Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Проблемно-реферативная работа "Открываем неевклидовы геометрии"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Проблемно-реферативная работа "Открываем неевклидовы геометрии"

Выбранный для просмотра документ БУКЛЕТ Неевклидовы геометрии.docx

библиотека
материалов

Объектная область: математикаhello_html_m69588af8.png

Объект исследования: геометрия

Предмет исследования: евклидова, гиперболическая, эллиптическая геометрии и геометрия 21 века (интегральная и вычислительная)

Проблема: в основе геометрии 21 века лежат неевклидовы геометрии, не изучаемые в школе

Актуальность: новейшие разработки в разных областях науки используют неевклидовы геометрии

Гипотеза: открытие неевклидовых геометрий расширяют рамки возможностей человека.





Цель: рассмотреть различные геометрии и провести их сравнительный анализhello_html_m7dbc1c61.png

Задачи:

1) рассмотреть основные понятия математической теории Евклида

2) рассмотреть альтернативные интерпретации пятого постулата6

3) сравнить евклидову геометрию
с геометрией гиперболической и эллиптической
hello_html_m37c7c46.png

4) показать возрастающую важность геометрии в наше время

6







Во всей истории науки нет ничего более революционного, чем развитие

неевклидовых геометрий, которое до основания потрясло веру в то,
что теория Евклида является

вечной истиной

Э. Каснер, Д. Ньюмен
(«Математика и воображение», 1941)























ГЕОМЕТРИЯ 21 века

- интегральнаяhello_html_m69588af8.png

- вычислительнаяhttp://filearchive.cnews.ru/img/reviews/2010/09/14/internet_map_d8f79.jpg

Геометрический
атлас Интернета



hello_html_m426418a1.png

Создание «Искусственного интеллекта»



hello_html_5f0c6bf2.png

Кодирование изображений
с помощью фракталов







C:\Users\User\Desktop\презентация Сережи\картинки для работы\r.jpeg

Неевклидовы геометрии не только возможны, но они открывают перед человечеством новые области знаний, которые являются практическим применением математики.
Никогда еще отрицание какой-либо теории не оказывалось для человечества настолько полезным, как это произошло при отказе от пятого постулата Евклида.

Источники:

1. Мир математики: в 40 т. Т.4:
Жуан Гомес. Когда прямые
искривляются / Пер. с англ. – М.:
Де Агостини, 2014

2. А.В. Силин, Н.А. Шмакова.
Открываем неевклидову геометрию – М.: Просвещение, 1988.

3. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А.П. Савин. – М.: Педагогика, 1989

4. Интернет-ресурсы



МОУ «Краснопресненская СОШ
им. В.П. Дмитриева»

Адрес: 170560 Тверская область, Калининский район, ж/д ст. Кулицкая, ул. Титова, д.1 «А»



Автор: Миллер Сергей 10 класс



«ОТКРЫВАЕМ НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ»

hello_html_m7832a5fa.png



Научный руководитель:
учитель математики и информатики высшей категории
Глазунова Вера Геннадиевна



















































Выбранный для просмотра документ Неевклидовы геометрии Миллер Сергей.doc

библиотека
материалов

Министерство образования и науки

Российской Федерации

Муниципальное образовательное учреждение

«Краснопресненская средняя общеобразовательная школа

им. В.П. Дмитриева»





проблемно – реферативная работа





«ОТКРЫВАЕМ НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ»









Выполнил:

учащийся 10 класса

Миллер Сергей

Научный руководитель:
учитель математики и информатики

высшей квалификационной категории

Глазунова В.Г.




Тhello_html_m5ec1ff60.gifhello_html_m4e35b090.gifhello_html_m23e10066.gifверь, 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение.............................................................................................................3

Глава 1. Евклидова геометрия …………………….………………………...4

1.1. «Начала» Евклида и пятый постулат ………………………………….. 4

1.2. На пути к неевклидовой геометрии …....................................................7

Глава 2. Становление неевклидовой геометрии ……………………………11

2.1. Достижения Лобачевского и Бойяи …………………………………….11

2.2. Модели гиперболической геометрии …………………………………...13

2.3. Риман и эллиптическая геометрия ………………………………………15.

Глава 3. Исследовательская часть …………………………………………...17

3.1. Сравнение евклидовой и неевклидовых геометрий …………………...17

3.2. Геометрия XXI века ……………………………………………………...19

Заключение..........................................................................................................23

Список литературы.............................................................................................25















ВВЕДЕНИЕ

Нам часто в повседневной жизни приходится измерять предметы. Математическую дисциплину, которая изучает такие задачи, древние греки назвали геометрией (geo означает «земля», а metrein – «измерять»). Когда мы говорим о геометрии, мы используем единственное число. Однако существуют и другие геометрии, которые устроены не так, как мы изучаем в школе. Разве ученые абсолютно точно знают, что такое на самом деле точка в пространстве или прямая линия, проходящая через нее? Может ли круг иметь форму прямоугольника? Знаем ли мы, что означает «параллельность»? Ответы на эти вопросы не являются вечными истинами, а меняются на протяжении времени. Евклид с полной убежденностью утверждал, что «через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной», но Лобачевский показал, что можно провести много параллельных прямых. Риман был не согласен с обоими и считал, что параллельные прямые не существуют. Кто же из этих великих математиков прав? Может быть, они все правы? Какая же «правильная» геометрия? Что представляет собой геометрия 21 века?

Гипотеза: неевклидовы геометрии расширяют рамки возможностей человека

Цель: рассмотреть различные геометрии и провести их сравнительный анализ
Задачи:

  • рассмотреть основные понятия математической теории Евклида

  • рассмотреть альтернативные интерпретации пятого постулата

  • сравнить евклидову геометрию с геометрией гиперболической и эллиптической

  • показать возрастающую важность геометрии в наше время

ГЛАВА 1. ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ





1.1. «Начала» Евклида и пятый постулат

Сведения о Евклиде скудны, известно, что жил он в Александрии, преподавал математику, с которой и связан расцвет его научной деятельности.

Около 300 г. до н. э. Евклид написал великий труд «Начала», содержащий практически все известные в то время математические сведения. В течение двух тысячелетий для математиков «Начала» были образцом для подражания, а для прочих – единственным учебником, по которому учились как взрослые, так и дети. «Начала геометрии» состоят из 13 книг, содержащих 465 утверждений, 372 теоремы и 93 задачи. В «Началах» все предложения доказываются шаг за шагом. Первые четыре книги посвящены геометрии на плоскости: теореме Пифагора, свойствам треугольников, параллелограммов, кругов, многоугольников и т.д. Следующие две книги излагают понятия пропорциональности и подобия многоугольников. Книги с седьмой по девятую посвящены арифметике и рассматривают задачи, связанные с теорией чисел. Здесь определяется евклидово понятие числа. Евклид рассматривал все числа как геометрические отрезки, что соответствует современному понятию измеряемых величин. Десятая книга дает классификацию чисел, называемых иррациональными. И еще три книги посвящены стереометрии (многогранникам, сферам и т.д.).

Евклид начинает изложение с простых, очевидных утверждений, которые могут быть легко и интуитивно поняты и не подлежат сомнению. Он называет их определениями, постулатами и аксиомами, и из них выводит свои предложения, которые доказываются с помощью рассуждений.

Терминология Евклида

Предложение – истинное утверждение, которое уже доказано или должно быть доказано.
Теорема – предложение, которое может быть логически выведено из аксиом или из других ранее доказанных теорем с помощью принятых правил доказательства.
Постулат – предложение, истинность которого принимается без доказательства и лежит в основе дальнейших рассуждений.
Аксиома – предложение, настолько очевидное, что оно не требует доказательства.

Первоначальные определения даются для точки, прямой линии, прямого угла и параллельных линий и лежат в основе евклидовой геометрии и других геометрий.

Определения: 1. Точка есть то, что не имеет частей. 2. Линия – это длина без ширины…4. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней. ..10. Когда же прямая, восстановленная на другой прямой, образует смежные углы, равные между собой, то каждый из углов есть прямой, а восстановленная прямая называется перпендикуляром к той, на которой она восстановлена….23. Параллельные – суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются.

Затем формулируются следующие аксиомы.

  1. Равные одному и тому же равны и между собой.

  2. Если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.

  3. Если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

  4. Совмещающиеся друг с другом равны между собой.

  5. Целое больше части.

Далее Евклид формулирует пять знаменитых постулатов.

  1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.

  2. Любой отрезок можно непременно продолжать по прямой линии.

  3. Имея любой отрезок, можно описать круг с радиусом, равным длине этого отрезка, и с центром в одном из концов этого отрезка.

  4. Все прямые углы равны между собой.

  5. Если две прямые пересекаются третьей, так что с одной стороны сумма внутренних углов меньше суммы двух прямых углов, то эти две прямые неизбежно пересекутся друг с другом по эту сторону, будучи продленными достаточно далеко.



hello_html_650266b6.png



В соответствии с пятым постулатом, если сумма углов меньше двух прямых углов, то прямые линии будут сходиться (пересекутся). Значит, верно и обратное: если сумма углов больше двух прямых углов, то прямые линии никогда не пересекутся (они будут расходиться). Если сумма углов равна двум прямым, тогда прямые линии и не сходятся, и не расходятся, т.е. они будут параллельными и никогда не пересекутся.

1.2. На пути к неевклидовой геометрии



На протяжении веков пятый постулат вызывал комментарии и критику в трудах самых известных геометров. Многие из них были убеждены, что этот постулат можно доказать с помощью других постулатов и пытались найти доказательство, чтобы, наконец, объявить его теоремой. Математики, пытавшиеся доказать пятый постулат (известно около 250 доказательств), допускали двоякого рода ошибки. Во-первых, они незаметно для себя вводили в ход рассуждений «очевидный» факт, который оказывался эквивалентом пятого постулата. Во-вторых, они сознательно дополняли систему аксиом новым постулатом, который в свою очередь оказывался эквивалентом пятого постулата1. Следовательно, в обоих случаях математики попадали в ловушку «порочного круга».

После многих столетий развития математических теорий никто так и не смог доказать ни сам постулат, ни ложность тех геометрий, которые этот постулат отвергают.

Одна из первых попыток доказательства пятого постулата была сделана греческим философом Проклом (410 – 485), самым известным представителем афинской школы математики. Его постулат о равноудаленности формулируется следующим образом: «прямая, параллельная данной прямой, сохраняет постоянное расстояние от неё». В процессе доказательства пятого постулата Прокл сделал следующее допущение, считая его очевидным: расстояние от точки, лежащей на одной стороне острого угла, до другой его стороны возрастает при удалении этой точки от вершины угла.

Арабские математики также пытались доказать пятый постулат. Первым из них был Ибн ал-Хайсам (965 – 1039), известный на Западе как Альхазен. Он исходил из предположения, что если четырехугольник имеет три прямых угла, то четвертый угол тоже должен быть прямым. Отсюда Альхазен делает вывод, что через точку вне прямой проходит только одна параллельная прямая. Его заключение основывается на том, что геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, является прямой линией. Таким образом, его предположение эквивалентно пятому постулату Евклида.

В эпоху Возрождения дальнейшие исследования связаны с работой Христофора Клавия (1538 – 1612). Клавий привел доказательство пятого постулата, снова использовав для этого сам пятый постулат: линия, равноудаленная от данной прямой линии, также является прямой.

Преподаватель Оксфордского университета Джон Валлис (1616 – 1703) ввел новую интерпретацию пятого постулата, отказавшись от идеи равноудаленности и использовав рассуждения с треугольниками. Валлис показал, что «для любого треугольника можно построить другой треугольник с теми же углами и пропорциональными сторонами». Однако и это утверждение также эквивалентно исходному постулату.

Итальянский математик Джироламо Саккери (1667 – 1733) воспользовался методом от противного, при котором сначала формулируют предположение, противоположное тому, что хотят доказать, а затем логически доказывают, что это предположение ведет к противоречию. Саккери не получил убедительного противоречия. Сам не осознавая того, он создал новую геометрию, в котором пятый постулат заменен противоположным ему утверждением. Саккери рассмотрел четырехугольник ABCD, у которого AB и CD конгруэнтны, а углы при вершинах A и D прямые. Четырехугольники такого вида называются теперь четырехугольниками Саккери.

Пhello_html_m1b078a65.pngрежде всего, не опираясь на пятый постулат, Саккери доказал, что угол В равен углу С.

В этом случае существует три возможности: 1) либо оба угла острые; 2) либо оба угла тупые; 3) либо оба угла прямые. Саккери установил, что гипотеза прямого угла равносильна постулату Евклида. Затем он попытался доказать, что другие гипотезы приводят к противоречию. В случае тупых углов он пришел к противоречию, но для гипотезы острых углов ему противоречия получить не удалось.

Исходя из гипотезы об острых углах, Саккери получил различные результаты неевклидовой геометрии. Он показал, что гипотезы о прямых, тупых и острых углах эквивалентны тому, что сумма внутренних углов треугольника равна, больше или меньше двух прямых соответственно.

Вот пример одного из результатов, необычных для евклидовой геометрии.

Пhello_html_2fc1e4d9.pngусть точка P находится вне прямой линии l . Если рассмотреть все прямые, проходящие через точку Р, то увидим, что существуют две предельные прямые m и n, которые делят пучок все прямых на две части, в одной из которых находятся все прямые линии, которые пересекают l (например, s), в другой – все прямые, которые l не пересекают (прямая t).



Работа Саккери содержит первые результаты новой геометрии, известной в наше время, как гиперболическая. Осознавая странность своих выводов, Саккери пишет: «Гипотеза об острых углах является абсолютно ложной, поскольку противоречит самому понятию прямой линии».

hello_html_47e93869.pngЕще больше приблизился к решению проблемы пятого постулата швейцарский математик Иоганн Генрих Ламберт (1728 – 1777).

Он рассматривал четырехугольники с тремя прямыми углами.

Для четвертого угла снова три возможности. Ламберт доказал, что гипотеза прямого угла эквивалентна пятому постулату, а гипотеза тупого угла приводит к противоречию. Далее Ламберт попытался развить систему, вытекающую из гипотезы острого угла. Однако ему не удалось обнаружить предполагаемого противоречия. У Ламберта возникла мысль, что, может быть, доказать постулат невозможно.

Ни Саккери, ни Ламберт так и не нашли неопровержимого доказательства того, что пятый постулат невозможно доказать. Последующие попытки доказательства всегда возвращались к исходной точке, лишь порождая запутанные понятия. Проблема заключалась в том, что все доказательства неявно использовали результат, который нужно было доказать.

Математическое сообщество убедилось, что постулат о параллельных прямых является настоящим постулатом, а не теоремой, и поэтому не требует доказательства. С другой стороны, хотя все попытки доказательства потерпели неудачу, получаемые результаты не содержали противоречий. Попытки доказать пятый постулат Евклида приводили математиков к понятиям неевклидовой геометрии.



ГЛАВА 2. СТАНОВЛЕНИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ





2.1. Достижения Лобачевского и Бойяи



Слава решения знаменитой проблемы пятого постулата принадлежит великому русскому математику Николаю Ивановичу Лобачевскому (1792 – 1856). В 1826 г., выступая на конференции, проходившей в Казанском университете, Лобачевский поразил научное сообщество своей теорией о параллельных прямых. «Всем известно, что в геометрии теория параллельных прямых до сих пор оставалась несовершенной. Напрасное старание со времен Евклида заставило меня подозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения», - из выступления Лобачевского Н.И.

Альтернативная версия пятого постулата Евклида: существуют две линии, параллельные данной прямой линии, которые проходят через данную точку вне данной прямой.

Научное наследие Лобачевского включает такие работы как «О началах геометрии» (1829), «Воображаемая геометрия» (1835), «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (1836), «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (1834 – 1838), «Геометрические исследования по теории параллельных линий» (1840).

В «Геометрических исследованиях»2 Лобачевский с большой ясностью объясняет, как работает неевклидова геометрия: «Все прямые линии, выходящие в некоторой плоскости из одной точки, могут быть по отношению к некоторой заданной прямой той же плоскости разделены на два класса, именно на пересекающие ее и непересекающие. Граничная линия одного и другого класса этих линий называется параллельной заданной линии».

Задача о параллельных прямых стала навязчивой идеей и венгерского математика Яноша Бойяи (1802 – 1860). Когда Янош погрузился в работу над пятым постулатом Евклида, его отец (тоже математик) сказал: «Молю тебя, не делай попыток одолеть теорию параллельных линий. Ты затратишь на это все свое время, а теоремы останутся недоказанными…..Этот вопрос никогда не прояснится на земле, и никогда несчастный род человеческий не достигнет ничего совершенного, даже в геометрии…» . Однако Янош опубликовал свои результаты. Прочитав геометрические идеи Яноша, Карл Фридрих Гаусс (1777 -1875) математический авторитет не только прошлых лет, но и современности, близкий друг семьи Бойяи писал: «Я убежден, что отказ от постулата о параллелях не приводит к противоречию, хотя это правда, что получаемые результаты кажутся парадоксальными».

Этот результат стал основой альтернативной, но непротиворечивой геометрической теории.

Лобачевский и Бойяи заложили основу неевклидовой геометрии. Они показали, что сумма треугольников меньше 180о, а также, не все треугольники имеют одинаковую сумму углов. Чем больше площадь треугольника, тем меньше сумма его углов. Не существует подобных треугольников, т.е. не существует треугольников одинаковой формы, но разного размера. Если два треугольника имеют конгруэнтные углы (одинакового размера), то и сами треугольники конгруэнтны, т.е. при наложении друг на друга они совпадают. Не существует там и прямоугольников в евклидовом смысле: если три угла прямые (90о), то четвертый угол должен быть меньше, т.к. если прямоугольник разделить на два треугольника, то сумма углов каждого должна быть меньше 180о.

Лобачевский и Бойяи решили проблему постулата о параллельных прямых, и поэтому они являются основоположниками первой неевклидовой геометрии. Оба они считаются авторами гиперболической геометрии.



2.2. Модели гиперболической геометрии3



hello_html_m210cd1be.pngЛобачевский предложил альтернативу пятому постулату: через точку Р вне прямой l можно провести бесконечное число прямых линий,
не пересекающихся с прямой l. На этой поверхности сумма углов А, В и С меньше 180о













Прямые линии на этой поверхности являются кратчайшими линиями между точками на ней. Такие линии называются геодезическими.

Пhello_html_650d09d1.pngараллельные линии с точки зрения Лобачевского на поверхности псевдосферы:

















«Наблюдая картину развития нашей науки и сравнивая геометрию Евклида с зерном, пролежавшим в почве в течение двух тысячелетий, а геометрию Лобачевского с первым мощным побегом, который дало это зерно, мы должны уподобить современную геометрию взрослому, широко разветвленному дереву, которое продолжает расти и ветвиться»4 (из доклада А.П. Нордена на торжественном заседании в Казанском университете, посвященном 125-летию открытия Лобачевским неевклидовой геометрии, 1941 г.).

hello_html_m53d4ecad.gif

Модель Клейна.

В 1870 г. немецкий математик Феликс Клейн (1849 – 1925) рассмотрел обычный евклидов круг и ввел новые определения точки, прямой, параллельной линии и т.д. По Клейну, плоскость – это внутренность круга; точки – это обычные точки внутри круга, кроме лежащих на окружности; прямые линии – это хорды круга, но не включая концов, т.е. без точек на окружности; параллельные прямые – это хорды с одним общим концом. Пересекающимися линиями назывались те, которые пересекаются внутри круга, а если линии пересекаются вне круга, то они – непересекающиеся.

Вhello_html_29f238be.png этой модели видно, что прямые r,s,t проходят через одну точку вне прямой l и не пересекаются с прямой l в неевклидовом смысле, т.к. они не пересекаются с прямой l внутри круга. Таким образом, в модели Клейна через точку вне прямой можно провести бесконечное число линий, не пересекающихся с данной прямой.

Клейн показал, что геометрия в его круге эквивалентна гиперболической геометрии, т.е. его геометрия удовлетворяет всем аксиомам Евклида, кроме пятого постулата и сохраняет результаты гиперболической геометрии.

В реальном мире тоже можно найти модели гиперболических поверхностей. Примерами являются седло для верховой езды, раструб трубы. Параллельные линии здесь не находятся друг от друга на фиксированном расстоянии, а постепенно расходятся.



2.3. Риман и эллиптическая геометрия.



Немецкий математик Бернхард Риман (1826 – 1866), комментируя книгу Лобачевского «Новые начала геометрии», сказал: «Евклид утверждал, что через точку вне данной прямой можно провести только одну параллельную ей линию. Лобачевский писал, что параллельных ей линий можно провести сколько угодно, а я говорю, что нельзя провести ни одной».

Затем Риман продолжает: «Следовательно, бесконечной прямой не существует, потому что в конце концов она стала бы кривой, и не существует совершенно плоской поверхности, потому что при продолжении она должна следовать кривизне Вселенной. Но так как плоскость будет искривляться во всех направлениях, искривленная плоскость оказывается сферической. Единственная геометрия, которая действительно существует, является сферической». И в этом суть геометрии Римана. В его геометрии нет прямых линий, а сумма углов треугольников больше 180о. Поверхность сферы является моделью для геометрии Римана. Сфера является частным случаем эллипсоида, удлиненной сферы. В этой модели прямые, как и в гиперболической геометрии, называются геодезическими линиями и являются окружностями, которые делят сферу на два равных полушария.

Все геодезические линии пересекаются, а треугольник ABC содержит два прямых угла, так что сумма его углов больше 180о. В этой геометрии, чем больше площадь треугольника, тем больше сумма его углов, и подобными являются только конгруэнтные треугольники. Таким образом, поверхность сферы является моделью эллиптической геометрии.

hello_html_7b8c0040.png

Риман построил не только эллиптическую геометрию, но и использовал алгебраические выражения для вычисления минимальных расстояний. Ему также удалось посчитать кривизну любого трехмерного пространства.



Его результаты позже использовал Альберт Эйнштейн при работе над теорией относительности. Вселенная искривлена из-за наличия в ней огромных объектов, которые заставляют прямые лучи света искривляться в пространстве в соответствии с геодезическими линиями.



























ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ЧАСТЬ





3.1. Сравнение евклидовой и неевклидовых геометрий



Первыми математиками, которые разделили все геометрии на три типа были Феликс Клейн и основатель современной британской школы чистой математики Артур Кэли (1821 – 1895). Выделив гиперболическую и эллиптические геометрии, они описали евклидову геометрию как параболическую. Конечно, все они отличаются, но и сходства между ними также есть. Попробуем еще раз разобраться и сравнить.


  1. Еhello_html_1320c1e4.jpgвклидова геометрия может быть построена на плоскости, гиперболическая геометрия (авторы – Бойяи, Лобачевский) – на поверхности псевдосферы, а эллиптическая Римана – на поверхности сферы.








  1. Вhello_html_m366d0699.png евклидовой геометрии две прямые пересекаются в точке, то же самое происходит в геометрии Лобачевского. У Римана две прямые (большие окружности) всегда пересекаются в точке и в ее антиподе с другой стороны сферы.







  1. Уhello_html_3a58a089.pnghello_html_629624b2.jpg Евклида через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная данной. Лобачевский утверждал, что таких прямых по крайней мере две. Риман утверждает, что таких прямых вообще нет.




Прямыми линиями в сферической геометрии являются большие круги, и они всегда пересекаются, не существует параллельных прямых в евклидовом смысле.

  1. В евклидовой геометрии параллельные прямые находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, у Лобачевского – нет.

  2. Сhello_html_m54be6f01.pngумма углов треугольника

















Разность между 180о и суммой углов треугольника АВС в гиперболической геометрии положительна; она называется дефектом этого треугольника; в эллиптической – отрицательна.

  1. Вот так выглядят прямоугольники в разных геометриях:

hello_html_m7dd5b0ab.png



В евклидовом прямоугольнике все углы по 90о, в гиперболической геометрии углы «прямоугольника» меньше 90 о, а в эллиптической геометрии – больше 90 о.

  1. В евклидовой геометрии: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то равны и третьи углы (такие треугольники подобны). В неевклидовой геометрии не существует подобных треугольников. Если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

  2. Отличие в терминологии: в евклидовой геометрии прямая линия является кратчайшей линией между двумя точками. В гиперболической и эллиптической – геодезическая линия. С точки зрения евклидовой геометрии, эти прямые линии оказываются кривыми.

  3. Разные формулы будут и для вычисления площади треугольника, длины окружности; другой вид будет и у основного тригонометрического тождества.













3. 2. Геометрия в 21 веке5

Открытие неевклидовых пространств совершенно изменило роль геометрии. Древняя наука об « изменении форм» проникла во все области человеческого знания, она перестала быть ограниченной узкими рамками евклидова мира и теперь сама открывает безграничный простор воображению.

Интегральная геометрия

В конце XX века появился раздел геометрии, который включил в себя статистику и теорию вероятности. Это современная геометрия, совершенно не похожая на евклидову, называется интегральной геометрией. Одним из её основоположников был Луи Сантало (1911-2001), выдающийся испанский математик и педагог. Результаты многолетних исследований Сантало опубликовал в своей книге «Интегральная геометрия и геометрические вероятности».

Началась интегральная геометрия с задачи, известной как «игла Бюффона», сформулированной Жоржем Луи Леклером, графом де Бюффоном. Граф предположил, что геометрия может быть эффективным инструментом для вычисления вероятностей. Он писал: «Анализ – единственное средство, которым до сего дня пользовались в науке о вероятностях, а геометрия представлялась малопригодной в столь тонком деле. Тем не менее, если обдумать это как следует, нетрудно распознать, что это преимущество анализа перед геометрией чисто случайно и что шанс находится равным образом в ведении и геометрии, и анализа».

Задача об игле Бюффона: «На листе бумаги имеется горизонтальные прямые линии, расположенные на расстоянии d друг от друга. Мы бросаем иглу длиной l , где l < d. Какая вероятность того, что игла пересечёт одну из линий?»

Эксперимент состоит в том, что на лист бумаги, расчерченный параллельными линиями на расстоянии d друг от друга, бросается игла длиной l. Игла может пересечь одну из параллельных линий, а может и не пересечь. Самым удивительным является то, что этот эксперимент позволяет получить число hello_html_1bfc1af9.gif с хорошим приближением. Сложными вычислениями Бюффон доказал формулу hello_html_422abbb.gifгде Р=hello_html_m5694d38d.gif

Частота, с которой событие происходит, приближается к значению вероятности.

Результат Бюффона подвергается проверке в 1901г., когда доктор Лазарони бросил иглу 34080 раз и получил значение hello_html_1bfc1af9.gif =3,1415929.
Кроме того, задача Бюффона дает возможность измерять геометрические объекты (длины, площади и т.д.), т.е. позволяет формализовать понятие измерения множества линий, плоскостей и т.д.

Интегральная геометрия широко применяется в биологии и медицине. Она лежит в компьютерной томографии. В 1979 г. британец Годфри Хаунсфилд получил Нобелевскую премию по медицине за работы по созданию компьютерной томографии на основе интегральной геометрии.

Новая научная дисциплина, стереология, тоже возникла из интегральной геометрии. Стереология представляет собой набор научных методов для изучения трехмерного пространства по двумерным сечениям или проекциям на плоскость. Позволяет получить точную кривизну поверхности. Используется во всех областях: от статистики и геометрии до медицины и геологии.




Вычислительная геометрия

Традиционными инструментами евклидовой геометрии являются циркуль и линейка, незаменимые для построения простых фигур. Однако в наше время новые технологии позволяют строить более сложные изображения.

С помощью компьютера можно изображать сложные геометрические структуры и моделировать новые методики, которые невозможно воспроизвести вручную. Эта область математики называется вычислительной геометрией и объединяет математику с новейшими технологиями. Благодаря компьютеризации новую жизнь получили дискретная и комбинаторная геометрия, которая изучает сложные комбинации геометрических объектов.

Многие задачи, изучаемые новыми теориями, имеют важное значение в таких областях, как теория сигналов, машинное зрение, робототехника. Вычислительная геометрия используется в компьютерной томографии, в навигаторах, в компьютерном дизайне. Одним из примеров являются системы автоматизированного проектирования (САПР), позволяющие рассматривать проектируемые объекты под разными углами без использования физических моделей.

Вычислительная геометрия играет важную роль в теории искусственного интеллекта, в разделе - искусственное зрение, компьютерное зрение и техническое зрение. Искусственное зрение означает возможность запрограммировать компьютер так, чтобы он мог визуально распознавать различные элементы изображения.

Новые геометрии не только возможны, но они открывают перед человечеством новые области знаний, которые являются практическим применением математики.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ



Во всей истории науки нет ничего более революционного, чем развитие

неевклидовых геометрий, которое до основания потрясло веру в то,
что теория Евклида является вечной истиной

Э. Каснер, Д. Ньюмен
(«Математика и воображение», 1941)



Все мы знаем множество геометрических понятий, потому что постоянно используем в нашей повседневной жизни. Но эти понятия относятся к так называемой «классической» или «евклидовой» геометрии, которую мы изучаем в школе. В XVIII веке непоколебимое на протяжении столетий учение Евклида было наконец поставлено под сомнение самыми выдающимися математиками того времени. История альтернативных интерпретаций пятого постулата является в равной мере историей неудач и гениальных открытий. С ней связаны самые известные в истории математики имена: Лобачевский, Бойяи, Гаусс, Риман… В своей работе мы рассмотрели три геометрии - евклидову, гиперболическую и эллиптическую и сравнили их. Какая же из них «правильная»? Они эквивалентны на относительно небольших расстояниях. Однако в случае астрономических расстояний или в таких областях современной физики, как теория относительности или распространение волн, неевклидовы геометрии дают более точное описание наблюдаемых явлений. В разных исследованиях используются различные геометрии, более подходящие для конкретной области знаний. Когда мы путешествуем по поверхности сферы или выполняем на ней какие-то измерения, мы находимся во Вселенной, в которой работает эллиптическая геометрия. Большинство оптических иллюзий и классических экспериментов по восприятию показывают, что люди воспринимают пространство как гиперболическое. Однако все это не означает, что от геометрии Евклида следует отказаться как от бесполезного пережитка прошлого. Евклидова геометрия по-прежнему является наиболее практичной в повседневной жизни: вовсе не обязательно использовать гиперболическую геометрию, чтобы переставить мебель в комнате.

До сих пор никто не смог доказать ни одно из следующих утверждений:

  1. Через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная данной.

  2. Через точку вне прямой проходит более одной прямой, параллельной данной.

  3. Через точку вне прямой не проходит ни одна прямая, параллельная данной.

Все эти постулаты возможны и приводят к новым геометриям.

В работе мы рассмотрели и новые геометрии 21 века. Это не просто абстрактные идеи в умах математиков: эти идеи помогают диагностировать заболевания, ориентироваться во время путешествия. Они сделали то, что на протяжении веков являлось незримым, и тем самым расширили наши горизонты.



Считаем, что гипотеза подтверждена, задачи выполнены, цель достигнута.



















СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ



  1. А.В. Силин, Н.А. Шмакова Открываем неевклидову геометрию – М.: Просвещение, 1988.

  2. [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://imwerden.de/pdf/lobachevsky_issledovaniya_po_teorii_parallelnyh_linij_1945.pdf/- Загл. с экрана.

  3. Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А.П. Савин. – М.: Педагогика, 1989

  4. [Электронный ресурс] – Режим доступа: norden120let-WinDjView/- Загл. с экрана.

  5. Мир математики: в 40 т. Т.4:Жуан Гомес. Когда прямые искривляются/ Пер. с англ. – М.: Де Агостини, 2014

  6. Г.Г. Глейзер История математики в школе IX-X классы. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1983 г.

  7. [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/- Загл. с экрана.

1 А.В. Силин, Н.А. Шмакова Открываем неевклидову геометрию – М.: Просвещение, 1988.

2 [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://imwerden.de/pdf/lobachevsky_issledovaniya_po_teorii_parallelnyh_linij_1945.pdf/- Загл. с экрана.

3 Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А.П. Савин. – М.: Педагогика, 1989

4 [Электронный ресурс] – Режим доступа: norden120let-WinDjView/- Загл. с экрана.





5 Мир математики: в 40 т. Т.4:Жуан Гомес. Когда прямые искривляются/ Пер. с англ. – М.: Де Агостини, 2014

26



Выбранный для просмотра документ Открываем неевклидовы геометрии.pptx

библиотека
материалов
Работу выполнил ученик 10 класса МОУ «Краснопресненская СОШ им. В.П. Дмитриев...
Гипотеза: открытие неевклидовых геометрий расширяют рамки возможностей челов...
Цель : рассмотреть различные геометрии и провести их сравнительный анализ Зад...
 300 год до н.э. «Начала» Евклида
23 определения 5 постулатов 48 предложений Страница из первой книги «Начал» Е...
 Пять знаменитых постулатов 5.
Греческий философ Прокл (410 – 485) Арабский математик Ибн ал-Хайсам (965 –...
 Лобачевский и Бойяи 1826 г.
«Я убежден, что отказ от постулата о параллелях не приводит к противоречию,...
Риман и эллиптическая геометрия Немецкий математик Бернхард Риман (1826 – 186...
 Наше исследование
 Модель гиперболической геометрии
Отличия:
 Модель эллиптической геометрии
Отличия:
ПОМНИТЕ! До сих пор никто не смог доказать ни одно из следующих утверждений:...
Геометрия 21 века
Самолет Ту-160 выполнен по нормальной аэродинамической схеме с крылом изменяе...
Современный компьютерный томограф - это сложный диагностический комплекс (это...
Структура предназначена для анализа изображений в материаловедении САПР  сист...
Компьютерная графика
Гиперболическая геометрия позволит создать карту интернета Геометрический "ат...
Учёные взялись за дело всерьёз, и затянувшаяся пьеса "В ожидании искусственн...
Фрактальная геометрия «Природа сыграла злую шутку с математиками. Учёным XIX ...
27 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Работу выполнил ученик 10 класса МОУ «Краснопресненская СОШ им. В.П. Дмитриев
Описание слайда:

Работу выполнил ученик 10 класса МОУ «Краснопресненская СОШ им. В.П. Дмитриева» Миллер Сергей Руководитель: Глазунова В.Г. «ОТКРЫВАЕМ НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ»

№ слайда 2 Гипотеза: открытие неевклидовых геометрий расширяют рамки возможностей челов
Описание слайда:

Гипотеза: открытие неевклидовых геометрий расширяют рамки возможностей человека

№ слайда 3 Цель : рассмотреть различные геометрии и провести их сравнительный анализ Зад
Описание слайда:

Цель : рассмотреть различные геометрии и провести их сравнительный анализ Задачи: рассмотреть основные понятия математической теории Евклида рассмотреть альтернативные интерпретации пятого постулата сравнить евклидову геометрию с геометрией гиперболической и эллиптической показать возрастающую важность геометрии в наше время

№ слайда 4  300 год до н.э. «Начала» Евклида
Описание слайда:

300 год до н.э. «Начала» Евклида

№ слайда 5 23 определения 5 постулатов 48 предложений Страница из первой книги «Начал» Е
Описание слайда:

23 определения 5 постулатов 48 предложений Страница из первой книги «Начал» Евклида, 1491 г.

№ слайда 6  Пять знаменитых постулатов 5.
Описание слайда:

Пять знаменитых постулатов 5.

№ слайда 7 Греческий философ Прокл (410 – 485) Арабский математик Ибн ал-Хайсам (965 –
Описание слайда:

Греческий философ Прокл (410 – 485) Арабский математик Ибн ал-Хайсам (965 – 1039) Германский математик Христофор Клавий (1538 – 1612). Английский математик Джон Валлис (1616 – 1703) Итальянский математик Джироламо Саккери (1667 – 1733) Швейцарский математик Иоганн Генрих Ламберт (1728 – 1777) На пути к неевклидовой геометрии

№ слайда 8  Лобачевский и Бойяи 1826 г.
Описание слайда:

Лобачевский и Бойяи 1826 г.

№ слайда 9 «Я убежден, что отказ от постулата о параллелях не приводит к противоречию,
Описание слайда:

«Я убежден, что отказ от постулата о параллелях не приводит к противоречию, хотя это правда, что получаемые результаты кажутся парадоксальными». Карл Фридрих Гаусс (1777 -1875)

№ слайда 10 Риман и эллиптическая геометрия Немецкий математик Бернхард Риман (1826 – 186
Описание слайда:

Риман и эллиптическая геометрия Немецкий математик Бернхард Риман (1826 – 1866) «Евклид утверждал, что через точку вне данной прямой можно провести только одну параллельную ей линию. Лобачевский писал, что параллельных ей линий можно провести сколько угодно, а я говорю, что нельзя провести ни одной».

№ слайда 11  Наше исследование
Описание слайда:

Наше исследование

№ слайда 12  Модель гиперболической геометрии
Описание слайда:

Модель гиперболической геометрии

№ слайда 13 Отличия:
Описание слайда:

Отличия:

№ слайда 14  Модель эллиптической геометрии
Описание слайда:

Модель эллиптической геометрии

№ слайда 15 Отличия:
Описание слайда:

Отличия:

№ слайда 16 ПОМНИТЕ! До сих пор никто не смог доказать ни одно из следующих утверждений:
Описание слайда:

ПОМНИТЕ! До сих пор никто не смог доказать ни одно из следующих утверждений: Через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная данной. Через точку вне прямой проходит более одной прямой, параллельной данной. Через точку вне прямой не проходит ни одна прямая, параллельная данной. Все эти постулаты возможны и приводят к новым геометриям

№ слайда 17 Геометрия 21 века
Описание слайда:

Геометрия 21 века

№ слайда 18 Самолет Ту-160 выполнен по нормальной аэродинамической схеме с крылом изменяе
Описание слайда:

Самолет Ту-160 выполнен по нормальной аэродинамической схеме с крылом изменяемой геометрии.

№ слайда 19 Современный компьютерный томограф - это сложный диагностический комплекс (это
Описание слайда:

Современный компьютерный томограф - это сложный диагностический комплекс (это комбинация рентгеновской установки и компьютера)

№ слайда 20 Структура предназначена для анализа изображений в материаловедении САПР  сист
Описание слайда:

Структура предназначена для анализа изображений в материаловедении САПР  система автоматизированного проектирования Вычислительная геометрия

№ слайда 21 Компьютерная графика
Описание слайда:

Компьютерная графика

№ слайда 22 Гиперболическая геометрия позволит создать карту интернета Геометрический &quot;ат
Описание слайда:

Гиперболическая геометрия позволит создать карту интернета Геометрический "атлас« Интернета

№ слайда 23 Учёные взялись за дело всерьёз, и затянувшаяся пьеса &quot;В ожидании искусственн
Описание слайда:

Учёные взялись за дело всерьёз, и затянувшаяся пьеса "В ожидании искусственного интеллекта" не означает, что он совсем не придёт.

№ слайда 24 Фрактальная геометрия «Природа сыграла злую шутку с математиками. Учёным XIX 
Описание слайда:

Фрактальная геометрия «Природа сыграла злую шутку с математиками. Учёным XIX века, возможно, не хватало воображения, зато у природы его было достаточно. Те патологические структуры, которые были изобретены математиками, желавшими оторваться от свойственного XIX веку натурализма, оказались основой множества хорошо знакомых, повсюду нас окружающих объектов». Изстатьи Ф. Дайсона «Анализ неупорядоченных структур», опубликованной в журнале "Science" в мае 1978 года

№ слайда 25
Описание слайда:

№ слайда 26
Описание слайда:

№ слайда 27
Описание слайда:


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

        Нам часто в повседневной жизни приходится измерять предметы. Математическую дисциплину, которая изучает такие задачи, древние греки назвали геометрией (geo означает «земля», а metrein– «измерять»). Когда мы говорим о геометрии, мы используем единственное число. Однако существуют и другие геометрии, которые устроены не так, как мы изучаем в школе. Разве ученые абсолютно точно знают, что такое на самом деле точка в пространстве или прямая линия, проходящая через нее? Может ли круг иметь форму прямоугольника? Знаем ли мы, что означает «параллельность»? Ответы на эти вопросы не являются вечными истинами, а меняются на протяжении времени. Евклид с полной убежденностью утверждал, что «через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной», но Лобачевский показал, что можно провести много параллельных прямых. Риман был не согласен с обоими и считал, что параллельные прямые не существуют. Кто же из этих великих математиков прав? Может быть, они все правы? Какая же «правильная» геометрия? Что представляет собой геометрия 21 века?

Работу выполнил ученик 10 класса. Работа заняла 1 место в районной научно-практической конференции "Открываем новые горизонты"

Автор
Дата добавления 05.11.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров980
Номер материала 108353
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх