Инфоурок / Математика / Презентации / Проект "Мир замечательных кривых" 7-9 классы

Проект "Мир замечательных кривых" 7-9 классы

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ

Выбранный для просмотра документ Мир замечательных кривых Куровская Ольга 7кл Школа с. Лох.pptx

библиотека
материалов
I Региональная научно-практической конференция для школьников «Открытие» Прое...
Основополагающий вопрос Использование работы и презентации на уроках, занятия...
 Актуальность В анкетировании участвовало 20 учащихся 6-9 классов
Знают ли учащиеся нашей школы о замечательных кривых и их свойствах? Как заи...
Выяснить, что знают учащиеся по данной теме; Собрать материал по истории, св...
 Кривые второго порядка
Из истории замечательных кривых Древняя Греция. Менехм (около 340 до н.э.) пе...
Из истории замечательных кривых Рене Декарт (1596-1650) — французский филосо...
Из истории замечательных кривых Кеплер открыл из наблюдений, Ньютон теоретич...
 ПАРАБОЛА
ПАРАБОЛА Геометрическим местом точек называется фигура, состоящая из всех то...
 Фокальное свойство параболы
 ЭЛЛИПС
ЭЛЛИПС Эллипс  геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от к...
 Оптическое свойство эллипса
ГИПЕРБОЛА Гипербола  это геометрическое место точек плоскости, разность рас...
 ГИПЕРБОЛА
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ Спираль параболическая Спираль Галилея Спираль Ферми Сп...
СПИРАЛИ Архимед  великий математик, философ, замечательный изобретатель. Ег...
Построение спирали Архимеда циркулем Построение спирали Архимеда с помощью по...
Спирали в окружающем нас мире Спиралевидная галактика Галактика вблизи Млечно...
Спирали в мире растений Удивительные формы спиралей кактусов, алоэ и ананасо...
Спираль Архимеда в технике Винт Архимеда стал прообразом шнека - устройства,...
Спирали в архитектуре Это шпили соборов, винтовые лестницы, элемент декора С...
Построение гипоциклоиды Представим, что по прямой линии без скольжения катит...
Заключение Учащимся полезно знать информацию о кривых, важно узнать их замеч...
Библиографический список Википедия https://ru.wikipedia.org/ Графики функций...
27 1

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.


Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.


Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 I Региональная научно-практической конференция для школьников «Открытие» Прое
Описание слайда:

I Региональная научно-практической конференция для школьников «Открытие» Проект выполнила Куровская Ольга ученица 7 класса МОУ «Школа с. Лох Новобурасского района Саратовской области имени Героя Советского Союза В.И. Загороднева» Руководитель учитель математики Будникова Таисия Александровна Секция «Математика» МИР ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ КРИВЫХ 2016 г.

№ слайда 2 Основополагающий вопрос Использование работы и презентации на уроках, занятия
Описание слайда:

Основополагающий вопрос Использование работы и презентации на уроках, занятиях элективного курса, математического кружка расширяет кругозор учащихся по кривым, изучаемым по школьной программе, будет их мысль и желание исследователя.

№ слайда 3  Актуальность В анкетировании участвовало 20 учащихся 6-9 классов
Описание слайда:

Актуальность В анкетировании участвовало 20 учащихся 6-9 классов

№ слайда 4 Знают ли учащиеся нашей школы о замечательных кривых и их свойствах? Как заи
Описание слайда:

Знают ли учащиеся нашей школы о замечательных кривых и их свойствах? Как заинтересовать учащихся изучением кривых второго порядка? Действительно ли замечательные кривые и их свойства так широко используются в жизни человека. Проблемные вопросы Цели проекта Через практические работы изучить замечательные кривые, их свойства; Узнать проявления и применение замечательных кривых в окружающем нас мире.

№ слайда 5 Выяснить, что знают учащиеся по данной теме; Собрать материал по истории, св
Описание слайда:

Выяснить, что знают учащиеся по данной теме; Собрать материал по истории, свойствам, построению и применению замечательных кривых; Изготовить простые приборы, построить изучаемые кривые и убедиться, что это совсем несложно; Составить компьютерную презентацию по данной теме для применения на уроках математики, занятиях элективных курсов и математического кружка Задачи проекта Гипотеза решения проблемы В помощь учителю. Используя минимум времени, принести максимум пользы.

№ слайда 6  Кривые второго порядка
Описание слайда:

Кривые второго порядка

№ слайда 7 Из истории замечательных кривых Древняя Греция. Менехм (около 340 до н.э.) пе
Описание слайда:

Из истории замечательных кривых Древняя Греция. Менехм (около 340 до н.э.) первым изучал замечательные кривые. Менехм открыл: эллипс, гипербола и парабола  это сечения конусов. Аполлоний Пергский (около 200 лет до н. э.)  наиболее полное сочинение «Конические сечения». Аполлоний дал современные названия кривых – эллипс, парабола и гипербола. Фокусы эллипса и гиперболы были известны Аполлонию. Папп Александрийский (вторая пол. III в.) впервые установил. фокус параболы.

№ слайда 8 Из истории замечательных кривых Рене Декарт (1596-1650) — французский филосо
Описание слайда:

Из истории замечательных кривых Рене Декарт (1596-1650) — французский философ, математик, механик, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики, автор метода радикального сомнения в философии, механицизма в физике, предтеча рефлексологии. Блез Паска́ль (1623-1662) — французский математик, механик, физик, литератор и философ. Классик французской литературы, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики. Пьер де Ферма́ (1601-1665) — французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года — советник парламента в Тулузе. Блестящий полиглот. Наиболее известен формулировкой Великой теоремы Ферма.

№ слайда 9 Из истории замечательных кривых Кеплер открыл из наблюдений, Ньютон теоретич
Описание слайда:

Из истории замечательных кривых Кеплер открыл из наблюдений, Ньютон теоретически обосновал: планеты и кометы Солнечной системы движутся по кривым второго порядка, в одном из фокусов которого находится солнце. Орбиты планет — эллипсы, траектории комет — эллипсы, гиперболы или «почти параболы». Ио́ганн Ке́плер (1571-1630) — немецкий математик, астроном, механик, оптик, первооткрыватель законов движения планет Солнечной системы. Исаа́к Нью́тон (1643-1727) — английский физик, математик, механик и астроном, один из создателей классической физики. В «Математических началах натуральной философии» изложил закон всемирного тяготения и три закона механики.

№ слайда 10  ПАРАБОЛА
Описание слайда:

ПАРАБОЛА

№ слайда 11 ПАРАБОЛА Геометрическим местом точек называется фигура, состоящая из всех то
Описание слайда:

ПАРАБОЛА Геометрическим местом точек называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, удовлетворяющих заданному свойству. Парабола, это геометрическое место точек, равноудаленных от прямой d и точки F, не принадлежащей этой прямой. Прямая d – директриса параболы. Точка F − фокус параболы. Фокальное свойство параболы Если поместить источник света в фокус параболы, то лучи, отразившись от параболы, пойдут в одном направлении, перпендикулярном директрисе.

№ слайда 12  Фокальное свойство параболы
Описание слайда:

Фокальное свойство параболы

№ слайда 13  ЭЛЛИПС
Описание слайда:

ЭЛЛИПС

№ слайда 14 ЭЛЛИПС Эллипс  геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от к
Описание слайда:

ЭЛЛИПС Эллипс  геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F1 и F2, есть величина постоянная. МF1+МF2 = const. Точки F1 и F2  фокусы эллипса. Оптическое свойство эллипса Прямые, соединяющие любую точку эллипса с фокусами, составляют с касательной к эллипсу в этой точке равные углы.

№ слайда 15  Оптическое свойство эллипса
Описание слайда:

Оптическое свойство эллипса

№ слайда 16 ГИПЕРБОЛА Гипербола  это геометрическое место точек плоскости, разность рас
Описание слайда:

ГИПЕРБОЛА Гипербола  это геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых, до двух заданных точек F1 и F2 есть величина постоянная. МF1 - МF2 = const. Точки F1 и F2  фокусы гиперболы. Построение гиперболы

№ слайда 17  ГИПЕРБОЛА
Описание слайда:

ГИПЕРБОЛА

№ слайда 18 ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ Спираль параболическая Спираль Галилея Спираль Ферми Сп
Описание слайда:

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ Спираль параболическая Спираль Галилея Спираль Ферми Спираль Корню (клофоида)

№ слайда 19 СПИРАЛИ Архимед  великий математик, философ, замечательный изобретатель. Ег
Описание слайда:

СПИРАЛИ Архимед  великий математик, философ, замечательный изобретатель. Его изобретение: архимедов винт. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Изучал ее, он вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике. Спираль Архимеда

№ слайда 20 Построение спирали Архимеда циркулем Построение спирали Архимеда с помощью по
Описание слайда:

Построение спирали Архимеда циркулем Построение спирали Архимеда с помощью подручных средств

№ слайда 21 Спирали в окружающем нас мире Спиралевидная галактика Галактика вблизи Млечно
Описание слайда:

Спирали в окружающем нас мире Спиралевидная галактика Галактика вблизи Млечного Пути Торнадо Смерч Область низкого давления над Исландией Спиральная галактика Водоворот

№ слайда 22 Спирали в мире растений Удивительные формы спиралей кактусов, алоэ и ананасо
Описание слайда:

Спирали в мире растений Удивительные формы спиралей кактусов, алоэ и ананасов Спирали на сосновой шишке. В крупных шишках удается разглядеть 5 и 8 и  даже 8 и 13 спиралей. Головка цветка подсолнуха как бы соткана из спиралей. У подсолнуха среднего размера корзинка содержит 34 спирали одного и 55 другого типа

№ слайда 23 Спираль Архимеда в технике Винт Архимеда стал прообразом шнека - устройства,
Описание слайда:

Спираль Архимеда в технике Винт Архимеда стал прообразом шнека - устройства, используемого в машинах для перемешивания жидких, сыпучих и тестообразных материалов. Самая распространенная разновидность - винтовой ротор в обычной мясорубке

№ слайда 24 Спирали в архитектуре Это шпили соборов, винтовые лестницы, элемент декора С
Описание слайда:

Спирали в архитектуре Это шпили соборов, винтовые лестницы, элемент декора Спиральные небоскребы по всему миру

№ слайда 25 Построение гипоциклоиды Представим, что по прямой линии без скольжения катит
Описание слайда:

Построение гипоциклоиды Представим, что по прямой линии без скольжения катится круг. Проследим за траекторией, которую опишет при этом точка А, взятая на окружности этого круга. Начертим получившуюся кривую  ЦИКЛОИДУ.

№ слайда 26 Заключение Учащимся полезно знать информацию о кривых, важно узнать их замеч
Описание слайда:

Заключение Учащимся полезно знать информацию о кривых, важно узнать их замечательные свойства. Изучая свойства кривых, учащиеся видят действительно практическое применение математики. Собранный материал показывает, как просто построить замечательные кривые. Работа по замечательным кривым поможет учителям красочно и доступно продемонстрировать учащимся практическое применение свойств замечательных кривых, научить строить кривые при помощи несложных школьных инструментов и подручного материала. Эта тема интересна и содержательна, развивает познавательный интерес к математике и творческую самостоятельность, открывает практическое применение математики в жизни.

№ слайда 27 Библиографический список Википедия https://ru.wikipedia.org/ Графики функций
Описание слайда:

Библиографический список Википедия https://ru.wikipedia.org/ Графики функций. Справочник. Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И.,1979. Математический энциклопедический словарь. М., «Советская энциклопедия, 1988. Математика. Справочник школьника. Филологическое общество «СЛОВО». М., 1995. Математическая энциклопедия. Главный редактор И.М. Виноградов, т.3 - М.: «Советская энциклопедия», 1982 Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. 7-9 кл.: учебн. для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2015. Смышляев В. К. «О математике и математиках». Йошкар-Ола. Марийское книжное издательство, 1977. Шарыгин, Н.Ф. Наглядная геометрия. 5-6 кл.: пособие для общеобразовательных учебных заведений / Н.Ф.Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева. – 4-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2012. – 192 с. http://www.pm298.ru/reshenie/giperb.php http://mathemlib.ru http://mathematics.ru/courses/stereometry/content/chapter5/section/paragraph3/theory.html#.Vsou1fAV2lR http://sernam.ru/book_e_math.php?id=57 http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/KONICHESKIE_SECHENIYA.html

Выбранный для просмотра документ Мир замечательных кривых.docx

библиотека
материалов

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Школа с. Лох Новобурасского района Саратовской области

имени Героя Советского Союза В. И. Загороднева»



I Региональная научно-практическая конференция

для школьников

«Открытие»




Мир замечательных кривых




Куровская Ольга Александровнаhello_html_60832097.jpg

ученица 7 класса МОУ «Школа

с. Лох Новобурасского района Саратовской области имени

Героя Советского Союза

В. И. Загороднева»

Руководитель: учитель математики

Будникова Таисия Александровна


2015/2016 учебный год

Оглавление

Стр.

  1. Введение ……………………………………………………………….… 3

  2. Основная часть

1. Кривые второго порядка. История…………………………..…….. 6

2. Парабола ………………………………………………………………. 8

3. Эллипс …………………………………………………………………. 9

4. Гипербола ………………………………………………………………11

5. Примеры спиралей …………………………………………………....12

6. Спираль Архимеда и ее проявления в окружающем

нас мире ……………..…………..…………………………………….. 13

7. Циклоида ……………………………………………………………….15

  1. Заключение………………………………………………………………..17

  2. Библиографический список ……………………………………………18

  3. Приложения ……………………………………………………………...19















Введение

Наши знания никогда не могут иметь конца,

именно потому, что предмет познания бесконечен.

Блез Паскаль


Меня заинтересовала тема «Замечательные кривые». Решила больше узнать о таких кривых, населяющих удивительный мир геометрии. С параболой, эллипсом и гиперболой, как с кривыми второго порядка, более подробно знакомилась, изучая дополнительный материал главы «Кривые и графы*» в «Геометрии. 7-9» авторов Смирновой И.М., Смирнова В. А.

Изучая информацию из учебников, справочников, энциклопедий по математике и интернета, анализировала, отбирала и систематизировала материал. Думала, что смогу сделать сама. Непонятные символы и формулы, сложные выводы  это ещё впереди. А вот изготовление из школьных принадлежностей и подручных материалов, приборов для построения кривых, построение самих кривых, привело меня в восторг. Здорово, изучать историю замечательных кривых, мастерить простые приборы, с их помощью вычерчивать эти кривые и понимать, какой путь прошла математика. Я пока мечтаю, стать учителем начальных классов, и надеюсь, что смогу разбудить исследователей в моих будущих маленьких учениках.

Оказалось, что кривые второго порядка встречаются в нашей жизни гораздо чаще, чем, кажется. Их практическое применение в жизни человека широко и разнообразно.

Поэтому стало ясно, что каждую кривую надо рассмотреть с точки зрения:

  • истории,

  • теории (определение, свойство),

  • практики (как построить),

  • применения кривой в природе и в жизни человека.


Поэтому актуальность темы заключается в демонстрации и применении

математических знаний в практической деятельности человека, популяризации математических знаний.

Таким образом, возник основополагающий вопрос:

Использование данного материала на уроках, занятиях элективного курса, математического кружка расширяет кругозор учащихся по кривым, изучаемым по школьной программе, будит их мысль и желание исследователя.


Проблемные вопросы:

  1. Знают ли учащиеся нашей школы о замечательных кривых и их свойствах?

  2. Как заинтересовать учащихся изучением кривых второго порядка?

  3. Действительно ли замечательные кривые и их свойства так широко используются в жизни человека.


Цель проекта: через практические работы изучить замечательные кривые, их свойства; узнать проявления и применение замечательных кривых в окружающем нас мире.


Задачи:

  1. Выяснить, что знают учащиеся по данной теме;

  2. Собрать материал по истории, свойствам, построению и применению замечательных кривых;

  3. Изготовить простые приборы, построить изучаемые кривые и убедиться, что это совсем несложно;

  4. Составить компьютерную презентацию по данной теме для применения на уроках математики, занятиях элективных курсов и математического кружка.

В результате определения целей и задач проекта возникла гипотеза решения проблемы: В помощь учителю. Используя минимум времени, принести максимум пользы.


В своей работе я применяла следующие методы научного исследования:

  • Работа с дополнительной литературой и информацией в интернете.

  • Исторический анализ.

  • Сравнительно-сопоставительный анализ;

  • Анкетирование школьников 13-15 лет.

  • Обработка полученных результатов.

  • Выводы.



Объект исследования: кривые и их свойства.


Практическая значимость: материал работы по замечательным кривым поможет учителям красочно и доступно продемонстрировать учащимся практическое применение свойств замечательных кривых, научить строить кривые при помощи несложных школьных инструментов и подручного материала.


Продукт проекта  мультимедийная презентация, фотографии с построением кривых второго порядка.


Форма защиты проекта – научно-практическая конференция.















Основная часть

1. Кривые второго порядка

Если мы возьмем прямой круговой конус и рассечем его плоскостью, то в результате получим линии четырех типов:




Окружность

х2 + у2 = r2

Плоскость пересекает не параллельно основанию

одну полость поверхности конуса по замкнутой овальной кривой;

hello_html_6c580e79.gif





Эллипс



Плоскость пересекает поверхность конуса по незамкнутой, уходящей в бесконечность кривой, целиком лежащей на одной его полости;

hello_html_6c580e79.gif


hello_html_m6091018a.gif

Парабола


Плоскость пересекает обе полости конуса по двум незамкнутым, простирающимся в бесконечность, одинаковым кривым.

hello_html_6c580e79.gif


hello_html_m6091018a.gif

Гипербола



Геометрическим местом точек называется фигура, состоящая из всех

точек плоскости, удовлетворяющих заданному свойству или нескольким заданным

свойствам.

Кривые второго порядка были известны уже математикам древней Греции. Впервые кривые второго порядка изучались учеником Евдокса, Менехмом (около 340 до н.э.). Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Менехм открыл, что эллипс, гипербола и парабола являются сечениями конусов. Наиболее полным сочинением, посвященным этим кривым, были «Конические сечения» Аполлония Пергского (около 200 лет до н. э.). Аполлонию мы обязаны и современными названиями кривых – эллипс, парабола и гипербола. Фокусы эллипса и гиперболы были известны, еще Аполлонию, но фокус параболы, по-видимому, впервые установил Папп Александрийский (вторая пол. III в.), определивший эту кривую как геометрическое место точек, для которых отношение расстояний до точки фокуса и директриссы постоянно.

Дальнейшие успехи теории конических сечений связаны с созданием в 17

веке новых геометрических методов: проективного (Ж. Декарт, Б. Паскаль) и в

особенности координатного (Р. Декарт, П. Ферма).

hello_html_4622f093.png

Интерес к кривым второго порядка всегда поддерживался тем, что эти линии часто встречаются в различных явлениях природы и в человеческой деятельности. В науке кривые второго порядка приобрели особое значение после того, как И. Кеплер (1609) открыл из наблюдений, а И. Ньютон (1687) теоретически обосновал законы движения планет. Один из законов утверждает, что планеты и кометы Солнечной системы движутся по кривым второго порядка, в одном из фокусов которого находится солнце. Орбиты планет — эллипсы, траектории комет — эллипсы, гиперболы или «почти параболы», траектория полёта пушечного ядра без учёта влияния воздуха — дуга эллипса. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, при достижении второй космической скорости — по параболе, а при скорости, большей второй космической — по гиперболе.

Небесные тела, попадающие в Солнечную систему из других звездных систем, движутся вокруг Солнца по гиперболической орбите и покидают ее по этой же орбите. По эллипсам движутся вокруг Земли ее искусственные спутники и естественный спутник – Луна, а космические корабли, запущенные к другим планетам, движутся по окончании работы двигателей по параболам или гиперболам (в зависимости от скорости) до тех пор, пока притяжение других планет или Солнца не станет сравнимо с земным притяжением.hello_html_1b67f3d0.jpg

2. Параболаhello_html_m64bfa3f7.gif

  • Возьмем линейку, угольник, нить длиной,

равной большему катету угольника, и кнопки. Прикрепим один конец нити к заданной точке F, а другой – к вершине меньшего угла угольника. Приложим линейку к прямой d и поставим на неё угольник меньшим катетом. Карандашом натянем нить так, чтобы его остриё касалось бумаги и прижималось к большему катету. Будем перемещать угольник и прижимать к его катету карандаш так, чтобы нить оставалась натянутой. Карандаш будет вычерчивать на бумаге кривую, которая называется ПАРАБОЛОЙ. (Приложение 3. Стр. 21). Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским (6 в.).

То есть, парабола, это геометрическое место точек, равноудаленных от прямой d и точки F, не принадлежащей этой прямой.

Прямая d директриса параболы.

Точка F фокус параболы. Фокус (от лат. focus – очаг, огонь).

Фокус параболы – это точка, обладающая свойством: отношение расстояния

FA к AD постоянно.

Эта замечательная кривая не так уж редка в природе. Например: камень,

брошенный человеком под углом к поверхности Земли, описывает параболу.

  • Возьмем лист бумаги прямоугольной формы и отметим около его

большой стороны фокус F. Сложим лист так, чтобы фокус F совместился с точками D1, D2, D3, D4 и т. д. на большой стороне листа. На бумаге образуются линии сгиба a1, a2, a3, a4 .., являющиеся касательными. Сделаем так несколько раз, вся бумага покроется линиями сгибов. Линии сгибов будут касательными к кривой. Граница участков внутри этих сгибов будет иметь форму параболы. (Приложение 3. Стр. 21).

Поместим источник света в фокус параболы, то лучи, отразившись от

параболы, пойдут в одном направлении, перпендикулярном директрисе.

Изобразим эти лучи. Это  фокальное свойство параболы. (Приложение 3. Ст. 21).

Применение в жизни.

Фокальное свойство параболы используется при изготовлении отражающих поверхностей. От источника света, помещенного в фокусе параболического отражателя, исходит пучок параллельных лучей. Используют параболические отражающие поверхности при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, телескопов, параболических антенн и т.д.

Фокальное свойство параболы используется при изготовлении параболических зеркал. Параболическое зеркало обладает тем свойством, что все падающие лучи, параллельные его оси, сходятся в одной точке (фокусе). Поэтому в мощных прожекторах, телескопах-рефлекторах, в антеннах радаров, специальных микрофонах и автомобильных фарах используются параболические зеркала.


3. Эллипс (от др. греческого – недостаток)

  • Вырежем из бумаги большой круг и в любом его месте, отличном от

центра, поставим точку F. Будем складывать круг так, чтобы эта точка совмещалась с точками F´1, F´2, F´3, F´4, F´5, ... на окружности круга. На бумаге образовались линии сгиба a1, a2, a3, a4, ... Сделаем так несколько раз, пока вся бумага не покроется линиями сгибов. Линии сгибов будут касательными к эллипсу. Граница

участка внутри этих сгибов будет иметь форму эллипса. (Приложение 4. Стр.22).

На самом деле эллипсы в нашей жизни встречаются гораздо чаще, чем кажется. Например, когда мы режем наискосок колбасу, то получающееся сечение имеет эллиптическую форму. Эту фигуру знают все. С ней встречаются в астрономии и географии (траектория движения планет и спутников, кольца Сатурна, форма земного меридиана, путь электрона вокруг ядра атома), в черчении, рисовании и стереометрии (рисунки технических деталей, круглых предметов и геометрических тел), но что такое эллипс, чем он интересен мы и не задумываемся.

Геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F1 и F2, есть величина постоянная, называется эллипсом.

Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса.

Все точки эллипса обладают одним свойством: сумма расстояний от них до фокусов постоянна, т.е. для точек А эллипса с фокусами F1 и F2 сумма AF1+AF2 постоянна. hello_html_m164ab770.gif

  • Возьмем лист бумаги, нить и кнопки. Прикрепим

концы нити кнопками к фокусам. Карандашом натянем нить так, чтобы его острие касалось бумаги. Карандаш, скользящий по туго натянутой нити, будет вычерчивать на бумаге эллипс.

А у садоводов свой способ применения эллипса: в землю втыкают два

колышка, крепят веревку к колышкам (один конец к одному второй к другому), веревку оттягивают в сторону и вычерчивают эллипс с помощью палки.

Есть и другие способы построения эллипса. (Приложение 4. Стр. 22)

Касательной к эллипсу называется прямая, имеющая с эллипсом только одну общую точку. Общая точка называется точкой касания.

У эллипса есть замечательное оптическое свойство: прямые, соединяю-

щие любую его точку с фокусами, составляют с касательной к эллипсу в этой точке равные углы.

Если сделать зеркало в форме эллипса и поместить в одном из фокусов

источник света, то лучи, отразившись от зеркала, соберутся в другом фокусе. Так же распространяются и акустические волны, что используют архитекторы для создания поразительных звуковых эффектов: «говорящих» бюстов, «магического» шёпота, «потусторонних» звуков. Это свойство лежит в основе интересного акустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых, имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.


4. Гипербола.

Геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до двух заданных точек F1 и F2 есть величина постоянная, называется гиперболой. (PF1 - PF2 = const).

Точки F1 и F2 называются фокусами гиперболы.

  • Возьмем линейку, кнопки, нить, длинаhello_html_m7a13bbcb.gif

которой меньше длины линейки, а разность длин линейки и нити меньше, чем расстояние между фокусами. Прикрепим один конец нити к концу линейки, а второй конец – к фокусу. Второй конец линейки совместим со вторым фокусом. Натянем нить, прижав её к линейке остриём карандаша. Если поворачивать линейку вокруг фокуса, прижимая к ней карандаш и оставляя нить натянутой, то карандаш будет описывать гиперболу. (Приложение 5. Стр. 23).

  • Получим гиперболу из листа бумаги. Вырежем из листа бумаги круг и

отметим точку F на оставшейся части листа. Сложим лист так, чтобы эта точка совместилась с какой – нибудь точкой F окружности вырезанного круга и на бумаге образовалась линия сгиба. Разогнем лист и снова согнем его, совместив точку с другой точкой окружности. Сделаем так несколько раз. Линии сгиба и будут касательными к гиперболе. Граница участка внутри этих сгибов будут иметь форму гиперболы. (Приложение 5. Стр. 23).

Гипербола является графиком многих важных физических соотношений, например, закона Бойля (связывающего давление и объем идеального газа) и закона Ома, задающего электрический ток как функцию сопротивления при постоянном напряжении.

А есть еще замечательные линии 3-го порядка: Декартов лист, циссоида Диоклеса, строфрида, верзьера Аньези. Линии четвертого и высших порядков: спираль Архимеда, кривая кратчайшего спуска, лемниската и другие.


5. Примеры спиралей

Молекула ДНК закручена двойной спиралью. «Кривой жизни» называл спираль Гёте. В переводе с латыни спираль означает «изгиб», «извив».

Спираль

Архимеда

hello_html_m6de8515.jpg

Спираль была открыта Архимедом

в III веке до нашей эры.


Спираль

Галилея

hello_html_m479274e8.jpg


Спираль

гиперболическая

hello_html_1ceaf7d2.jpg

Уравнение гиперболической спирали в полярной системе координат является обратным для уравнения Архимедовой спирали.


Спираль "жезл"

hello_html_70627df2.jpg


Спираль Корню (клофоида)

hello_html_6f6b316e.jpg

Кривая, у которой кривизна изменяется линейно как функция длины дуги. Она используется как переходная дуга в дорожном строительстве.

Спираль

логарифмическая

hello_html_m2a3ed6a1.jpg

Впервые описана Декартом (1638г) и позже интенсивно исследована Якобом Бернулли, который называл её Spira mirabilis — «удивительная спираль».

Спираль

параболическая

hello_html_m5271d1d4.jpg

Кривая имеет бесконечно много двойных точек и одну точку перегиба

Спираль

Ферми

hello_html_m167bb1b6.jpg

Является одним из видов Архимедовой спирали.


Спираль, несмотря на простоту изображения, - это сложный и емкий по значению символ. Еще древние люди использовали ее как декоративный узор, легко наносимый на дерево, камни, глину. Форма спирали сочетает в себе симметрию и золотое сечение, при зрительном восприятии она вызывает ощущение гармонии и красоты. Спираль, связанная с символикой центра, издавна является началом начал, откуда стартует эволюция, развитие, движение жизни.

В свое время на ее форму обратил внимание Архимед. Древнегреческий ученый из Сиракуз изучил форму спирально закрученной раковины и вывел уравнение спирали. Вычерченный им по этому уравнению виток назван его именем - спираль Архимеда.

В школьном курсе математики не говорится ни о спирали Архимеда, ни о других спиралях, а тем более об их практическом применении.


6. Спираль Архимеда и ее проявления в окружающем нас мире

Пусть по радиусу равномерно вращающегося диска с постоянной скоростью ползет муравей. Проползая вперед, он одновременно смещается в сторону вращения диска. Таким образом, путь муравья представляет кривую. Она называется СПИРАЛЬЮ АРХИМЕДА.

Спираль Архимеда состоит из бесконечно многих витков. По спирали Архимеда идёт, например звуковая дорожка, одна из деталей швейной машинки – механизм для равномерного наматывания нити на шпульку - имеет форму спирали Архимеда.

Спираль Архимеда - это плоская кривая, которую вырисовывает

точка, движущаяся с постоянной скоростью от центра окружности по ее радиусу, окружность которого вращается также с постоянной угловой скоростью.

  • Я построила простую спираль циркулем и линейкой.hello_html_3582ef90.png

Для этого провела горизонтальную линию. Отметила на ней две точки с тем учетом, что расстояние между этими двумя точками будет равняться половине расстояния между витками спирали. Ножку циркуля поставила в точку А и провела дугу из точки B с радиусом АB, затем перенесла ножку циркуля в точку B и продолжила спираль дугой с радиусом 2АB. Аналогично продолжила дугу, чередуя точки А и B и увеличивая радиус окружностей. (Приложение 6. Стр. 24).

Затем построила спираль другим способом. Смотри: (Приложение 6. Стр. 24).


Проявления спиралей в окружающем нас мире

В природе спираль проявляется в трех основных формах: застывшей (раковины улитки), расширяющейся (изображения спиральных галактик) или сжимающейся (подобие водоворота). Спиральные формы представлены от эволюционных глубин (молекулы ДНК) до законов диалектики. Спираль близка к кругу - самой идеальной форме из всех, что создала природа. Действительно, стихийные и природные элементы, имеющие форму спирали, очень распространены в природе. hello_html_m5edd9270.jpg

Это спиральные туманности, галактики, водовороты, смерчи, торнадо (Приложение 7. Стр. 25), устройства растений (Приложение 8. Стр. 26). Даже пауки спиралеобразно плетут паутину, закручивая нити по спирали вокруг центра. Природа любит повторения, в ее творениях использованы одни и те же принципы.

Спирали, присутствующие в структуре произведений искусства, в узорах, реже

- в архитектуре: закручивающаяся спиралью лестница, шпили соборов и даже небоскребы по всему миру. (Приложение 9. Стр. 27).


Спирали в технике

Спираль Архимеда широко используется в технике. Одно из изобретений ученого - винт (прообраз объемной спирали) (Приложение 9. Стр. 27). - использовалось как механизм для передачи воды в оросительные каналы из низколежащих водоемов. Винт Архимеда стал прообразом шнека («улитки») - устройства, широко используемого в различных машинах для перемешивания жидких, сыпучих и тестообразных материалов. Самая распространенная его разновидность - винтовой ротор в обычной мясорубке (Приложение 9. Стр. 27).. Примером применения в технике архимедовой спирали также является самоцентрирующийся патрон. Спираль Архимеда заслуживает особого внимания при обучении компьютерной графике.

7. Циклоида

Представим, что по прямой линии без скольжения катится круг. Проследим за траекторией, которую опишет при этом точка А, взятая на окружности этого круга. Начертим получившуюся кривую. Она называется ЦИКЛОИДОЙ. hello_html_m4ce2cb04.gif

Кривая кратчайшего спуска

Среди многих замечательных свойств циклоиды отметим одно, из-за которого она заслужила громко звучащее мудреное название: «брахистохрона». Это название составлено из двух греческих слов, означающих «кратчайший» и «время».

Интересно, какую форму следует придать хорошо отшлифованному металлическому желобу, соединяющему две заданные точки А и В, чтобы полированный металлический шарик скатывался по этому желобу из точки А в точку В в кратчайшее время? На первый взгляд кажется, что нужно остановиться на прямолинейном желобе, так как только вдоль него шарик пройдет кратчайший путь от А до В. Но речь идет не о кратчайшем пути, а о кратчайшем времени; время же зависит не только от длины пути, но и от скорости, с которой бежит шарик. Если желоб прогнуть вниз, то его часть, начиная от точки А, будет круче опускаться вниз, чем в случае прямолинейного желоба, и шарик, падая по нему, приобретет скорость большую, чем на участке такой же длины прямолинейного желоба. hello_html_18310f78.png

Итак, желобу нужно придавать вогнутую форму, но делать выгиб не слишком значительным.

Итальянский физик и астроном Галилей (1564 - 1642) думал, что желоб кратчайшего времени нужно выгибать по дуге окружности. Но швейцарские математики братья Бернулли около трехсот лет тому назад доказали точным расчетом, что это не так и что желоб нужно выгибать по дуге циклоиды (опрокинутой вниз). С тех пор циклоида и заслужила прозвище брахистохроны, а доказательства Бернулли послужили, началом новой отрасли математики - вариационного исчисления.

Я научилась строить и циклоиду и гипоциклоиды. (Приложение 6. Стр. 24).





Начало формы

Конец формы












Заключение


Анкетирование выявило, что только 50% школьников 7-9 классов имеют представление о кривых второго порядка, а 33% хотели бы узнать.

(Приложение 10, 11. Стр. 29-30)

Школьники практически нечего не знают об эллипсе, спирали Архимеда, свойства которых применяются в быту, в технике.

Думаю, что учащимся полезно будет знать информацию об этих кривых, важно узнать их замечательные свойства. Изучая и даже просто знакомясь с этими свойствами, учащиеся видят действительно практическое применение математики.

Мои исследования. Я считаю, что составила компьютерное приложение к урокам математики или занятиям элективных курсов и математических кружков. Мною собран материал, показывающий, как просто построить кривые, большое внимание уделяется применению свойств кривых в жизни.

Я считаю эту тему интересной и содержательной, развивающей познавательный интерес к математике и творческую самостоятельность,

открывающей практическое применение математики в жизни.














Библиографический список


  1. Википедия https://ru.wikipedia.org/

  2. Графики функций. Справочник. Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И.,1979 г.

  3. Маркушевич А.И., Замечательные кривые, М., 1978 г.

  4. Математический энциклопедический словарь. М., «Советская энциклопедия, 1988. Математика. Справочник школьника. Филологическое общество «СЛОВО». М., 1995.

  5. Математическая энциклопедия. Главный редактор И.М. Виноградов, т.3 - М.: «Советская энциклопедия», 1982

  6. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. 7-9 кл.: учебн. для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2015.

  7. Смышляев В. К. «О математике и математиках». Йошкар-Ола. Марийское книжное издательство, 1977.

  8. Шарыгин, Н.Ф. Наглядная геометрия. 5-6 кл.: пособие для общеобразовательных учебных заведений / Н.Ф.Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева. – 4-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2012. – 192 с.

  9. https://ru.wikipedia.org/

  10. http://www.pm298.ru/reshenie/giperb.php

  11. http://mathemlib.ru

  12. http://mathematics.ru/courses/stereometry/content/chapter5/section/paragraph3/theory.html#.Vsou1fAV2lR

  13. http://www.phisiki.com/

  14. http://hijos.ru/

  15. http://sernam.ru/book_e_math.php?id=57

  16. http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/KONICHESKIE_SECHENIYA.html


Приложение 1

СВОЙСТВА КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

Определения Паппа.

Установление фокуса параболы навело Паппа на мысль дать альтернативное определение конических сечений в целом. Пусть F – заданная точка (фокус), а L – заданная прямая (директриса), не проходящая через F, и DF и DL – расстояния от подвижной точки P до фокуса F и директрисы L соответственно. Тогда, как показал Папп, конические сечения определяются как геометрические места точек P, для которых отношение DF/DL является неотрицательной постоянной. Это отношение называется эксцентриситетом e конического сечения. При e < 1 коническое сечение – эллипс; при e > 1 – гипербола; при e = 1 – парабола. Если F лежит на L, то геометрические места имеют вид прямых (действительных или мнимых), которые являются вырожденными коническими сечениями.

Бросающаяся в глаза симметрия эллипса и гиперболы говорит о том, что у каждой из этих кривых есть по две директрисы и по два фокуса, и это навело Кеплера в 1604 на мысль, что и у параболы существует второй фокус и вторая директриса – бесконечно удаленные точка и прямая. Окружность можно рассматривать как эллипс, фокусы которого совпадают с центром, а директрисы находятся в бесконечности. Эксцентриситет e = 0.

Другие свойства.

Свойства конических сечений поистине неисчерпаемы, и любое из них можно принять за определяющее. Важное место в Математическом собрании Паппа (ок. 300), Геометрии Декарта (1637) и Началах Ньютона (1687) занимает задача о геометрическом месте точек относительно четырех прямых. Если на плоскости заданы четыре прямые L1, L2, L3 и L4 (две из которых могут совпадать) и точка P такова, что произведение расстояний от P до L1 и L2 пропорционально произведению расстояний от P до L3 и L4, то геометрическое место точек P является коническим сечением. Декарт, чтобы получить решение и обобщить его, создал аналитическую геометрию.


Приложение 2


Архимед

Родом из Сиракуз (Сицилия). Великий математик и философ, замечательный изобретатель. Его изобретения: архимедов винт и др. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Изучал ее, он вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

тhello_html_m1a7baf71.jpg

Блез Паска́ль — французский математик, механик, физик, литератор и философ. Классик французской литературы, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики.

тhello_html_61b9614c.jpg

Рене Декарт (11 февраля 1650, Стокгольм) — французский философ, математик, механик, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики, автор метода радикального сомнения в философии, механицизма в физике, предтеча рефлексологии.

hello_html_68770496.jpg

Пьер де Ферма́ — французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года — советник парламента в Тулузе. Блестящий полиглот. Наиболее известен формулировкой Великой теоремы Ферма.

hello_html_m5a26d32.jpg


Ио́ганн Ке́плер — немецкий математик, астроном, механик, оптик, первооткрыватель законов движения планет Солнечной системы.

hello_html_m66caff50.jpg

Сэр Исаа́к Нью́тон — английский физик, математик, механик и астроном, один из создателей классической физики. Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики.

Приложение 3

Построение параболы с помощью треугольника.



тhello_html_7ad67073.jpg



Построение параболы путем сгибания листа бумаги.


тhello_html_aefde94.jpg



Фокальное свойство параболы.


тhello_html_6a66fc97.jpg


Приложение 4


Построение эллипса с помощью подручных материалов.


тhello_html_536479eb.jpg



Построение эллипса с помощью сковороды.


тhello_html_528a906f.jpg



Построение эллипса путем сгибания бумажного круга.


тhello_html_9c79369.jpg


Приложение 5



Построение гиперболы с помощью линейки.


тhello_html_m6f20c12a.jpg

тhello_html_m712f9ffa.jpg








Построение гиперболы путем сгибания листа бумаги.


тhello_html_md98bf2e.jpg










Приложение 6



Построение спирали Архимеда циркулем.


тhello_html_76d33581.jpg



Построение спирали Архимеда с помощью подручных материалов.


тhello_html_1be64b0d.jpg




Построение гипоциклоиды


Приложение 7

Проявления спиралей в окружающем нас мире

Спиралевидная галактика

http://fb.ru/article/69123/spiral-arhimeda-i-ee-proyavleniya-v-okrujayuschem-nas-mire

hello_html_5158cb0c.jpg



Галактика вблизи Млечного Пути

http://mirgif.com/besplatnye_kartinki_kosmos.htm


hello_html_mc3fdb10.jpg

hello_html_m3949da13.jpg

Спиральная галактика Водоворот

hello_html_m3564082d.jpg

Торнадо

hello_html_717b178e.jpg

Область низкого давления над Исландией

hello_html_m756ec244.jpg

Смерч

Приложение 8


Проявления спиралей в мире растений

Удивительные формы спиралей кактусов

hello_html_4274dd4f.jpg

hello_html_5727ed94.jpg


Четко выраженные спирали

на ананасах и алоэ

hello_html_7db4c504.jpg

hello_html_21a17563.jpg

Спирали на сосновой шишке

В крупных шишках удается разглядеть 

5 и 8 и  даже 8 и 13 спиралей.

hello_html_20b06411.jpg


hello_html_m2e0eb681.jpg

Головка цветка подсолнуха как бы соткана из спиралей.

У подсолнуха среднего размера корзинка содержит 34 спирали одного и 55 другого типа.

hello_html_5472a08a.jpg

hello_html_m70918fc.jpg


Спирали ракушек

hello_html_m5edd9270.jpg

Приложение 9

Применения спирали Архимеда в технике и архитектуре

В архитектуре  это

шпили соборов, винтовые лестницы,

элемент декора.

hello_html_m2326f9d8.jpghello_html_2b8dc71.jpg

hello_html_m5dc5eaa3.jpg



Спиральные небоскребы

по всему миру



Бетонная спираль в Ниигате

в Японии


hello_html_m1b135726.jpg

hello_html_m5fc135c4.jpg


hello_html_m437814de.jpg

Приложение 10


Анкета для учащихся



1. Знаете ли вы кривые второго порядка?

а) да; б) нет; в) имею представление; г) хотел(а) бы узнать.



2) Назови геометрические фигуры.




1




2

hello_html_m6091018a.gif

3

hello_html_m6091018a.gif4

hello_html_m1c1a3e8f.jpg5

hello_html_5e30bfe8.gifт6


hello_html_m65c59029.gif


7

1)________________ 4)_________________ 6)_________________

2)________________ 5)_________________ 7)_________________

3)________________




Результаты анкетирования

Участники - 12 школьников 7-9 классов.



Вопрос 2: Назови геометрические фигуры.


Окружность

Эллипс

Парабола

Гипербола

Спираль Архимеда

Кардиоида

Циклоида

8

4

11

10

0

5

4

67%

33%

90%

83%

0%

42%

33%




Приложение 11




Общая информация

К учебнику: Геометрия. Учебник для 7-9 классов. Погорелов А.В. 2-е изд. - М.: 2014 - 240 с.

К уроку: 48. Геометрическое место точек

Номер материала: ДБ-185670

Похожие материалы