решении разнообразных задач.

  Алгоритм решения задач

  1. Внимательно изучи условия задач

  2. Построй пересечения множеств

  3. Расставь исходные данные

  4. Найдите недостающие данные

  5. Проверь решение

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

  Пусть большой круг изображает всех учащихся класса,

  а три меньших круга Б, Х и Ф изображают соответственно баскетболистов, хоккеистов и футболистов.

  Тогда фигура Z, общая часть кругов Б, Х и Ф, изображает ребят, увлекающихся тремя видами спорта.

  Из рассмотрения кругов Эйлера видно, что одним лишь видом спорта - баскетболом занимаются

  16 - (4 + z + 3) = 9 - z;

  одним лишь хоккеем

  17 - (4 + z + 5) = 8 - z;

  одним лишь футболом

  18 - (3 + z + 5) = 10 - z.

  Составляем уравнение, пользуясь тем, что класс разбился на отдельные группы ребят; количества ребят в каждой группе обведены на рисунке рамочкам:

  3 + (9 - z) + (8 - z) + (10 - z) + 4 + 3 + 5 + z = 38,

  z = 2.

  Таким образом, двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта.

  Складывая числа 9 - z, 8 - z и 10 - z, где z = 2, найдем количество ребят, увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.

   

  7.      Ответ: 20

  По условию задачи всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде. 
  
  

  
  
  
  
  
  
  8. Ответ: двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта человека, одним видом спорта 21 человек.

   

   

   

   

  Задачи «Разберись и научись»

  1. В детском саду 52 ребенка. Каждый из них любит пирожное или мороженое. Половина детей любит пирожное, а 20 человек - пирожное и мороженое. Сколько детей любит мороженое?

  Решение:

  Так как 26 половина детей любит пирожные, а 20 - и пирожные, и  мороженое, то исключительно пирожное любят ровно 6 человек. Всего ребят 52, из них 6 -  любители только пирожных, значит,  52 – 6 = 46  человек, которые любят мороженое.

  

   

   

  Ответ:  46 детей

   

   

   

  2. Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят кактусы, а пятеро — фиалки. И только у двоих есть и кактусы и фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг?

  Решение:  Обратимся к кругам Эйлера:

   

  

  Изобразим два круга, так как у нас два вида цветов. В одном будем фиксировать владелиц кактусов, в другом — фиалок. Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие цветы, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть. В этой общей части ставим цифру 2 так как кактусы и фиалки у двоих. В оставшейся части «кактусового» круга ставим цифру 4 (6 − 2 = 4). В свободной части «фиалкового» круга ставим цифру 3 (5 − 2 = 3). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 4 + 2 + 3 = 9 подруг.

  Ответ: 9 подруг.

   

   

   

  5.   Ответ: 11

    21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов». 

  
  
  

   

   

   

   

   

   

  6. Ответ:6

      1) 35–10=25
      2) 25 – 20 = 5 покупателей купили только диск Земфиры.

      3) 11 – 5 = 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры:

   

   

   

   

   

        

   

   

   3. 20+13+30+3+5+7+2=80 (детей)

  100-80=20 (детей не входят ни в одну из групп)

  Ответ: 20 детей.

  20+13+30+3+5+7+2=80 (детей)

  100-80=20 (детей не входят ни в одну из групп)

  Ответ: 20 детей.

  

  4. Пусть х человек  пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только метро и троллейбусом — (10 − х) человек, только автобусом и троллейбусом — (9 − х) человек, только метро и автобусом — (12 − х) человек.

  х+ (12 − х) + (9 − х) + (10 − х) + (х + 4) + (х − 2) + (х − 6) = 30

  Ответ: 3

   

   

  3. В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили ихолодильник и микроволновку, 19 - и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

  Решение:

  

   

  Купили только холодильники: 35-(20-3)-(15-3)-3=4.

  Купили только микроволновки: 36-(20-3)-(19-3)-3=0.

  Купили только телевизоры: 37-(15-3)-(19-3)-3=6.

  Тогда всего покупателей было: 4+17+3+16+12+6=58.

  65-58=7 посетителей магазина не купили ничего.

   Ответ: 7 посетителей

   

   

  4. На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал Рон?

  Решение:
   Учитывая условия задачи, чертеж будет таков:

  

  
  Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри. Следовательно,
  26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал только Рон. А всего Рон прочитал 12 книг.
  Ответ. 12 книг прочитал Рон.

   

   

   

   

  Ответы к задачам «Реши сам и проверь себя»

  1. Ответ: 2 человека

   1) 35-16=19(чел.);

                                                 2) 12+9=21 (чел.);

                                            3) 21-19=2(чел.).

  2. Ответ: 50 туристов.

          В большом круге, изображающем 100 туристов,

  поместим 2 меньших круга, изображающих знатоков анг-

  лийского и немецкого языков. Легко видеть, что 90 тури-

  стов (100-10) знают хотя бы один язык; 15 туристов (90-75)

  знают только английский язык,
  65-15=50 – туристов знают оба языка.           

   

   

   

  6.  Миша, Коля, Лева вместе  прочитали 3 книги. Миша и Коля вместе прочитали 5  книг;  Миша и Лева вместе – 4 книги; Коля и Лева вместе – 3 книги. Миша прочитал 8 книг; Коля – 6 книг; Лева – 5 книг. Сколько книг прочитали дети?

   

  7.Из 110 студентов английский язык изучают 44 человека, немецкий – 50 человек, французский – 49 человек, английский и немецкий – 13, английский и французский – 14, немецкий и французский – 12, все три языка изучают 5 человек. Сколько студентов изучают только один язык? Сколько студентов не изучают ни одного языка?

   

   

   

   

   

   

   

   

  5. Из 24 учеников 5 класса музыкальную школу посещают 10 человек, художественную школу– 8 человек, спортивную школу – 12 человек, музыкальную и художественную школу– 3, художественную и спортивную школу– 2, музыкальную и спортивную школу– 2, все три школы посещает 1 человек. Сколько учеников посещают  только одну школу? Сколько учащихся ни в чем себя не развивают?

  Решение:

  В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:

  

  Только музыкальную школу посещают 10-3-2-1=4 учащихся. Только художественную школу посещают 8-3-2-1=2 учащихся. Только спортивную школу посещают 12-2-2-1=7 учащихся.

  Только одну школу посещают 4+2+7=13 учеников.

  Ни в чем себя не развивают 24-(4+2+7+3+2+2+1)=3 учащихся.

   Ответ: одну школу – 13 учеников; не развивают себя – 3.

  6. В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом.
  В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке?
  Сколько ребят заняты только спортом? 

  Решение.

  

  70 – (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке. Только спортом заняты 5 человек. 
  Ответ. 5 человек.

   

   

   

   

   

  4.      В восьмом классе учится 40 человек. Каждый из

   них изучает не менее одного иностранного языка: английский, немецкий, французский. 34 человека изучают хотя бы один из двух языков: английский, немецкий. 25 человек — хотя бы один из языков: немецкий, французский. 6 человек только немецкий. Одновременно два языка — английский и немецкий — изучают на 3 человека больше, чем французский и немецкий языки. Сколько человек изучает каждый из языков и сколько изучает одновременно каждую пару языков?

   

   

  5.       В областной спартакиаде участвует

   школьная команда из 20 человек, каждый из которых

  имеет юношеский спортивный разряд по одному или

  нескольким видам спорта: лёгкой атлетике, плаванию и

  гимнастике. Известно, что 12  из них имеют спортивные

  разряды по лёгкой атлетике, 10 – по гимнастике и 5 - по

  плаванию. Сколько учеников из этой команды имеют

  разряды по трём видам спорта, если по лёгкой атлетике

  и гимнастике - 4 человека, по плаванию и гимнастике -

  2 человека?

   

   

  Ждем решений

  1.      К Лене на день рождения пришли гости с подарками. Получилось так, что дарили только букеты цветов и воздушные шарики. Шесть гостей подарили букеты цветов, четыре – воздушные шарики.
  Сколько было гостей?

   

  2.      На лужайке расположились 10 крокодилов. Крокодилов в галстуке было 6, а 4  крокодила были больны. Сколько было на лужайке здоровых  крокодилов без  галстука?

   

  3.      Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»? 

  Задачи « Реши сам и проверь себя»

  1.      В  классе 35 учеников, 12 занимаются в

  математическом кружке,  9 - в биологическом, а 16 ребят не посещают эти кружки.    Сколько биологов увлекаются математикой?

  2.      В туристической группе из 100 человек.

  75 человек знают немецкий язык, 65 человек-английский язык, а 10 человек - не знают ни немецкого, ни английского языка. Сколько туристов знают два языка?

   

  3.      Из 100 отдыхающих на турбазе «Графское»,

    30 детей -  отличники учебы, 28 -  участники олимпиад,

  42 -  спортсмены. 8 учащихся одновременно участники олимпиад и  спортсмены, 10 – участники олимпиад и отличники, 5 – спортсмены и отличники учебы,

  3 – и отличники, и участники олимпиад, и спортсмены.

  Сколько отдыхающих не относятся ни к одной из групп?

   

  4.      В классе 30 человек. 20 из них каждый день

  пользуются метро,15 — автобусом, 23 — троллейбусом, 10 — и метро, и троллейбусом, 12 — и метро, и автобусом, 9 — и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта?

  5.      Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»? 

  6.      В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры?

  7.Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах? 

   

  8.      В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 - в хоккей, 18 - в футбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и футболом - трое, футболом и хоккеем - пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом. Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта? Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта?

  9.      В футбольной команде «Баймак» 30 игроков:

        18 нападающих,11 полузащитников, 17 защитников.

        Вратари:
        3  могут быть нападающими и защитниками,

       10 защитниками и полузащитниками,

        6 нападающими и защитниками

        1 и нападающим, и защитником, и полузащитником.

        Вратари не заменимы.

        Сколько в команде «Баймак» вратарей?

   

   

   

   

   

   

Краткое описание материала