Проект на тему "Числа-карлики и числа-великаны"

МКОУ «Красноярская СОШ»

Проект на тему:

Выполнила:          ученица 6 класса

Чуркина Анастасия

Руководитель: учитель математики

Кулик Л. В.

2011-2012

Вопросы, направляющие проект.

 

 Основополагающий вопрос

Что это за такие «Числа-Великаны» и «Числа-Карлики»?

 

Проблемные вопросы

1. Рассмотреть математические действия на жизненных ситуациях.

2. Сделать выводы по результатам работы.

 

Частные вопросы

1.   познакомиться с многогранным миром чисел;

2.   узнать рассказы о числах-великанах и числах-карликах;

3.   практическое применение понятий «числа-карлики» и «числа-великаны»

 

 

План проведения проекта

1. Согласование темы проекта, обсуждение ключевых вопросов (проблем) проекта, его сущности. Разработка критерий к оцениванию и самооцениванию учащихся.

2. Представление рекламной публикации ученикам («листовка»). Обсуждение названия, постановка целей и задач для работы группы. Выдвижение гипотезы.

3. Разработка индивидуального плана работы. Курирование учителей предметников.

4. Сбор информации, обработка данных.

5. Оформление результатов работы (аппликации, рисунки, творческие композиции, презентации, выставки).

6. Оценка и самооценка проекта.

ПЛАН:

I.     Введение. 

II    Основная часть. Рассказы о числах-великанах и числах-карликах.

             а) Римская легенда (задача и её решение)

             б) Легенда о шахматной доске (задача и её решение)

             в) Лавина дешёвых велосипедов (задача и её решение)

             г) Быстрое размножение (задача и её решение)

 III Заключение.

 IV  Использованная литература

ВВЕДЕНИЕ

Почему я выбрала эту тему? Вопрос на первый взгляд кажется простым и ответ прост: - ради интереса, что это за такие «Числа Великаны»?

За время изучения предложенного материала, с которыми я работала, мне интересно было разобрать все задачи о «Числах Великанах».

Изучить каким образом из обычного простого числа «вырастает» ВЕЛИКАН!

Цели работы:

1. Познать мир математических решений (действий).

2. Рассмотреть математические действия на жизненных ситуациях.

3. Сделать выводы по результатам работы (математические вычисления).

Гипотеза:

       Если я пойму и научусь на примере данных задач решать математические действия  с большими числами, то мне будет легче применять свои знания на практике.

Числа «Великаны»

Наша система счисления создана индусами. Она была завезена в Европу арабами и потом распространилась по всему миру.

Система названий, принятая почти во всем мире, связана с названием классов.

1 класс – класс единиц.

2 класс – класс тысяч.

3 класс – класс миллионов.

4 класс – класс биллионов или миллиардов.

5 класс – класс триллионов.

6 класс – класс квадриллионов.

7 класс – класс квинтиллионов.

8 класс – класс секстиллионов.

Далее идут септиллион, октиллион, нониллион, дециллион.

Но эти названия почти не используются. Астрономы и физики, имеющие дело с большими числами, предпочитают записывать числа с помощью степени числа десять.

Есть еще одно число – 10100. Для этого числа придумано специальное название – гугол.

Примеры некоторых числовых великанов.

1). 509 000 000 кв.км – поверхность земного шара.

2). 149 500 000 км – расстояние от Земли до Солнца.

3). 6 000 000 000 000 000 000 000 т – масса земного шара.

Мы с трудом ориентируемся в больших числах, даже миллиона мы как следует, себе не представляем. Каждый из вас умеет складывать, отнимать, умножать и делить числа, которые выражены многими тысячами и даже миллионами.

Как представить себе 1 000 000 учащихся? Трудно?

Чтобы это представить, посчитайте, на сколько километров протянулась бы шеренга в 1 000 000 учащихся, если бы каждые 2 из них заняли 1м. Почти от Москвы до Санкт-Петербурга протянулась бы эта шеренга!

А сколько нужно времени, чтобы прочитать все эти книги, которые вместе содержат 1 000 000 листов, если на чтение каждого листа израсходовать 6 минут? Если читать каждый день по 8 часов непрерывно и отдыхать только по воскресеньям, то для прочтения 1 000 000 листов потребуется 40 лет.

Миллион можно назвать карликом по сравнению с таким числовым исполином, как миллиард. Если вы начнете считать подряд до миллиарда в 12 – летнем возрасте, то закончите счет глубоким стариком 100 – летнего возраста, работая ежедневно по 6 часов в сутки.

Миллиард – это не просто великан, а великанище. Ведь совсем небольшой промежуток времени – 1 минута. А миллиард таких минут – эта более 19 столетий.

Секунда времени в сравнении с часом нам кажется мгновением. Но миллиард секунд – это около 32 лет.

Я.И. Перельмана “Занимательная арифметика”.

1). Человеческий волос, увеличенный по толщине в миллион раз, будет иметь в поперечнике 70 м. Внутри такого “волоса” можно было смело ездить по кругу на автомобиле.

2). Каких размеров достигает обыкновенный комар, увеличенный в миллион раз?

Длина комара приблизительно равна 5 мм.

5 мм x1 000 000 = 5 000 000мм = 5 км.

3). Рост человека, увеличенный в миллион раз, достигает 1700км.

4). Миллион людей, построенных в один ряд плечом к плечу, займут 500 км.

5). Легенда о шахматной доске.

Шахматы – одна из самых древних игр. Эта игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен её остроумием. Царь хотел лично наградить

изобретателя за удачную выдумку.

Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников. Сета удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы. Сета попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую клетку – 2 зерна, за третью – 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, за шестую – 32 и т.д.

Царь с раздражением сказал, что эта просьба недостойна его щедрости.

Придворные математики очень долго вели подсчет. Это оказалось чудовищное число: 18 446 744 073 709 551 615 (18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615).

Чтобы представить себе всю огромность этого числового великана, представим, какой величины должен быть амбар для вмещения этого количества зерна. 1куб.м пшеницы вмещает около 15 000 000 зерен. Значит, амбар должен иметь объем примерно 12 000куб.км. Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды. Но он легко мог бы, будь он силен в математике, освободиться от столь обременительного долга. Для этого нужно было лишь предложить Сете, самому отсчитать себе зерно за зерном всю причитавшуюся ему пшеницу. Посвятив счету даже весь остаток своей жизни, Сета получил бы лишь ничтожную часть потребованной им награды.

Пример из книги В. Литцмана “Великаны и карлики в мире чисел”.

Если считать, что скорость поезда равна 75км/ч, то

а) на кругосветное путешествие этим видом транспорта по экватору (длина экватора приблизительно равна 40 000км) понадобится около 22 суток,

б) на поездку от Земли до Луны (расстояние это равно 357 000км) потребуется около 200 дней,

в) на поездку от Земли до Солнца (расстояние приблизительно равно 150 000 000км) потребуется около 2 000 000 часов, т.е. свыше 200 лет.

Числа «карлики».

Если число n – числовой великан, то 1/n будет числовой карлик.

Для измерения длин малых величин единицу длины 1мм делят на тысячу частей и одну такую часть называют одним микроном, микрон, в свою очередь, делят на тысячу миллимикронов.

Нано – миллиардная доля чего-либо. 1 нанометр – миллиардная доля метра.

Нанобактерии были открыты еще в 1998, но до сих пор ученые не понимают, что это такое. Это самые маленькие “существа”, живущие в наших организмах.

Нанобактерия – 30 нанометров.

Вирус – около 300 нанометров.

Бактерия – около 600 нанометров.

Мы видим, что числовых великанов и числовых карликов бесконечное множество, поэтому, каким бы ни был числовой великан, существует большее число, каким бы ни был числовой карлик, можно найти еще меньшее число.

Сказка.

Ноль и Натуральные Числа.

В стране Математике жили-были Натуральные Числа и Ноль. Их умножали, складывали, иногда отнимали и даже делили, но сосчитать их никто не мог. Жили Натуральные Числа дружно, ни одно не огорчалось, что оно меньше следующего, но зато каждое гордилось, что оно кого – нибудь, да больше. Ноль был меньше всех. Нечем ему было гордиться, да и никто из натуральных чисел его не признавал. И решил Ноль покинуть Математику.

Но как только он ушел, его отсутствие сразу ощутилось: нельзя было написать числа 10, 20, 30, 40, 100 и т.д.

Решили Натуральные Числа просить Ноль вернуться в Математику. Он согласился, но с одним условием: если будет производиться умножение на Ноль, то в результате всегда будет получаться Ноль. И теперь все натуральные Числа в стране Математике дружат с Нолем.

Рассказ – задача.

РИМСКАЯ ЛЕГЕНДА

Вот что, по преданию, произошло много веков назад в Древнем Риме.

Полководец Теренций, по приказу императора, совершил победоносный поход и с трофеями вернулся в Рим. Прибыв в столицу, он просил допустить его к императору.

Император ласково принял полководца, сердечно благодарил его за военные услуги империи и обещал в награду дать высокое положение в сенате.

Но Теренцию нужно было не это.

- Чего желал бы ты от меня, Теренций? – спросил император.

- Если хочешь даровать награду скромному слуге твоему, - говорил ободренный полководец, то пусть щедрость твоя поможет мне дожить мирно в достатке годы подле моего домашнего очага. Государь, дай мне денег для обеспечение остатка моей жизни.

Император – гласит предание – не отличался широкой щедростью. Он любил копить деньги для себя и скупо тратил их на других. просьба полководца заставила его задуматься.

- Какую же сумму, Теренций, считал бы ты для себя достаточной? – спросил он.

- Миллион динариев, государь.

Снова задумался император. Полководец ждал, опустив голову.

Наконец император заговорил:

- Доблестный Теренций! Ты великий воин, и славные подвиги твои заслужили щедрой награды. Я дам тебе богатство. Завтра в полдень ты услышишь здесь мое решение.

Теренций поклонился и вышел.

На следующий день в назначенный час полководец явился во дворец императора.

Император сказал:

- Не хочу, чтобы такой благородный воитель, как ты, получил за свои подвиги жалкую награду. Выслушай же меня. В моем казначействе лежит 5 миллионов медных брассов. Теперь внимай моим словам. Ты войдешь в казначейство, возьмешь одну монету в руки, вернешься сюда и положишь её к моим ногам. На другой день вновь пойдешь в казначейство, возьмешь монету, равную 2 брассам, и положишь здесь рядом с первой. В третий день принесешь монету, стоящую 4 брасса, в четвертый – стоящую 8 брассов, в пятый – 16, и так далее, всё удваивая стоимость монеты. Я прикажу ежедневно изготовлять для тебя монеты надлежащей ценности. И пока хватит у тебя сил поднимать монеты, будешь ты выносить их из моего казначейства. Никто не вправе помогать тебе; ты должен пользоваться только собственными силами. И когда заметишь, что не можешь уже больше поднять монету – остановись: уговор наш кончится, но все монеты, которые удалось тебе вынести, останутся твоими и послужат тебе наградой.

Жадно впивал Теренций каждое слово, сказанное императором.

Ему чудилось огромное множество монет, одна больше другой, которые вынесет он из государственного казначейства.

- Я доволен твоею милостью, государь, - ответил он с радостной улыбкой. – Поистине щедра награда твоя!

Начались ежедневные посещения Терентием государственного казначейства. Оно помещалось невдалеке от приемной залы императора, и первые переходы с монетами не стоили Терецию никаких усилий.

В первый день вынес он из казначейства всего один брасс. Это небольшая монета, 21 мм в поперечнике и 5 г весом.

Легки были также второй, третий, четвертый, пятый и шестой переходы, когда полководец выносил монеты двойного, тройного, 8-кратного, 16-кратного и 32-кратного веса.

Седьмая монета весила в наших современных мерах 320 граммов и имела в поперечнике 84 мм.

На восьмой день Теренцию пришлось вынести из казначейства монету, соответствовавшую 128 единичным монетам. Она весила 640 г и была шириною около 10,5 см.

На девятый день Теренций принес в императорскую залу монету в 256 единичных монет. Она имела 13 см в ширину и весила более одного с четвертью кг.

На двенадцатый день монета достигла почти 27 см в поперечнике и весила 10¼ кг.

Император, до сих пор смотревший на полководца приветливо, теперь уже не скрывал своего торжества. Он видел, что сделано уже 12 переходов, а вынесено из казначейства всего только 2000 с

небольшим медных монеток.

Тринадцатый день доставил храброму Теренцию монету, равную 4096 единичным монетам. Она имела около 34 см в ширину, а вес её равнялся 20,5 кг.

На четырнадцатый день Теренций вынес из казначейства тяжелую монету в 41 кг весом и около 42 см шириной.

- Не устал ли ты, мой храбрый Теренций? – спросил его император, сдерживая улыбку.

- Нет, государь мой, - хмуро ответил полководец, стирая пот со лба.

Наступил пятнадцатый день. Тяжела была на этот раз ноша Теренция. Медленно брел он к императору, неся огромную монету, составленную из 16 384 единичных монет. Она достигала 53 см в ширину и весила 80 кг – вес взрослого воина.

На шестнадцатый день полководец шатался под ношей, лежавшей на его спине. Это была монета, равная 32 768 единичным монетам и весившая 164 кг; поперечник её достигал 67 см.

Полководец был обессилен и тяжело дышал. Император улыбался…

Когда Теренций явился в приемную залу императора на следующий день, он был встречен громким смехом. Теренций не мог уже нести свою ношу в руках, а катил её впереди себя. Монета имела в поперечнике 84 см и весила 328 кг. Она соответствовала весу 65 536 единичных монет.

Восемнадцатый день был последним днем обогащения Теренция. В этот день закончились его посещения казначейства и странствования с ношей в приемную залу императора. Ему пришлось доставить на этот раз монету, соответствовавшую 131 072 единичным монетам. Она имела более метра в поперечнике и весила 655 кг. Пользуясь своим копьем как рычагом, Теренций с величайшим напряжением сил едва вкатил её в залу. С грохотом упала исполинская монета к ногам императора.

Теренций был совершенно измучен.

- Не могу больше… Довольно, - прошептал он.

Император с трудом подавил смех удовольствия, видя полный успех своей хитрости. Он приказал казначею исчислить, сколько всего брассов вынес Теренций в приемную залу.

Казначей выполнил поручение и сказал:

- Государь, благодаря твоей щедрости победоносный воитель Теренций получил в награду 262 143 брасса.

Итак, скупой император дал полководцу около 20-й части той суммы в миллион динариев, которую просил Теренций.

Проверим расчет казначея, а заодно и вес монет. Теренций вынес:

В 1 день	1 брасс весом	5г
На 2	2 брасса	10
На 3	4	20
4	8	40
5	16	80
6	32	160
7	64	320
8	128	640
9	256	1 кг 280
10	512	2 кг 560
11	1024	5 кг 120
12	2 048	10 кг 240
13	4 096	20 кг 480
14	8 192	40 кг 960
15	16 384	81 кг 920
16	32 768	163 кг 840
17	65 536	327 кг 680
18	131 072	655 кг 360

Мы уже знаем, как можно просто подсчитать сумму чисел таких рядов: для второго столбца она равна 262 143, - согласно правилу. Теренций просил у императора миллион динариев, т.е. 5 000 000 брассов. Значит, он получил меньше просимой суммы в  5 000 000 : 262 143 ≈ 19 раз.

Рассказ – задача.

ЛЕГЕНДА О ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ

Шахматы – одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и неудивительно, что с нею связаны различные предания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить.

Одну из подобных легенд хотелось бы рассказать. Чтобы понять её, не нужно вовсе уметь играть в шахматы: достаточно знать, что игра происходит на доске, разграфленной на 64 клетки (попеременно черные и белые).

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен её остроумием и разнообразием возможных в ней положений.

Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.

Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

- Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, - сказал царь, - Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь её.

- Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра, по зрелом размышлении, я сообщу тебе мою просьбу.

Когда на другой день Сета снова явился к ступеням  трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.

- Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

- Простое пшеничное зерно? – изумился царь.

- Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, за шестую 32…

- Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте своего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.

За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.

- Повелитель, - был ответ, - приказание твое исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен.

Царь нахмурился. Он не привык, что повеления его исполнялись так медлительно.

Вечером, отходя ко сну, царь ещё раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.

- Повелитель, - ответили ему, - математики твои трудятся без устали и надеются ещё до рассвета закончить подсчет.

- Почему медлят с этим делом? – гневно воскликнул царь. – Завтра, прежде чем я проснусь, все до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю.

Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение.

Царь приказал ввести его.

- Прежде чем скажешь о твоем деле, - объявил Шерам, - я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.

- Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час, - ответил старик. – Мы добросовестно исчислили всё количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико….

- Как бы велико оно ни было, - надменно перебил царь, - житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана….

- Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни. Пусть всё пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И всё то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду.

С изумлением внимал царь словам старца.

- Назови же мне это чудовищное число, - сказал он в раздумье.

- Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель!

Такова легенда. Действительно ли было то, что здесь рассказано, неизвестно, - но что награда, о которой говорит предание, должна была выразиться именно таким числом, в этом вы сами можете убедиться терпеливым подсчетом.

Начав с единицы, нужно сложить числа: 1, 2, 4,8 и т.д. Результат 63-го удвоения покажет, сколько причиталось изобретателю за 64-ую клетку доски. Мы без труда найдем всю сумму следуемых зерен, если удвоим последнее число и отнимем одну единицу. Значит, подсчет сводится лишь к перемножению 64 двоек:

2 Х 2 Х 2 Х 2 Х 2 Х 2 Х и т.д. (64 раза).

Для облегчения выкладок разделим эти 64 множителя на 6 групп по 10 двоек в каждой и одну последнюю группу из 4 двоек. Произведение 10 двоек, как легко убедиться, равно 1024, а 4 двоек – 16. значит, искомый результат равен

1024 Х 1024 Х 1024 Х 1024 Х 1024 Х 1024 Х 16.

Перемножив 1024 Х 1024, получим 1 048 576.

Теперь остается найти

1 048 576 Х 1 048 576 Х 1 048 576 Х 16,

отнять от результата одну единицу – и нам станет известно искомое число зерен:

18 446 744 073 709 551 615.

Если желаете представить себе всю огромность этого числового великана, прикиньте, какой величины амбра потребовался бы для вмещения подобного количества зерен. Известно, что кубический метр пшеницы вмещает около 15 миллионов зерен. Значит, награда шахматного изобретателя должна была бы занять объем примерно в 12 000 000 000 000 куб. м, или 12 000 куб. км. При высоте амбара 4 м и ширине 10 м длина его должна была бы простираться на

          300 000 000 км, - т.е. вдвое дальше, чем от Земли до Солнца!..

Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды. Но он легко мог бы, будь он силен в математике, освободиться от столь обременительного долга. Для этого нужно было лишь предложить Сете самому отсчитать себе зерно за зерном всю причитавшуюся ему пшеницу.

В самом деле: если бы Сета, принявшись за счет, вел его непрерывно день и ночь, отсчитывая по зерну в секунду, он в первые сутки отсчитал бы всего 86 400 зерен. Чтобы отсчитать миллион зерен, понадобилось бы не менее 10 суток неустанного счета. Один кубический метр пшеницы он отсчитал бы примерно в полгода: это дало бы ему всего 5 четвертей. Считая непрерывно в течение 10 лет, он отсчитал бы себе не более 100 четвертей. Вы видите, что посвятив счету даже весь остаток своей жизни, Сета получил бы лишь ничтожную часть потребованной им награды.

Рассказ – задача.

ЛАВИНА ДЕШЕВЫХ ВЕЛОСИПЕДОВ

В дореволюционные годы были у нас, - а за рубежом, вероятно, и теперь ещё находятся, - предприниматели, которые прибегают к добровольно оригинальному способу сбывать свой товар, обычно посредственного качества.

велосипед за 10 рублей! каждый может приобрести в собственность велосипед,          затратив только 10 рублей. пользуйтесь редким случаем.                    ВМЕСТО 50 РУБЛЕЙ – 10 РУБЛЕЙ. условия покупки высылаются бесплатно.

Начинали с того, что в распространённых газетах и журналах печатали рекламу такого содержания:

Немало людей, конечно, соблазнялись заманчивым объявлением и просили прислать условия необычайно покупки. В ответ на запрос они получали подробный проспект, из которого узнавали следующее.

За 10 рублей высылался  не сам велосипед, а только 4 билета, которые надо было сбыть по 10 рублей своим 4 – м знакомым. Собранные таким образом 40 рублей следовало отправить фирме, и тогда лишь прибывал велосипед; значит, он обходился покупателю действительно всего за 10 рублей, остальные 40 рублей уплачивались ведь не из его кармана. Правда, кроме уплаты 10 рублей наличными деньгами, приобретающий велосипед имел некоторые хлопоты по продаже билетов среди знакомых, - но этот маленький труд в счет не шел.

Что же это были за билеты? Какие блага приобретал их покупатель за 10 рублей? Он получал право обменять их у фирмы на 5 таких же билетов; другими словами, он приобретал  возможность собрать 50 рублей для покупки велосипеда, который ему обходился, следовательно, только в 10 рублей, т. е. в стоимость билета. Новые обладатели билетов в свою очередь получали от фирмы по 5 билетов для дальнейшего распространения, и т. д.

На первый взгляд во всём этом не было обмана.

Обещание рекламного объявления  исполнялось: велосипед, в самом деле, обходился покупателям всего лишь в 10 рублей. Да и фирма не оказалась в убытке, - она получала за свой товар полную его стоимость.

А между тем вся затея – несомненное мошенничество.«Лавина», как называли эту афёру у нас, или «снежный ком», как величали её французы, вовлекла в убыток тех многочисленных её участников, которым не удавалось сбыть дальше купленные ими билеты. Они – то и уплачивали фирме разницу между 50-рублёвой стоимостью велосипедов и 10-рублёвой платой за них.

Рано ли, поздно ли, но неизбежно наступал момент, когда держатели билетов не могли найти охотников их приобрести. Что так должно непременно случиться, вы поймёте, дав себе, труд проследить с карандашом в руке за тем, как стремительно вырастает число людей, вовлекаемых в лавину.

Первая группа покупателей, получившая свои билеты прямо от фирмы, находят покупателей обычно без особого труда; каждый член этой группы снабжает билетами 4 – х  новых участников.

Эти ЧЕТВЕРО должны сбыть свои билеты 4х5, т.е. 20 другим, убедив их в выгодности такой покупки. Допустим, что это удалось, и 20 покупателей завербовано.

Лавина движется дальше: 20 новых обладателей билетов должны наделить ими 20х5=100 других.

До сих пор каждый из «родоначальников» лавины втянул в неё               

                                                  1+4+20+100=125 человек,

из которых 25 имеют по велосипеду, а 100 – только надежду его получить, уплатив за эту надежду по 10 рублей.

Теперь лавина выходит уже из тесного круга знакомых между собою людей и начинает растекаться по городу, где ей становится, однако, все труднее и труднее отыскивать свежий материал. Сотня последних обладателей билетов должна снабдить такими же билетами 500 граждан, которым в свою очередь придётся завербовать 2500 новых жертв. Город быстро наводняется билетами, и отыскивать охотников приобрести их становится весьма нелегким делом.

Вы видите, что число людей, втянутых в лавину, растёт по тому же самому закону, с которым мы встретились, когда беседовали о распространении слухов.

Вот числовая пирамида, которая в этом случае получается:

1

4

20

100

500

2500

12500

62500

Если город велик, и все его население, способное сидеть на велосипеде, составляет  62½  тысячи, то в рассматриваемый момент, т.е. на 8 «туре», лавина должна иссякнуть. Все оказались втянутые в неё. Но обладает велосипедами только пятая часть, у остальных же имеются на руках билеты, которые некому сбыть.

Для города с более многочисленным населением, даже для современного столичного центра, насчитывающего миллион жителей, момент насыщения наступит всего несколькими турами позднее, потому что числа лавины растут с неимоверной быстротой.

Вот следующие ярусы нашей числовой пирамиды:

312500

1 562500

7 812500

39 062500

На 12-туре лавина, как видите, могла бы втянуть в себя население целого государства. И 4/5 этого населения будет обмануто устроителями лавины.

Подведем итог тому, чего собственно достигает фирма устройством лавины. Она принуждает 4/5 населения оплачивать товар, приобретаемый остальною 1/5 частью населения; иными словами – заставляет 4 – х граждан облагодетельствовать 5-го.

Совершенно безвозмездно приобретает фирма, кроме того, многочисленный штат усердный  распространителей её товара.

Правильно охарактеризовал эту афёру один из наших писателей, как «лавину взаимного объегоривания».

Числовой великан, невидимо скрывающийся за этой затеей, наказывает тех, кто не умеет воспользоваться арифметическим расчетом для ограждения собственных интересов от посягательства  аферистов.

Рассказ – задача.

БЫСТРОЕ РАЗМНОЖЕНИЕ

Спелая маковая головка полна крошечных маленьких зёрнышек: из каждого может вырасти целое растение. Сколько же получится маков, если зёрнышки все до единого прорастут? Чтобы узнать это, надо сосчитать зёрнышки в целой головке. Скучное занятие, но результат так интересен, что стоит запастись терпением и довести счет до конца.

Оказывается, одна головка мака содержит (круглым числом) 3000 зёрнышек.

Что отсюда следует?

То, что вокруг нашего макового растения достаточная площадь подходящей земли, каждое упавшее зёрнышко дало бы росток, и будущим летом выросло бы уже 3000 маков.

Целое маковое поле от одной головки!

Посмотрим же, что будет дальше.

Каждое из 3000 растений принесёт не менее одной головки (чаще же несколько), содержащей 3000 зёрен. Проросши,  семена каждой головки дадут 3000 новых растений, и, следовательно, на второй год  у нас будет уже не менее

3000 х 3000 = 9 000 000 растений.

Легко рассчитать, что на третий год число потомков нашего единственного мака будет уже достигать

9 000 000 х 3000 = 27 000 000 000.

А на четвёртый год

27 000 000 000 х 3000 = 81 000 000 000 000.

На пятом году макам станет тесно на земном шаре, потому что число растений сделается равным

81 000 000 000 000 х 3000 = 243 000 000 000 000 000.

Поверхность же всей суши, т.е. всех материков и островов земного шара, составляет только 135 миллионов квадратных километров, - 135 000 000 000 000 кв. м.- примерно в 2000 раз менее, чем выросло бы экземпляров мака.

Вы видите, что если бы все зёрнышки мака прорастали, потомство одного растения могло бы уже в пять лет покрыть сплошь всю сушу земного шара густой зарослью по две тысячи растений на каждом квадратном метре.

 Вот какой числовой великан скрывается в крошечном маковом зернышке!

Помимо растений на земле много различных насекомых. Рассмотрим на примере, как быстро размножается известная комнатная муха.

Пусть каждая муха откладывает 120 яичек и пусть в течение лета успевает появиться 7 поколений мух, половина которых – самки.

За начало первой кладки примем, 15 апреля и будем считать, что муха-самка в 20 дней вырастает настолько, что сама откладывает яйца. Тогда размножение будет происходить так:

15 апреля – самка отложила 120 яиц;

в начале мая – вышло 120 мух, из них 60 самок.

5 мая – каждая самка кладёт 120 яиц; в середине мая – выходит 60х120=7200 мух,  из них 3600 самок;

25 мая – каждая из 3600 самок кладёт по 120 яиц; в начале июня – выходит 3600 х 120 =  432 000 мух, из них 216 000 самок;

14 июня – каждая из 216 000 самок кладет по 120 яиц; в конце июня  - выходит 25 920 000 мух, их них 12 960 000 самок;

5 июля – 12 960 000 самок кладут по 120 яиц; в июле – выходит 1 555 200 000 мух, среди них 777 600 000 самок;

13 августа – выходит 5 598 720 000 000 мух, среди них 2 799 360 000 000 самок;

1 сентября – выходит 355 923 200 000 000 мух.

Чтобы яснее представить себе эту огромную массу мух, которые при беспрепятственном размножении могли бы в течении одного лета народиться от одной пары, вообразим, что они выстроены в прямую линию, одна около другой. Так как длина мухи 5 мм, то все эти мухи вытянулись бы на 2500 млн. км – в 18 раз больше, чем расстояние от Земли до Солнца (т.е. примерно, как от Земли до далёкой планеты Уран).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Нет надобности присваивать исключительные положения, чтобы встретиться с числовыми великанами. Они присутствуют всюду вокруг и даже внутри нас самих – надо лишь уметь рассмотреть их. Небо над головой, песок под ногами, воздух вокруг нас, кровь в нашем теле – все скрывает в себе невидимых великанов из мира чисел. Песок, попираемый нами, также вводит нас в мир числовых исполинов. Недаром сложилось издавна выражение: «бесчисленны, как песок морской». Впрочем, древние недооценивали многочисленность песка, считая её одинаковой с многочисленностью звезд. В старину не было телескопов, а простым глазом мы видим на небе всего около 3500 звезд (в одном полушарии). Песок на морском берегу в миллионы раз многочисленнее, чем звезды, доступные невооруженному зрению.

·         В результате работы с задачами я узнала, как из обычного (маленького - простого) числа «вырастает»  число-Великан.

·         По ходу рассмотрения задачи научилась логически мыслить, и считать удобными для нас вариантами.

·         С решением задач о «Числах-Великанах», расширила познавательный кругозор, т.к. это не обычные задачи с одними цифрами, а очень интересные познавательные рассказы.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

·         Я. И. Перельман «Живая математика», «Занимательная арифметика»

·         Математические рассказы и головоломки, Триада – Литера, Москва, 1994 год

·        Internet ресурсы