Проект Частота и вероятность событий

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ИТОГОВЫЙ ПРОЕКТ

Частота и вероятность событий

Выполнил:

,
обучающийся 9 класса

Руководитель проекта:

учитель математики

2022 год

Оглавление

Введение…………………………………………………………………………. 3

Глава I. Понятие и история теории вероятностей.………………………….6

1.1.          История возникновения теории вероятностей……………………………6

1.2.          Средневековая Европа и начало Нового времени. ..………………….….6

1.3.          Теория вероятностей……………………………………………………….7

1.4.          Применение теории вероятности………………………………………….9

1.4.1.   Применение теории вероятности в астрономии……………………...9

1.4.2.   Применение теории вероятности в физике ………………………….10

1.4.3.   Применение теории вероятности в биометрии...……………………10

1.4.4.   Применение теории вероятности в сельском хозяйстве……………10

1.4.5.   Применение теории вероятности в промышленности..…………….11

1.4.6.   Применение теории вероятности в медицине……………………….11

1.4.7.   Применение теории вероятности в экономике и банковском деле...11

1.5.          Случайные события……………………………………………………….12

1.5.1.   Элементарные события………………………………………………..13

1.5.2.   Противоположные события…………………………………………..14

1.5.3.   Сложение вероятностей……………………………………………….15

1.5.4.   Умножение вероятностей……………………………………………..16

1.5.5.   Условная вероятность…………………………………………………17

1.6.          Формула Бернулли. Закон больших чисел………………………………18

II.   Проектная часть…………………………………………………………….19

2.1.          ОГЭ как пример использования теории вероятности в жизни ………..19

2.2.          Расчет вероятности сдачи ОГЭ по формуле Бернулли……………...….21

Заключение……………………………………………………………………...22

Список использованной литературы и интернет-источников…………...23

Приложение……………………………………………………………………..24

Приложение 1. Математики, изучавшие теорию вероятности

Приложение 2. Примеры экзаменационных задач на вычисление вероятности

Приложение 3. Результаты опроса среди обучающихся 8 класса

Приложение 4. Результаты опроса среди обучающихся 9 класса

Приложение 5. Анализ успеваемости девятиклассников

Приложение 6. Экспериментальный тест

Приложение 7. Анализ экспериментального теста

Введение

«Теория вероятности есть в сущности не что иное, как здравый смысл сведённой к исчислению»
Пьер-Симон Лаплас (французский математик)

Людей всегда интересовало будущее. Человечество всё время было в поисках способа его предугадать, или спланировать, в разное время разными методами. В наше время есть теория, которую наука признает и пользуется для планирования и прогнозирования будущего. Речь идет о теории вероятностей.

В жизни нередко приходится иметь дело со случайными событиями и расчетами, связанными с ними. Теория вероятности используется не только в азартных играх и букмекерских конторах, но и при оценке рисков страховыми компаниями и банками. Также она помогает определить надежность различных технических устройств, например, подушек безопасности.

Теория вероятностей считается одним из классических разделов математики. Вероятностные и статистические методы в реальное время глубоко проникли в нашу жизнь. Случай, случайность – с ними мы встречаемся каждый день. Как возможно «предвидеть» наступление случайного события? Так как оно может произойти, а может и не сбыться! Казалось бы, здесь нет места для математики. Но математика нашла методы оценивать вероятность наступления случайных событий. Они дают возможность человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.

Тему, выбранную мной, нельзя назвать совсем новой, но это не делает её менее актуальной, так как она связана с нашей жизнью. Я заинтересовался, как часто мы сталкиваемся с теорией вероятностей в нашей жизни и какую она играет роль. Также эта тема позволяет углубить знания о важном разделе математики, связанном с вероятностями.

Цель: познакомится с историей возникновения теории вероятности и определить ее значение в современном мире.

Задачи проекта: 

ü    Собрать, изучить и систематизировать материал о теории вероятностей, воспользовавшись различными источниками информации.

ü    Рассмотреть использование теории вероятности в различных сферах жизнедеятельности.

ü    Провести опрос среди обучающихся МБОУ СОШ №6.

ü    Провести исследование по определению вероятности получения положительной оценки при сдаче ОГЭ путем угадывания правильного ответа.

Объект исследования: теория вероятностей.

Предмет исследования: практическое применение теории вероятностей.

 Вероятность — одно из основных понятий не только в математической статистике, но и в жизни любого человека. Так каждому из нас каждый день приходится принимать множество решений в условиях неопределенности.

Однако эту неопределенность можно «превратить» в некоторую определенность. И тогда это знание может оказать существенную помощь при принятии решения. Как ни странно, но человек часто применяет теорию вероятностей в повседневном быту, хотя может и не знать математические формулы и распределения кривой вероятности, и это не обязательно. Жизненный опыт, логика и интуиция всегда подсказывают человеку его шансы на удачу, будь то поступление на работу, карьера, личная жизнь, решение проблем, возможность выигрыша и т.п.

Гипотеза: с помощью теории вероятностей можно с большой степенью уверенности предсказать события, происходящие в нашей жизни.

Методы исследования:  

-       анализ теоретической литературы;

-       математические расчеты;

-       опрос;

-       эксперимент;

-       сопоставление полученных данных.

Практическая значимость состоит в том, что, проведенное в данной работе, исследование может служить стимулом для сверстников к более ответственной подготовке к предстоящим экзаменам. Кроме того, можно использовать материал на уроках алгебры, как пример применения вероятности на практике. На классных часах, для повышения ответственности при подготовке к экзамену, девятиклассники были ознакомлены с результатами исследования.

Глава I. Понятие и история теории вероятностей

1.1.          История возникновения теории вероятности

Французский дворянин, некий господин де Мере, был азартным игроком в кости и страстно хотел разбогатеть. Он затратил много времени, чтобы открыть тайну игры в кости. Он выдумывал различные варианты игры, предполагая, что таким образом приобретет крупное состояние. Так, например, он предлагал бросать одну кость по очереди 4 раза и убеждал партнера, что по крайней мере один раз выпадет при этом шестерка. Если за 4 броска шестерка не выходила, то выигрывал противник.

В те времена еще не существовала отрасль математики, которую сегодня мы называем теорией вероятностей, а поэтому, чтобы убедиться, верны ли его предположения, господин Мере обратился к своему знакомому, известному математику и философу Б. Паскалю с просьбой, чтобы он изучил два знаменитых вопроса: первый из которых он попытался решить сам. Вопрос был такой: «Сколько раз надо бросать две игральные кости, чтобы случаев выпадения сразу двух шестерок было больше половины от общего числа бросаний. Паскаль не только сам заинтересовался этим, но и написал письмо известному математику П. Ферма, чем спровоцировал его заняться общими законами игры в кости и вероятностью выигрыша.

Таким образом, азарт и жажда разбогатеть дали толчок возникновению новой чрезвычайно существенной математической дисциплины: теории вероятностей (Приложение 1)

1.2. Средневековая Европа и начало Нового времени

В обширной математической энциклопедии «Сумма арифметики, геометрии, отношений и пропорций» итальянца Луки Пачоли (1494) содержатся оригинальные задачи на тему: как разделить ставку между двумя игроками, если серия игр прервана досрочно.

Крупный алгебраист XVI века Джероламо Кардано посвятил анализу игры содержательную монографию «Книга об игре в кости» (1526 год, опубликована посмертно). Кардано провёл полный и безошибочный комбинаторный анализ для значений суммы очков и указал для разных событий ожидаемое значение доли «благоприятных» событий. Кардано сделал проницательное замечание: реальное количество исследуемых событий может при небольшом числе игр сильно отличаться от теоретического, но чем больше игр в серии, тем доля этого различия меньше. По существу, Кардано близко подошёл к понятию вероятности: итак, имеется одно общее правило для расчёта: необходимо учесть общее число возможных выпадений и число способов, которыми могут появиться данные выпадения, а затем найти отношение последнего числа к числу оставшихся возможных выпадений.

Исследованием данной темы занимался и Галилео Галилей, написавший трактат «О выходе очков при игре в кости» (1718 год, опубликован посмертно). Изложение теории игры у Галилея отличается исчерпывающей полнотой и ясностью. В своей главной книге «Диалог о двух главнейших системах мира, Птолемеевой и Коперниковой». Галилей также указал на возможность оценки погрешности астрономических и иных измерений, причём заявил, что малые ошибки измерения вероятнее, чем большие, отклонения в обе стороны равновероятны, а средний результат должен быть близок к истинному значению измеряемой величины. Эти качественные рассуждения стали первым в истории предсказанием нормального распределения ошибок.

В разработке основ теории вероятности принимали участие математики такого масштаба, как Паскаль и Ферма, Гюйгенс (1629—1695), который написал тракта «О расчетах при азартных играх», Яков Бернулли (1654—1705), Муавр (1667—1754), Лаплас (1749— 1827), Гаусс (1777—1855) и Пуассон (1781—1840).

 В наше время теория вероятности используется почти во всех отраслях знаний: в статистике, синоптике (прогноз погоды), биологии, экономике, технологии, строительстве и т. д.

1.3. Теория вероятностей

При изучении явлений, мы проводим эксперименты, в ходе которых происходят различные события. В них различают: достоверные, случайные, невозможные, равновероятные.

Событие U называют достоверным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие U обязательно произойдет. Например, достоверным будет появление одного из шести чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 при одном бросании игральной кости.

Событие называют случайным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания оно может произойти, а может и не произойти. Например, при однократном бросании игральной кости может выпасть число 1 или не выпасть, т.е. событие является случайным.

Равновероятные события – это события, которые при данных условиях имеют одинаковые шансы для наступления.

Вероятность события А обозначается буквой Р(А) формула записывается так: Р(А)= m/n, где m ≤n. Из формулы следует, что 0≤ Р(А)≤ 1.

Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов m, благоприятствующих событию А, к числу исходов n всех исходов испытания – классическое определение вероятности [1]

Классическое определение вероятности используется для выявления благоприятных исходов теоретическим путем (Приложение2)

Но встречаются случаи, когда без практики определить число благоприятных исходов невозможно. Например, без многократного подбрасывания кнопки, трудно определить, равновозможны ли ее падения на «на плоскость» или на «острие». В таких случаях используется статистическое определение вероятности.

Статистическая вероятность (частота, относительная частота) – это отношение числа испытаний, в которых событие появилось к общему числу фактически произведенных испытаний.

Формула Бернулли - это формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях.

Чтобы найти каковы шансы наступления события А в данной ситуации, необходимо:

-       найти общее количество исходов этой ситуации;

-       найти количество возможных исходов, при которых произойдёт событие А;

-       найти, какую часть составляют возможные исходы от общего количества исходов. (Приложение2)

1.4. Применение теории вероятности

В 19 и 20 столетиях теория вероятностей проникает сначала в науку (астрономию, физику, биологию), потом в практику (сельское хозяйство, промышленность, медицину), и наконец, после изобретения компьютеров, в повседневную жизнь любого человека, пользующегося современными средствами получения и передачи информации. Проследим применение в различных областях.

1.4.1. Применение теории вероятности в астрономии

Именно для использования в астрономии был разработан знаменитый “метод наименьших квадратов” (Лежандр 1805, Гаусс 1815). Главной задачей, для решения которой он был первоначально использован, стал расчет орбит комет, который приходилось производить по малому числу наблюдений. Ясно, что надежное определение типа орбиты (эллипс или гипербола) и точный расчет ее параметров оказывается трудным, так как орбита наблюдается лишь на небольшом участке. Метод оказался эффективным, универсальным, и вызвал бурные споры о приоритете. Его стали использовать в геодезии и картографии. Сейчас, когда искусство ручных расчетов утрачено, трудно представить, что при составлении карт мирового океана в 1880-х годах в Англии методом наименьших квадратов была численно решена система, состоящая из примерно 6000 уравнений с несколькими сотнями неизвестных.

1.4.2. Применение теории вероятности в физике

Во второй половине 19 века в работах Максвелла, Больцмана и Гиббса была развита статистическая механика, которая описывала состояние разряженных систем, содержащих огромное число частиц (порядка числа Авогадро). Если раньше понятие распределения случайной величины было преимущественно связано с распределением ошибок измерения, то теперь распределенными оказались самые разные величины – скорости, энергии, длины свободного пробега.

1.4.3. Применение теории вероятности в биометрии

В 1870-1900 годах бельгиец Кетле и англичане Френсис Гальтон и Карл Пирсон основали новое научное направление – биометрию, в которой впервые стала систематически и количественно изучаться неопределенная изменчивость живых организмов и наследование количественных признаков. В научный оборот были введены новые понятия – регрессии и корреляции.

Итак, вплоть до начала 20 века основные приложения теории вероятности были связаны с научными исследованиями. Внедрение в практику – сельское хозяйство, промышленность, медицину произошло в 20 веке.

1.4.4. Применение теории вероятности в сельском хозяйстве

В начале 20 века в Англии была поставлена задача количественного сравнения эффективности различных методов ведения сельского хозяйства. Для решения этой задачи была развита теория планирования экспериментов, дисперсионный анализ. Основная заслуга в развитии этого уже чисто практического использования статистики принадлежит сэру Рональду Фишеру, астроному по образованию, а в дальнейшем фермеру, статистику, генетику, президенту английского Королевского общества. Современная математическая статистика, пригодная для широкого применения в практике, была развита в Англии (Карл Пирсон, Стьюдент, Фишер). Стьюдент впервые решил задачу оценки неизвестного параметра распределения без использования байесовского подхода.

1.4.5. Применение теории вероятности в промышленности

Введение методов статистического контроля на производстве (контрольные карты Шухарта). Сокращение необходимого количества испытаний качества продукции. Математические методы оказываются уже настолько важными, что их стали засекречивать. Так книга с описанием новой методики, позволявшей сократить количество испытаний (“Последовательный анализ” Вальда), была издана только после окончания второй мировой войны в 1947 году.

1.4.6. Применение теории вероятности в медицине

Широкое применение статистических методов в медицине началось сравнительно недавно (вторая половина 20 века). Развитие эффективных методов лечения (антибиотики, инсулин, эффективная анестезия, искусственное кровообращение) потребовало достоверных методов оценки их эффективности. Возникло новое понятие “Доказательная медицина”.

С середины 1980-х годов возник новый и важнейший фактор, революционизировавший все приложения теории вероятностей – возможность широкого использования быстрых и доступных компьютеров. Почувствовать всю громадность произошедшего переворота можно, если учесть, что один современный персональный компьютер превосходит по быстродействию и памяти все компьютеры СССР и США, имевшиеся к 1968 году, времени, когда уже были осуществлены проекты, связанные со строительством атомных электростанций, полетами на Луну, созданием термоядерной бомбы.

1.4.7. Применение теории вероятности в экономике и банковском деле

Широкое применение имеет теория риска. Теория риска есть теория принятия решений в условиях вероятностной неопределенности. С математической точки зрения она является разделом теории вероятностей, а приложения теории риска практически безграничны. Наиболее продвинута финансовая область приложений: банковское дело и страхование, управление рыночными и кредитными рисками, инвестициями, бизнес-рисками, телекоммуникациям. Развиваются и нефинансовые приложения, связанные с угрозами здоровью, окружающей среде, рисками аварий и экологических катастроф, и другими направлениями.

1.5. Случайные события

В мире происходят события, которые можно предсказать. Например, можно предсказать приезд лифта после того, как человек нажмет кнопку его вызова. Астрономы могут заранее предсказывать солнечные и лунные затмения. Однако нередко нам приходится иметь дело с событиями, результат которых заранее предсказать невозможно. Не получается заранее сказать, упадет ли монетка при подбрасывании орлом вверх, также как нельзя заранее предсказать поломку прибора. Такие события называются случайными.
Случайные события – это событие, которое может либо произойти, либо не произойти.

Случайные события обычно могут произойти только в определенной ситуации. Так, событие «выпадение решки» может произойти только при броске монеты. В математике подбрасывание монетки будет называться испытанием или экспериментом.

Эксперимент, испытание, опыт, случайный эксперимент – это событие, в результате которого может произойти случайное событие.
Здесь не следует воспринимать термин «эксперимент» как некое научное исследование. Испытанием может оказаться любая жизненная ситуация. Приведем несколько примеров опытов и соответствующих им случайных событий:

-       Бросок кубика с 6 гранями – это эксперимент, а выпадение или не выпадение шестерки на нем – это случайное событие.

-       Полет самолета – испытание, а отказ двигателя в полете – это случайное событие.

-       Ожидание автобуса на остановке в течение 10 минут – эксперимент, а появление или непоявление автобуса в этот промежуток времени – случайное событие.

-       Футбольный матч – опыт, а победа в нем команды хозяев или травма одного из игроков – случайное событие.

-       Выстрел из винтовки – испытание, а попадание в мишень – случайное событие.

-       Изготовление рабочим детали – эксперимент, а получение бракованной детали – случайное событие.

Здесь важно отметить, что для математики не важно, является ли событие по-настоящему случайным. Возможно, что автобус ходит строго по расписанию, и человек, знающий его, точно может определить, через сколько минут он приедет. Но если рядом стоит другой человек, не знающий этой информации, то для него приезд автобуса будет случайным событием.

У нас есть возможность провести какой-то эксперимент множество раз. Например, кубик можно бросить 500 раз. Обозначим это число, количество экспериментов, как n. В ходе серии этих бросков шестерка выпала, например, 100 раз. Обозначим эту величину, количество произошедших случайных событий, как m. Само событие «выпадение шестерки» обозначим как А. Тогда отношение m/n будет называться частотой случайного события А. В данном случае частота события А равна 100/500 = 0,2.

1.5.1. Элементарные события

Часто одно случайное событие можно представить как результат нескольких случайных событий. Например, событие «выпадение на кубике четного числа» произойдет в том случае, если случится хотя бы одно из следующих событий:

∙выпадет двойка;

∙выпадет четверка;

∙выпадет шестерка.

Если событие нельзя «разбить» на более простые события, то его называют элементарным событием. Считается, что в ходе испытания может произойти только одно элементарное событие. Так, при броске кубика произойдет одно из 6 элементарных событий:

ü выпадет единица;

ü выпадет двойка;

ü выпадет тройка;

ü выпадет четверка;

ü выпадет пятерка;

ü выпадет шестерка.

Элементарное событие - это один из возможных исходов эксперимента, который нельзя разбить на более простые события.
В большинстве случаев вероятность элементарных событий одинакова. Действительно, нет причин полагать, что при броске кубика шестерка будет выпадать чаще двойки. Если у двух элементарных событий одинаковая вероятность, то их называют равновозможными событиями.
Равновозможные события-это элементарные события, вероятность которых одинакова.

Если в результате эксперимента происходит одно из равновозможных событий, число которых равно n, то вероятность каждого из них принимается равной дроби 1/n.

1.5.2. Противоположные события

Заметим, что если сложить вероятности всех элементарных событий, которые возможны в ходе эксперимента, то получится единица.

Действительно, при броске монеты возможны два события с вероятностью 1/2. Сумма их вероятностей составляет 1/2 + 1/2 = 1.

Сумма вероятностей всех элементарных событий, которые могут произойти в результате эксперимента, всегда равна единице.

 Это правило действует и в том случае, когда речь идет о не равновозможных событиях. Так, при выстреле по мишени возможны два варианта развития событий – попадание в цель или промах.
Пусть вероятность попадания в цель равна 0,3. Это значит, что вероятность промаха составляет 0,7, так как только в этом случае сумма этих вероятностей будет равна единице: 0,7 + 0,3 = 1.

Заметим, что при стрельбе стрелок либо попадет в цель, либо промажет. То есть одно из двух этих событий обязательно произойдет, но только оно одно. Подобные события называют противоположными.

Противоположные события – это два события, которые не могут произойти одновременно, но одно из них обязательно произойдет.

Противоположными являются такие события, как:
∙падение монеты либо одной стороной вверх (орлом), либо другой (решкой);
∙выпадение четного или нечетного числа на шестигранном кубике;
изготовление рабочим годной или получение бракованной детали.
Стоит отметить, что победа одной и победа другой команды в футбольном матче – это не противоположные события, так как возможен третий исход – ничья. Однако в ряде спортивных состязаний ничья невозможна, и тогда победы команд – это противоположные события.

1.5.3. Сложение вероятностей

До этого мы рассматривали элементарные события. Однако значительно чаще нас интересуют более сложные события, которые состоят из элементарных. Как рассчитать их вероятность?

Теорема сложения вероятностей: Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: P (A+B)=P (A)+P (B).

Следствие: Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: P (A 1 +A 2 +...+A n)=P (A 1)+P (A 2)+...+P (A n).

Несовместимые события — это события, которые не могут произойти одновременно в ходе одного эксперимента.

Так, при броске кубика не может сразу выпасть пятерка и четное число (потому что 5 – это нечетное число). Хоккейный матч не может одновременно окончиться и ничьей, и победой одной из команд.
Заметим, что любые два элементарных события несовместны, также как и любые два противоположных события.

Для несовместных событий справедлива теорема сложения вероятностей.
Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P (A + B) = P (A) + P (B).

1.5.4. Умножение вероятностей

До этого мы рассматривали сложные события, которые происходили тогда, когда происходило одно из элементарных событий. Например, в забеге, где участвовали два китайца, представитель Поднебесной побеждал, если выигрывал ИЛИ 1-ый китаец, ИЛИ 2-ой. Ключевое слово здесь – ИЛИ. Однако в некоторых случаях событие происходит лишь тогда, когда происходят одновременно сразу два более простых события. Пусть надо вычислить вероятность того, что при двух подбрасываниях монеты они оба раза упадет орлом вверх. Возможны 4 случая:

∙сначала выпадет орел, потом еще раз орел (назовем этот случай ОО);
∙сначала падает орел, а потом решка (ОР);

∙первым выпадет решка, а потом орел (РО);

∙оба раза выпадет решка (РР).

Введем одно важное понятие – независимые события.
События являются независимыми, если вероятность наступления любого из них не зависит от появления остальных событий рассматриваемого множества событий.

Так, какое бы число не выпало на 1-ой кости, вероятность выпадения на второй, например, четверки останется равной 1/6. Как бы ни падала монетка при первом броске, при 2-ом шанс выпадения орла останется равным 1/2. Для наглядности приведем пример зависимых событий. Пусть А – вероятность победы в забеге одного бегуна, и Р(А) = 0,1. В – вероятность победы второго бегуна, и Р(В) = 0,1. Но очевидно, что победить может лишь один спортсмен. Поэтому, если случится событие А, то вероятность события В изменится – она опустится до нуля.

Вероятность того, что одновременно произойдет два независимых события, равно произведению вероятностью этих событий: P (A и B) = P(A)∙P(B),
Ещё раз обратим внимание, что оно действует только для независимых случайных событий.

1.5.5. Условная вероятность

Иногда можно перемножать вероятности событий, не являющихся в полном смысле слова независимыми. Пусть для того, чтобы произошло событие А, необходимо, чтобы последовательно произошли В и С. В зависимости от того, произошло ли В, вероятность С может отличаться. Например, в урне лежат 4 шарика – 2 красных и 2 желтых. Предположим, что произошло событие В – был вытащен красный шар. Его вероятность равна 0,5. Чему тогда равна вероятность события С – вытаскивания желтого шарика? В урне осталось 3 шара, из них 2 желтых, поэтому Р(С) = 2/3.

С другой стороны, пусть В не произошло, то есть первым был вынут желтый шар. Чему тогда равна вероятность С? В урне снова 3 шарика, но лишь 1 из них желтый. Следовательно, Р(С) = 1/3. Получается, что в зависимости от того, случилось ли В, вероятность Р(С) принимает разные значения. В математике такую вероятность называют условной.

Условная вероятность события С при условии события B – это вероятность того, что случится событие С, если известно, что уже случилось событие B. Обозначается она так: Р(С|B). Первая буква в скобках соответствует событию, для которого указываем вероятность, а вторая буква – событию, которое является условием для С. Если событие А произойдет тогда, когда свершится сначала В, а потом С, то вероятность. А также можно найти с помощью умножения Р(А) = Р(В)•Р(С|B).

1.6. Формула Бернулли. Закон больших чисел

При введении понятия вероятности отмечалось, что если вероятность некоторого события А равна p, то вероятнее всего, что при повторении испытания много раз относительная частота благоприятных этому событию исходов будет мало отличаться от значения р. Это утверждение, называемое в теории вероятностей законом больших чисел, лежит в основе всех практических приложений этой теории – оно позволяет с помощью вычисленных вероятностей предсказывать частоту наступления данного события в длинной серии независимых испытаний.

Выведем формулу Бернулли, позволяющую вычислить вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие А, имеющее вероятность р, встретится m раз. Результат серии из n испытаний можно записать в виде кортежа из букв А и Ᾱ, имеющего длину n. Например, если проведено семь испытаний, причем событие А произошло во втором, третьем и пятом испытаниях, то запишем результат данной серии в виде ᾹAAᾹAᾹᾹ. Условие, что испытания данной серии независимы друг от друга, означает, что для вычисления вероятности данного исхода испытаний надо заменить в записи этой серии каждую букву А её вероятностью р, а каждую букву Ᾱ ее вероятностью (1-р) и перемножить эти числа.

Вообще, если событие А имеет вероятность р, то вероятность появления конкретной серии из n независимых испытаний, в которой это событие произошло m раз, равна , где q=1-p.

Формула Бернулли:  , где – вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие А, вероятность которого равна р, произойдет m раз;  – биномиальный коэффициент, равный .

II. Практическая часть

2.1. ОГЭ как пример использования теории вероятности в жизни

Среди учеников часто возникает вопрос: «А нельзя ли выбрать наугад ответ и при этом получить положительную оценку за экзамен?»

Ответить на этот вопрос можно путем использования теории вероятностей. Рассмотрим это на примере обязательного для сдачи ОГЭ по математике.

Опрос обучающихся 8 и 9 классов

В опросе приняли участие 19 учащихся 8 класса и 20 учащихся 9 класса.

На первом этапе исследования был проведен опрос среди обучающихся 8 класса:

 «Как вы считаете, можно ли сдать экзамен по математике без подготовки, методом угадывания?»

Результат: 7 ребят из 19 считают, что таким способом можно сдать математику (Приложение 3)

Затем такой же вопрос был задан обучающимся 9 класса (Приложение 4)

Результат: 14 учащихся из 20 считают, что методом угадывания и без подготовки сдать экзамен по математике невозможно.

Следующий вопрос: «Готовитесь ли вы дополнительно для сдачи ОГЭ по математике?»

Результат: 8 учеников из 20 ответили, что они к экзамену по математике дополнительно не готовятся.

На вопрос: «Вы настолько уверены в своих силах, что сдадите ОГЭ без подготовки?», 6 человек ответили, что они надеются списать.

Таким образом, в отличие от учащихся 8 класса 70% учащихся 9 класса уверены, что готовиться к экзамену по математике необходимо, но все-таки 30% ребят надеются, что им удастся списать ответы на задания. Уверен, что после того, как мы познакомили девятиклассников с результатами своей работы, они изменят свое мнение о подготовке к ОГЭ.

Анализ успеваемости девятиклассников

Далее мы проанализировали оценки за контрольные работы и пробный экзамен по математике у девятиклассников МБОУ СОШ №6.

Результат: 65% учащихся 9-х классов не справились с пробным экзаменом ОГЭ. 65% учащихся написали пробный ОГЭ по математике хуже, чем они пишут текущие контрольные работы (Приложение 5) 

Экспериментальный тест

 В интернете мы прочитали теорию, что можно удовлетворительно сдать тестовую работу, если в каждом вопросе выбирать один и тот же номер из предложенных ответов.

На этом этапе был проведен эксперимент среди учащихся 9 класса. В эксперименте участвовали 20 школьников. Всем был предложен один и тот же тест по алгебре «Свойства арифметических корней» из 10 вопросов с выбором ответа. Первый вариант (10 учащихся) отвечали наугад, второй вариант (10 учащихся) тоже отвечали наугад, но выбирали не разные варианта ответа, а отмечали только какой – то один. Например, везде отмечали только первый ответ из предложенных четырех, или только третий ответ из предложенных четырех (Приложение 6)

Результат: с работой лучше справились одноклассники первого варианта. Из 10 человек 1 школьник набрал 5 баллов и справился с работой на «3». Во втором варианте 6 ребят набрали максимум по три балла. (Приложение 7)

Теория, которую мы прочитали, на практике не подтвердилась. Значит, отвечая на тестовые вопросы больше шансов ответить на удовлетворительную отметку путем беспорядочного ответа, чем путем выбора одного и того же ответа. Хотя и она равна 0,1

2.2. Расчет вероятности сдачи ОГЭ по формуле Бернулли

Первая часть экзаменационной работы по математике состоит из 19 заданий.  С выбором ответа предложено пять заданий. Каждое задание имеет 4 варианта ответов, один из которых правильный. Чтобы сдать экзамен, нужно набрать не менее 8 баллов. Мы решили убедиться в этом и определить вероятность получения положительной оценки на экзамене можно по формуле Бернулли.

Каждый вопрос имеет 4 варианта ответа, поэтому вероятность ответить правильно у нас равна 1/4, а ответить не правильно 1-1/4=3/4

Сначала запишем формулу числа сочетаний

С8(5) = 8!/3!*5! = 56

Подставим ее в формулу Бернулли и вычислим Вероятность угадывания всех правильных ответов:

Р8(5)= 56* ¼⁵ *3/4³ = 56*1/1024*81/64 = 567/8192 = 0,06921387

Умножим на 100% = 6% - вероятность угадать ответы в этих 5 вопросах.

Но по классической вероятности, даже, если угадать правильные ответы во всех 5 вопросах получим 5/8 = 0,16

Значит, вероятность сдать ОГЭ очень мала.

Результат: вероятность сдать ОГЭ по математике равна 0,06921387, а это еще раз подтверждает то, что без подготовки, только методом угадывания экзамен по математике сдать невозможно.

Заключение

В результате проделанной работы, мы добились реализации поставленных перед собой задач:

во-первых, собрали и изучили материал о теории вероятностей, воспользовавшись различными источниками информации;

во-вторых, мы рассмотрели использование теории вероятности в различных сферах жизнедеятельности;

в-третьих, познакомились с основной формулой теории вероятности, научились решать задачи на определение классической вероятности;

 в-четвертых, было проведено исследование по определению вероятности получения положительной оценки при сдаче ОГЭ путем угадывания правильного ответа.

 Следовательно, выдвинутая нами гипотеза подтвердилась. С помощью теории вероятностей было доказано, что происходящие в нашей жизни события можно предсказать.

 Мы познакомились с определением теории вероятностей. Изучили историю возникновения. Узнали, что теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах. Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. Невозможность предсказать результат отличает случайное явление от определяемого. Практическое применение теории вероятностей велико. Человек часто применяет теорию вероятностей в повседневном быту, хотя может и не знать математические формулы. С помощью формул и примеров научился решать задачи на определение классической вероятности.

Таким образом, рассмотрев теорию вероятности, ее положения и возможности, можно утверждать, что возникновение данной теории не было случайным явлением в науке, а было вызвано необходимостью дальнейшего развития технологии.

Список использованной литературы и интернет-источники

1.     Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. «Алгебра. 9 класс»,  учеб. для общеобразоват. организаций – 5-е изд.- М.:Просвещение, 2018г. – 335 с.

2.     Молдинов Л. «Как случай управляет нашей жизнью», издательство «Гаятри», 2008г., 350 стр.

3.     Ященко И.В. «36 вариантов», издательство "Национальное образование", 2021г.

4.     Ященко И.В., Рослова Л.О. и др. «3000 задач с ответами. Все задания части 1», издательство "Экзамен", 2020г.

5.     Жуковский М.Е., Родионов И.В. «Основы теории вероятностей», учебное пособие, М.: МФТИ, 2015г. – 82 с.

6.     https://ru.wikipedia.org/wiki/

7.     https://nsportal.ru/

8.     http://www.mathprofi.ru/nezavisimye_ispytanija_i_formula_bernulli.html

Приложение