Проект математика и очередь

Содержание

                                                                                                                    стр

Содержание……………………………………………………………………………….1

Введение ………………………………………………………………….………..……..2

Теоретическая часть……………….……………………………………………….……3

        1 .Законы теории очередей…………………………………………………………3

        2. Модели очередей ……..………………………………………………………….4

Практическая часть………………………………………………………………………5

      Исследование№1……………………………………………………………………..5

      Исследование №2…………………………………………………………………….5

      Исследование №3…………………………………………………………...……….5

      Исследование №4……………………………………………………………….……6

      4. Математическая модель ……………………………………………….…………7

Заключение …………………………………………………………………….…………8

Литература………………………………………………………………………………..9

Всю жизнь стоять — чего-то ждать…
     Не надоело?! Вопрошать,
          И без ответов оставаться…

Иван Зерюкаев

Введение

В настоящее время человек проводит в ожидании значительную часть своей жизни. Разве есть среди нас хотя бы один, кто никогда ни стоял в очереди? Мир ожидания очень разнообразен: очереди машин, очереди пассажиров к стойкам регистрации; очередь к банкоматам, очередь на приём к врачу или очередь телефонных звонков ...

Так мы задались вопросом: «Можно ли  решить проблему очередей? Если  «да», то какую роль в  ее решении сыграет математика?»

Проблемный вопрос: Как избавиться от очередей, и как с этим борется математика.

Гипотеза: Условия создания очередей выражаются через математическую модель.

Предметом исследования являются очереди города Элиста.

Целью исследования: выяснить причины образования очередей в городе Элиста и найти пути их ликвидации.

Задачи:

1.      Исследовать вопрос об истории возникновения теории очередей.

2.      Изучить методы решения данной проблемы.

3.      Изучить современные теории очередей.

4.      Провести собственные исследования очередей в городе Элиста мире и выработать свои пути решения.

Для решения задач был определен метод исследования:

·         теоретический (изучение теории вопроса);

·         практический (наблюдение и сравнительный анализ данных).

Актуальность работы: Мы часто попадаем в очереди в разных ситуациях: в магазинах или столовых, на дорогах, в больницах и т.д. Следовательно, существует необходимость найти решение этой проблемы.

Теоретическая часть

1 .Законы теории очередей.

Очередь - это линия ожидания. Теория очередей – часть более широкой теории,  в рамках которой проводятся оперативные исследования и создаются математические модели.  Все это делается  с одной целью – решить проблемы, которые создает состояние в очередях.

Первопроходцем в теории очередей был датский математик Агнер Караруп (1878-1929) , взявшийся анализировать телефонную систему в Копенгагене, чтобы разрешить проблему загруженности телефонных линий.

В ходе рассмотрения истории вопроса мы узнали, что в теории изучения очередей существуют законы Харпера. Первый закон Харпера: неважно, в какую очередь ты становишься – всегда есть одна, движущаяся быстрее остальных. Второй закон Харпера: если ты переходишь в другую очередь, та, которую ты покинул, начинает двигаться быстрее.

Еще мы изучили закон Литтла, который гласит, что время, необходимое на обработку заказа, прямо пропорционально объему незавершенного производства и обратно пропорционально средней скорости выполнения работы.

Например, вам необходимо изготовить гвоздь. Цех по производству гвоздей делает 1000 штук в час (это средняя скорость выполнения работы). Сейчас у них имеется 5000 недоделанных гвоздей (объем незавершенного производства). Значит, вы получите свой гвоздь через пять часов с момента размещения заказа. Это равенство имеет множество практических следствий. Прежде всего, оно показывает, что есть два способа снизить время выполнения заказа —  либо сокращая объем незавершенного производства, либо наращивая среднюю скорость выполнения работы. В ходе любой операции, которая не предполагает непосредственного контакта с клиентом, то есть где незавершенное производство представляет собой заказы, электронную корреспонденцию или отчеты, а не людей, контролировать объем незавершенного производства гораздо проще, чем повысить скорость выполнения работы. На самом деле, вы можете ускорить любой процесс, просто уменьшив объем незавершенного производства и не предпринимая ничего для повышения скорости выполнения работы.

Кроме того мы узнали о распределение Пуассона, которое играет ключевую роль в теории массового обслуживания.

Распределение Пуассона — это вероятностное распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Работа Пуассона впервые была опубликована в 1837 году. Изначально распределение Пуассона было предложено для моделирования потока входящих телефонных звонков на коммутатор. Примеры других ситуаций, которые можно смоделировать, применив это распределение: поломки оборудования, длительность исполнения ремонтных работ стабильно работающим сотрудником, ошибка печати, рост колонии бактерий в чашке Петри, дефекты в длинной ленте или цепи и др.

2. Модели очередей.

Некоторые модели очередей очень просты, другие требуют применения сложных математических теорий. Все очереди можно разбить на две большие группы.

-Детерминированная очередь –наиболее простая модель, которую можно заранее спрогнозировать опираясь на временные интервалы прибытия и ожидания. Это «очередь без сюрпризов».

- Вероятностная очередь не может быть описана без применения вероятностей. Это более реалистичная модель, чем предыдущая. В дождливый день, например, есть большая вероятность того, что увеличатся очереди на стоянках такси и уменьшатся очереди в кассы зоопарка или другие развлекательные учреждения на свежем воздухе.

Практическая часть.

Исследование №1. Существуют ли очереди в математике?

Рассмотрим пример: (24 * 7-377:29)*(2378:58-38).

Чтобы решить этот пример, действия выполняются в строго установленном законами порядке и каждое действие ожидает своей очереди.

Вывод: В математике существует очередность.

Исследование №2.  Очередь в школьной столовой.

По результатам анкетирования большая часть учащихся нашей школы (60%)  попадают в очередь в столовой. Мы пронаблюдали за ней на 3 и 4 переменах в разные дни недели.  На третьей перемене в основном очередь была из учащихся  4-6 классов, которые в это время кушали и хотели еще получить еду за дополнительную плату. Самая большая очередь после 4 урока. В это время пообедать планируют учащиеся с 1го класса по 11, но не все успевают. Тут мы нередко застали случай, который подтверждает закон Харпера: «если ты переходишь в другую очередь, та, которую ты покинул, начинает двигаться быстрее».

Вывод: Рекомендовать  работникам столовой организовать график работы буфета по классам. Тогда бы очередь была бы меньше.

Исследование №3. Очередь на лестничной площадке.

В течение недели мы наблюдали за возникновением очередей на лестничных площадках между 2 и 3, 3 и 4 этажами. На 1 перемене скопления людей ни в один день наших исследований не было. В случае отсутствия дежурных большая очередь наблюдается после 3 и 4 урока.

Вывод: Рекомендовать классным руководителям закрепить дежурных на лестничных площадках.

 Исследование №4. Автомобильные пробки.

Группа математиков из университетов Экзетера, Бристоля и Будапешта раскрыла секрет заторов дорожного движения. Они создали модель, которая демонстрирует, как без видимых причин на дорогах возникают гигантские очереди, сообщает Postimees.

Выбравшись из пробки, водители недоумевают, поскольку в конце пробки не видно каких-либо причин для ее возникновения, передает технологический портал Тартуского Университета Novaator. Согласно математической модели, неожиданно большое влияние на движение могут оказать мелкие, но неожиданные события, например, меняющий полосу движения микроавтобус.

Модель продемонстрировала, как тормозящий вследствие неожиданного события водитель вынуждает движущуюся за ним машину тормозить более резко, а следующую – еще резче и т.д. В результате этого машины, движущиеся на несколько километров позади, вынуждены остановиться, а их водителям приходится ломать голову из-за причин непонятного промедления. Влияние первого торможения в быстром движении смещается назад как снежный ком: до водителей, находящихся за несколько километров, он докатывается лишь через несколько минут после произошедшего инцидента.

По результатам анкетирования в  среднем 30% опрошенных попадают в автомобильные заторы на дорогах нашего города. Нами были проведено наблюдение на улицах Пушкина, на перекрестках улиц Ленина и Пушкина в разное время и в разные дни. Время работы красного света светофора 40 секунд, время зеленого света светофора 30 секунд.

	Понедельник	Воскресенье
8:00-8:20	От 20 до 30 машин	От 5 до 10 машин
12:00-14:00	От 10 до 25 машин	От 10 до 20 машин
17:00-19:00	От 20 до 40 машин	От 10 до 20 машин

Вывод: Предложить работникам ГИБДД увеличить промежутки работы зеленого света светофора, чтобы успевало больше количество машин проехать за это время.

Порекомендовать автолюбителям в часы загруженности этого светофора намечать свой путь движения по другим, более разгруженным улицам. Опять же подтверждается закон Харпера.

Математическая модель

Анализируя полученные данные, мы пришли к выводу, что можно создать математическую модель изученных ситуаций:

1)      Если за Х обозначить количество регулярно прибывающих участников события через равные промежутки времени, а за У – количество участников, прошедших данное событие за тот же временной интервал, то при условии, что скорость прибытия новых участников события  медленнее, чем скорость участвующих в этом событии, то получим следующую модель: Х<У. При этих условиях очередь неизбежна и длина ее будет увеличиваться.

2)      Модель: Х=У. Эта модель говорит о том, что длина очереди будет постоянной или незначительна, потому что только происходит событие Х, наступает событие У или обслуживание одного клиента заканчивается в тот момент, когда приходит следующий.

3)      Модель: Х >У-очередь не образуется так как событие Х заканчивается, а событие У еще не наступило.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

          Выполняя данную работу, мы узнали много нового и интересного.

Ø  Узнали, что первопроходцем в теории очередей был датский математик Агнер Караруп (1878-1929) .

Ø  Узнали, что в теории очередей применяются законы Харпера, Литтла, о распределение Пуассона, которое играет ключевую роль в теории массового обслуживания.

Ø   Изучили модели очередей

Ø  Провели исследования очередей

Ø  Составили математическую модель очередей в зависимости от условий.

Вывод:

Гипотеза: «Условия создания очередей выражаются через математическую модель» подтвердилась.

Использованная литература:

1.     Клейнрок Л. Теория массового обслуживания

2.     Матвеев В. Ф., Ушаков В. Г. Системы массового обслуживания

3.     Математический энциклопедический словарь, М., «Советская энциклопедия», 1988

4.     Лифшиц А. Л., Мальц Э. А. Статистическое моделирование систем массового обслуживания

5.     Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей. Глава 10. Теория массового обслуживания. М., 1969, 368 стр. .

Интернет-ресурсы

1.       http://ru.wikipedia.org

2.       http://scienceblog.ru