Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Проект: "Методы решения квадратных уравнений"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Проект: "Методы решения квадратных уравнений"

Выбранный для просмотра документ Буклет проекта.docx

библиотека
материалов

hello_html_m1c4018a0.gifhello_html_m6a198ad3.gifhello_html_7ec8ddd0.gifhello_html_79dd3fb8.gifhello_html_m28f8f94e.gifhello_html_m2d9068a1.gifhello_html_7ec8ddd0.gifhello_html_m821a35e.gifhello_html_13702c54.gifМетоды решения квадратных уравнений

I. Неполные квадратные уравнения

1) ax2 + bx = 0

х(ах + b) = 0

x = 0 или ах + b = 0,

aх = - b

х = hello_html_12d5acf6.gif

2) ax2 + c = 0

ax2 = - c, hello_html_m70d900b7.gif

Если hello_html_m59ce51ea.gif, то

hello_html_m7e408814.gif;

Если hello_html_m2c86cb14.gif, то корней нет.

3) ах2 = 0

х = 0C:\Users\Надежда\Desktop\0_82b4f_a62709ac_S.jpg

Образцы решения:





1) 2x2 + 3x = 0

x(2x + 3) = 0

x = 0 или

2х + 3 = 0

2х = - 3

х = - 1,5

Ответ: -1,5; 0.




2) 3х2 - 12 = 0

3х2 = 12

х2 = 4

х1 = 2 х2 = - 2

Ответ: -2; 2.




3) 5х2 = 0

х = 0

Ответ: 0.





Методы решения квадратных уравнений

II. Полное квадратное уравнение

ax2 + bx + c = 0

D = b2 - 4ac

а) Если D > 0, то hello_html_60d76eb.gif

б) Если D = 0, то hello_html_m631b9ff6.gif

в) Если D < 0, то корней нетC:\Users\Надежда\Desktop\0_82b4f_a62709ac_S.jpg

Образцы решения:

a) x2 – 8x + 12 = 0

a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8)2  4 · 1 · 12 = 64  48 = 16

hello_html_m3054c67e.gifj0440428[1]

hello_html_maf67a99.gif

Ответ: 2; 6.

б) x2 + 12x + 36 = 0

D = 122 − 4 · 1 · 36 = 0.

hello_html_m1939a40.gif

Ответ: -6.

в) 5x2 + 3x + 7 = 0;

D = 32 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131 < 0.

Ответ: корней нет


III. Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом

ax2 + bx + c = 0, b = 2k

D1 = k2 - ac

hello_html_m2ecd71c2.gif

Методы решения квадратных уравнений

IV. Специальные методы решения квадратных уравнений

ах2 + bx + c = 0

1. Если а + b + c = 0, то х1 = 1, х2 = hello_html_4ac00ffb.gif.

2. Если а + c = b, то х1 = – 1, х2 = hello_html_323ff2c6.gif.

C:\Users\Надежда\Desktop\0_82b4f_a62709ac_S.jpg

Образцы решения:

а) 3х2 – 5х + 2 = 0

Проверим коэффициенты:

а = 3, b = - 5, c = 2;

3 – 5 + 2 = 0. По правилу hello_html_73af80da.gif.

б) 3х2 – 4х – 7 = 0

Проверим коэффициенты:

а = 3, b = - 4, c = - 7;

3 – 7 = - 4. По правилу hello_html_m3aef68db.gif

V. Графический способ решения квадратных уравнений

1) прямая и парабола касаются (имеют единственную общую точку), абсцисса точки касания – корень уравнения

2) прямая и парабола пересекаются в двух точках, абсциссы этих точек являются корнями уравнения;

3) прямая и парабола не имеют общих точек, тогда уравнение не имеет корней. hello_html_m2e20aabf.pnghello_html_3d34d034.png hello_html_m57036199.png

Методы решения квадратных уравнений

VI. Метод решения квадратного уравнения по формуле Виета

Метод основывается на подборе корней, который опирается на следующее утверждение, являющееся следствием теоремы, обратное теореме Виета:

«если числа х1, х2 таковы, что х1 + х2 = – р,

х1 · х2 = q, то эти числа – корни уравнения

x2 + px + q = 0».

Метод реализуется по схеме:

1. Установить, является ли данное квадратное уравнение приведенным. Если «да», то пункт 3), если «нет», то пункт 2).

2. Сделать данное уравнение приведенным.

3. Определить значения х1 + х2 и х1 · х2.

4. Подбором определить х1 и х2.C:\Users\Надежда\Desktop\0_82b4f_a62709ac_S.jpg

5. Записать ответ.C:\Users\Надежда\Desktop\0_82b4f_a62709ac_S.jpg

Образец решения:

2х2 + 3х – 2 = 0

Данное уравнение не является приведенным.

hello_html_755b87ab.gif

х1 + х2 = – 1,5 и х1 · х2 = – 1.

Подбором находим, что х1 = – 2 и х2 = 0,5.

Ответ: – 2; 0,5.

VII. Метод «переброски» коэффициента a

1. «перебросить» коэффициент а в свободный член,

2. найти корни нового уравнения,

3. разделить их на а.

Образец решенияC:\Users\Надежда\Desktop\0_82b4f_a62709ac_S.jpg

3х2 – 7х + 2 = 0; у2 – 7у + 6 = 0;

у1 = 1, у2 = 6 , значит х1 = hello_html_m5f640c3e.gif, х2 = 2.

Методы решения квадратных уравнений

Может пригодиться!

VIII. Метод решения приведенного квадратного уравнения

(если p делится на 2)

х2 + px + q = 0

hello_html_m187b4635.gif

«р» со знаком взяв обратным,

на «2» мы его поделим,

И от корня аккуратно

знаком «плюс, минус» отделим,

А под корнем, очень кстати,

Половина «р» в квадрате минус q ,

И вот решение небольшого уравнения!

Образец решения:

х2 + 12х + 20 = 0

hello_html_m4162b8d9.gif

х = - 6 ± 4, х1 = - 10, х2 = - 2.

Ответ: - 10, - 2.

IX. Метод выделения квадрата двучлена

Образец решения

а) х2 + 12х + 36 = 0;

(х + 6)2 = 0C:\Users\Надежда\Desktop\0_82b4f_a62709ac_S.jpg

х + 6 = 0

х = – 6

Ответ: – 6.

б) х2 + 8х – 1 = 0

х2 + 2 · 4 · х + 16 = 1 + 16

(х + 4)2 = 17

х + 4 = hello_html_m5ee1e3d5.gif

х + 4 = hello_html_m18589a5f.gif и х + 4 = hello_html_17059aac.gif

х = - 4 hello_html_m18589a5f.gif и х = hello_html_17059aac.gif- 4.

Ответ: = - 4 hello_html_m18589a5f.gif, hello_html_17059aac.gif- 4.

филиал КГОБУ «КШИ»

Учебный проект

«Методы решения квадратных уравнений»

Номинация «Математика – это интересно»

Цель проекта: изучить методы решения квадратных уравнений.

Задачи проекта:

  • cобрать и систематизировать информацию по теме проекта,

  • показaть прикладную направленность квадратных уравнений,

  • развивать: интерес к математике, творческие способности школьников, навыки владения ИКТ,

  • воспитывать ответственность за порученное дело.

Участники проекта:

1. Ученики 8 класса




2015-2016 учебный год

Выбранный для просмотра документ Выделение квадрата двучлена.docx

библиотека
материалов

Метод выделения квадрата двучлена

Уравнение х2 + bx + c = 0 называется приведенным квадратным уравнением. Выделим полный квадрат:

hello_html_214468ca.gif

hello_html_4b55832a.gif

Перенесем выражение hello_html_m133e09d8.gif в правую часть и извлечем корень.

hello_html_m6e212a4f.gif

hello_html_m7480213a.gif

получим

hello_html_42c5d2a6.gif

Это – формула для решения приведенных квадратных уравнений.

Квадратное уравнение в общем виде hello_html_1c0a71c2.gif всегда можно «привести», поделив на а. Общую формулу легко получить, подставив в формулу для приведенного квадратного уравнения hello_html_m5db11c3a.gif вместо b, и hello_html_m1027e08.gif вместо с.

В действительности те формулы, которые мы изучаем в школе за пару уроков, создавались десятилетиями и даже веками, и людям потребовалось много выдумки и творческих усилий, поисков и открытий, чтобы продвинуться в понимании, казалось бы, даже несложных проблем.


а) х2 + 12х + 36 = 0;

(х + 6)2 = 0

х + 6 = 0

х = – 6

Ответ: – 6.

б) х2 + 8х – 1 = 0

х2 + 2 · 4 · х + 16 = 1 + 16

(х + 4)2 = 17

х + 4 = hello_html_m5ee1e3d5.gif

х + 4 = hello_html_m18589a5f.gif и х + 4 = hello_html_17059aac.gif

х = - 4 hello_html_m18589a5f.gif и х = hello_html_17059aac.gif- 4.

Ответ: = - 4 hello_html_m18589a5f.gif, hello_html_17059aac.gif- 4.

Выбранный для просмотра документ Графический способ.docx

библиотека
материалов

Графический способ решения квадратных уравнений

Графический способ решения уравнений состоит в построении на одной координатной плоскости графиков двух функций и нахождении абсцисс их точек пересечения (если такие точки есть).

В случае квадратного уравнения строятся графики квадратичной и линейной функций – парабола и прямая. Возможны следующие случаи:

  1. прямая и парабола касаются (имеют единственную общую точку), абсцисса точки касания – корень уравнения;


hello_html_m2e20aabf.png


  1. прямая и парабола пересекаются в двух точках, абсциссы этих точек являются корнями уравнения;

















hello_html_3d34d034.png


  1. прямая и парабола не имеют общих точек, тогда уравнение не имеет корней.

hello_html_m57036199.png


Пример. Решите графически уравнение

х2 + 1,5х – 2,5 = 0.

Решение. Перепишем уравнение в виде

х2 = – 1,5 х + 2,5.

Рассмотрим функции у = х2 и у = – 1,5 х + 2,5.

Построим в одной координатной плоскости графики этих функций, найдем абсциссы их точек пересечения: х1 = – 2,5, х2 = 1. Эти числа являются корнями исходного уравнения.


hello_html_55703a41.png


Ответ: – 2,5; 1.



Выбранный для просмотра документ Итог проекта.docx

библиотека
материалов

















Учебный проект по математике

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ





Номинация «Математика – это интересно»





Оглавление

  1. Актуальность проекта стр. 3 - 4

  2. Цели, задачи стр. 5

  3. Описание проекта стр. 6 - 7

  4. Реализация проекта стр. 8 - 9

  5. Рефлексия проекта стр. 9

  6. Литература стр. 10















































Актуальность

В условиях информационного общества, необходимо научить детей приобретать знания о мире самостоятельно, уметь пользоваться приобретёнными знаниями для решения новых познавательных и практических задач. Проектная деятельность создаёт условия деятельности для формирования компетентностей учащихся. Появляется возможность формирования компетентности разрешения проблем и освоение способов деятельности, составляющих коммуникативную и информационную компетентности.

В настоящее время большое внимание уделяется школьному образованию как первой ступени образовательного процесса. Одна из важнейших его задач обеспечить учащимся глубокие и прочные знания, а также умение рационально применять их в учебной и практической деятельности.

Учебно-познавательная деятельность школьников обладает большим потенциалом для формирования у них опыта творческой деятельности, поскольку предполагает не только усвоение действий, выполняемых по образцу, но и самостоятельный поиск и создание нового субъективно значимого знания. Такой опыт формируется на основе деятельностного и личностно ориентированного подходов в обучении, одним из путей реализации которых является применение в обучении метода проектов.

Умение быстро находить корни квадратного уравнения имеет большое практическое значение не только в VIIIIX классах, где учащиеся еще только осваивают и закрепляют необходимые формулы, но и в старших классах. В старших классах квадратные уравнения возникают как вспомогательные при решении значительно более сложных задач и где особенно важно, чтобы учащиеся максимально быстро справлялись с решением этих уравнений.

В связи с этим является актуальным вопрос о том, чтобы задачи на квадратные уравнения заняли достойное место в 8-11 классах. В этот период школьники изучают различные виды уравнений и их систем, закрепление которых ведется на текстовых задачах, а присутствие квадратных уравнений в содержании текстовых задач дает возможность связать абстрактные математические понятия с реальной жизнью.

При реализации проекта имеются широкие возможности для дифференцированного подхода. Учитель может подобрать материал, соответствующий возможностям каждого школьника. При решении задач учащиеся знакомятся с разными приемами решения и имеют право выбора. Данный проект поможет учащимся лучше разобраться в теме и успешно сдать экзамены.

Необходимость подготовки выпускника школы, способного решать быстро и качественно сложные задачи, творчески рассматривая проблему, поставила перед образованием задачу формирования исследовательской компетентности. Человека нельзя научить на всю жизнь, его надо научить учиться всю жизнь. Обучение должно быть нацелено на формирование у выпускников школы ключевых компетентностей:

  • готовность к решению проблем;

  • готовность к использованию информационных ресурсов;

  • готовность к самообразованию;

  • готовность к социальному взаимодействию;

  • технологическая компетентность;

  • коммуникативная компетентность.











































Цели и ожидаемые результаты

Во время работы над проектом учащиеся:

  • учатся работать с разнообразными источниками информации, такими как энциклопедические справочники, учебники, ресурсы Интернета; сопоставлять данные, выбирать из большого объема информации главное;

  • углубляют и расширяют знания по математике;

  • формируют навыки вычислений, выполнения чертежей;

  • учатся работать в группах и самостоятельно;

  • приобретают знания и опыт, необходимый в будущей жизни.


Задачи проекта:

  • научить его участников применять знания, полученные на уроках математики и информатики, в новых условиях;

  • планировать и организовывать свою деятельность в работе над проектом;

  • привить школьникам навыки работы в группе;

  • стимулировать учебно-исследовательскую активность школьников;

  • повысить мотивацию к изучению математики;

  • развивать абстрактное мышление и логику, подбирать подходящие методы решений;

  • создать буклет с информацией о методах решения квадратных уравнений;

  • создать презентацию для работы на уроках математики, для индивидуальной работы учеников.






















Описание учебного проекта по математике

«Методы решения квадратных уравнений».

Данный учебный проект предназначен для осуществления учащимися, проявляющими интерес к математике и желающими повысить свою компетентность по теме «Квадратные уравнения». Результатом реализации проекта является буклет и презентация «Методы решения квадратных уравнений, которые могут быть использованы в качестве информационного и наглядного материала на уроках математики, на консультациях при подготовке к экзамену в 9 классе, при индивидуальной и дифференцированной работе с учащимися.

  1. Доминирующий вид деятельности: исследовательский.

  2. Предметно-содержательная область: надпредметный.

  3. Характер координации: гибкий, непосредственный.

  4. Характер контактов: внутришкольный.

  5. Количество участников: групповой (4 человека).

  6. Продолжительность: долгосрочный.

  7. Тема и информационное содержание учебного проекта тесно связаны с изучением математики.

  8. Возраст учащихся: 8 класс.

  9. Время работы над проектом: декабрь-февраль 2015-2016 уч. года.

  10. Режим работы: внеурочный, 2 часа в неделю + каникулярные дни.

  11. Материально-техническое и учебно-методическое обеспечение: библиотечный фонд школы, компьютеры с выходом в Интернет, программа «Живая математика».

  12. Дополнительно привлекаемые участники: учителя физики, химии, информатики, библиотекарь.

  13. ЗУН и общеучебные навыки, необходимые учащимся для самостоятельной работы: умения в области целеполагания и планирования деятельности; навыки работы с источниками информации; умение анализировать, систематизировать полученный материал, выделять главное в исследуемом материала; знания по математике; умения и навыки работы с компьютером; умения в области создания и редактирования текстов, в области построения устного высказывания; умения и навыки в создании презентаций и буклетов; умения и навыки работы в программе «Живая математика»; коммуникативные и презентационные умения и навыки.

  14. Мотивация к работе: личный интерес учащихся, желание повысить образовательный уровень.

  15. Предполагаемые приращения: новые практические приемы деятельности.

  16. Знания, на получение которых нацелен результат проекта: знания по математике (в частности – по алгебре) для успешной сдачи экзамена в виде ЕРЭ, для последующего успешного обучения в 10 -11 классах.

  17. Развитие навыков:

  • самостоятельной работы с источниками информации;

  • планирования и осуществления деятельности;

  • коммуникации в деловом, учебном и ролевом взаимодействии;

  • работы с текстовым материалом;

  • речевой деятельности;

  • самопознания и рефлексии;

  • специальных технологических.





























Реализация проекта.

На первом этапе работы над проектом инициативная группа учащихся 8 класса определилась с темой проекта. Учащиеся были ознакомлены с результатами выполнения диагностических и мониторинговых работ по математике в 8 – 9 классах. Проанализировав работы, ученики пришли к выводу, что тема «Квадратные уравнения» очень актуальна для выполнения проекта и выдвинули гипотезу, что ученики не знают на должном уровне тему.

Руководителем проекта были даны рекомендации учащимся по поиску информации в сети Интернет и по поиску информации в школьной библиотеке.

hello_html_m3f0186ac.gif hello_html_74cd9856.gif

На втором этапе работы над проектом участники проекта составили вопросы и провели опрос учащихся 8-9 классов. По итогам опроса была сделана диаграмма, показывающая наглядно уровень знаний по теме.



Проведя диагностический опрос среди учеников 8-9 классов, участники проекта утвердились в своих предположениях.


Проблема:

Заинтересованность учащихся в изучении темы «Квадратные уравнения».

После выявления проблемы, учитель, используя метод информационной поддержки, предоставил учащимся книги, журналы, справочники и другие источники, которые находятся в кабинете. Опираясь на собственные знания и анализ этих источников, каждый школьник определил для себя область интересов и тему. Таким образом, формировались группы по интересам. И уже каждая группа сформулировала для себя конкретную задачу проекта. Ученики распределили темы проекта между собой и приступили на первом этапе к поиску информации.

В ходе работы над проектом участники проекта занимались поиском, отбором и систематизацией найденного материла. При этом проводились консультации с учителем математики, физики, химии.

На третьем этапе учащиеся работали в сети Интернет и работали над текстами проекта. Проводилась систематизация данных, соединение всей информации, формулировались результаты исследования, были сделаны выводы. В данный момент времени ученики получали консультации учителей математики и информатики. Руководитель проекта

  • наблюдает за ходом исследования,

  • советует приемы и методы,

  • косвенно руководит деятельностью.

На четвертом этапе ученики согласовали между собой варианты текстов и обсудили форму создания буклета, презентации. Для создания буклета необходимы были рисунки с графиками функций. Данные рисунки были выполнены в программе «Живая математика» и вставлены в буклет.

На пятом этапе ввелась работа над созданием презентации и буклета. Ученики изготавливали продукты в кабинете информатики, оформляли продукты, выбирали формы презентации, готовили презентацию к демонстрации.

hello_html_m76f40991.gifhello_html_m768e565f.gif

На шестом этапе участники проекта защищали проект перед учениками 8-9 классов и отвечали на вопросы учащихся. Всем присутствующим были подарены буклеты, выполненные участниками проекта.

После защиты проекта была проведена рефлексия. Участники проекта ответили на вопросы по рефлексии, обменялись впечатлениями о ходе проекта, проанализировали деятельность.

Рефлексия выполненной деятельности

       Какие чувства и ощущения возникали у меня во время выполнения данного задания.

       Каковы мои главные результаты сегодня? Благодаря чему мне удалось их достичь?

       Какие трудности встретились во время выполнения задания, как я их преодолевал (пытался преодолевать)?

       Вопросы, возникшие в связи с данной темой и своей деятельностью?

Для выполнения проекта использовали программы:

Adobe PhotoShop

Microsoft Word

Microsoft PowerPoint

Microsoft Excel

Живая математика


Литература

  1. Авраменко В.С. Квадратные уравнения и МК на математическом кружке / Математика в школе, 1989 № 5, с.84 – 90;

  2. Беляков Е.А. Мастерская квадратных уравнений / Математика для школьников, 2011 № 3, с.40 – 44;

  3. Гузеев В. «Метод проектов» как частный случай интегральной технологии обучения / Директор школы, 1995 №6, с.39–47;

  4. Кажарова И.А. Метод проектов и познавательная деятельность учащихся - http://festival.1september.ru/articles/411711/?numb_artic=411711

  5. Канин Е.С. Текстовые (или сюжетные) задачи алгебры и их решение /Математика для школьников, 2008 № 2, с. 31

  6. Киселева З.А. Как «житейская математика» формирует коммуникативную компетентность / Математика в школе, 2008 № 5, с.50 – 54;

  7. Крымова Л.Н. Метод проектов в обучении математике /Математика в школе, 2006 № 4, с.62 – 68;

  8. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. АЛГЕБРА, дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса, учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики, М.: «Просвещение», 1996;

  9. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. АЛГЕБРА / учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений, М.: «Просвещение», 2008

  10. Материалы мастер-класса «Проектная деятельность для начинающих и не только» 2009 года портала «Сеть творческих учителей» -

Технология обучения проектной деятельности

  1. Математика 22/98

  2. Рощина Н. «Решение квадратных уравнений»/ Математика,1996 № 44, с. 4 – 5

  3. Савицкая Е.Ю. Метод проектов на уроках истории и во внеклассной работе по предмету - http://festival.1september.ru/articles/210332/#1

  4. Талочкин П.Б. Неравенства и уравнения, М.: «Просвещение», 1970, с.66

  5. Шабунин М. «Лекции для абитуриентов» / Математика, 1996 № 27 с. 12

  6. Я иду на урок / Математика, 1996 № 21, с.5 – 12.



11


Выбранный для просмотра документ Ключевые моменты при подготовке публичного выступления.docx

библиотека
материалов

Ключевые моменты при подготовке публичного выступления


  • Хорошо воспринимается эмоциональное и короткое по времени (не более 5-7 минут) изложение материала с использованием интересных примеров.

  • Логичное изложение позволяет слушателям лучше понять выступающего.

  • Следует употреблять только понятные тебе термины.

  • Хорошо воспринимается рассказ, а не чтение текста.

  • Выступающий выиграет, если будет максимально использовать наглядный материал.

  • Постарайтесь предупредить возможные вопросы.

Коробейникова Татьяна Вячеславовна,

из материалов мастер-класса

«Проектная деятельность для начинающих

и не только» Сети творческих учителей

2009год


Выбранный для просмотра документ Коэффициенты.docx

библиотека
материалов

Решение квадратных уравнений по свойствам коэффициентов

Специальные методы решения квадратных уравнений

Рассмотрим решение квадратных уравнений, коэффициенты которых обладают определенными свойствами. Установим связь между суммой коэффициентов уравнения и его корнями.

При решении уравнения ах2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) можно пользоваться следующими правилами.

  1. Если а + b + c = 0, то х1 = 1, х2 = hello_html_4ac00ffb.gif.

  2. Если а + c = b, то х1 = – 1, х2 = hello_html_323ff2c6.gif.

Докажем утверждение 1.

Разделим обе части уравнения на a ≠ 0:

hello_html_m3a296670.gif

По теореме Виета

hello_html_m3291c59b.gifhello_html_169d6a79.gif

Так как а + b + c = 0, то b = – а – c, тогда

hello_html_68fd3d1d.gifhello_html_mf207cf.gif

Значит, х1 = 1, х2 = hello_html_42580b2c.gif

Утверждение 2 доказывается аналогично.

Пример 1. Решите уравнение х2 + 4х – 5 = 0,

а = 1, b = 4, c = – 5,

а + b + c = 0,

x1 = 1, x2 = – 5.

Пример 2. Решите уравнение х2 + 6х + 5 = 0,

а = 1, b = 6, c = 5,

а + c = b,

х1 = – 1, х2 = – 5.

Пример 3. Решите уравнение 2х2 – 5х + 3 = 0,

а = 2, b = – 5, c = 3,

а + b + c = 0,

x1 = 1, x2 = hello_html_2875a35f.gif

Пример 4. Решите уравнение 3х2 + 2х – 1 = 0,

а = 3, b = 2, c = – 1,

а + c = b,

х1 = – 1, х2 = hello_html_m5f640c3e.gif.

Замечание. При решении полного квадратного уравнения полезно сначала проверить, является ли число 1 (число – 1) его корнем. И если является, то воспользоваться правилом 1 (правилом 2).



Выбранный для просмотра документ Метод переброски.docx

библиотека
материалов

Метод «переброски» коэффициента а

Метод «переброски» коэффициента a

1. «Перебросить» коэффициент а в свободный член,

2. найти корни нового уравнения,

3. разделить их на а.

Образец решения

3х2 – 7х + 2 = 0;

у2 – 7у + 6 = 0;

у1 = 1, у2 = 6 ,

значит х1 = hello_html_m5f640c3e.gif, х2 = 2.

Ответ: х1 = hello_html_m5f640c3e.gif, х2 = 2.


Литература

Математика № 44, 1996, с. 4

Выбранный для просмотра документ Методы.pptx

библиотека
материалов
Проблема 	Анализируя диагностические материалы учащихся 8 класса и результаты...
Цель: Знакомство со специальными источниками информации: сбор и систематизаци...
Решение неполных квадратных уравнений Теория I 1) Вынесем общий множитель х з...
Решение неполных квадратных уравнений Теория I 1) Перенесем слагаемое – 12 в...
Теория Решение полных квадратных уравнений 1) Вычислим дискриминант уравнения...
Решение неполных квадратных уравнений Подсказка I 1) Произведение равно нулю,...
Теория Решение полных квадратных уравнений 1) Вычислим дискриминант уравнения...
Теория Решение квадратных уравнений по свойству коэффициентов V 1) Проверим к...
Теория Решение квадратных уравнений с четным коэффициентом 4) Вычислим второй...
Теория Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена или или IV 1...
Решение квадратных уравнений по теореме, обратной теореме Виета Теория Знаки...
Решение квадратных уравнений «переброской» коэффициента а Теория VII
Теория Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена IV 1) Выдели...
ОГЛАВЛЕНИЕ: 1. Проблема. 2. Цель, задачи. 3. Решение неполных квадратных урав...
Теория Решение квадратных уравнений по свойству коэффициентов V 1) Проверим к...
Желаем успехов! Над созданием презентации работали: Кымылькут Валерий – учени...
19 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Проблема 	Анализируя диагностические материалы учащихся 8 класса и результаты
Описание слайда:

Проблема Анализируя диагностические материалы учащихся 8 класса и результаты экзаменов по математике в форме ЕГЭ, мы пришли к выводу, что не все ученики 8 класса хорошо владеют умениями решать квадратные уравнения. Многие методы решения уравнений даже не знакомы учащимся. Мы своей презентацией хотим увлечь школьников квадратными уравнениями, что должно повысить уровень знаний по теме.

№ слайда 2 Цель: Знакомство со специальными источниками информации: сбор и систематизаци
Описание слайда:

Цель: Знакомство со специальными источниками информации: сбор и систематизация информации. Создание презентации для учащихся 8 – 9 классов. Создание буклета для учащихся 8 – 9 классов с информацией о методах решения квадратных уравнений. формирование у школьников более глубоких знаний в области математики; формирование «математического мышления», представлений о неразрывной связи математики и школьных дисциплин. Задачи:

№ слайда 3 Решение неполных квадратных уравнений Теория I 1) Вынесем общий множитель х з
Описание слайда:

Решение неполных квадратных уравнений Теория I 1) Вынесем общий множитель х за скобку. Закрыть 2) Приравняем первый множитель х к нулю. Закрыть 3) Приравняем второй множитель х + 3 к нулю и решим уравнение. Закрыть

№ слайда 4 Решение неполных квадратных уравнений Теория I 1) Перенесем слагаемое – 12 в
Описание слайда:

Решение неполных квадратных уравнений Теория I 1) Перенесем слагаемое – 12 в правую часть уравнения. Закрыть 2) Найдем множитель х2 разделив произведение 12 на множитель 3. Закрыть 3) Найдем два корня уравнения х2 = 4. Закрыть

№ слайда 5 Теория Решение полных квадратных уравнений 1) Вычислим дискриминант уравнения
Описание слайда:

Теория Решение полных квадратных уравнений 1) Вычислим дискриминант уравнения. Закрыть 2) Вычислим первый корень х1 уравнения. Закрыть II 3) Вычислим второй корень х2 уравнения. Закрыть

№ слайда 6 Решение неполных квадратных уравнений Подсказка I 1) Произведение равно нулю,
Описание слайда:

Решение неполных квадратных уравнений Подсказка I 1) Произведение равно нулю, если второй множитель х равен нулю. Закрыть

№ слайда 7 Теория Решение полных квадратных уравнений 1) Вычислим дискриминант уравнения
Описание слайда:

Теория Решение полных квадратных уравнений 1) Вычислим дискриминант уравнения. Закрыть II

№ слайда 8 Теория Решение квадратных уравнений по свойству коэффициентов V 1) Проверим к
Описание слайда:

Теория Решение квадратных уравнений по свойству коэффициентов V 1) Проверим коэффициенты. Закрыть 2) a + b + c = 0 ? Закрыть 3) По правилу: Закрыть

№ слайда 9 Теория Решение квадратных уравнений с четным коэффициентом 4) Вычислим второй
Описание слайда:

Теория Решение квадратных уравнений с четным коэффициентом 4) Вычислим второй корень х2. Закрыть III 2) Вычислим дискриминант D1. Закрыть 3) Вычислим первый корень х1. Закрыть 1) Запишем коэффициенты: а, k, c. Закрыть

№ слайда 10 Теория Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена или или IV 1
Описание слайда:

Теория Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена или или IV 1) Выделим полный квадрат. Закрыть 2) Перенесем выражение – 42 – 9 в правую часть. Закрыть 3) Извлечем квадратный корень из положительного числа. Закрыть 4) Решим два уравнения. Закрыть

№ слайда 11 Решение квадратных уравнений по теореме, обратной теореме Виета Теория Знаки
Описание слайда:

Решение квадратных уравнений по теореме, обратной теореме Виета Теория Знаки корней VI

№ слайда 12 Решение квадратных уравнений «переброской» коэффициента а Теория VII
Описание слайда:

Решение квадратных уравнений «переброской» коэффициента а Теория VII

№ слайда 13 Теория Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена IV 1) Выдели
Описание слайда:

Теория Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена IV 1) Выделим полный квадрат. Закрыть 2) Перенесем выражение – 42 + 17 в правую часть. Закрыть

№ слайда 14 ОГЛАВЛЕНИЕ: 1. Проблема. 2. Цель, задачи. 3. Решение неполных квадратных урав
Описание слайда:

ОГЛАВЛЕНИЕ: 1. Проблема. 2. Цель, задачи. 3. Решение неполных квадратных уравнений: 1) ax2 + bx = 0 2) ax2 + c = 0 4. Решение полных квадратных уравнений: 3) ax2 = 0 1) D > 0 3) D < 0 2) D = 0 8. Решение квадратных уравнений по свойствам коэффициентов. 5. Решение квадратных уравнений с четным коэффициентом. 6. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена. 7. Решение квадратных уравнений по теореме, обратной теореме Виета. 9. Решение квадратных уравнений методом «переброски» коэффициента а.

№ слайда 15 Теория Решение квадратных уравнений по свойству коэффициентов V 1) Проверим к
Описание слайда:

Теория Решение квадратных уравнений по свойству коэффициентов V 1) Проверим коэффициенты. Закрыть 2) a + c = b ? Закрыть 3) По правилу: Закрыть

№ слайда 16 Желаем успехов! Над созданием презентации работали: Кымылькут Валерий – учени
Описание слайда:

Желаем успехов! Над созданием презентации работали: Кымылькут Валерий – ученик 9 класса, Пенас Ирина – ученица 8 класса. Напреева Мария – ученица 9 класса.

№ слайда 17
Описание слайда:

№ слайда 18
Описание слайда:

№ слайда 19
Описание слайда:

Выбранный для просмотра документ Неполные квадратные уравнения.docx

библиотека
материалов

Методы решения неполных квадратных уравнений

Метод решения квадратного уравнения по формуле корней

1) Преобразовать исходное квадратное уравнение к виду

ах2+ bx + c = 0, где а > 0.

2) Проверить равенство нулю коэффициентов b и c. Если b = 0 или с = 0, то перейти к пункту 3), если b ≠ 0 и с ≠ 0, то перейти к пункту 4).

3) Если b = с = 0, то найти неизвестное по правилу, указанному в строке 1

таблицы.

Если b ≠ 0, с = 0, то найти неизвестное по правилу, указанному в строке 2

таблицы.

Если b = 0, с ≠ 0, то найти неизвестное по правилу, указанному в строке 3

таблицы.

4) Найти дискриминант уравнения D = b2 – 4ac.

5) Найти неизвестное по правилу, указанному в строке 4 таблицы.

6) Записать ответ.

Сводная таблица решений квадратного уравнения


Свободные члены b и c

Решения уравнения

1

b = с = 0

х1,2 = 0

2

b ≠ 0, с = 0

х1 = 0, х2 = hello_html_12d5acf6.gif.

3

b = 0, с ≠ 0


а) c < 0

х1,2 = ± hello_html_m6d3e8508.gif

б) c > 0

решений нет

4

b ≠ 0, c 0


а) D = b2 – 4ac > 0

х1,2 = hello_html_55a03790.gif

б) D = b2 – 4ac = 0

х1,2 = hello_html_5dd3c2a2.gif

в) D = b2 – 4ac < 0

решений нет


Пример. Решить уравнение hello_html_m2c9482c4.gif

Решение.

  1. Выполним следующие преобразования:

а ) раскроем скобки:

hello_html_1bc509d3.gif

б) перенесем все слагаемые в левую часть:

hello_html_m67961f54.gif

в) приведем подобные слагаемые:

hello_html_m6fb7b0d1.gif

г) умножим обе части уравнения на 2:

hello_html_3f5d5483.gif

д) изменим знаки слагаемых на противоположные:

hello_html_m37d44c62.gif

В результате получили уравнение, равносильное исходному.

  1. а = 2, b = – 1, с = – 10, т. е. b ≠ 0 и с ≠ 0.

  2. D = (– 1)2 – 4 · 2 · (– 10) = 81.

  3. Так как D > 0, то

hello_html_704b39c7.gifhello_html_11a3fc8c.gif

  1. Ответ: – 2; 2,5.


Выбранный для просмотра документ Общие методы решения квадратных уравнений.docx

библиотека
материалов

Общие методы решения квадратных уравнений

При решении квадратных уравнений часто применяется метод разложения на множители (с помощью вынесения за скобки общего множителя, формул сокращенного умножения, способа группировки).

Пример 1.Решите уравнение

3x2 + 2x - 1 = 0.

Р е ш е н и е. Воспользуемся способом группировки, для чего представим 2х в виде разности 3х и х.

3х2 + 3хx – 1 = 0,

3x(х + 1) – (х + 1) = 0,

(х + 1)(3х – 1) = 0,

х + 1 = 0 или 3х – 1 = 0,

х = – 1 х =hello_html_m4bb2ff3c.gif.

Ответ: – 1; hello_html_m4bb2ff3c.gif.

При решении более сложных квадратных уравнений нередко приходится использовать метод введения новой переменной. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной и позволяет свести решения к более простому случаю.

Пример 2. Решите уравнение

(5х + 3)2 = 3(5х + 3) – 2.

Р е ш е н и е. Пусть 5х + 3 = t. Произведем замену переменной:

t2 = 3t – 2,

t2 – 3t +2 = 0.

Убеждаемся, что D > 0. D = b2 – 4ac = 32 – 4 · 1 · 2 = 1 > 0. По теореме, обратной теореме Виета, подбираем корни: t2 = 1, t2 = 2.

Произведем обратную замену и вернемся к переменной х.

Если t = 1, то Если t = 2, то

5x + 3 = 1, 5x + 3 = 2,

x = – 0,4. x = – 0,2.

Ответ: – 0,4; – 0,2.

Замечание. При решении квадратного уравнения не следует торопиться выполнять преобразования. Сначала надо посмотреть, нельзя ли записать уравнение проще, введя новую переменную.

Задание на дом. Решите уравнение, выбрав подходящий метод

(разложения на множители или введения новой переменной):

  1. х2 + 16x + 15 = 0;

б) (3х – 1)2 = 4 – 12х.

Выбранный для просмотра документ Правила для учащихся по поиску информации в Интернете.docx

библиотека
материалов

Правила для учащихся по поиску информации в Интернете



1) Ввести одну из поисковых систем:

1. http://www.yandex.ru/

2.    http://www.google.com/

3.    http://search.msn.com/

4.    http://list.mail.ru/index.html

5.    http://ru.search.yahoo.com/

6.    http://www.rambler.ru/

7.    http://www.aport.ru/

2) На загрузившейся страничке, в поле поиска с надписью Я ищу или Найти набрать нужную фразу (ключевые слова вашей темы) …. И нажать кнопку Найти или Ок.

3) Через некоторое время загрузится страница результатов поиска в виде ссылок на ресурсы, содержащие информацию о теме вашего поиска, и выдержек из документов. Слева в колонке указаны категории, в которых содержатся найденные документы. В верхней части страницы будет указано количество найденных страниц и серверов, а также режим сортировки (по дате, по релевантности).

4) Щелкните один раз левой клавишей мыши на заинтересовавшей ссылке, и в открывшемся окне Internet обозревателя загрузится новая страница, на которую указывала ссылка.

5) Если открытая новая страница содержит интересующий вас материал, сохраните данную страницу, или скопируйте данный материал (скачайте, если есть ссылки), обязательно сохранив адрес страницы, на которой нашли материал для своей темы.

Лунегова Надежда Васильевна,

из материалов мастер-класса

«Проектная деятельность для начинающих

и не только» Сети творческих учителей

2009год



Выбранный для просмотра документ Правила для учащихся по поиску информации в библиотеке.docx

библиотека
материалов

Правила для учащихся по поиску информации в библиотеке



1) изучить библиотечный каталог, последние номера журналов за каждый год; изучить списки литературы, которые приводятся в монографии; изучить списки цитированной литературы в кандидатских и докторских;

2) внимательно изучить титульную страницу, где указаны основные данные на книгу: название, автор, место и год издания, наименование издательства;

3) познакомиться с оглавлением этой книги, стараясь понять, из каких разделов она состоит, в какой последовательности излагается материал; обратить внимание на наличие в книге чертежей, схем, рисунков дополняющий и поясняющий текст;

4) прочитать аннотацию, предисловие, введение, послесловие, выводы, что может лучше представить содержание, понять назначение и цель книги;

5) ознакомиться непосредственно с основным текстом книги, для чего нужно прочитать несколько страниц, абзацы, отрывки из наиболее ценных и интересных разделов. Это даст представление о стиле и языке автора, особенностях изложения материала, степени трудностях или доступности книги;

6)законспектируйте по плану найденный материал, указав в конце конспекта используемую литературу;

7) перед поиском материала в библиотеке, ознакомьтесь с правилами пользования библиотекой.



Пользователи библиотеки обязаны:

  1. соблюдать правила пользования библиотекой;

  2. бережно относиться к произведениям печати (не вырывать, не загибать страницы, не делать в книгах подчеркиваний, пометок), иным документам на различных носителях, оборудованию, инвентарю;

  3. поддерживать порядок расстановки документов в открытом доступе библиотеки, расположения карточек в каталогах и картотеках;

  4. пользоваться ценными и справочными документами только в помещении библиотеки;

  5. убедиться при получении документов в отсутствии дефектов, а при обнаружении – проинформировать об этом работника библиотеки. Ответственность за обнаруженные дефекты в сдаваемых документах несет последний пользователь;

  6. расписываться в читательском формуляре за каждый полученный документ (исключение: обучающиеся 1 – 4 классов);

  7. возвращать документы в библиотеку в установленные сроки;

  8. заменять документы библиотеки в случае их утраты или порчи им равноценными либо компенсировать ущерб в размере, установленном правилами пользования библиотекой;

  9. полностью рассчитаться с библиотекой по истечении срока обучения или работы в общеобразовательном учреждении.

Выбранный для просмотра документ Применение в жизни.docx

библиотека
материалов

Применение в жизни

«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…»

Н.И. Лобачевский

Школьная математика – дисциплина, которая позволяет ученикам глубже понять суть вещей в окружающем нас мире.

Задача 1 (математика). Один из лыжников прошел расстояние в 20 км на 20 мин быстрее, чем другой. Найдите время, за которое второй лыжник пройдет 18 км, зная, что один из них двигался со скоростью на 2 км/ч большей, чем другой.

Задача 2 (старинная задача). Стая обезьян резвилась, беззаботно перепрыгивала с дерева на дерево. Вдруг вожак подал сигнал тревоги и все обезьяны, кроме вожака, спрятались в грот. Найти количество обезьян в стае, если количество обезьян в гроте составляло квадрат пятой части всех обезьян, уменьшенной на три.

Задача 3 (практическая задача). От прямоугольного листа картона, имеющего длину 70 см и ширину 80 см, отрезали по углам равные квадраты и из оставшейся части склеили коробку. Найдите сторону квадрата, если известно, что основание коробки имеет площадь 20 дм2.

Задача 4 (жизненная задача). Положив в банк деньги, вкладчик получил через год прибыль в 240 тысяч рублей. Однако он не стал забирать деньги из банка, а, добавив к ним еще 60 тысяч, снова оставил деньги на год. В результате спустя еще год он получил в банке 1 миллион 100 тысяч рублей. Какая сумма была положена в банк первоначально и какой процент прибыли в год давал банк?

Задача 5 (общение в жизни). Каждый член баскетбольной команды подарил другим игрокам своей команды памятный значок. Всего было подарено 506 значков. Сколько человек в команде?

Задача 6 (применение в физике). С вертолета, находящегося на высоте 500 м, сбросили груз со скоростью 30 м/с. На каком расстоянии от земли этот груз будет через 10 с? (Сопротивление воздуха в расчет не принимать.)

Где возможна такая ситуация?

Задача 7 (практическое применение). Две машины, рывшие туннель навстречу друг другу, закончили его проходку за 60 дней. Если бы первая машина работала 18 дней, а вторая 16 дней, то вместе они прошли бы 60 м туннеля. Если бы первая машина выполнила 2/3 всей работы второй машины по проходке туннеля, а вторая 0,3 всей работы первой машины, то первой понадобилось бы для этого на 6 дней больше, чем второй. Сколько метров туннеля в день проходит каждая машина?

Задача 8. Из прямоугольного листа картона размером 6 х 4 дм надо изготовить открытую коробку объемом 8 дм3. Для этого по углам картона из него вырезают равные квадраты. Найдите длины этих квадратов.

Решение. Переменными в задаче являются длина стороны отрезаемого квадрата и длина стороны основания коробки. Объем коробки является постоянным. Пусть длина стороны квадрата (высота коробки) х (дм). Тогда длины сторон основания коробки (6 – 2х) дм и (4 – 2х) дм. Задача сводится к решению уравнения:

х(6 – 2х)(4 – 2х) = 8

24х – 8х2 – 12х2 + 4х3 = 8

х3 – 5х2 + 6х – 2 = 0

(х3х2) – (4х2 – 4х) + (2х – 2) = 0

(х – 1)(х2 – 4х + 2) = 0

hello_html_a082de5.gif hello_html_m7707aebf.gif

Поскольку hello_html_7f8d2efa.gif > 3, то вырезать такие квадраты по углам листа нельзя. Поэтому решением задачи являются х = 1 и х = hello_html_6ec02ca6.gif.


Литература

  1. Математика 22/98

  2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. АЛГЕБРА, дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса, учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики, М.: «Просвещение», 1996

  3. Талочкин П.Б. Неравенства и уравнения, М.: «Просвещение», 1970, с.66

  4. Математика для школьников № 2/2008

  5. Лурье М.В., Александров Б.И. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, М.: «Наука», 1990, с. 29

Выбранный для просмотра документ Теорема Виета.docx

библиотека
материалов

Метод решения квадратного уравнения по формуле Виета

Характеристика метода. Метод основывается на подборе корней, который опирается на следующее утверждение, являющееся следствием теоремы, обратное теореме Виета:

«если числа х1, х2 таковы, что х1 + х2 = – р, х1 · х2 = q, то эти числа – корни уравнения x2 + px + q = 0».

Метод реализуется по схеме:

  1. Установить, является ли данное квадратное уравнение приведенным. Если «да», то пункт 3), если «нет», то пункт 2).

  2. Сделать данное уравнение приведенным.

  3. Определить значения х1 + х2 и х1 · х2.

  4. Подбором определить х1 и х2.

  5. Записать ответ.

Замечания. 1. Данный метод следует пробовать применять для решения приведенных квадратных уравнений с целыми или «несложными» дробными коэффициентами, благодаря чему упрощает подбор корней. В остальных случаях подбор корней затруднителен и решение производится другими методами.

2. Процесс подбора корней облегчается благодаря зависимости между знаками корней х1 и х2 и знаками коэффициентов p и q. Пусть hello_html_m5bdc2410.gif > hello_html_m13b2a6db.gif, тогда соответствующая зависимость определяется таблицей:


q > 0

q < 0

p > 0

х1 < 0, х2 < 0

х1 < 0, х2 > 0

p < 0

х1 > 0, х2 > 0

х1 > 0, х2 < 0


3. Одной из причин того, что не удается подобрать корни уравнения, является их отсутствие. Поэтому вначале необходимо убедиться в наличии корней, определив знак дискриминанта.

Пример. Решить уравнение hello_html_44e60848.gif

Решение.

  1. Данное уравнение не является приведенным.

  2. hello_html_755b87ab.gif

  3. х1 + х2 = – 1,5 и х1 · х2 = – 1.

  4. Подбором находим, что х1 = – 2 и х2 = 0,5.

  5. Ответ: – 2; 0,5.



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 14.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров616
Номер материала ДВ-450989
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх