Проект изучения темы «Параллельность прямых и плоскостей». Обучение школьников решению задач на построение сечений параллелепипеда плоскостью.

Проект изучения темы «Параллельность прямых и плоскостей». Обучение школьников решению задач на построение сечений параллелепипеда плоскостью.

Обзор математической литературы:

1. Рабинович Е.М. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах, 10-11 класс. – М., 2006

Пособие составлено в виде таблиц и содержит более 350 задач. Задачи каждой таблицы соответствуют определенной теме школьного курса геометрии 10-11 классов и расположены внутри таблицы в порядке возрастания их сложности.

По теме «Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда» предлагается по готовым рисункам построить сечения по точкам. К большинству задач приведены указания, рекомендации и ответы.

2. А.В. Погорелов Элементарная геометрия. Стереометрия. – М.: Наука, 1970. – 97с.

Книга является второй частью предлагаемого автором школьного курса геометрии. Содержание книги традиционное, но изложение более строгое, чем принятое в школьных учебниках. Книга полезна для студентов вузов педагогических специальностей и для учителей средних школ.

3. Литвиненко В.Н. Сборник задач по стереометрии с методами решений. Просвещение, М.: 1998.— 255 с.

Автор доступно, на высоком методическом уровне дает систему задач курса стереометрии средней школы, позволяющую овладеть техникой решения задач на построение и вычислительных задач. Первую часть сборника составляют задачи для самостоятельного решения (их свыше 2000). Вторая часть - это необходимый справочный материал, методические рекомендации и решение типовых задач, это позволяет использовать сборник и как самоучитель. Наряду с решением задач традиционными методами, активно используются координатный и векторно-координатный методы. Почти все задачи трехвариантные, с нарастающим уровнем трудности. Книга может оказать помощь, как учащимся, так и учителям старших классов общеобразовательных учреждений.

По теме «Построение сечений» отдельно рассматривается два метода построения сечения многогранников: аксиоматический и комбинированный методы.

На отработку даются следующие задания: «Построение линии пересечения заданных плоскостей», «Построение точки пересечения заданной прямой с заданной плоскостью», «Задание с выбором верного построения сечений с большим количеством рисунков». Прописан отдельный параграф «Построение сечений многогранников», где все задачи разбиты по пунктам: «Построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой»; «Построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым».

4. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии / В.С. Крамор. – 4-е изд. – М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2008. – 336 с.

В пособии в конспективной форме изложен теоретический материал по геометрии, в том числе и по теме «Параллельность прямых и плоскостей» для повторения в домашних и аудиторных условиях. Пособие может быть использовано при подготовке к экзаменам, а также может оказать помощь учителю при подготовке к урокам и проведении зачетов, так как в книге приведен справочный теоретический материал и система контрольных вопросов по теме.

Общая характеристика темы.

• Особенности и роль темы в математике и в школьном курсе математики:

Тема содержит широкие возможности для научного образования, развития и воспитания учащихся. При изучении темы, учащиеся знакомятся с новыми понятиями, например, параллельные прямые в пространстве, скрещивающиеся прямые в пространстве, углы с сонаправленными сторонами, параллельные плоскости, тетраэдр, параллелепипед; научатся решать стандартные задачи, строить сечения; при решении задач на построение фигур и сечений у учащихся развивается абстрактное мышление, умение анализировать, а также речь; воспитывается аккуратность ведения записей и чертежей в тетради.

Учение о параллельности прямых лежит в основе измерения площадей и объемов фигур, на нем строится плоская тригонометрия. Огромную роль в развитии математики сыграл пятый постулат. Исследования, выполненные от времен Евклида до конца XIX века, показали не только независимость пятого постулата, но и его определяющую роль в геометрии. Принятие пятого постулата или равносильной ему аксиомы приводит к привычной геометрии Евклида. Замена этого постулата противоречащей ему аксиомой приводит к одной из неевклидовых геометрий.

В основной школе рассматривают основные вопросы теории параллельности. Теория параллельности используется при изучении вписанных углов, вписанных в окружность треугольников и многоугольников.

Весьма часто используемая при решении задач вычислительного характера теорема Пифагора представляет собой утверждение, равносильное пятому постулату. Использование прямоугольной системы координат существенно опирается на теорию параллельности.

Таким образом, в школьном курсе планиметрии теория параллельных находит весьма широкие применения, хотя излагается без должной полноты и строгости. Изученное в основной школе образует достаточную базу для рассмотрения параллельности в пространстве.

Рассмотрение в школьном курсе геометрии вопроса о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве имеет очень большое значение. Эти знания лежат в основе изучения свойств геометрических фигур в стереометрии. Без знания взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве невозможно изучение свойств многогранных углов, многогранников и круглых тел.

Разделы о взаимном расположении прямых и плоскостей изучаются сразу же после введения основных понятий геометрии в пространстве, которые используются при доказательстве первых предложений и решении задач. Это позволяет систематически вести работу по развитию логического мышления учащихся, а также способствует прочному и сознательному усвоению ими основных понятий и аксиом и постепенному раскрытию их роли в школьном курсе геометрии.

Изучение взаимного расположения прямых и плоскостей сопровождается решением большого количества задач, среди которых особое место занимают задачи на доказательство и задачи конструктивного характера. Конструктивные задачи трехмерного пространства требуют как формально-логического подхода при их решении, так и знания проекционного чертежа (параллельного проектирования и его свойств). В процессе решения задач у учащихся развиваются пространственные представления, конструктивные навыки, в частности навыки изображения фигур в пространстве, навыки выполнения рисунков, их правильного восприятия и чтения.

Историческая справка:

Говоря об истории развития стереометрии, а именно главы «Параллельность в пространстве», нельзя не упомянуть о таком великом математике как Евклид и о его творении - «Начала», труде, с которого начался новый период развития древнегреческой математики. Первые шесть книг этого труда посвящены планиметрии, а последние три (11,12,13) — стереометрии. Особое значение имеет его пятый постулат, который взят за основу как аксиома параллельности прямых: на плоскости через точку, взятую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Эта теорема вводится в курсе планиметрии, но она же выполнима и в пространстве. Евклидова аксиома параллельности с древних времен обратила на себя внимание и неоднократно вызывала сомнения, поскольку постулат, как и само определение параллельных прямых, содержат трудность, заключающуюся в том, что речь идет о всей прямой, о всей плоскости.

На протяжении двух тысячелетий после Евклида математики пытались доказать этот постулат, однако все их попытки заканчивались неудачей, рано или поздно в их суждениях обнаруживались ошибки. Лишь в 1826 году великий русский математик Н.И. Лобачевский (1726-1856), профессор Казанского университета, доказал, что этот постулат нельзя логически вывести из других постулатов, т.е. нельзя доказать. Поэтому или его можно взять в качестве аксиомы, или в качестве аксиомы может быть взято утверждение о существовании нескольких прямых, проходящих через данную точку и параллельных данной прямой. Положив в основу геометрии эту новую аксиому параллельности, Лобачевский создал новую, неевклидову геометрию, которая была названа геометрией Лобачевского. Идеи Лобачевского были настолько оригинальны настолько противоречили так называемому здравому смыслу, что их не поняли даже крупные математики того времени. Несмотря на это, Лобачевский не отказался от своих идей. Он не только был убежден в логической непротиворечивости новой геометрии, но и твердо верил в ее применимость к исследованию реального физического пространства. К сожалению, признание геометрии Лобачевского пришло только после его смерти. Его работы были переведены на многие языки. В настоящее время геометрия Лобачевского является неотъемлемой частью современной математики и находит применение во многих областях человеческого знания, способствует более глубокому пониманию окружающего мира.

• Программа по математике: инвариантное содержание темы:

Примерная программа по математике составлена на основе федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего образования на базовом уровне.

Примерная программа конкретизирует содержание предметных тем образовательного стандарта и дает примерное распределение учебных часов по разделам курса.

Правила построений сечений на тетраэдр и параллелепипеде рассматриваются в разделе «Стереометрия».

Основное содержание раздела геометрии:

Параллельные прямые. Параллельные прямые в пространстве. Пересечение плоскости параллельными прямыми. Параллельность трех прямых. Параллельность прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости.

Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых. Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми.

Параллельные плоскости. Признак параллельности двух плоскостей. Свойства параллельных плоскостей.

Тетраэдр. Параллелепипед. Задачи на построение сечений.

• Сравнительный анализ содержания темы в различных школьных учебниках:

Рассмотрим учебники:

1. Геометрия 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни/[Л.С. Атанасян, В.Ф Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.].-21-е изд.-М.: Просвещение, 2012.-255с. Г.1,§1 – 4,

2. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-11 классов средней школы. — М.: Просвещение, 1993. — 383с.

3. Александров А.Д. и др. «Геометрия Учеб. для 10—11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Д. Александров, A. Л. Вернер, В. И. Рыжик.— М.: Просвещение, 1998,— 271 е.: ил.

В учебнике Атанасян Л.С. и др. «Геометрия 10-11» тема «Параллельность прямых и плоскостей» изучается в 10 классе и на ее изучение отводится целая глава, которая имеет следующее содержание:

Глава I. Параллельность прямых и плоскостей.

§ 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости. 4. Параллельные прямые в пространстве. 5. Параллельность трех прямых.6. Параллельность прямой и плоскости.

§ 2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми.7. Скрещивающиеся прямые. 8. Углы с сонаправленными сторонами. 9. Угол между прямыми.

§ 3. Параллельность плоскостей. 10. Параллельные плоскости. 11. Свойства параллельных плоскостей.

§ 4. Тетраэдр и параллелепипед. 12. Тетраэдр. 13. Параллелепипед. 14. Задачи на построение сечений.

Особенность данного курса состоит в том, что уже в первой главе вводятся в рассмотрение тетраэдр и параллелепипед и устанавливаются некоторые их свойства. Это дает возможность отрабатывать понятия параллельности прямых и плоскостей (а в следующей главе также и понятия перпендикулярности прямых и плоскостей) на этих двух видах многогранников, что, в свою очередь, создает определенный задел к главе «Многогранники». Отдельный пункт посвящен построению на чертеже сечений тетраэдра и параллелепипеда, что представляется важным как для решения геометрических задач, так и, вообще, для развития пространственных представлений учащихся.

В рамках этой темы учащиеся знакомятся также с параллельным проектированием и его свойствами, используемыми при изображении пространственных фигур на чертеже.

В учебнике Погорелова А.В. «Геометрия 7-11» тема «Параллельность прямых и плоскостей» изучается в 10 классе и на ее изучение отводится только один параграф, который имеет следующее содержание:

§ 2. Параллельность прямых и плоскостей.

7. Параллельные прямые в пространстве.

8. Признак параллельности прямых.

9. Признак параллельности прямой и плоскости.

10. Признак параллельности плоскостей.

11. Существование плоскости, параллельной данной плоскости.

12. Свойства параллельных плоскостей.

13. Изображение пространственных фигур на плоскости.

Но следует заметить, что оба автора начинают изучение стереометрии с темы «Параллельные прямые в пространстве». Однако у Погорелова потом отводится целый пункт на признак параллельности прямых, а также признак параллельности прямой и плоскости. В учебнике Погорелова А.В. вообще не рассматривается тема: «Тетраэдр и параллелепипед», но в отличие от Л. С. Атанасяна он отвел пункт на тему «Изображение пространственных фигур на плоскости» (Л.С. Атанасян эту тему рассматривает в приложении).

В учебнике А.Д. Александров и др. «Геометрия 10-11» тема «Параллельность прямых и плоскостей» изучается в 10 классе и на ее изучение отводится только один параграф. В данной теме рассматривается два признака параллельности плоскостей: «Если две пересекающие прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны», «Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны», в отличие от учебника Л.С. Атанасяна «Геометрия 10 -11»,где изучается только один признак параллельности плоскостей: «Если две пересекающие прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны».

Итак, сравнительный анализ показал, что все три учебника являются учебниками-задачниками. Теме «Параллельность прямых и плоскостей» в учебнике Л.С. Атанасяна посвящена целая глава, а в учебниках Погорелова и Александрова по одному параграфу, хотя в целом разбираются одни и те же вопросы. Материал темы во всех учебниках изложен индуктивным методом.

Обзор общедидактической и методической литературы.

1. Иванова Т.А., Перевощикова Е.Н., Кузнецова Л.И., Григорьева Т.П. Теория и технология обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов математических специальностей педагогических вузов/ Под ред. Т.А. Ивановой. 2-е изд., испр. и доп. – Н. Новгород: НГПУ, 2009. 355 с.

В пособии описывается лекционно-семинарская система изучения учебной темы, используемая в старших классах, описана сущность наиболее значимых уроков этой системы.

2. Фадеев В.Ю. Подробный разбор заданий из учебника по геометрии авторов Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова и др.:10-11 классы +Решения всех задач повышенной сложности. - М., ВАКО, 2008. - 384 с. 

Пособие содержит подробный разбор всех заданий из учебников по геометрии для 10-11 классов авторов Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова и др.:10-11 классы (М. Просвещение). Ответы и решения представлены в соответствии со структурой учебника, что облегчает поиск информации. В параграфе «Параллельность плоскостей» представлено подробное решение всех задач по данной теме.

3. Глазков Ю.А., Боженкова Л.И. Тесты по геометрии  Издание: М.: Экзамен, 2012.

Книга является необходимым дополнением к школьному учебнику Л.С. Атанасяна и др. «Геометрия. 10-11 кл.» (издательство «Просвещение»), рекомендованному Министерством образования и науки Российской Федерации и включенному в Федеральный перечень учебников. Пособие предназначено для проверки уровня учащихся по курсу геометрии 10 класса и для подготовки к сдаче ЕГЭ по математике. В данной книге содержаться тестовые задание по главе «Параллельность прямых и плоскостей», так же часть задач представлена в итоговых тестах по всем темам. Данные тесты содержать как теоретические вопросы по теме «Параллельность прямых и плоскостей», так и задачи.

4. В. Н. Литвиненко. Задачи на развитие пространственных представлений. Книга для учителя. - М.: Просвещение, 1991.

Книга содержит оригинальные задачи ко всем темам курса стереометрии 10-11 классов, для решения которых требуется выполнять построения на изображениях пространственных фигур. Книга для учителя.

5. Г. Прокопенко. Методы решения задач на построение сечений многогранников. 10 класс. ЧПГУ, г. Челябинск. Еженедельная учебно-методическая газета "Математика" 31/2001.

Основные понятия теории изображения фигур: параллельное проектирование и его свойства, изображение плоских фигур в параллельной проекции, изображение пространственных фигур в параллельной проекции. Методы построения сечений многогранников.

6. Потоскуев Е.В., Звавич А.И. «Рабочая программа по геометрия 10 кл. (с углубленным изучением)» - Дрофа, 2008 г.

Рабочая программа по геометрии разработана в соответствии с федеральным компонентом Государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования по математике (геометрия) – профильный уровень.

«Вхождение» в курс стереометрии начинается с обзора различных многогранников. На наглядном уровне учащиеся знакомятся с кубом, параллелепипедом, призмой, пирамидами, тетраэдром. Таким образом, при изучении стереометрии, придерживаемся концепции изучать начальные и основополагающие темы стереометрии в задачах, используя при этом модели и изображения куба, параллелепипеда, призмы, пирамиды, тетраэдра и других фигур. После прохождения материала об аксиомах и следствия из них, уделяется внимание построению сечений многогранников различными способами.

Краткое описание содержания общедидактической части темы.

Организация уроков решения задач.

• Фронтальное решение задач.

Под фронтальным решением задач обычно понимают решение одной и той же задачи всеми учениками класса в одно и то же время. Организация фронтального решения задач может быть различной.

1) Устное фронтальное решение задач. Это, прежде всего выполняемые устно упражнения в вычислениях или тождественных преобразованиях и задачи-вопросы, истинность ответов на которые подтверждается устными доказательствами. При организации устных фронтальных упражнений следует учесть, что использование табличек, таблиц и других средств, представления учащимся устной задачи значительно экономит время; устных упражнений и оживляет уроки математики.

Таблички изготавливает обычно учитель или отдельные ученик, по его заданию. Таблицы для устных упражнений могут иметь различную форм и применяются неоднократно с различными заданиями.

2) Письменное решение задач с записью на классной доске. В практике обучения немало таких ситуаций, в которых удобнее, чтобы одну и ту же задачу решали все ученики класса одновременно с решением этой же задачи на доске. При этом задачу на доске может решать либо учитель, либо ученик по указанию учителя. Наиболее часто такую организацию решения задач на уроках математики применяют:

1. при решении первых после показа учителем задач по ознакомлению с новыми понятиями и методами;

2. при решении задач, самостоятельно с которыми могут справиться не все ученики класса;

3. при рассмотрении различных вариантов решения одной и той же задачи - для сравнения и выбора лучшего варианта;

4. при разборе ошибок, допущенных несколькими учениками класса при самостоятельном решении задачи и т.д.

Во всех этих случаях бывает полезно и коллективное решение (или коллективный разбор решения задач).

3) Письменное самостоятельное решение задач. Наиболее эффективной является такая организация решения математических задач, при которой ученики обучаются творчески думать, самостоятельно разбираться в различных вопросах теории и приложений математики.

Допустимы различные формы организации самостоятельного решения задач учащимися.

Некоторые учителя так организуют самостоятельные работы по решению задач на уроках математики: учитель подбирает задачи; в процессе работы учитель помогает некоторым ученикам советом, как лучше их решить, другим он советует обратиться к учебнику, третьи справляются с работой без помощи учителя. Учитель все время наблюдает за работой учеников, отмечая, кому из учеников и в чем он помог. Затем самостоятельная работа проверяется и оценивается с учетом степени самостоятельности ученика. При такой организации самостоятельной работы осуществляется и обучение, и контроль знаний по изучаемому разделу математики.

Существуют и такие формы самостоятельных обучающих работ по математике, при выполнении которых учащиеся самостоятельно изучают небольшой теоретический материал, разбирают образцы решения задач, предложенные учителем, самостоятельно решают аналогичные задачи.

Для лучшего проведения самостоятельных работ учащихся по решению математических задач полезно перед началом такой работы проводить инструктаж, в котором четко указать, что должны выполнить учащиеся в такой работе, каков порядок ее выполнения, сроки и пр. Желательно после проверки правильности самостоятельных решений проанализировать с учащимися результаты такой работы. Это возможно на следующих уроках.

4) Комментирование решения математических задач. Комментирование решения задач заключается в следующем: все ученики самостоятельно решают одну и ту же задачу, а один из них последовательно поясняет (комментирует) решение. Некоторые учителя превращают комментирование в запись под диктовку: один ученик воспроизводит голосом все, что он записывает в тетрадь (без каких-либо пояснений), а все остальные поспешно записывают сказанное им. Ученик-комментатор объясняет, на каком основании он выполняет то или иное преобразование, проводит то или иное рассуждение, построение. При этом каждый шаг в решении задачи должен быть оправдан ссылкой на известные математические предложения.

• Индивидуальное решение задач.

1) Необходимость индивидуального подхода при организации обучения решению задач. Для одних учащихся задача может оказаться очень легкой, и они при решении такой задачи практически не почерпнут ничего нового. У других, наоборот, задача может вызвать серьезное затруднение. Поэтому необходим учет индивидуальных особенностей учащихся и в связи с этим индивидуальный подбор задач. Задачи следует подбирать и систематизировать так, чтобы, с одной стороны, учитывались возможности и способности ученика, с другой стороны, его способности развивались бы.

Задача учителя заключается, следовательно, в том, чтобы выяснить подготовку, возможности и способности к изучению математики каждого ученика класса и в соответствии с этим организовать решение математических задач.

2) Индивидуализация самостоятельных работ учащихся по решению задач. В условиях, когда все ученики самостоятельно решают одну и ту же задачу, учитель может учитывать индивидуальные особенности учащихся лишь при оказании им помощи в решении задачи, при проверке выполненной работы. Для более полного учета способностей и математической подготовки учащихся, использования их возможностей необходимо предлагать для самостоятельного решения учащихся не одинаковые, а различные задачи с учетом индивидуальных особенностей ученика. Но поскольку в классе есть примерно равные по успехам в математике ученики, то можно подбирать задачи не для каждого ученика в отдельности (это было бы затруднительно для учителя), а для отдельных групп школьников класса.

3) Индивидуализация самостоятельных работ учащихся по устранению пробелов в знаниях математики. Такие пробелы могут быть выявлены с помощью проверочных и контрольных работ, а также при решении задач на уроке или дома. Одним ученикам полезно подчеркнуть допущенные ошибки, а некоторым, наиболее слабо подготовленным, исправить. В тетрадях указываются разделы учебника, которые ученик обязан восстановить в своей памяти. Такая организация решения задач по ликвидации пробелов в знаниях школьников приносит большую пользу, чем фронтальные работы над ошибками. При этом учитываются как индивидуальные особенности учащихся, так и характер изучаемого материала.

4) Домашнее решение задач учащимися. Содержание задач и упражнений, предлагаемых для домашней работы учащихся, должно быть подготовлено предшествующей работой на уроке.

• Заключительный этап в решении учебной математической задачи. Для учебных задач особое значение имеет не получение ответа, а процесс нахождения его, процесс переработки входной информации в выходную. Ответ особенно существен для задач, которые человеку приходится решать в практической деятельности, для учебной же задачи на первом месте стоят поиски решения, осуществление его и познавательные выводы из проделанной работы. Поэтому необходим заключительный этап работы над учебной задачей.

Логико-дидактический анализ содержания темы

Анализ теоретического материала.

Учебник:

Геометрия 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни/[Л.С. Атанасян, В.Ф Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.].-21-е изд.-М.: Просвещение, 2012.-255с. Г.1,§1 – 4.

Основными дидактическими единицами темы «Параллельность прямых и плоскостей» являются:

• Параллельные прямые в пространстве.

«Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются» - (Формально-логические, даны через род и видовые отличия: родовое понятие-две прямые в пространстве, видовое отличие – лежат в одной плоскости и не пересекаются).

• Теорема о параллельных прямых.

«Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна» - (Способ доказательства - синтетический, базис доказательства - следствия из аксиом стереометрии, а также факты, известные из курса планиметрии. Данная теорема аналогична аксиоме планиметрии о параллельных прямых).

• Параллельные отрезки.

«Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых» - (Формально-логические, даны через род и видовые отличия: родовое понятие-две прямые в пространстве, видовое отличие – лежат на параллельных прямых).

• Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми

«Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость» - (Теорема доказывается двумя способами: синтетическим и методом от противного. В обоих случаях базисом доказательства является определение параллельных прямых в пространстве и определение параллельных прямой и плоскости).

• Теорема о параллельности трех прямых в пространстве.

«Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны» - (Методы доказательства: синтетический и метод от противного. В обоих случаях базисом доказательства является аналогия с теоремой из планиметрии).

• Три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

1. прямая лежит в плоскости,

2. прямая и плоскость имеют только одну общую точку, т.е. пересекаются,

3. прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки;

• Параллельность прямой и плоскости.

«Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек» - (Формально-логические, даны через род и видовые отличия: родовое понятие прямая и плоскость, видовое отличие - не имеют общих точек).

• Признак параллельности прямой и плоскости.

«Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости» - (Метод доказательства – от противного. Базис – определение параллельных прямых в пространстве, аксиома 3, определение параллельных прямой и плоскости).

• Скрещивающиеся прямые.

«Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости» - (Формально-логические, даны через род и видовые отличия: родовое понятие-две прямые, видовое отличие – не лежат в одной плоскости).

• Признак скрещивающихся прямых.

«Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся» - (Метод доказательства – от противного, базис доказательства – определение скрещивающихся прямых, следствия из аксиом).

• Три случай взаимного расположения двух прямых в пространстве.

Возможны три случай взаимного расположения двух прямых в пространстве:

1. Прямые пересекаются,

2. прямые параллельны,

3. прямые скрещиваются.

• Теорема о скрещивающихся прямых.

«Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость и параллельная другой прямой, и притом только одна» -(Теорема доказывается двумя способами: синтетическим и методом от противного).

• Определения полуплоскости, граница полуплоскости.

«Любая прямая a, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части, называемые полуплоскостями».

«Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей».

• Сонаправленные лучи.

«Два луча и , не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей . Лучи и , лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они совпадут или один из них содержит другой».

• Теорема об углах с сонаправленными сторонами.

«Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны».

• Угол между пересекающимися прямыми.

«Любые две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых угла, если известен один из углов, то можно найти и другие три угла. Пусть – тот из углов, который не превосходит любого из трех остальных углов. Тогда говорят, что угол между пересекающимися прямыми равен . Очевидно, ».

• Угол между скрещивающимися прямыми.

«Пусть AB и CD- две скрещивающиеся прямые. Через произвольную точку проведем прямые , соответственно параллельные прямым AB и CD. Если угол между прямыми равен ϕ, то будем говорить, что угол между скрещивающимися прямыми AB и равен ϕ».

• Параллельные плоскости.

«Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются».

• Признак параллельности двух плоскостей.

«Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны» - ( Метод доказательства – от противного, базис доказательства – признак параллельности прямой и плоскости, признак параллельности двух прямых, теорема о параллельных прямых).

• Свойства параллельных плоскостей.

1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Доказательство:

2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Доказательство:

• Определения тетраэдра и его элементов.

1. Рассмотри произвольный треугольник ABC и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединив точку D отрезками с вершинами треугольника ABC, получим треугольники DAB, DBC, DCA. Поверхность, составленная из четырех треугольников ABC, DAB, DBC, DCA, называется тетраэдром и обозначается так: DABC.

2. Треугольники, из которых составлен тетраэдр, называются гранями, их стороны - ребрами, а вершины – вершинами тетраэдра.

3. Два ребра, не имеющие общих вершин, называются противоположными.

4. Одну из граней тетраэдра называют основанием, а три другие – боковыми сторонами.

• Определения параллелепипеда и его элементов.

1. Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1B1C1D1, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки AA1,BB1,CC1,DD1 параллельны. Четырехугольники: ABB1A1,BCC1B1,CDD1C1,DAA1D1 (1) также являются параллелограммами, т.к. каждый из них имеет попарно параллельные противоположные стороны. Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 и четырех параллелограммов (1), называется параллелепипедом и обозначается так: ABCDA1B1C1D1.

2. Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед называются его гранями, их стороны – гранями, а вершины параллелограммов – вершинами параллелепипеда.

3. Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих ребер – противоположными.

4. Две вершина, не принадлежащие одной грани, называются противоположными.

5. отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда.

6. Две параллельные грани называют основаниями, а остальные – боковыми гранями.

7. Ребра, не принадлежащие основаниям, называются боковыми ребрами.

• Два свойства параллелепипеда.

1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны,

2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

• Секущая плоскость.

«Секущая плоскость тетраэдра (параллелепипеда) – любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам».

• Сечение тетраэдра (параллелепипеда).

«Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда)».

• Методы построения сечений многоугольника:

Существует 3 основных метода построения сечений многогранника:

1) Метод следов.

2) Метод вспомогательных сечений.

3) Комбинированный метод.

Можно также выделить следующие методы построения сечений многогранников:

1) Построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку, параллельно заданной плоскости.

2) Построение сечения, проходящего через заданную прямую, параллельно другой заданной прямой.

3) Построение сечения, проходящего через заданную точку, параллельно двум заданным скрещивающимся прямым.

4) Построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую, перпендикулярно заданной плоскости.

5) Построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданной прямой.

Вывод по теоретическому материалу.

Структура определений, встречающихся в теме, – через род и видовые отличия. Видовые отличия сформулированных определений задаются конструктивно, указанием способа построения или перечислением некоторого набора свойств.

Структура определений и способы задания видовых отличий для учащихся не новы (прослеживается аналогия с курсом планиметрии). Все определения, теоремы, представлены в вербальной, натуральной и графической формах. Возникает необходимость широкого использования учебно-наглядных средств, для включения учеников в самостоятельный поиск новых утверждений.

Материал темы изложен дедуктивно, логически строго, школьники готовы к восприятию материала. Тема нова для учащихся, т.к. начинается изучение второй части геометрии – стереометрии. Есть необходимость в переструктурировании темы. Всю тему можно разбить на четыре самостоятельные части:

• Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

• Взаимное расположение прямой и плоскости.

• Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.

• Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда.

При изучении темы полезно прибегать к моделированию как способу включения учащихся в самостоятельную поисковую познавательную деятельность.

Из-за того, что теоретический материал достаточно объемный, целесообразно уроки изучения новой теории проводить в форме лекций.

Используется материал предыдущих тем: аксиомы стереометрии, а также используется материал из планиметрии: аксиомы, определения, теоремы.

Вывод по теоретическому материалу по пункту: «Сечение тетраэдра и параллелепипеда плоскостью».

Поверхность многогранника состоит из ребер-отрезков и граней - плоских многоугольников. Так как прямая и плоскость пересекаются в точке, а две плоскости - по прямой, то сечением многогранника плоскостью является плоский многоугольник; вершинами этого многоугольника служат точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а сторонами - отрезки, по которым секущая плоскость пересекает его грани. Это означает, что для построения искомого сечения данного многогранника плоскостью α достаточно построить точки ее пересечения с ребрами многогранника. Затем последовательно соединить отрезками эти точки, при этом выделить сплошными линиями, видимые и штриховыми - невидимые стороны полученного многоугольника – сечения.

Секущая плоскость α может быть задана: тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и не принадлежащей ей точкой; другими условиями, определяющими ее положение относительно данного многогранника.

Сначала построение плоских сечений многогранников происходит лишь на основании аксиом и теорем стереометрии. Вместе с тем существуют определенные методы построения плоских сечений многогранников. Наиболее эффективными в школьном курсе геометрии являются следующие три метода:

1. Метод следов;

2. Метод внутреннего проектирования;

3. Комбинированный метод.

Анализ задачного материала

Анализ задач показал, что в теме «Параллельность прямых и плоскостей» можно выделить следующие группы задач:

1. Задания практического, общедидактического характера.

Данные задания направлены на овладение основными понятиями.

• На отработку определения параллельных прямых в пространстве:

Назовите по рисунку, какие прямые являются параллельными:

(Ответ: ).

• На отработку определения параллельных отрезков:

Назовите по рисунку параллельные отрезки:

(Ответ: ).

• Лемма параллельности двух прямых.

Из учебника №19

Стороны параллелограмма пересекают плоскость α. Докажите, что прямые также пересекают плоскость α.

Решение:

По лемме пересекает α, т.к. , а пересекает α.

По лемме пересекает α, т.к. , а пересекает α.

• Теорема параллельности трех прямых

Из учебника №17.

На рисунке точки M,N,Q и P – середины отрезков DB,DC,AC и AB. Найдите периметр четырехугольника MNQP, если AD = 12 см, BC = 14 см.

Решение:

Поскольку ΔADB: PM средняя линия, то PMAD; Δ ADC: QN средняя линия, то QN AD.

Из условий: PMAD, QNAD по теореме параллельности трех прямых, получим: PMQN.

Отсюда следует, что P,Q,M,n лежат в 1 плоскости.

Получим, что MN и PQ – средние линии в ΔBDC и ΔABC, значит, MNBC и PQ BC.Имеем из теоремы MNPQ. Значит, четырехугольник MNPQ – параллелограмм по определению (т.к. является плоским четырехугольником).

.

Ответ: 26 см.

• Три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.

Определите взаимное расположение прямой и плоскости:

Ответ:

а) прямая лежит в плоскости,

б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку, т.е. пересекаются,

в) Прямая и плоскость не имеет ни одной общей точки.

• Признак параллельности прямой и плоскости.

Из учебника № 23

Точка M не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD параллельна плоскости ABM.

Решение:

По признаку параллельности прямой и плоскости, CBABM, т.к. CDAB, а AB (ABM), ч.т.д.

• Скрещивающиеся прямые.

Из учебника №35

Через точку M, не лежащую на прямой a, проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой a. Докажите, что, по крайней мере, одна из этих прямых и прямая a являются скрещивающимися прямыми.

Решение:

Т.к. прямые не имеют общих точек с a, то они либо параллельны ей, либо скрещиваются с ней. Но обе они параллельны a быть не могут, т.к. имеют общую точку. Значит, по крайней мере одна из них скрещивается с a.

• Признак скрещивающихся прямых.

Из учебника № 36

Прямая с пересекает прямую а и не пересекает прямую b, параллельную прямой а. Докажите, что b и с – скрещивающиеся прямые.

Решение.

Т.к. ab, то существует пл. α, что . Пусть с пересекает a в т. M. ab, значит, M. По признаку скрещивающихся прямых, с и b скрещиваются.

• Три случай взаимного расположения двух прямых в пространстве.

Из учебника № 34

Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC, точки M,N,P – середины отрезков DA,DB,DC соответственно, тоска K лежит на отрезке BN. Выясните взаимное расположение прямых: а) ND и AB, б)MP и AC, в) KN иAC.

Решение:

а)NDAB = B;

б)MPAC, поскольку MP – средняя линия,

в) KN и AC – скрещиваются, т.к. не параллельны и не пересекаются.

• Определения полуплоскости, граница полуплоскости.

Укажите по рисунку сонаправленные и не сонаправленные лучи:

Ответ:

OA и O1A1, A2B2 и O2B2 – сонаправленные лучи;

OA и O2A2, OA и O3A3, O2A2 и O2B2 – не являются сонапрвленными лучами.

• Теорема об углах с сонаправленными сторонами.

Учебник № 44

Прямые OB и CD параллельные, а OA и CD – скрещивающиеся прямые. Найдите угол между прямыми OA и CD, если .

Решение:

Проведем CA’OA. По теореме об углах с сонаправленными сторонами имеем: – искомый.

.

• Угол между скрещивающимися и пересекающимися прямыми.

Учебник № 46.

Прямая m параллельна диагонали BD ромба ABCD и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что m и AD – скрещивающиеся прямые – и найдите угол между ними, если угол ABC равен 128.

Решение:

1) mBD и BD (по признаку параллельности прямой и плоскости) m пл.α.

2) AD пересекает BD, т.е. m и AD скрещиваются.

3) Угол между m и AD – равен углу между BD, параллельной m и AD.

4) BD – биссектриса (т.к. ABCD – ромб).

.

• Параллельные плоскости.

Из учебника № 49

Прямая m пресекает плоскость α в точке B. Существует ли плоскость, проходящая через прямую m и параллельная плоскости α?

Ответ:

Нет. Если бы такая плоскость существовала, то она имела бы с пл. α общую точку B, т.е. не была бы ей параллельна.

• Признак параллельности двух плоскостей.

Из учебника № 54 (а)

Точка B не лежит в плоскости треугольника ADC, точки M,N,P – середины отрезков BA, BC и BD соответственно. Докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны.

Решение:

В ΔABC: MN – средняя линия, MNAC, MN = .

В ΔBCD: ТЗ – средняя линия, NPCD, NP = .

По признаку параллельности двух плоскостей, плоскости MNP и ACD параллельны.

– как углы с соответственно параллельными сторонами.

• Свойства параллельных плоскостей.

На использование первого свойства параллельных плоскостей.

Из учебника № 63,б

Параллельные плоскости α и β пересекают сторону AB угла BAC соответственно в точках A1 и A2, а сторону AC этого угла – соответственно в точках B1 и B2. Найдите A2B2 и AA2, если A1B1 = 18 см, AA1 = 24 см, AA2 = A1A2.

Решение:

Плоскость BAC пересекает пл. α и β.

По первому свойству параллельных плоскостей, A1B1A2B2.

В плоскости BAC: ΔA1AB1 ΔA2AB2.

;

AA2=AA1+A1A2=24+A1A2;

AA2=24+;

AA2=72 (см);

(см).

Ответ: A2B2 =54 см, AA2 = 72 см.

На использование второго свойства параллельных плоскостей.

Из учебника № 65

Параллельные отрезки A1A2,B1B2 и CC1 заключены между параллельными плоскостей α и β. Определите вид четырехугольников A1B1B2A2,B1C1C2B2, и A1C1C2A2. Докажите, что ΔA1B1C1=ΔA2B2C2.

Решение:

По второму свойству: A1A2=B1B2=C1C2/ Если в четырехугольнике противоположные стороны равны и параллельны, то четырехугольник – параллелограмм.

A1B1B2A2, B1C1C2B2, A1C1C2A2 – параллелограммы.

в параллелограммах: B1C1=B2C2, A1B1-A2B2, A1C1=A2C2. Значит, ΔA1B1C1=ΔA2B2C2 по трем сторонам

• Определения тетраэдра и его элементов.

Из учебника № 66

Назовите все пары скрещивающихся ребер тетраэдра ABCD. Сколько таких пар ребер имеет тетраэдр?

Ответ:

В тетраэдре три пары скрещивающихся ребер: AC и DB, AB и DC, AD и CB.

• Определения параллелепипеда и его элементов.

Из учебника № 76

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что ACA1C1, BDB1D1.

Ответ:

В силу свойств параллелепипеда AA1C1С – Параллелограмм, отсюда A1C1AC; B1D1BD – параллелограмм, поэтому B1D1BD.

• Сечение тетраэдра (параллелепипеда).

• На отработку на построение пересечения прямой и плоскости.

Из учебника № 71 (а).

Изобразите тетраэдр DABC и на ребрах DB, DC и BC отметьте соответственно точки M,N,K.Постройте точку пересечения: а) прямой MN и плоскости ABC.

Решение:

Точки M, N,B, C пл. DBC. M и N выберем так, чтобы MN не была параллельна BC, иначе не будет пересечения с ABC.

Построение: Продолжим отрезки MN и BC до пересечения из в точке X. Точка X – искомая.

Из учебника № 81.

Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте точки M и N соответственно на ребрах BB1 и CC1. Постройте точку пересечения: а) прямой MN с плоскостью ABC; б) прямой AM с плоскостью A1B1C1.

Решение:

а) Пусть MN не параллельна BC, тогда MN пересечет пл. ABC.

Построение: Продолжим отрезки BC и MN до пересечения в точке X. Тогда X – искомая.

б) AM не параллельна A1B1, AM пересечет A1B1, A1B1пл. A1B1C1.

Построение: Продолжим отрезки A1B1 и AM до пересечения в точке Y. Точка Y – искомая.

• На отработку построения сечения тетраэдра и параллелепипеда плоскостью.

Из учебника № 72.

Изобразите тетраэдр DABC и постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M параллельно плоскости грани ABC, если точка M является серединой ребра AD.

Решение:

Построение: Проводим MKAC, MNAB, соединяем т. K и т. N. По признаку параллельности плоскостей пл. MNK пл. ABC.

Из учебника № 75.

Изобразите тетраэдр KLMN. а) Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро KL и середину A ребра MN.

Решение:

Проведем AK и AL. ΔAKL – искомое сечение.

Из учебника № 83.

Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро CC1 и точку пересечения диагоналей грани AA1D1D, б) точку пересечения диагоналей грани ABCD параллельно плоскости AB1C1.

Решение:

а) Построение: Через т. O проведем MND1D (MND1D, CC1DD1, поэтому CC1MN), соединим M с C1 и N с C. Сечение MC1N – искомое.

б) Построение: Через т. O проводим MLAB, через т. M проводим MNA1B1, через т. N проводим NKB1C1. Соединим точки K и L.Сечение MNKL – искомое.

Выводы по задачному материалу.

Весь задачный материал можно разбить на блоки: (см. таблицу).

Основная часть задачного материала рассчитана на отработку определений и теорем, также есть комплексные задачи, где необходимо вспомнить материал планиметрии. В целом система упражнений удовлетворяет принципу полноты и принципу непрерывного повторения.

Вывод по задачному материалу по пункту: «Сечение тетрэдра и параллелепипеда плоскостью».

Отдельный пункт посвящен построению на чертеже сечений тетраэдра и параллелепипеда, что представляется важным как для решения геометрических задач, так и, вообще, для развития пространственных представлений учащихся.

В §4 «Тетраэдр и параллелепипед», как пункт 14, решение задач на построение сечений многогранников следует начинать сразу после основных понятий и аксиом стереометрии. Это в свою очередь будет способствовать их развитию

Начинать изучение построения сечений с задач двух видов:

1. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости основано на нахождение точки пересечения двух соответствующих прямых.

2. Нахождение линии пересечения двух плоскостей основано на нахождении двух общих точек этих плоскостей.

Именно указанные задачи лежат в основе решения задач на построение сечений. Сначала нужно решать на натуральных моделях тетраэдра и параллелепипеда, а затем переходить к графическим моделям.

Начинать строить сечения следует с простейших случаев, и заканчивать более сложными.

Чтобы создать мотивацию для изучения следующей большой темы «Взаимное расположение прямых в пространстве» следует давать такие случаи, когда сечение не может быть построено, т.е. нужно изучить дополнительную теорию, а именно, свойство параллельности прямой и плоскости.

Далее изучая новую тему постепенно вводиться комбинированный метод построения сечений.

Постановка учебных задач, диагностируемых целей

Учебная задача:

- систематизировать наглядные представления учащихся об основных элементах стереометрии (точках, прямых, плоскостях);

- сформировать представление о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве, о параллельности прямых и плоскостей в пространстве.

Данная тема является опорной для дальнейшего изучения всего геометрического материала. Основной материал этой темы посвящен формированию представлений о возможных случаях взаимного расположения прямых и плоскостей, причем акцент делается на формирование умения распознавать эти случаи в реальных формах (на окружающих предметах, стереометрических моделях и т. п.). При решении стереометрических задач на вычисление длин отрезков особое внимание следует уделить осмысленному применению фактов из курса планиметрии.

Диагностируемые цели:

В результате изучения данной главы учащиеся должны:

• Знать:

1. Определения: параллельных прямых, параллельных отрезков, параллельности прямой и плоскости, скрещивающихся прямых, параллельных плоскостей, тетраэдра, параллелепипеда;

2. Теоремы: о параллельных прямых в пространстве, параллельности трех прямых, о скрещивающихся прямых, об углах с сонаправленными сторонами, их доказательства;

3. Признак скрещивающихся прямых, признак параллельности прямой и плоскости, признак параллельности двух плоскостей, их доказательства;

4. Лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми, ее доказательство;

5. Следствия из признака параллельности прямой и плоскости и их доказательства;

6. Свойства параллельных плоскостей, параллелепипеда, их доказательства;

• Уметь:

1. Различать тетраэдр и параллелепипед;

2. Определять взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве;

3. Изображать пространственные фигуры на плоскости;

4. Строить сечение тетраэдра и параллелепипеда плоскостью;

5. Решать задачи на применение теорем

• Понимать:

1. Аналогию между взаимным расположением двух прямых на плоскости и в пространстве;

2. Аналогию между параллельными прямыми и параллельными плоскостями.

Тематическое планирование.

На изучение темы «Параллельность прямых и плоскостей» отводится 18 часов.

Тема урока

Тип урока

Учебная задача

Методы обучения

1

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Урок-лекция

Рассмотреть возможные случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве

Репродуктивный, эвристическая беседа, частично-поисковые

2

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Урок усвоения теории

Проверить усвоение теории по теме «Взаимное расположение двух прямых в пространстве» в процессе решения дидактических задач

Репродуктивный, частично-поисковые

3

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Урок решения ключевых задач

Выделить виды задач по теме «Взаимное расположение двух прямых в пространстве» и рассмотреть методы и приемы их решения

Репродуктивный, частично-поисковые

4

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Урок-практикум

Отработка умения решать ключевые задачи по теме «Взаимное расположение двух прямых в пространстве»

Репродуктивный, частично-поисковые

5

Взаимное расположение прямой и плоскости

Урок-лекция

Рассмотреть возможные случаи расположения прямой и плоскости в пространстве

Эвристическая беседа, репродуктивный, частично-поисковые

6

Взаимное расположение прямой и плоскости

Урок усвоения теории

Проверить усвоение теории по теме «Взаимное расположение прямой и плоскости» в процессе решения дидактических задач

Репродуктивный, частично-поисковые

7

Взаимное расположение прямой и плоскости

Урок решения ключевых задач

Выделить виды задач по теме «Взаимное расположение прямой и плоскости» и рассмотреть методы и приемы их решения

Репродуктивный, частично-поисковые

8

Взаимное расположение прямой и плоскости

Урок-практикум

Отработка умения решать ключевые задачи по теме «Взаимное расположение прямой и плоскости»

Репродуктивный, частично-поисковые

9

Взаимное расположение двух плоскостей

Урок-лекция

Рассмотреть взаимное расположение двух плоскостей в пространстве

Эвристическая беседа, репродуктивный, частично-поисковые

10

Взаимное расположение двух плоскостей

Урок усвоения теории

Проверить усвоение теории по теме «Взаимное расположение двух плоскостей

» в процессе решения дидактических задач

Репродуктивный, частично-поисковые

11

Взаимное расположение двух плоскостей

Урок решения ключевых задач

Выделить виды задач по теме «Взаимное расположение двух плоскостей» и рассмотреть методы и приемы их решения

Репродуктивный, частично-поисковые

12

Взаимное расположение двух плоскостей

Урок-практикум

Отработка умения решать ключевые задачи по теме «Взаимное расположение двух плоскостей»

Репродуктивный, частично-поисковые

13

Построение сечений тетраэдра плоскостью

Урок решения ключевых задач

Выделить виды задач по теме «Построение сечений тетраэдра плоскостью» и рассмотреть методы и приемы их решения

Репродуктивный, частично-поисковые

14

Построение сечений тетраэдра плоскостью

Урок решения задач

Отработка умения решать ключевые задачи по теме «Построение сечений тетраэдра плоскостью»

Репродуктивный, частично-поисковые

15

Построение сечений параллелепипеда плоскостью

Урок решения ключевых задач

Выделить виды задач по теме «Построение сечений параллелепипеда плоскостью» и рассмотреть методы и приемы их решения

Репродуктивный, частично-поисковые

16

Построение сечений параллелепипеда плоскостью

Урок решения задач

Отработка умения решать ключевые задачи по теме «Построение сечений параллелепипеда плоскостью»

Репродуктивный, частично-поисковые

17

Параллельность прямых и плоскостей

Урок обобщения и систематизации

Обобщить и систематизировать теоретический и задачный материал по теме «Параллельность прямых и плоскостей»

Репродуктивный, частично-поисковые

18

Параллельность прямых и плоскостей

Контрольная работа

Проверить усвоение теории и задачного материала по теме «Параллельность прямых и плоскостей»

Репродуктивный, частично-поисковые

Конспект урока.

• Название учебника:

Геометрия 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни/[Л.С. Атанасян, В.Ф Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.].-21-е изд.-М.: Просвещение, 2012.-255с. Г.1, §4.

• Тип урока: Урок решения ключевых задач.

• Учебная задача урока: Выделить виды задач по теме «Построение сечений параллелепипеда плоскостью» и рассмотреть методы и приемы их решения.

• Диагностируемые цели:

В результате урока ученик:

Знает: понятие параллелепипеда и его элементов, понятие сечения и секущей плоскости, основные приёмы построения сечений тетраэдра и параллелепипеда;

Умеет: строить сечения параллелепипеда плоскостью при различных случаях задания секущей плоскости.

Понимает: Взаимосвязь между видом сечения и расположением точек на ребрах параллелепипеда, какой приём построения сечения необходимо применить при решении задачи.

• Методы обучения:

- Репродуктивный метод;

- Эвристическая беседа, частично поисковые методы.

• Форма работы: Фронтальная.

• Средства обучения: Традиционные, презентация.

• Структура урока:

Мотивационно - ориентировочный этап (13 мин.),

Содержательный этап (27 мин.),

Рефлексивно-оценочный этап (5 мин.).

Ход урока.

1. Мотивационно-ориентировочный этап.

Актуализация.

Учитель: В курсе стереометрии большое значение при решении задач имеет чертёж. Наглядность чертежу придают сечения многогранников различными плоскостями. Чтобы решить задачу, надо уметь правильно составить чертёж и построить сечение.

(На презентации представлены виды некоторых сечений).

Учитель: Что значит построить сечение многогранника?

(Ответ: Построить сечение многогранника плоскостью - построить многоугольник, отрезки которого являются пересечением секущей плоскости с гранями этого многогранника).

Учитель: Что такое секущая плоскость?

(Ответ: Секущей плоскостью называют любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данной фигуры).

Учитель: Что называется сечением многогранника плоскостью?

(Ответ: Если при пересечении секущей плоскости и многогранника получается многоугольник, то этот многоугольник называется сечением многогранника плоскостью).

Учитель: Вспомним некоторые моменты изученной ранее теории.

Сформулируйте свойство параллельных плоскостей, представленное на рисунке.

(Ответ: Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны).

Учитель: Рассмотрим параллелепипед АВСDА1B1C1D1. Что такое параллелепипед?

Ученики: Многогранник, который состоит из 6 параллелограммов, которые находятся в попарно параллельных плоскостях и которые попарно равны.

Учитель: Назовите его свойства и приведите примеры на основе этих свойств.

(Ответ: Свойства параллелепипеда:

1. Противоположные грани (равные параллелограммы) лежат в параллельных плоскостях.

Например, параллелограммы ABCD и А1B1C1D1 равны и лежат в параллельных плоскостях).

2. Длины параллельных ребер равны.

Например, AD = BC = A1D1 = B1C1.

3. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Например, диагонали параллелепипеда BD1 и B1D пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам).

Учитель: На прошлом уроке мы научились строить сечения в тетраэдре, вспомним какие основные задачи мы решали.

Учитель:

Рассмотрим следующую задача.

Задача № 1.

Постройте точку пересечения прямой MN и плоскости (ADC) в тетраэдре, где M принадлежит BC, N принадлежит AB.

Решение:

1. Соединить точки M и N, т.к. они лежат в одной плоскости грани (ABC).

2. Найти прямую, лежащую на данной плоскости и секущей плоскости, и продлить ее до пересечения с прямой MN.

MN (ADC), AC ;

MN AC = F.

Учитель: Всегда ли задача имеет решение?

Ученики: Всегда, т.к. MN не параллельна AC, MN и AC лежат в (ABC), то MNAC, т.е. F определяется однозначно.

Учитель: Повторим алгоритм построения точки пересечения прямой и плоскости?

Ученики: «Для построения точки пересечения прямой и плоскости надо:

1. найти в данной плоскости прямую, лежащую с данной прямой в какой - либо другой плоскости;

2. построить точку пересечения этих прямых».

Учитель: Вернемся к рисунку задачи № 1. Постройте линию пересечения плоскостей (MNK) и (ADC) , где К принадлежит DC.

MN (ADC), AC ;

MN AC = F.

Решение:

3. Соединяем точки F и K, где K (ADC). Значит, KL – линия пересечения двух указанных плоскостей.

Учитель: Рассмотрим теперь случай, когда NM параллельна AC. Если прямая MN параллельна какой-нибудь прямой, например, прямой AС из плоскости АDС, то прямая MN параллельна всей плоскости АDС.

1. Точки N и M лежат в (ABC), отсюда следует, что мы можем провести прямую NM(ABC)

2. Искомая плоскость сечения проходит через прямую MN, параллельную плоскости АDС, и пересекает плоскость по прямой LK. Значит, линия пересечения LK параллельна прямой MN.

3. Точки N и L лежат в (ABD), отсюда следует, что мы можем провести прямую NL(ABD)

4. MNLK- искомое сечение.

Учитель: Повторим алгоритм построения точки пересечения двух плоскостей?

Ученики: «Для построения линии пересечения двух плоскостей нужно, в одной плоскости найти две точки, принадлежащие другой плоскости».

Учитель: Скажите, какие основные виды сечений мы получали в тетраэдре?

Ученики: В сечение тетраэдра может быть треугольник, четырехугольник.

Учитель: Посмотрите на рисунки и скажите, все ли сечения построены верно? Если нет, скажите, что нужно доделать.

1.

2.

3.

Ученики:

1. Сечение не доведено до конца. Нужно продлить прямые CK и CL. CK PA = {K}, CL PB = {L}. Точки M и N лежат на одной грани (APB), мы можем их соединить. Получаем MNC - искомое сечение.

2. Сечение построено неверно, точки A и E лежат на одно грани (ABC), следовательно, мы можем их соединить, точка K - «лишняя». ADE – искомое сечение.

3. Сечение построено верно.

Мотивация.

Ребята, на прошлом уроке мы с вами рассматривали правила построения сечений на тетраэдре плоскостью. Эти же самые правила, мы также можем применять при построении сечений в параллелепипеде, чем мы и займемся на сегодняшнем уроке.

Учебная задача.

Изучить приёмы построения сечений параллелепипеда плоскостью.

Тема урока.

«Построение сечений параллелепипеда плоскостью».

2. Содержательный этап.

Учитель: Рассмотрим следующую задачу.

Задача № 1.

Постройте:

1. Точку пересечения прямой ML и плоскости (A1B1C1) в параллелепипеде, где M принадлежит AA1, L принадлежит AD.

Решение:

1. Соединить точки M и L, т.к. они лежат на одной плоскости грани (AA1D1).

α (AA1D1) = ML.

2. Найти прямую, лежащую на данной плоскости и секущей плоскости, и продлить ее до пересечения с прямой ML.

ML (A1B1C1), A1D1 ;

ML A1D1 = {X1}.

Учитель: Всегда ли задача имеет решение?

Ученики: Всегда, т.к. ML не параллельна A1D1, ML и A1D1 лежат в (AA1D1), то MLA1D1, т.е. X1 определяется однозначно.

2. Линию пересечения плоскостей (MNL) и (A1B1C1) , где N принадлежит B1C1.

3. Соединяем точки X1 и N, где N (A1B1C1).

4. NX1 A1B1 = {K}. Точка K принадлежит (MLN) и (A1B1C1), следовательно, (MLN)(A1B1C1)=NK. NK –линия пересечения плоскостей (MNL) и (A1B1C1).

Задача № 2.

Дан параллелепипед АВСDА’B’C’D’ и точки M, N, K на ребрах AA’, A’D’, A’B’ соответственно. Постройте сечения параллелепипеда плоскостью MNK.

Построение.

1. Точки M и N лежат на одной пл. (AA’D’), отсюда следует, что мы можем провести прямую MN (AA’D’).

2. Точки K и N лежат на одной пл. (A’B’C’), отсюда следует, что мы можем провести прямую KN (A’B’C’).

3. Точки M и K лежат на одной пл. (AA’B’), отсюда следует, что мы можем провести прямую MK (AA’B’).

4. (MNK) – искомое сечение.

Задача № 3.

Построить сечение параллелепипеда по точкам M, N, P, где P, N лежат на ребрах D1C1, DD1 соответственно, M – лежит внутри грани AA1D1D.

Построение.

1. NP, т.к. точки N, P (DD1C1).

2. MN, т.к. точки M, N (AA1D1).

3. MN AA1 = {L}.

4. MN A1D1 = {X}.

5. XP.

6. XP A1B1 = {K}.

7. NLKP – искомое.

Учитель: Вначале урока, мы с вами повторили свойства параллелепипеда. Скажите, как расположены плоскости противоположных граней параллелепипеда?

Ученики: Противоположные грани (равные параллелограммы) лежат в параллельных плоскостях.

Учитель: В данном параллелепипеде плоскости (DD1C1), (AA1B1) параллельны, прямая PN(DD1С1). Как можно сразу построить прямую KL?

Ученики: Плоскости (AA1B1) (DD1C1), NP(DD1C1), следовательно, по свойству параллельных плоскостей, мы можем построить прямую KL, лежащую на плоскости (AA1B1) и параллельную NP.

Учитель: Молодцы. Таким образом, мы получили второй способ построения сечений на основе свойства параллельных плоскостей.

Теперь рассмотрим частный случай этой задачи: MN параллельна A1D1. Как тогда в этом случае будем решать задачу?

Ученики:

Построение:

1. NP, т.к. точки N, P (DD1C1).

2. MN, т.к. точки M, N (AA1D1).

3. MN AA1 = {L}

4. KL, где KL NP, KL (AA1D1).

5. KL A1B1 = {K}.

6. KP.

7. PNLK – искомое сечение.

Задача № 4.

Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящее через точку M (т. M (AA1B1)), параллельно плоскости BB1D1.

Учитель: В начале решения задачи, необходимо построить плоскость BB1D1.

Ученики: Построение заданной плоскости BB1D1D:

1. BB1,

2. B1D1, т.к. точки B1, D1(A1B1C1).

3. DD1, DD1BB1, т.к. ребра параллелепипеда параллельны.

4. DB.

5. BB1D1D – данное сечение.

Построение.

Пусть – искомая плоскость.

По свойству параллельных плоскостей, строим PS, где PS, M, M PS, PS (BB1D1).

1. По свойству параллельных плоскостей, строим PQ, где PQ , PQ (BB1D1).

2. PQ A1D1 {Q}.

3. По определению параллельных прямых, QR, где QR PS.

4. QR AD ={R}.

5. RS

6. PQRS – искомое.

Задача 5.

Построить сечение параллелепипеда по точкам M, N, B1, где M, N – середины ребер AD, DC соответственно.

Построение.

1. MN, т.к. точки M, N (ABC).

2. AB MN = {O}.

3. B1O, где B1, O (AA1B1). .

4. MK, где M, K (AA1D1). MK (AA1D1)

Учитель: Далее задачу можно решать двумя способами:

1 Способ:

5. Строим точку пересечения прямой MN с плоскостью BB1C1C, MN BC = {E}.

6. B1E, где B1, E (BB1C1). .

7. NP, где N, P (BB1C1), следовательно, NP (BB1C1)

8. MKB1PN – искомое сечение.

2 Способ:

5. Плоскости (AA1B1) (DD1C1), B1K(AA1B1), следовательно, по свойству параллельных плоскостей, мы можем построить прямую, лежащую на плоскости (DD1C1) и параллельную B1K.

NP, где NP B1K, NP (DD1C1).

6. Плоскости (AA1B1) (BB1C1), MK(AA1D1), следовательно, по свойству параллельных плоскостей, мы можем построить прямую, лежащую на плоскости (BB1C1) и параллельную MK.

B1P, где B1P MK, B1P (BB1C1).

7. MKB1PN – искомое сечение.

Учитель: В сечении параллелепипеда также может получиться шестиугольник.

Например, в параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 сечение PNLEMF - шестиугольник.

Учитель: Посмотрите на все задачи, которые мы решали сегодня уроке и обратите внимание, какие многоугольники получаются в сечении параллелепипеда плоскостью?

Ученики: В сечение параллелепипеда мы получили треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник.

Учитель: Верно, такие сечений мы получаем, так как параллелепипед имеет 6 граней.

3. Рефлексивно – оценочный этап.

Учитель: Какая цель нашего урока?

Ученики: «Изучить приёмы построения сечений параллелепипеда плоскостью»

Учитель: Достигли ее?

Ученики: Да.

Учитель: Как мы её достигли? Какие виды задач рассмотрели?

Ученики: Мы рассмотрели задачи на построение точки пересечения прямой и плоскости, построение линии пересечения двух плоскостей на параллелепипеде, а также рассмотрели виды сечений на параллелепипеде.

Домашнее задание.

Задача № 1. Построить сечение по точкам A, C, M, где M – середина C1D1.

Построение:

1. AC, т.к. точки A и C лежат на одной грани

2. MC, т.к. точки M и C лежат на одной грани.

3. По свойству секущей плоскости на параллелепипеде, .

4. AE, т.к. точки A и E лежат на одной грани (AA1D1)

5. ACME –искомое сечение.

Задача № 2. Построить сечение по точкам M, N, L, лежащих на ребрах, соответственно, AA1, B1C1, AD.

Построение:

1 Способ:

1. ML, т.к. точки M, L лежат в одной плоскости.

2. ML ∩ A1D1 = X1;

3. X1N, X1N ∩ A1B1 = {K}.

4. MK;

5. ML ∩ DD1 = X2;

6. KN ∩ D1C1 = X3;

7. X2X3 ∩ CC1 = {T}, X2X3 ∩ CD = {P}.

8. TP;

9. LP;

10. NT;

11. MKNTPL - искомое сечение.

2 Способ:

1. ML, т.к. точки M, L лежат в одной плоскости.

2. ML ∩ A1D1 = X1;

3. X1N, X1N ∩ A1B1 = {K}.

4. MK;

5. NT, где NTML

6. TP, где TPKM

7. LP.

Задача № 3. Построить сечение через точки N, F, M, где M, N, F – середины сторон DC, A1B1, AD соответственно.

Построение:

1. MF, т.к. точки M,F (ABC).

2. MF AB = {K}.

3. NK, где N, K (AA1B1). .

4. FP, где F, P (AA1D1). FP (AA1D1).

5. По свойству секущей плоскости на параллелепипеде, .

6. По свойству секущей плоскости на параллелепипеде, .

7. ME, т.к. M, E (CC1D1).

8. MFPNLE – искомое сечение.