ВВЕДЕНИЕ

Математика - это часть нашей жизни. На уроках в 9 классе рассматривается  определение арифметической и геометрической прогрессии,  даны формулы для нахождения любого члена прогрессии, суммы первых членов прогрессии. Для определения  расстояния, которое  пройдет свободно падающее тело за пятую секунду после начала падения,  можно воспользоваться формулой нахождения n-го члена арифметической прогрессии.

В настоящее время актуальна связь материала, изучаемого в школьном курсе математики, с жизнью.  

В средствах массовой информации можно услышать слова: «…увеличивается с геометрической прогрессией…», «…уменьшается по закону арифметической прогрессии…» и др. Ведь математика  – это    древняя наука, которая   возникла  из практических нужд человека. 

В заданиях ОГЭ используются задачи,   связанные с жизнью, на применение понятий и основных формул прогрессий.

Практическое применение  формул арифметической и геометрической прогрессии, можно   увидеть  в природе,  экономике других областях  жизни.

Цель: Выяснить, какое значение в жизни человека имеют арифметическая и геометрическая прогрессии, выявить примеры их практического применения в  повседневной жизни.

Гипотеза:  использование знаний о геометрической и арифметической прогрессия в различных сферах человеческой жизни. 

Задачи:

Изучить теоретический материал по данному вопросу.

Выяснить: с   какими   потребностями   человека   возникло понятие прогрессии.

   Проанализировать

наличие   задач   на   прогрессии   с   практическим   содержанием   в действующих учебниках алгебры 9 класса.

Провести анкетирование обучающихся.

Методы и методики, которые использовались при разработке проекта:

- Анализ различных источников информации: школьных   учебников, справочной литературы,  материала из Интернета.

-  Сравнение сведений из различной литературы, касающихся исследования.

-  Систематизация и обобщение полученной информации.

Арифметическая прогрессия - это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d.

Данное число d называют разностью прогрессии.

Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

a_n = a₁ + d (n – 1)

Сумму n первых членов арифметической прогрессии можно найти по формулам:     =     или      =

Геометрическая прогрессия

Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.

Геометрическая прогрессия  существует при  условиях:

1) Первый член не может быть равен нулю, иначе при умножении его на любое число  в результате получится нуль, и для следующего члена опять нуль, и т. д. Т. е. получится последовательность, состоящая из нулей. Это противоречит данному  выше определению геометрической прогрессии.

2) По тем же причинам, число, на которое умножаются члены прогрессии тоже должно быть отлично от нуля.

Геометрическая прогрессия имеет вид: 

Рассмотрим свойства геометрической прогрессии:

Из определения следует, что отношение любого члена геометрической прогрессии к предшествующему является постоянным числом, т. е. выполняется равенство:  - это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается буквой q.

Чтобы задать геометрическую прогрессию (b_n), достаточно знать ее первый член  b₁, а также  знаменатель q.

Последовательность называется возрастающей (убывающей), если каждый последующий член последовательности больше (меньше) предыдущего. Таким образом, если q > 0, то прогрессия является монотонной последовательностью.

Если же q = 1, то все члены прогрессии будут равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.

Любая геометрическая прогрессия обладает характеристическим свойством, которое является следствием определения геометрической прогрессии: последовательность (b_n) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов. Это свойство можно применить для нахождения любого члена  геометрической прогрессии по  известным двум рядом стоящим.

Для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии используют формулу:   .

Чтобы найти сумму n членов геометрической прогрессии, используют следующую формулу:

Геометрическая прогрессия обладает еще одним свойством, которое следует из определения знаменателя геометрической прогрессии:

, т. е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, является постоянной величиной.

Эти формулы можно применять для решения интересных задач исторического,  литературного, а также практического содержания.

Историческая справка

Представления об арифметической и геометрической прогрессиях использовали древние народы при решении задач,  связанных с хозяйственной жизнью - это распределение продуктов питания, деление наследства и др..

Слово «прогрессия» произошло от латинского progression  и означает «движение вверх». Впервые этот термин  ввел римский автор Боэций, который жил в 6 веке. Примеры арифметической и геометрической прогрессий встречаются в клинописных табличках вавилонян,  в египетских папирусах, которые относятся ко II тысячелетию до н.э..

Великий ученый Архимед (287–212 гг. до н. э) применил прогрессии для нахождения площадей и объемов фигур,  он вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел.

Леонардо Пизанский в «Книге абака» (1202) сформулировал правило нахождения суммы членов арифметической прогрессии.

Древнегреческий ученый Диофант, живший в 3 веке, доказал формулу суммы членов арифметической прогрессии. Формула суммы членов геометрической прогрессии упоминалась  еще в   3 веке до н.э. в книге Евклида “Начала”.

Знаменитый немецкий математик К. Гаусс (1777-1855) в детстве проявлял способности к математике.  Учитель предложил ученикам сложить все натуральные числа от 1 до 100. Гаусс поразил учителя, решив задачу за одну минуту. Он сообразил, что суммы 1+100, 2+99 и т.д. равны, умножил 101 на 50, т.е. на число таких сумм, т.е. заметил закономерность, которая присуща арифметическим прогрессиям.      

Известна интересная задача-легенда.

«В Индии была придумана шахматная игра. Индусский царь Шерам позвал к себе своего подданного Сету - изобретателя шахматной игры, чтобы наградить его за  удачную выдумку. Это был скромно одетый ученый, который жил на средства, получаемые от своих учеников. Изобретатель шахмат попросил в награду столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – в 2 раза больше - два зерна, на третью – еще в 2 раза больше, т. е. 4 зерна и т. д.  до 64 – ой клетки.

Царь удивился, что скромное  желание Сеты  выполнить невозможно.

В задаче надо сумму 64 членов геометрической прогрессии, первый член которой равен единице, а знаменатель -  2.

Вес всех пшеничных зернах больше триллиона тонн.  Это превосходит количество пшеницы, которая собрана человечеством до настоящего времени.

1. Арифметическая и геометрическая прогрессия в нашей жизни

Первые примеры задач, которые дошли до нашего времени на прогрессии- это задачи, которые были связаны с запросами хозяйственной жизни и практикой в обществе. В наше время использование формул арифметической и геометрической прогрессии так же не является исключением. Их практическое применение мы можем увидеть при подсчёте в программировании, экономике, химии, литературе, физике, биологии, геометрии, экономике, статистике, и конечно же в нашей с вами повседневной жизни. Попробуем рассмотреть каждый из этих примеров более подробно

1.1.Прогрессии на уроках в школьном курсе

            На уроках химии, физики мы встречаем задачи, для решения которых также необходимы знания формул прогрессий

Например, при условии повышения температуры по арифметической прогрессии, скорость химической реакций будет возрастать по примеру геометрической прогрессии. При повышении температуры от +10 до + 50 градусов, скорость реакции увеличивается в 120 раз(химия) или Улитка ползет по дереву. За 1 минуту она проползет 20 см, а за каждую последующую— на 2 см больше, чем за предыдущую. За какое время достигнет улитка вершины дерева длиной 7,5 м, если
считать, что движение улитка начала от основания?

Встретить прогрессию можно даже в литературе . Яркий пример – ямб или хорей. Ямб- это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2,4, 6, 8… . Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2

 «Так бей, не знай отдохновенья,
Пусть жила жизни глубока:
Алмаз горит издалека - 
Дроби, мой гневный ямб, каменья!» (И. Блок)

Хорей – это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7…

«Я пропАл , как звЕрь в загОне…» (Б.Л.Пастернак)

1.2 Прогрессии в природе

Одним из самых показательных примеров прогрессий служит природа. Ученые-биологи выяснили и пришли к выводу, что одноклеточные микроорганизмы размножаются с геометрической прогрессией. Одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и т. д.  (арифметическая прогрессия)

Способность к размножению у бактерий настолько огромна, что в случае, если бы они не гибли от различного вида причин, то масса потомства даже одной бактерии смогла бы составить более семи с половиной тысяч тонн

Эту особенность размножения бактерий используют в пищевой промышленности при изготовление кисломолочных продуктов, при закваске, и многое другое др., в фармацевтической промышленности для создания лекарств и вакцин, в сельском хозяйстве для приготовления корма для животных,  в коммунальном  хозяйстве  для очистки сточных вод.

Эти же законы применимы и для размножения рептилий, птиц, млекопитающих. Используя известные всем нам формулы и специальные знания в области своего исследования, ученые-естественники могут рассчитать прирост животных не только в заповедниках, но и в дикой природе.

Использование этих же формул мы можем встретить и в такой науке, как статистика при расчетах, связанных с демографией человечества.

1.3 Прогрессии строительстве и инженерном деле

Давайте представим с вами, что мы работаем учетчиками на стройке, куда привезли большое количество бревен строевого леса. Перед нами стоит задача- определить, сколько бревен привезли. Например6

Задача: При хранении бревен их укладывают таким образом, как показано на рисунке ниже. Сколько бревен находится в одной такой кладке, если в основании 15 бревен?

Решение:

а₁= 15, а_n=1, d= -1

S_n- ?

a_n = a₁+ d · (n - 1)

1 = 15 + (n – 1)·(-1)

1 = 15 - n +1

n= 15 + 1 – 1

n= 15

Ответ: 120 бревен.

Встречаются случаи, когда формулами арифметической прогрессии пользуются и специалисты по строительству при строительстве сооружений или конструкций.

1.4 Прогрессии в медицине

В данный момент мы с вами столкнулись с инфекцией под названием «коронавирус». А ведь распространение любой инфекции идет по такой же схеме среди людей.  Если представить ее распространение схематически, то оно будет выглядеть следующим образом: инфицированный человек или источник инфекции передаёт возбудителя болезни другим людям, каждый вновь инфицированный вовлекает в эпидемический процесс n – ое число людей, т.е. возникает инфекция.

Так же в качестве примера можно рассмотреть прием препаратов медицинских – 2 таблетки 3-4раза в день, т.е. часы приема: 7 часов, 14 часов, 21 час

1.5.Прогрессии в банковских расчетах и экономике

Одно из самых широких распространений имеет прогрессия в экономике как любого государства в целом, так и отдельной личности. Ярким примером является работа банков. С помощью формул прогрессии банки производят расчеты с вкладчиками, определяют, средства, которые возможно разместить в кредиты.

Денежные вклады под проценты — это пример геометрической прогрессии. Зная формулы суммы членов, мы можем подсчитывать сумму по вкладу. Каждому из нас в жизни приходится решать задачи, связанные с денежными вкладами. Вклады в банках увеличиваются по схемам сложных и простых процентов. Простые проценты – увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии. Сложные проценты – увеличение первоначального вклада в геометрической прогрессии

      1.6.Прогрессии в других областях жизни и деятельности человека

Примеры прогрессии можно встретить и в спорте при расчетах подъёма альпинистов

При возведении многоэтажных зданий (каждый последующий этаж выше предыдущего приблизительно на 3 метра)

При ядерной реакции распада урана с помощью нейтронов в ядерной промышленности.

Даже такое явление, как слухи, может также являться примером прогрессии.

2.Практическая часть исследования применения прогрессии в жизни

Для своего исследования   я взял два банка <РНКБ> и <Генбанк>.

Пообщавшись с специалистами обоих банков, я решил определить стоимость кредита в разных банках с одинаковыми условиями и понаблюдать за прогрессией в этих расчётах. Для себя я поставил цель выяснить во сколько обойдётся мне кредит в обоих банках на одинаковою сумму и на одинаковые время.

Учитывая результаты моего исследования, я смог сделать вывод что <Генбанк> предоставляет наиболее лучшие условия для кредита. <РНКБ> предоставляет ставку за год 9.9% на сумму 300 тыс. сроком 12 месяцем из этого ежемесячный платёж составит 26361 руб. , в свою очередь <Генбанк > с такими же условиями предоставляет ставку за год 7.9% с ежемесячным платежом 26082 руб. Из этого следует что тема прогрессии действительно тесно связана с кредитованием.

Так же мною был проведен опрос среди учеников нашей школы 9 и 11 классов. Опрос состоял из таких вопросов:

1.      Знаете ли вы, как найти член арифметической/геометрической прогрессии?

2.      Знаете ли вы откуда произошла арифметическая или геометрическая прогрессия?

3.      В каких профессиях встречается прогрессия?

4.      Ваши родители когда-нибудь брали кредит?

5.      Для каких целей?

6.      В каких банках брали кредит?

Согласно данным этого опроса 95% учеников знают, как найти член арифметической или геометрической прогрессии, всего 11% знают, как появилась прогрессия.

На вопрос в каких профессиях встречается прогрессия ученики ответили: 35% учителя, 30% работники банка, 15% не ответили вовсе, 5% врачи, 8% бухгалтеры и 4% продавцы. 54% родителей хоть раз, но брали кредит.

Наиболее распространённой целью было: покупка или ремонт квартиры, приобретение машины.

60% опрошенных брали кредит в Генбанке.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Арифметическая и геометрическая прогрессии применяются практически во всех сферах жизнедеятельности людей. Следует отметить их применение в таких областях как: физика, природа, биология, музыка, медицина и многие другие.

Под математической задачей с практическим содержанием (задачей прикладного характера) мы понимаем задачу, фабула которой раскрывает приложения математики в смежных учебных дисциплинах, технике, в быту.

Анализируя решение приведенных задач в проекте, можно сделать вывод, что математика имеет аппарат, использование которого при реализации меж предметных связей математики с физикой и другими науками ведет к осознанию единства мира и интеграции научных знаний.

Таким образом, показано: почему знания арифметической и геометрической прогрессии необходимы для современного человека.   

Связь математики с окружающим миром позволяет материализовать знания. Это помогает нам лучше понять жизненную необходимость знаний, приобретаемых в школе. Математические задачи на прогрессии  применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Также следует отметить их применение  в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология и многих других науках.

 В ходе выполнения данного исследования я:

ü  установил, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл;

ü  убедился в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.;

ü  нашел много задач на арифметическую и геометрическую прогрессию в старых и в современных учебниках по математике. Заметил, что арифметическая прогрессия в практических задачах встречается чаще геометрической;

ü  Я научился пользоваться различными источниками информации;

ü  Научился вычислять процент по кредиту;

ü  Узнал, что тема прогрессии широко распространена в кредитование;

ü  Научился проводить опрос.

Таким образом, поставленная цель проекта установить картину возникновения  понятия прогрессии; выявление интересных фактов  о прогрессиях; применение прогрессий в жизненных ситуациях достигнута, проблема решена.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

·         Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович. – 9-е изд., стер. – М.:Мнемозина, 2007. – 231 с.;

·         Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев и др. под ред. С.А. Теляковского –М.: Просвещение, 2009 – 271 с.;

·         Алгебра. 9 класс, : Учебник для общеобразовательных учреждений / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феактистов И.Е. . -М.: Мнеозина, 2008, -447с. № 698, 699,702,725,734, 788, 789 (7 задач)

·         Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных.9 кл.: Учебник  для общеобразовательных учебных заведений/ Г.В. Дорофеев , С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; под ред. Г.В. Дорофеева. -М. :Дрофа, 2000,-352с.;

·         Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990.-224сю;

·         Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.-352с..

·         http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm

·         http://students.tspu.ru/students/legostaeva/index.php?page=op

·         http://festival.1september.ru/articles/568100/