Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Проблемно-реферативная работа "Круги Эйлера в решении задач"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Проблемно-реферативная работа "Круги Эйлера в решении задач"

Выбранный для просмотра документ Круги Эйлера в задачах. Реферат.doc

библиотека
материалов

Министерство образования и науки Российской Федерации

Муниципальное образовательное учреждение

Краснопресненская средняя общеобразовательная школа
им. В.П.Дмитриева



проблемно-реферативная работа



Тема: Круги Эйлера в решении задач



Выполнила:
учащаяся 6 класса
Гунбетова Карина


Руководитель: Глазунова В.Г., учитель математики высшей квалификационной категории









2hello_html_m401d647c.gif012

ОГЛАВЛЕНИЕ

hello_html_m6857adb4.gif


  1. Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

  2. Глава 1. Круги Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.1. Леонард Эйлер. Биография. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..4

1.2. Круги Эйлера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

  1. Глава 2. Круги Эйлера в задачах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

  2. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

  3. Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16





















ВВЕДЕНИЕ



«…Нет ученого, имя которого упоминалось бы в учебной литературе по математике столь же часто, как имя Эйлера. В Энциклопедии можно найти сведения о шестнадцати формулах, уравнениях, теоремах и т. д., носящих имя Эйлера…».

Леонард Эйлер жил в 18 веке, но его метод решения целого ряда задач актуален и сегодня, в 21-ом веке.

Один из величайших математиков, петербургский академик Леонард Эйлер за свою долгую жизнь написал более 850 научных работ.

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов и они получили название «круги Эйлера». Эйлер писал, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Позднее аналогичный прием использовал ученый Венн и его назвали «диаграммы Венна».

Этот метод даёт ещё более наглядное представление о возможном способе изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах. Задачи таким способом решаются значительно быстрее, решение понятно.

Цель: научиться решать задачи с помощью кругов Эйлера и научить других.

Задачи:

  1. Изучить теоретический материал: биографию Леонарда Эйлера, «круги Эйлера».

  2. Научиться применять круги в решении задач.

  3. Создать задачник для учащихся «Круги Эйлера в задачах».

  4. Подвести итоги.





ГЛАВА 1. КРУГИ ЭЙЛЕРА


    1. Леонард Эйлер. Биография


Леонард Эйлер 1 родился 15 апреля 1707 года в семье пастора, жившей в

швейцарском городке Базеле. Рано обнаружил математические способности. Отец Леонарда пастор Пауль Эйлер был хорошо образован и увлекался математикой. Именно под руководством отца Эйлер получил начальное обучение. Отец хотел дать Леонарду духовное образование и занимался с ним математикой только для развлечения и для развития логического мышления. 20 октября 1720 года 13-летний Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета, где преподавались и математика и астрономия. Занятия по этим предметам вел прославленный математик Иоганн Бернулли. Проявив интерес к математике, Эйлер привлек к себе внимание Иоганна Бернулли. Профессор стал лично руководить самостоятельными занятиями юноши и вскоре публично признал, что от проницательности и остроты ума юного Эйлера он ожидает самых больших успехов.

Не забывал Эйлер и другие университетские курсы, поэтому и был широко образован. 8 июня 1724 года 17-летний Леонард Эйлер произнёс на латыни речь о сравнении философских воззрений Декарта и Ньютона и был удостоен учёной степени магистра. В последующие два года юный Эйлер написал несколько научных работ. Одна из них, «Диссертация по физике о звуке», получившая благоприятный отзыв, была представлена на конкурс для замещения неожиданно освободившейся в Базельском университете должности профессора физики (1725). Но, несмотря на положительный отзыв, 19-летнего Эйлера сочли слишком юным, чтобы включить в число кандидатов на профессорскую кафедру. Число научных вакансий в Швейцарии было совсем невелико. Поэтому братья Даниил и Николай Бернулли, сыновья Иоганна Бернулли, уехали в далёкую Россию, где как раз шла организация Академии наук. Своих ученых в России тогда не было совсем. Пришлось привлекать иностранных. В числе первых были приглашены братья Бернулли. По их рекомендации через три года после открытия Петербургской академии наук получил приглашение и двадцатилетний Эйлер на должность адъюнкта по физиологии. 5 апреля 1727 года Эйлер навсегда покинул родную Швейцарию. Одной из важнейших задач Академии стала подготовка отечественных кадров. Позднее при Академии были созданы университет и гимназия. В силу острой

нехватки учебников на русском языке Академия обратилась к своим членам с

просьбой составить такие руководства. Эйлер, хотя и числился физиологом, составил на немецком языке очень добротное «Руководство к арифметике», которое тут же было переведено на русский и служило не один год в качестве начального учебника. Перевод первой части выполнил первый русский,

ученик Эйлера Василий Адодуров. Это было первое систематическое изложение арифметики на русском языке. К всеобщему удивлению, Эйлер уже в следующем по приезде году стал бегло говорить по-русски. Эйлер отличался феноменальной работоспособностью. По отзывам современников, для него жить означало заниматься математикой. А работы у молодого профессора было много: картография, всевозможные экспертизы, консультации для кораблестроителей и артиллеристов, составление учебных руководств, проектирование пожарных насосов и т. д. За первый период пребывания в России (14лет), он написал более 90 крупных научных работ по математике, гидравлике, архитектуре, навигации, картографии и механике. Значительная часть академических «Записок» заполнена трудами Эйлера. Он делал доклады на научных семинарах, читал публичные лекции, участвовал в выполнении различных технических заказов правительственных ведомств. Петербургская академия по достоинству оценила молодого ученого, в двадцать три года он уже профессор физики, а еще через три года Леонард Эйлер получает кафедру высшей математики. В 1735 году Академия получила задание выполнить срочное и очень громоздкое астрономическое (по другим данным, картографическое) вычисление. Группа академиков просила на эту работу три месяца, а Эйлер взялся выполнить работу за 3 дня — и справился самостоятельно. Однако перенапряжение не прошло бесследно: он заболел и потерял зрение на правый глаз. Однако учёный отнёсся к несчастью с величайшим спокойствием: «Теперь я меньше буду отвлекаться от занятий математикой», — философски заметил он. В 1730-е годы Эйлер становится известен и в Европе. Двухтомное сочинение «Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении», изданное в 1736 году, принесло ему мировую славу. Начиная с этого момента, теоретическая механика становится прикладной частью математики. Осенью 1740 внутренняя обстановка в России осложнилась. Это побудило Эйлера принять приглашение прусского короля, и летом 1741 он переехал в Берлин, где вскоре возглавил математический класс в Берлинской Академии наук и словесности. Годы, проведенные Эйлером в Берлине, были наиболее плодотворными в его научной деятельности. Переезд в Берлин не прервал, однако, тесных связей Эйлера с Петербургской Академией наук. Он по-прежнему регулярно посылал в Россию свои сочинения, участвовал в экспертизах различного рода, обучал посланных к нему из России учеников, подбирал ученых на замещение вакантных должностей в Академии и выполнял много других поручений. В 1762 году на русский престол вступила Екатерина II, которая хорошо понимая значение науки, как для прогресса государства, так и для собственного престижа, провела ряд важных, благоприятных для науки, преобразований в системе народного просвещения и культуры. Императрица предложила Эйлеру управление математическим классом (отделением), звание конференц-секретаря Академии.

После двадцати пяти лет проживания в Берлине, 60-летний Эйлер снова возвращается в Россию, в Петербург. Эйлер полон энергии и душевных сил, желания работать на благо России. К несчастью, после возвращения в Петербург у Эйлера образовалась катаракта второго, левого глаза — он перестал видеть. Вероятно, по этой причине обещанный пост вице-президента Академии он так и не получил. Однако слепота не отразилась на его работоспособности. Эйлер диктовал свои труды мальчику - портному, который всё записывал по-немецки. Число опубликованных им работ даже возросло; за полтора десятка лет второго пребывания в России он продиктовал более 400 статей и 10 книг. В 1773 году по рекомендации Даниила Бернулли в

Петербург приехал из Базеля ученик Бернулли, Никлаус Фусс. Это было большой удачей для Эйлера. Фусс обладал редким сочетанием математического таланта и умения вести практические дела, что и дало ему возможность сразу же после приезда взять на себя заботы о математических трудах Эйлера. В последующие десять лет — до самой своей смерти — Эйлер преимущественно ему диктовал свои труды, хотя иногда пользовался «глазами старшего сына» и других своих учеников. Эйлер активно трудился до последних дней. В сентябре 1783 года 76-летний учёный стал ощущать головные боли и слабость.

7 сентября после обеда, Эйлер почувствовал себя плохо, успел произнести: «Я умираю», — и потерял сознание. Через несколько часов, так и не приходя в сознание, он скончался от кровоизлияния в мозг.

Великий ученый Леонард Эйлер занимает одно из первых мест в истории мировой науки. Полное собрание его трудов составляет 72 тома, более 850 научных работ. Этот тихий и скромный человек, полностью ослепший, много работал, совершив великое множество научных открытий.


    1. Круги Эйлера


Круги Эйлера2 — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами. Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях. А впервые Эйлер их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».

При решении задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов, и они получили название «круги Эйлера».

Строгого определения понятия множества не существует.

Множество - совокупность элементов, обладающих некоторым общим свойством, т. е. как единое целое (множество натуральных чисел, множество треугольников на плоскости).

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называют конечными, а остальные множества – бесконечными. Например, множество китов в океане конечно, а множество рациональных чисел бесконечно. Конечное множество может быть задано перечислением его элементов (множество учеников в данном классе задается их списком в классном журнале).

Понятие подмножества в определении кругов Эйлера – это, например, во

множестве учеников класса можно выделить множество ударников, которые входят во множество всех учеников (ударники – подмножество).

Множество всех действительных чисел Эйлер изобразил с помощью этих

кругов: N - множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество всех действительных чисел.

hello_html_m15e0276.png







Метод Эйлера является незаменимым при решении целого ряда задач, а также упрощает рассуждения.




ГЛАВА 2. КРУГИ ЭЙЛЕРА В ЗАДАЧАХ3



Алгоритм решения задач

1. Внимательно изучи условия задач.

2. Построй пересечения множеств.

3. Расставь исходные данные.

4. Найдите недостающие данные.

5. Проверь решение.


1. В детском саду 52 ребенка. Каждый из них любит пирожное или мороженое. Половина детей любит пирожное, а 20 человек - пирожное и мороженое. Сколько детей любит мороженое?

Решение:

Так как 26 половина детей любит пирожные, а 20 - и пирожные, и  мороженое, то исключительно пирожное любят ровно 6 человек. Всего ребят 52, из них 6 -  любители только пирожных, значит,  52 – 6 = 46  человек, которые любят мороженое.

hello_html_m1453eaf1.jpg

2. Часть жителей нашего города умеет говорить только по-русски, часть – только по-башкирски и часть умеет говорить на обоих языках. По-башкирски говорят 85%, по-русски 75%. Сколько процентов жителей говорят на обоих языках?

Решение: Составим схему –

hello_html_1d1fe48e.png

В кружке под буквой «Б» обозначим жителей, говорящих по-башкирски, под буквой

«Р» - по-русски. В общей части кружков обозначим жителей, говорящих на обоих языках. Теперь от всех жителей (100%) отнимем кружок «Б» (85%), получим жителей, говорящих только по-русски (15%). А теперь от всех, говорящих по-русски (75%), отнимем эти 15%. Получим говорящих на обоих языках (60%).


3. Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят кактусы, а пятеро — фиалки. И только у двоих есть и кактусы и фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг?


Решение: Обратимся к кругам Эйлера: hello_html_7b7973fd.png



Изобразим два круга, так как у нас два вида цветов. В одном будем фиксировать владелиц кактусов, в другом — фиалок. Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие цветы, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть. В этой общей части ставим цифру 2 так как кактусы и фиалки у двоих. В оставшейся части «кактусового» круга ставим цифру 4 (6 − 2 = 4). В свободной части «фиалкового» круга ставим цифру 3 (5 − 2 = 3). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 4 + 2 + 3 = 9 подруг.


4. В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и

холодильник и микроволновку, 19 - и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

Решение:

hello_html_m3f7c74d9.png

Купили только холодильники: 35-(20-3)-(15-3)-3=4.

Купили только микроволновки: 36-(20-3)-(19-3)-3=0.

Купили только телевизоры: 37-(15-3)-(19-3)-3=6.

Тогда всего покупателей было: 4+17+3+16+12+6=58.

65-58=7 посетителей магазина не купили ничего.


5. На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал Рон?
Учитывая условия задачи, чертеж будет таков:

hello_html_27b2d511.png


Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри. Следовательно,
26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал толькоРон. А всего Рон прочитал 12 книг.
Ответ: 12 книг прочитал Рон.


6. Из 24 учеников 5 класса музыкальную школу посещают 10 человек, художественную школу – 8 человек, спортивную школу – 12 человек, музыкальную и художественную школу– 3, художественную и спортивную школу– 2, музыкальную и спортивную школу– 2, все три школы посещает 1 человек. Сколько учеников посещают только одну школу? Сколько учащихся ни в чем себя не развивают?

В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:


hello_html_4fa110f3.png




Только музыкальную школу посещают 10-3-2-1=4 учащихся. Только художественную школу посещают 8-3-2-1=2 учащихся. Только спортивную школу посещают 12-2-2-1=7 учащихся.

Только одну школу посещают 4+2+7=13 учеников.

Ни в чем себя не развивают 24-(4+2+7+3+2+2+1)=3 учащихся.

Ответ: 13 учеников посещают только одну школу, 3 учащихся себя не развивают.


7. В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 — автобусом, 23 — троллейбусом, 10 — и метро, и троллейбусом, 12 — и метро, и автобусом, 9 — и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта?


Решение: 1 способ. Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера:


hello_html_m5213a91a.png

Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только метро и троллейбусом — (10 − х) человек, только автобусом и троллейбусом — (9 − х) человек, только метро и автобусом — (12 − х) человек. Найдем, сколько человек пользуется одним только метро:

20 − (12 − х) − (10 − х) − х = х − 2

Аналогично получаем: х − 6 — только автобусом и х + 4 — только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение:

Х + (12 − х) + (9 − х) + (10 − х) + (х + 4) + (х − 2) + (х − 6) = 30. отсюда х = 3


8. Из 100 отдыхающих на турбазе «Графское»,

30 детей - отличники учебы,

28 - участники олимпиад,

42 - спортсмены.

8 учащихся одновременно участники олимпиад и спортсмены,

10 – участники олимпиад и отличники,

5 – спортсмены и отличники учебы,

3 – и отличники, и участники олимпиад, и спортсмены.

Сhello_html_m3b3efd09.pngколько отдыхающих не относятся ни к одной из групп?









Решение:

20+13+30+3+5+7+2=80 (детей)

100-80=20 (детей не входят ни в одну из групп)

Ответ: 20 детей.









ЗАКЛЮЧЕНИЕ



На уроках математики учитель знакомит нас, учеников, с историей развития математических понятий, символов, идей, методов. Но из-за нехватки учебного времени ему не всегда удается рассказать о жизни великих творцов математики – интенсивной, целенаправленной, поучительной, хотя подчас и драматичной; раскрыть все стороны древнейшей и, в то же время, современной науки.

Одно из первых мест в истории мировой науки занимает Леонард Эйлер.

Полное собрание его трудов составляет 72 тома, более 850 научных работ.

Леонард Эйлер жил в 18 веке, но его метод решения целого ряда задач актуален и сегодня, в 21-ом веке. Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Этот метод даёт ещё более наглядное представление о возможном способе изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах. Задачи таким способом решаются значительно быстрее, решение понятно.

Поэтому была поставлены задачи: изучить биографию Леонарда Эйлера и научиться решать задачи, применяя правила и круги Эйлера.

Для этого был разобран весь теоретический материал, решены задачи, используя круги Эйлера и составлен задачник для учащихся «Круги Эйлера в задачах».
Применение кругов Эйлера позволяет легко решить задачи, которые обычным путем разрешимы лишь при составлении системы трех уравнений с тремя неизвестными.
Цель работы считаю достигнутой.





СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


  1. Академия математики «Леонард Эйлер» научно-практический журнал Математика для школьников №3 2007г., с.41-48

  2. Интернет ресурсы http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html – Учимся решать логические задачи

  3. Интернет – ресурсы http://olymp.ifmo.ru/archive/problems/inf/ – архив  задач по информатике.

  4. Босова Л.Л. Информатика: Учебник для 6 класса / Л. Л. Босова. –5-е изд–М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. – 208 с.: ил.

  5. Босова Л.Л. Информатика: Рабочая тетрадь для 6 класса /Л. Л. Босова,  – 2-е изд., испр. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. – 117 с.: ил.

  6. Угринович Н.Д. Информатика и ИКТ: Учебник для 10 класс. БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. – 371 с.: ил.

  7. Глейзер Г. И. История математики. М., Наука, 1982 г.













1 Биографический очерк Е.Ф. Литвиновой в сокращенном варианте опубликован в научно-практическом журнале «Математика для школьников»№3 2007

3 Интернет –ресурсы http://olymp.ifmo.ru/archive/problems/inf/

16


Выбранный для просмотра документ Круги Эйлера при решении задач.pptx

библиотека
материалов
Круги Эйлера в решении задач Выполнила: учащаяся 6 класса МОУ «Краснопресненс...
Цель: научиться решать задачи с помощью кругов Эйлера и научить одноклассник...
Леонард Эйлер «…Нет ученого, имя которого упоминалось бы в учебной литературе...
Круги Эйлера – это геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить о...
Круги Эйлера в решении задач Алгоритм решения задач: 1. Внимательно изучи усл...
Из задачника: «Разберись и научись» 1. В детском саду 52 ребенка. Каждый из н...
2. В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют...
«Реши сам и проверь себя» 3. В туристической группе из 100 человек 75 челове...
4. В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 — автобус...
«Ждем решений» На лужайке расположились 10 крокодилов. Крокодилов в галстуке...
Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребя...
Желаю всем успехов в математике! Ответы на решения задач из рубрики «Ждем реш...
13 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Круги Эйлера в решении задач Выполнила: учащаяся 6 класса МОУ «Краснопресненс
Описание слайда:

Круги Эйлера в решении задач Выполнила: учащаяся 6 класса МОУ «Краснопресненская СОШ им. В.П.Дмитриева» Гунбетова Карина   Руководитель: Глазунова В.Г.

№ слайда 2 Цель: научиться решать задачи с помощью кругов Эйлера и научить одноклассник
Описание слайда:

Цель: научиться решать задачи с помощью кругов Эйлера и научить одноклассников. Задачи: Изучить теоретический материал: биографию Леонарда Эйлера, «круги Эйлера». Научиться применять круги в решении задач. Создать задачник для учащихся «Круги Эйлера в задачах».

№ слайда 3 Леонард Эйлер «…Нет ученого, имя которого упоминалось бы в учебной литературе
Описание слайда:

Леонард Эйлер «…Нет ученого, имя которого упоминалось бы в учебной литературе по математике столь же часто, как имя Эйлера. В энциклопедии можно найти сведения о шестнадцати формулах, уравнениях, теоремах и т. д., носящих имя Эйлера…». Из книги "Замечательные ученые" под ред. С.П. Капицы

№ слайда 4 Круги Эйлера – это геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить о
Описание слайда:

Круги Эйлера – это геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами для наглядного представления. 

№ слайда 5 Круги Эйлера в решении задач Алгоритм решения задач: 1. Внимательно изучи усл
Описание слайда:

Круги Эйлера в решении задач Алгоритм решения задач: 1. Внимательно изучи условия задач. 2. Построй пересечения множеств. 3. Расставь исходные данные. 4. Найдите недостающие данные. 5. Проверь решение.

№ слайда 6
Описание слайда:

№ слайда 7 Из задачника: «Разберись и научись» 1. В детском саду 52 ребенка. Каждый из н
Описание слайда:

Из задачника: «Разберись и научись» 1. В детском саду 52 ребенка. Каждый из них любит пирожное или мороженое. Половина детей любит пирожное, а 20 человек - пирожное и мороженое. Сколько детей любят мороженое? 26 П М 20 6 46

№ слайда 8 2. В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют
Описание слайда:

2. В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?  Драм. 27 Хор. 32 Спорт 22 10 6 8 3 Д: 27 - 10 – 3 – 8 =6 6 32-10-3-6=13 5 Не увлекаются: 70- (6+10+3+13+6+5+8)=19

№ слайда 9 «Реши сам и проверь себя» 3. В туристической группе из 100 человек 75 челове
Описание слайда:

«Реши сам и проверь себя» 3. В туристической группе из 100 человек 75 человек знают немецкий язык, 65 человек-английский язык, а 10 человек - не знают ни немецкого, ни английского языка. Сколько туристов знают два языка? ? ? 10 Нем. 75 Англ. 65

№ слайда 10 4. В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 — автобус
Описание слайда:

4. В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 — автобусом, 23 — троллейбусом, 10 — и метро, и троллейбусом 12 — и метро, и автобусом, 9 — и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта? М - 20 А -15 Т- 23 12 9 10 ?

№ слайда 11 «Ждем решений» На лужайке расположились 10 крокодилов. Крокодилов в галстуке
Описание слайда:

«Ждем решений» На лужайке расположились 10 крокодилов. Крокодилов в галстуке было 6, а 4 крокодила были больны. Сколько было на лужайке здоровых  крокодилов без  галстука?

№ слайда 12 Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребя
Описание слайда:

Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»? 

№ слайда 13 Желаю всем успехов в математике! Ответы на решения задач из рубрики «Ждем реш
Описание слайда:

Желаю всем успехов в математике! Ответы на решения задач из рубрики «Ждем решения» присылайте нам на электронную почту krasnopresnenskaja@yandex.ru с темой «для Гунбетовой Карины».

Выбранный для просмотра документ Приложение (Задачник)изменен.docx

библиотека
материалов























Адрес школы: Тверская область, Калининский район,
ж/д ст. Кулицкая, ул. Титова, д.1

Министерство образования и науки

Российской Федерации

Муниципальное образовательное учреждение

«Краснопресненская средняя общеобразовательная

школа им. В.П.Дмитриева»







Круги Эйлера в задачах





Составитель:

Гунбетова Карина, 6 класс

Руководитель:

Глазунова В.Г., учитель математики






2012




























Содержание



  1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

  2. Задачи «Разберись и научись» . . . . . . . . . . . . . . . .

  3. Задачи «Реши сам и проверь себя» . . . . . . . . . . . .

  4. Задачи «Ждем решения» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5. Ответы к задачам «Реши сам и проверь себя» . .

  6. От составителя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .






































Дорогие ребята!


На уроках математики учитель непременно знакомит нас, учеников, с историей развития математических понятий, символов, идей, методов. Но из-за нехватки учебного времени ему не всегда удается рассказать о жизни великих творцов математики – интенсивной, целенаправленной, поучительной, хотя подчас и драматичной; раскрыть все стороны древнейшей и, в то же время, современной науки.

В этой работе мне захотелось показать вам решение задач с помощью кругов Эйлера. Задачи решаются значительно быстрее, решение понятно.

Я надеюсь, что вы также поймете, как решаются такого рода задачи и решите те, которые предложены в задачнике.

Ответы на решения задач из рубрики «Ждем решения» присылайте нам на электронную почту krasnopresnenskaja@yandex.ru с темой «для Гунбетовой Карины».

Я желаю вам успехов в обучении математике.


Карина, 6 класс.



9.Ответ: 2 вратаря

18+11+17-3-10-6+1=28 (игроков) на этой диаграмме. Но в команде всего 30 футболистов. Значит, вратарей будет 30-28=2. .Рисунок1




















Введение

«…Нет ученого, имя которого упоминалось бы в учебной литературе по математике столь же часто, как имя Эйлера. В Энциклопедии можно найти сведения о шестнадцати формулах, уравнениях, теоремах и т. д., носящих имя Эйлера…».

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов, и они получили название «круги Эйлера». Применение кругов Эйлера придает задачам наглядность и простоту. Изображение условий задачи в виде кругов Эйлера, как правило, упрощает и облегчает путь к её решению. Эйлер писал, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».
Использование метода Эйлера расширяет математический кругозор учащихся, обогащает арсенал средств, используемых в решении разнообразных задач.

Алгоритм решения задач

1. Внимательно изучи условия задач

2. Построй пересечения множеств

3. Расставь исходные данные

4. Найдите недостающие данные

5. Проверь решение



























Пусть большой круг изображает всех учащихся класса,

а три меньших круга Б, Х и Ф изображают соответственно баскетболистов, хоккеистов и футболистов.

Тогда фигура Z, общая часть кругов Б, Х и Ф, изображает ребят, увлекающихся тремя видами спорта.

Из рассмотрения кругов Эйлера видно, что одним лишь видом спорта - баскетболом занимаются

16 - (4 + z + 3) = 9 - z;

одним лишь хоккеем

17 - (4 + z + 5) = 8 - z;

одним лишь футболом

18 - (3 + z + 5) = 10 - z.

Составляем уравнение, пользуясь тем, что класс разбился на отдельные группы ребят; количества ребят в каждой группе обведены на рисунке рамочкам:

3 + (9 - z) + (8 - z) + (10 - z) + 4 + 3 + 5 + z = 38,

z = 2.

Таким образом, двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта.

Складывая числа 9 - z, 8 - z и 10 - z, где z = 2, найдем количество ребят, увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.


  1. Ответ: 20

По условию задачи всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде. 
23







8
. Ответ: двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта человека, одним видом спорта 21 человек.main1147880065





Задачи «Разберись и научись»

1. В детском саду 52 ребенка. Каждый из них любит пирожное или мороженое. Половина детей любит пирожное, а 20 человек - пирожное и мороженое. Сколько детей любит мороженое?

Решение:

Так как 26 половина детей любит пирожные, а 20 - и пирожные, и  мороженое, то исключительно пирожное любят ровно 6 человек. Всего ребят 52, из них 6 -  любители только пирожных, значит,  52 – 6 = 46  человек, которые любят мороженое.

1



Ответ: 46 детей




2. Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят кактусы, а пятеро — фиалки. И только у двоих есть и кактусы и фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг?

Решение: Обратимся к кругам Эйлера:


hello_html_7b7973fd.png

Изобразим два круга, так как у нас два вида цветов. В одном будем фиксировать владелиц кактусов, в другом — фиалок. Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие цветы, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть. В этой общей части ставим цифру 2 так как кактусы и фиалки у двоих. В оставшейся части «кактусового» круга ставим цифру 4 (6 − 2 = 4). В свободной части «фиалкового» круга ставим цифру 3 (5 − 2 = 3). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 4 + 2 + 3 = 9 подруг.

Ответ: 9 подруг.




5. Ответ: 11

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов». 17









6. Ответ:6

1) 35–10=25
2) 25 – 20 = 5 покупателей купили только диск Земфиры.

3) 11 – 5 = 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры:20








3. 20+13+30+3+5+7+2=80 (детей)

100-80=20 (детей не входят ни в одну из групп)Рисунок1

Ответ: 20 детей.

20+13+30+3+5+7+2=80 (детей)

100-80=20 (детей не входят ни в одну из групп)

Ответ: 20 детей.

____4_219x238

4. Пусть х человек  пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только метро и троллейбусом — (10 − х) человек, только автобусом и троллейбусом — (9 − х) человек, только метро и автобусом — (12 − х) человек.

х+ (12 − х) + (9 − х) + (10 − х) + (х + 4) + (х − 2) + (х − 6) = 30

Ответ: 3



3. В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили ихолодильник и микроволновку, 19 - и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

Решение:

hello_html_m3f7c74d9.png


Купили только холодильники: 35-(20-3)-(15-3)-3=4.

Купили только микроволновки: 36-(20-3)-(19-3)-3=0.

Купили только телевизоры: 37-(15-3)-(19-3)-3=6.

Тогда всего покупателей было: 4+17+3+16+12+6=58.

65-58=7 посетителей магазина не купили ничего.

Ответ: 7 посетителей



4. На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал Рон?

Решение:
Учитывая условия задачи, чертеж будет таков:

http://logika.vobrazovanie.ru/image/21.PNG


Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри. Следовательно,
26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал только Рон. А всего Рон прочитал 12 книг.
Ответ. 12 книг прочитал Рон.





Ответы к задачам «Реши сам и проверь себя»

1. Ответ: 2 человека

hello_html_3e723023.gif1) 35-16=19(чел.);

2) 12+9=21 (чел.);

3) 21-19=2(чел.).

2. Ответ: 50 туристов. hello_html_10669b0c.gif

В большом круге, изображающем 100 туристов,

поместим 2 меньших круга, изображающих знатоков анг-

лийского и немецкого языков. Легко видеть, что 90 тури-

стов (100-10) знают хотя бы один язык; 15 туристов (90-75)

знают только английский язык,
65-15=50 – туристов знают оба языка.




6. Миша, Коля, Лева вместе прочитали 3 книги. Миша и Коля вместе прочитали 5  книг; Миша и Лева вместе – 4 книги; Коля и Лева вместе – 3 книги. Миша прочитал 8 книг; Коля – 6 книг; Лева – 5 книг. Сколько книг прочитали дети?


7.Из 110 студентов английский язык изучают 44 человека, немецкий 50 человек, французский – 49 человек, английский и немецкий – 13, английский и французский – 14, немецкий и французский – 12, все три языка изучают 5 человек. Сколько студентов изучают только один язык? Сколько студентов не изучают ни одного языка? http://www.websib.ru/fio/works/064/group4/book07.gif









5. Из 24 учеников 5 класса музыкальную школу посещают 10 человек, художественную школу– 8 человек, спортивную школу – 12 человек, музыкальную и художественную школу– 3, художественную и спортивную школу– 2, музыкальную и спортивную школу– 2, все три школы посещает 1 человек. Сколько учеников посещают только одну школу? Сколько учащихся ни в чем себя не развивают?

Решение:

В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:

Рисунок1

Только музыкальную школу посещают 10-3-2-1=4 учащихся. Только художественную школу посещают 8-3-2-1=2 учащихся. Только спортивную школу посещают 12-2-2-1=7 учащихся.

Только одну школу посещают 4+2+7=13 учеников.

Ни в чем себя не развивают 24-(4+2+7+3+2+2+1)=3 учащихся.

Ответ: одну школу – 13 учеников; не развивают себя – 3.

6. В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом.
В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке?
Сколько ребят заняты только спортом?
 

Решение.

22

70 – (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке. Только спортом заняты 5 человек. 
Ответ. 5 человек.






  1. В восьмом классе учится 40 человек. Каждый из

них изучает не менее одного иностранного языка: английский, немецкий, французский. 34 человека изучают хотя бы один из двух языков: английский, немецкий. 25 человек — хотя бы один из языков: немецкий, французский. 6 человек только немецкий. Одновременно два языка — английский и немецкий — изучают на 3 человека больше, чем французский и немецкий языки. Сколько человек изучает каждый из языков и сколько изучает одновременно каждую пару языков?



  1. В областной спартакиаде участвует

школьная команда из 20 человек, каждый из которых

имеет юношеский спортивный разряд по одному или

нескольким видам спорта: лёгкой атлетике, плаванию и

гимнастике. Известно, что 12 из них имеют спортивные

разряды по лёгкой атлетике, 10 – по гимнастике и 5 - по

плаванию. Сколько учеников из этой команды имеют

разряды по трём видам спорта, если по лёгкой атлетике

и гимнастике - 4 человека, по плаванию и гимнастике -

2 человека?



Ждем решений

  1. К Лене на день рождения пришли гости с подарками. Получилось так, что дарили только букеты цветов и воздушные шарики. Шесть гостей подарили букеты цветов, четыре – воздушные шарики.
    Сколько было гостей?
    http://www.websib.ru/fio/works/064/group4/9b3.gif


  1. На лужайке расположились 10 крокодилов. Крокодилов в галстуке было 6, а 4 крокодила были больны. Сколько было на лужайке здоровых  крокодилов без  галстука?http://www.websib.ru/fio/works/064/group4/28.gif

  1. Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»? http://www.websib.ru/fio/works/064/group4/227.gif

Задачи « Реши сам и проверь себя»

  1. В классе 35 учеников, 12 занимаются в

математическом кружке, 9 - в биологическом, а 16 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой?

  1. В туристической группе из 100 человек.

75 человек знают немецкий язык, 65 человек-английский язык, а 10 человек - не знают ни немецкого, ни английского языка. Сколько туристов знают два языка?


  1. Из 100 отдыхающих на турбазе «Графское»,

30 детей - отличники учебы, 28 - участники олимпиад,

42 - спортсмены. 8 учащихся одновременно участники олимпиад и спортсмены, 10 – участники олимпиад и отличники, 5 – спортсмены и отличники учебы,

3 – и отличники, и участники олимпиад, и спортсмены.

Сколько отдыхающих не относятся ни к одной из групп?


  1. В классе 30 человек. 20 из них каждый день

пользуются метро,15 — автобусом, 23 — троллейбусом, 10 — и метро, и троллейбусом, 12 — и метро, и автобусом, 9 — и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта?

  1. Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»? 

  2. В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры?

7.Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах? 


  1. В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 - в хоккей, 18 - в футбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и футболом - трое, футболом и хоккеем - пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом. Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта? Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта?

  2. В футбольной команде «Баймак» 30 игроков:

18 нападающих,11 полузащитников, 17 защитников.

Вратари:
3 могут быть нападающими и защитниками,

10 защитниками и полузащитниками,

6 нападающими и защитниками

1 и нападающим, и защитником, и полузащитником.

Вратари не заменимы.

Сколько в команде «Баймак» вратарей?







Краткое описание документа:

«…Нет ученого, имя которого упоминалось бы в учебной литературе по математике столь же часто, как имя Эйлера. В Энциклопедии можно найти сведения о шестнадцати формулах, уравнениях, теоремах и т. д., носящих имя Эйлера…».

           Леонард Эйлер жил в 18 веке, но его метод решения целого ряда задач актуален и сегодня, в 21-ом веке.

Цель: научиться решать задачи с помощью кругов Эйлера и научить других.

Задачи:

1.     Изучить теоретический материал: биографию Леонарда Эйлера, "круги Эйлера".

2.     Научиться применять круги в решении задач.

 

3.     Создать задачник для учащихся «Круги Эйлера в задачах».

Работу выполнила ученица 6 класса.

Автор
Дата добавления 05.11.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров4192
Номер материала 108366
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх