Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Проект "Математика: точная наука или гуманитарный предмет?" ученицы 11 класса под авторским научным руководством.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Проект "Математика: точная наука или гуманитарный предмет?" ученицы 11 класса под авторским научным руководством.

библиотека
материалов

«Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит»

- Михаил Ломоносов


«Книга природы написана языком математики»

- Галилео Галилей


Введение

Какие ассоциации возникают у обычного человека при слове «математика»? Скорее всего, это будет что-то, связанное с формулами, вычислениями, различными обозначениями, уравнениями, графиками и другими математическими моделями. И зачастую все эти модели многим бывают непонятны, чужды, кажутся оторванными от реальности. Особенно часто можно услышать от школьников, что непростой материал на уроках математики в старших классах им в жизни явно не пригодится. Ученики и вовсе могут сводить нужность этой науки только к умению считать. К гуманитарным наукам в этом плане относятся с большей симпатией: они связаны с обществом, находят непосредственное отражение в реальном мире, они более «жизненны», а значит, и нужнее. Это мнение, с которым я совершенно не согласна, и натолкнуло меня на создание данного исследовательского проекта.

В его начале мне бы хотелось выдвинуть следующую гипотезу, которую я постараюсь подтвердить в ходе своей работы: математика достоверно описывает события окружающего нас мира и помогает в решении возникающих на практике проблем, она связана с обществом и поэтому может даже называться гуманитарной наукой.

Исходя из вышесказанного, можно сформулировать цель исследования: убедить сверстников в нужности математики, раскрыв её гуманитарную природу.

Объект исследования: роль математики в жизни людей.

Предмет исследования: математика как гуманитарная наука.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Определить широкое назначение математики.

2. Выдвинуть основания, на которых можно назвать математику гуманитарным предметом.

3. Подтвердить данные основания на конкретных математических моделях и задачах.

4. Сформулировать выводы по результатам работы.

Методы исследования:

1. Теоретические: анализ, формализация, математизация.

2. Эмпирические: измерение, описание, сравнение.


Глава I. Роль математики в системе наук, в жизни общества и конкретного человека

Математика — это фундаментальная наука, методы которой активно применяются во многих естественных дисциплинах, таких как физика, химия и даже биология. Сама по себе, эта область знаний оперирует абстрактными отношениями и взаимосвязями, то есть такими сущностями, которые сами по себе не являются чем-то вещественным.

Но, тем не менее, стоит только математике вступить в область любой науки о мире, она сразу воплощается в описание, моделирование и предсказание вполне себе конкретных и реальных природных процессов. Здесь она обретает плоть и кровь, выходя из-под покрова идеализированных и оторванных от жизни формул и подсчетов.

Благодаря применению математики нам не нужно проводить дорогостоящие и опасные для жизни эксперименты, прежде чем реализовать какой-нибудь сложный проект, например, в освоении космоса. Мы можем заранее рассчитать параметры орбиты космического аппарата, запускаемого с земли для доставки космонавтов на орбитальную станцию. Математические расчеты позволят не рисковать жизнью людей, а прикинуть заранее все необходимые для запуска ракеты параметры, обеспечив безопасный полет.

Воплощение математического расчета можно видеть везде: в автомобиле, компьютере или переносном устройстве. Все постройки, здания не разрушаются под собственным весом благодаря тому, что все данные, необходимые для постройки, рассчитывали заранее по формулам.

Медицина и здравоохранение — тоже существует благодаря математике, которая используется, во-первых, при проектировании медицинских приборов, а во-вторых, при анализе данных об эффективности того или иного лечения.

Даже прогноз погоды не обходится без применения математических моделей. А такая широко используемая обществом отрасль знаний, как статистика, активно использует различные математические методы. Приводить примеры в пользу значимости математики для общества можно бесконечно.

Бесспорно, эта наука действительно крайне важна для человечества в целом, но может возникнуть вопрос: зачем она нужна лично конкретному человеку (особенно, если он ей совсем не интересуется)? Ответ несложен. Математика позволяет развить некоторые важные умственные качества личности. Это аналитические, индуктивные (способность к обобщению), критические, прогностические (умение прогнозировать, мыслить на несколько шагов вперед) способности.

Также эта дисциплина улучшает возможности абстрактного мышления (ведь это абстрактная наука), способность концентрироваться, тренирует память и усиливает быстроту мышления.

Если говорить более подробно и оперировать конкретными навыками, то математика поможет человеку развить следующие интеллектуальные способности:

  • Умение обобщать. Рассматривать частное событие в качестве проявления общего порядка. Умение находить роль частного в общем.

  • Способность к анализу сложных жизненных ситуаций, возможность принимать правильное решение проблем и определяться в условиях трудного выбора.

  • Умение находить закономерности.

  • Умение логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли, делать верные логические выводы.

  • Способность быстро соображать и принимать решения.

  • Навык планирования наперед, способность удерживать в голове несколько последовательных шагов.

  • Навыки концептуального и абстрактного мышления: умение последовательно и логично выстраивать сложные концепции или операции и удерживать их в уме.


Глава II. Математика как гуманитарная наука

Широкое применение математики на практике и нужность данной науки для общества и отдельного человека мы рассмотрели в предыдущей главе. Таким образом, вышеупомянутая «жизненность» математики ничуть не меньше, чем, например, истории.

Но на каких же основаниях мной была выдвинута гипотеза о том, что «царицу наук» можно назвать гуманитарным предметом? Гуманитарные науки  в широком смысле науки обо всех продуктах деятельности человека (науки о культуре). Гуманитарными дисциплинами можно назвать и философию, представляющую собой систему знаний о наиболее общих характеристиках и фундаментальных принципах реальности и познания, бытия человека, об отношении человека и мира, и историю, изучающую развитие человека, и различные языки, систематизирующие средства, с помощью которых люди взаимодействуют между собой, используя такую отличительную от животного характеристику, как речь. Математика также тесно связана с человеком и окружающим его миром. Она описывает события, происходящие в нем, на своем особом языке. Пусть этот язык сух, строг и лаконичен, очень точен, не терпит и малейших противоречий, но это язык, на котором говорит природа. И что очень важно, этот язык одинаков для людей всего мира. Он помогает описать жизненную ситуацию так, что тебя поймут в любом уголке планеты. Математический язык помогает осознать структуру взаимосвязей какого-либо явления. И, после того, как мы эти связи формализуем, мы можем строить модели, предсказывать будущие состояния явлений, которые этими моделями описываются, только лишь на бумаге или внутри памяти вычислительных машин! С помощью математики можно составить целостное представление о мире или о конкретной проблеме и решить ее. В этом она сходна с философией. Средства у этих наук разные, а вот цели (в рассматриваемом сейчас смысле) одни. Возможно, поэтому многие математики также были известны в качестве философов, например, Готфрид Лейбниц, Рене Декарт или Платон.

Итак, мной была рассмотрена гуманитарная природа математики. Теперь же попробую эмпирически, на конкретных задачах и моделях показать, как эта природа работает и при этом лишний раз продемонстрировать прикладное применение различных разделов математики.


Глава III. Математика в «жизненных» задачах

3.1 Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

Российский математик XIX века П.Л. Чебышев говорил, что «особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решить задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды». С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей: инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции; конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса была наибольшей; экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными и т.д.

Задачи подобного рода носят общее название – задачи на оптимизацию (от латинского слова optimum – «наилучший»). В самых простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с двумя величинами, одна из которых зависит от другой, причем надо найти такое значение второй величины, при которой первая принимает свое наибольшее или наименьшее (наилучшее в данных условиях) значение.

Задачи на оптимизацию решают по обычной схеме, состоящей из трех этапов математического моделирования: 1) составление математической модели; 2) работа с моделью; 3) ответ на вопрос задачи. Прежде чем переходить к конкретным примерам, предоставим общий план решения задач на оптимизацию.

Первый этап. Составление математической модели.

1) Проанализировав условия задачи, нужно выделить оптимизируемую величину (сокращенно: О.В.), т. е. величину, о наибольшем или наименьшем значении которой идет речь. Обозначим ее буквой y (или S, V, R, t – в зависимости от фабулы).

2) Одну из участвующих в задаче неизвестных величин, через которую сравнительно нетрудно выразить О.В., примем за независимую переменную ( сокращенно: Н.П.) и обозначим ее буквой x (или какой-нибудь иной буквой). Необходимо установить реальные границы изменения Н.П. (в соответствии с условиями задачи), т. е. область определения для искомой О.В.

3) Исходя из условий задачи, выразим y через х. Математическая модель задачи представляет собой функцию y=f(x) c областью определения Х, которую нашли на втором шаге.

Второй этап. Работа с составленной моделью.

На этом этапе для функции y=f(x), х \in X найдите унаим или унаиб в зависимости от того, что требуется в условии задачи. При этом используются теоретические установки, связанные с отысканием наибольшего/наименьшего значения функции с помощью производной.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Здесь следует дать конкретный ответ на вопрос задачи, опираясь на результаты, полученные на этапе работы с моделью.

Начнем с простой задачи практического значения. Ее результаты могут быть использованы, например, строителями или человеком, имеющим личное желание, при необходимости постройки квартиры (помещения) с наибольшей возможной площадью, но при ограниченном количестве материалов.

Условие задачи: периметр полового покрытия комнаты составляет 20 м. Каковы должны быть его стороны, чтобы площадь комнаты была наибольшей?

Решение:

C:\Users\1\Desktop\Проект\gh.png


I.

О.В. – площадь комнаты, поскольку в задаче требуется выяснить, когда площадь комнаты будет наибольшей. Обозначим О.В. буквой у.

Площадь комнаты зависит от ее длины (а) и ширины (b), поскольку комната представляет собой прямоугольник. Объявим Н.П. – длину комнаты и назовет ее х. Тогда, исходя из формулы периметра прямоугольника, b = 20:2 – x=10 – x(м). Т. к. длины сторон комнаты больше 0, реальные границы изменения независимой переменной: Х \in (0; 10).

Поскольку S=ab, y=x(10 – x). Математическая модель задачи составлена.

II.

Найдем унаиб для функции y=x(10 – x), х \in (0; 10)

у′ = 10 – 2х

Критических точек нет. Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю:

10 – 2х=0

х=5

C:\Users\1\Desktop\Проект\pfl1.pngПриведенное выше исследование показывает, что х=5 - единственная точка максимума функции. Значит, унаиб = y(5)= 25 (м2).

III.

В задаче спрашивается, каковы должны быть стороны полового покрытия.

Длины сторон, при которых достигается наибольшая площадь комнаты, равны х и 10 – х, то есть 5 м.

Ответ: половым покрытием должен быть квадрат со стороной 5 м.

Примечательно то, что решив подобную задачу в буквенном виде, математики пришли к важному практическому выводу: из всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат. Этот факт наглядно виден и на чертеже к условию задачи, представленном мной выше.

Рассмотрим теперь задачу сложнее, но интереснее. В ходе ее решения наглядно демонстрируется, как на сухом, порой выглядящем громоздко языке математика всего на всего описывает события окружающего мира и помогает решить различные проблемы.

Условие задачи. База находится в лесу в 5 км от дороги, а в 13 км от базы на этой дороге есть железнодорожная станция. Пешеход по дороге идет со скоростью 5 км/ч, а по лесу – 3 км/ч. За какое минимальное время пешеход может добраться от базы до станции?

Решение:

C:\Users\1\Desktop\зад2.png








I.

О.В. – время, за которое пешеход может добраться от базы до станции, поскольку в задаче требуется выяснить минимально возможное значение этого времени. Обозначим О.В. буквой t.

Точка М на нашем чертеже – место выхода пешехода на дорогу. Она может быть любой точкой на отрезке АС. Обозначим Н.П. – отрезок АМ, т. е. расстояние от конца кратчайшего пути база-дорога (БА) до возможной точки выхода пешехода на дорогу М. Назовем это расстояние х. Заметим, что х может изменяться от 0 до длины отрезка АС, поскольку пешеход может выйти и в точке А, и в точке С, и в любой точке между ними. Так как АС =12 по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АБС, реальные границы изменения независимой переменной: Х \in [0; 12].

Поскольку время пешехода в пути складывается из времени, которое он затрачивает на путь по лесу, и времени, затрачиваемом при пути по дороге (при этом учитывается, что пешеход может пройти только по лесу или только по дороге), то:

t=tлес + tдорога

tлес = hello_html_m21f88251.gif (км/ч) = hello_html_m70f06ac.gif (км/ч)

tдорога = hello_html_m76848fd6.gif (км/ч) = hello_html_m562954a8.gif (км/ч)

t = hello_html_m70f06ac.gif + hello_html_m562954a8.gif . Математическая модель задачи составлена.

II.

Найдем унаим для функции t = hello_html_m70f06ac.gif + hello_html_m562954a8.gif , х \in [0; 12].

t′ = hello_html_79440e3f.gif - hello_html_3b7b3c70.gif

Критических точек нет. Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю:

hello_html_79440e3f.gif - hello_html_3b7b3c70.gif = 0

hello_html_79440e3f.gif = hello_html_3b7b3c70.gif

hello_html_1b93e9.gif= hello_html_m1825703.gif

25x2 = hello_html_439e6c62.gif

25x2 = 225 + 9x2

x2 = hello_html_445c7a98.gif

x = hello_html_9273e8f.gif , но hello_html_m3a84565a.gif не удовлетворяет условию задачи.C:\Users\1\Desktop\Проект\hrsb.png









Приведенное выше исследование показывает, что х= hello_html_m48ab5e7.gif - единственная точка минимума функции. Значит, tнаим = t(hello_html_m48ab5e7.gif)= hello_html_711234d9.gif(ч) = 3ч 44мин.

III.

В задаче спрашивается, за какое минимальное время пешеход может добраться от базы до станции. Ответом на этот вопрос и будет tнаим = 3ч 44мин.

Данным примером ярко подтверждается мысль о гуманитарности математики: с помощью специального языка она описывает окружающий человека мир и помогает решать практические задачи.


3.2. Задачи экономической направленности

Помощь математики в решении подобных задач будет полезна как профессиональным экономистам, так и людям других специальностей, озабоченных вопросами, связанными с выплатами кредита или расчетом бюджета. Никаких специальных экономических знаний для данных задач нам не потребуется. Логика и несложные математические выкладки – вот все, что нужно.

Задача №1.

Условие. Олег собирается взять в банке кредит на 500 тысяч рублей по ставке 20% годовых. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, быть может, последней), после начисления процентов. Сколько составит минимально возможная переплата по кредиту, если Олег хочет, чтобы ежегодные выплаты не превосходили 180 тысяч рублей? (Переплатой по кредиту называется разница между суммой всех выплат и величиной кредита.)

Решение.

Заметим, что переплата по кредиту равна сумме всех начисленных банком процентов. Очевидно, что чем быстрее Олег выплатит кредит, тем меньше будет сумма начисленных процентов. В свою очередь, кредит будет погашен тем быстрее, чем больше будет платить Олег ежегодно. Поэтому переплата по кредиту минимальна в том случае, если Олег выплачивает ежегодно 180000 руб. (максимальная сумма, которую он выплачивает по условию задачи). Проведём вычисления.

В конце первого года, после начисления банком процентов по кредиту, сумма долга Олега будет равна 1,2*500000 = 600000 рублей (500000 + начисленные по проценту 0,2*500000 = 100000 рублей). После выплаты Олегом 180000 руб. долг банку будет равен 420000 руб. Через год, перед второй выплатой, долг банку будет равен 1,2*420000 = 504000 руб., а после выплаты 180000 руб. долг составит 324000 руб. Далее аналогично вычисляем долг банку после третьей выплаты и т.д. Для удобства записи результаты всех вычислений занесем в следующую таблицу:




номер выплаты

сумма долга до выплаты

сумма долга после выплаты

1

600000 руб.

480000 руб.

2

504000 руб.

324000 руб.

3

388000 руб.

208800 руб.

4

250560 руб.

70560 руб.

5

84672 руб.

0 руб.


Из данной таблицы следует, что если на протяжении 4-х лет Олег выплачивает ежегодно по 180000 руб., то на 5-ый год ему остаётся выплатить 84672 руб. При этом переплата по кредиту будет минимально возможной и составит 180000*4 + 84672 – 500000 = 304672 руб.

Ответ: 304672 руб.

Задача №2.

Данная задача несколько сложнее предыдущей. На первый взгляд кажется, что на практике подобным пользуются только представители экономических специальностей, но на самом деле принципы, используемые в решении подобной задачи необходимы каждому человеку, которых следит за своими доходами и расходами.

Условие. Страховая компания положила в банк некоторую сумму денег пол 10% годовых для обеспечения страховых выплат. Какова была эта сумма (в рублях), если она оказалась полностью истрачена за три года на следующие выплаты: 880000 рублей к конце первого года, 605000 рублей в конце второго года и 1331000 рублей в конце третьего года( се выплаты производились после начисления банком процентов).

Решение.

Пусть Х - искомая сумма, измеряемая в тысячах рублей. Тогда в конце первого года после начисления банком процентов на счете компании было 1,1Х тыс. руб., а после страховых выплат осталось 1,1Х – 880 тыс. руб. Далее действуя аналогично, получим, что в конце второго года после выплат осталось 1,1*(1,1Х – 880) – 605 тыс. руб., а в конце третьего года после выплат осталось 1,1*(1,1*(1,1Х – 880) – 605) – 1331 тыс. руб., что по условию составило 0 руб. Таким образом, имеем следующее уравнение:

1,1*(1,1*(1,1Х – 880) – 605) = 1331

1,1*(1,1Х – 880) – 605 = hello_html_58940e48.gif

1,1Х – 880 = hello_html_140626f8.gif + hello_html_6b1188ae.gif

X = hello_html_4beaaf26.gif + hello_html_5c8604c8.gif + hello_html_9fbea2d.gif

Х = hello_html_5a8f7186.gif + hello_html_m34fe00f7.gif + hello_html_9fbea2d.gif = 1000 + 500 + 800 = 2300 (тыс. руб.)

Ответ: 2300000.

В результате решения подобных задач математиками была выведена следующая закономерность:

Если имеется вклад на Х руб., который полностью расходуется за n ежегодных выплат равных v1 , v2 , … , vn , осуществляемых после начисления банком p процентов по вкладу, то для величины Х имеет место равенство:


Х = hello_html_m4514c07b.gif + hello_html_61eb7779.gif + … + hello_html_32b9df76.gif


Кажущаяся на первый взгляд громоздкой, данная формула значительно упрощает решение задачи, позволяя прийти сразу к конечной выкладке. Кроме того, приведенное выше равенство работает и в случае погашения кредита заёмщиком. Разница лишь в том, что в рассматриваемой задаче банк должен вкладчику, а в ином возможном случае заёмщик должен банку.


3.3. Задачи на вероятность

Несомненно, такой раздел математики, как теория вероятностей находит широкое практическое применение. С вероятностью мы сталкиваемся в повседневной жизни очень часто. Правильно высчитанная вероятность какого-либо события помогает в принятии различного рода решений.

Простейшие задачи на вероятность решать умеют, пожалуй, практически все, поскольку путь к решению можно найти с помощью простой логики. На математическом языке таким решением служит классическое определение вероятности, а именно:

Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу
http://www.matburo.ru/tv/tvbook/par_1_2.files/image002.gif

Рассмотрим пример. На 850 стиральных машин в среднем приходится 17 бракованных. Какова вероятность, что взятая наугад стиральная машина окажется исправной.

Решение.

m благоприятных исходов (в данном случае исправных машин) равно 833 (850 – 17), n всевозможных исходов – 850. По классическому определению, вероятность того, что взятая наугад стиральная машина окажется исправной, равна hello_html_720b3085.gif = 0,98 = 98%

Довольно несложно как в теории, так и на практике. Но окружающий нас мир порой преподносит задачи на порядок сложнее, когда классическая схема отыскания вероятности не может помочь. Что же делать в этом случае?

Рассмотрим следующий пример. Монету подбрасывают несколько раз так, что каждый раз с равной вероятностью выпадает «орел» или «решка». Найдите вероятность того, что при первых четырех подбрасываниях монеты «орел» выпадет не более одного раза.

Решение. В данном случае классическая вероятность «бессильна», поскольку мы имеем дело с независимыми повторениями испытания с двумя исходами. В каждом из таких повторений нас интересует вопрос, произойдет или не произойдет интересующее нас событие. А во всей серии повторений важно знать, сколько именно раз может произойти или не произойти то или иное событие.

Швейцарский математик начала XVIII века Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы такого типа в единую вероятностную схему, её принято называть схемой Бернулли. Она и поможет нам в решении нашей задачи.

Схема Бернулли. Рассматривают n независимых повторений одного и того же испытания с двумя возможными исходами: «успехом» и «неудачей». Вероятность «успеха» равна р, а вероятность «неудачи» равна q, p + q = 1(т.к. сумма вероятностей противоположных событий равна 1). Требуется найти вероятность Рn(k) того, что в этих n повторениях произойдет ровно k «успехов». Точный ответ на поставленный вопрос дает теорема Бернулли:

Вероятность Рn(k) наступлений ровно k «успехов» в n независимых повторениях одного и того же испытания вычисляется по формуле

Рn(k) = Сnkpkqn-k,

где р – вероятность «успеха», q = 1 – р – вероятность «неудачи» в отдельном испытании, а Сnk - общее число сочетаний из n элементов в группах по k.

В нашей задаче формулировка «не более одного раза» означает, что нам нужно выяснить вероятность того, что «успех» («орел») выпадет 0 или 1 раз. Найдем Р4(0) и Р4(1), зная, что р = q = hello_html_6eec8aff.gif (по условию задачи вероятность выпадения «орла» или «решки» равная):

Р4(0) = hello_html_m4a03b478.gif * 0,50 * hello_html_m34becb7c.gif4 = hello_html_m12cf78a7.gif

Р4(1) = hello_html_m5edfdb78.gif * 0,5 * hello_html_m34becb7c.gif3 = hello_html_3eccbf2c.gif

Тогда искомая вероятность P(A) = Р4(0) + Р4(1) = hello_html_238307c.gif = 0,3125

Стоит углубиться в теорию вероятности, как мы видим, что кажущаяся на первый взгляд неудобной формула легко помогает нам справиться с, казалось бы, непростой задачей.

Классическая вероятностная схема неприменима и к испытаниям с бесконечным числом исходом. В данном случае речь пойдет о геометрической вероятности. Может показаться, что такие понятия и вовсе далеки от практически применимой вероятности, однако следующая задача опять-таки продемонстрирует гуманитарную природу математики, описав на особом, отдаленном от реальности языке реальную ситуацию.

Условие. Два друга решили встретиться у входа в парк. Каждый из них может гарантировать только то, что он появится у входа в парк с 12-00 до 13-00. По инструкции каждый после прихода ждёт встречи у входа в парк 15 минут и по их истечении (или ровно в 13-00) уходит. Какова вероятность встречи?

Решение. Как мной было отмечено ранее, в данном испытании число исходов бесконечно (ведь прийти можно в любую секунду, десятую секунды и т.д.), поэтому воспользуемся понятием геометрической вероятности.

Геометрическая вероятность события А определяется отношением: 
http://www.matburo.ru/tv/tvbook/par_1_3.files/image002.gif, 
где m(G), m(A) – геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов и события А.

I. Построение модели.

За единицу отсчёта возьмём 1 час, а за начало отсчёта возьмём 12-00. Произвольно пронумеруем друзей. Пусть х – время прихода первого друга, а у – время прихода второго друга. Тогда 0hello_html_mab38aa4.gif, hello_html_7acada9b.gifи точка (x; y) квадрата с вершинами О(0; 0), А(0; 1), В(1; 1), С(1; 0) будет соответствовать времени прихода первого и второго друзей. Итак, вместо всевозможных вариантов времени прихода друзей мы будем рассматривать все точки квадрата ОАВС:



hello_html_352b2344.gif







После построения модели мы имеем дело с конкретно поставленной математической задачей.

II. Работа с моделью.

Встреча произойдёт, только если время прихода первого друга отличается от времени прихода второго не более, чем на 15 минут, т. е. (в выбранной системе координат) не более, чем на 0,25. Другими словами, интересующее нас событие произойдёт, только если |yx| hello_html_m58d69b90.gif. Значит, следует решить систему неравенств:

hello_html_5a5d4fd7.gif hello_html_f317a30.gif

hello_html_7f8712bf.gif

Получится часть квадрата ОАВС, лежащая между прямыми y = x0,25 и y = x + 0,25 (заштрихованная фигура приведена ниже).hello_html_m2e46b7ca.gif









Незаштрихованная область состоит из двух прямоугольных треугольников, катеты которых равны 0,75. Площадь этой часть равна 0,752=0,5625. Значит, заштрихованная часть составляет по площади 0,4375 от площади всего квадрата. Это и есть искомая вероятность.

III. Ответ: 0,4375, или 43,75%


Заключение

В ходе представленных выше теоретических и эмпирических методов исследования мной была доказана выдвинутая во введении гипотеза.

Подводя итоги проекта, можно отметить следующее:

- математика имеет незаменимое значение в жизни как общества в целом, так и конкретного человека;

- использующая точные расчёты, формулы, законы логики, не терпящая противоречий математика является точной наукой;

- описывая на особом языке события из жизни человека и окружающего его мира, математика проявляет свою гуманитарную природу;

- исходя из вышесказанного, математика является универсальной, всеобъемлющей дисциплиной, по праву названной «царицей наук».













Список литературы

  1. Мордкович, А. Г., Семенов, П. В. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) . – 6-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2012. – 287 с.

  2. Мордкович, А. Г. и др. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) – 6-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2012. – 264 с.

  3. Мордкович, А. Г., Семенов, П. В. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) . – 6-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009. – 424 с.

  4. Мордкович, А. Г., Семенов, П. В. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) . – 6-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009. – 343 с.

  5.  Успенский, В. А. Апология математики [Текст] [сборник статей] - СПб.: Амфора, 2010. - 554 с.

  6. Интернет-ресурсы:

Зачем нужна математика? http://nperov.ru/razum/zachem-nuzhna-matematika/

Геометрическая вероятность.

http://www.math-tasks.com/section.php?id_section=4


21



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 08.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров685
Номер материала ДВ-135989
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх