Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Проект на тему "Математика на шахматной доске"

Проект на тему "Математика на шахматной доске"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:



Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Лицей №21»













Творческий проект

«Математика

на шахматной доске»










Выполнили: ученики 7 «А» класса

Филинков М.Н.

Пещерских А.В

Руководитель: учитель математики

Кротова И.Л.











Первоуральск, 2014

Содержание.



1. Введение

2. Математика шахматной доски

3. Симметрия

4. Система координат

5. Чётность,  нечётность

6. Геометрия шахматной доски

7. Шахматы и магические квадраты

8. Задачи шахматные и математические

9. Математики-шахматисты


10. Вывод

11. Список литературы (источники-информации)




























1. Введение

 Цель: проследить связь между шахматами и математикой.

Цель нашей работы – найти и разобрать связь между шахматами и математикой, воспользоваться этой связью при решении математических задач.                                                              

Задачи:

- познакомиться с историей шахмат

- узнать что такое шахматные закономерности

- исследовать связь математики и шахмат

- рассмотреть математические решения задач, связанных с шахматной доской

- рассмотреть математические решения задач, связанных с шахматными фигурами.

       Мы заинтересовалась этой темой потому, что нам нравится играть в шахматы,  а так же предмет математика. Эта игра привлекает нас тем, что для победы необходимо логически мыслить, просчитывать комбинации на несколько ходов вперед и быть предельно внимательным. Также мы заметили, что и в науке математике не обойтись без логики и точного расчета. А взаимосвязаны ли игра и наука, шахматы и математика? Если связаны, то как? И есть ли в игре что-то от науки, а в науке от игры? На эти вопросы мы и попытаемся ответить в своей работе.

        Таким образом, целью работы будет являться выявление закономерностей и связей между шахматами и математикой.

        На основании изложенного выше, выдвинем гипотезу: предположим, что между математикой и шахматами есть взаимосвязь.

        Исходя из цели и гипотезы, необходимо определить задачи работы:

  1. Составить вопросы и провести опрос среди знакомых о связи математики и шахмат.

  1. Изучить научную литературу по данному вопросу.

  2. Найти связь между шахматами и математикой.

  3. Разобрать на примерах, в чем заключается эта связь.  

  4. Сделать вывод


Анкетирование

                Для более эффективной работы мы решили узнать у знакомых, играют ли они в шахматы, как относятся к математике и как они считают, если ли связь математики и шахмат, для чего разработали вопросы анкеты и провели опрос среди своих знакомых.

Анкета-опрос:


Насколько ты знаком с игрой в шахматы?


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

только слышал об этой игре

 

V

V

 

 

 

 

 

 

V

 

знаю ходы некоторых фигур

 

 

 

V

 

 

 

V

V

 

V

уверенно играю с друзьями

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

участвую в шахматных турнирах

 

 

 

 

V

V

V

 

 

 

 













Любишь ли ты математику?













да

V

 

V

V

V

V

 

 

 

V

 

не очень

 

V

 

 

 

 

V

 

V

 

 

нет

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

V













Как ты думаешь, связана ли игра в шахматы с наукой математикой?













да

V

 

V

V

V

V

V

V

V

V

V

нет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

затрудняюсь ответить

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 


На основании анкетирования видно, что несмотря на разное отношение к игре в шахматы и предмет математике, почти все участники считают, что связь между математикой и шахматами – существует.


Шахматная доска – объект нашего исследования. Предмет исследования – математические задачи, связанные с шахматной доской и шахматными фигурами.

2. Математика шахматной доски

В математических задачах и головоломках на шахматной доске дело, как правило, не обходится без участия фигур. Однако доска сама по себе также представляет достаточно интересный математический объект.

hello_html_7ee91a27.pnghello_html_m290e395.jpg Рис.1


Поэтому рассказ о шахматной математике мы начнем с задач о шахматной доске.

Существует одна старинная легенда, связанная с арифметическим расчетом на шахматной доске. Согласно легенде: когда персидский шах впервые познакомился с шахматами, он был восхищен их своеобразием и обилием красивых комбинаций. Узнав, что мудрец, который изобрел игру, является его подданным, шах  позвал его, чтобы лично наградить за гениальную выдумку. Властелин пообещал  выполнить любую просьбу мудреца,  и был удивлен его скромностью, когда тот пожелал получить в награду пшеничные зерна. На первое поле шахматной доски  мудрец попросил положить одно зерно, на второе – два, и т. д., на каждое последующее вдвое больше зерен, чем на предыдущее. Шах  приказал быстрее выдать изобретателю шахмат его ничтожную награду. Однако на следующий день придворные математики сообщили своему повелителю, что не в состоянии исполнить желание хитроумного мудреца. Оказалось, что для этого не хватит пшеницы, хранящейся не только в амбарах всего царства, но и во всех амбарах мира.

Каково же было удивление шаха, когда он узнал, что такую, казалось бы, скромную просьбу невозможно выполнить. Действительно, число зёрен, о которых идёт речь, является суммой шестидесяти четырёх членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 2. Таким образом, изобретатель потребовал 1+2+22+...+263=264—1 зерен. Это число записывается двадцатью цифрами, является фантастически большим: 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 073 миллиарда 709 миллионов 551 тысячу 615 зерен.

Для выполнения этой скромной просьбы мудреца потребовалось бы 280 000 лет подряд собирать весь выращенный урожай в Индии или же в течение 8 лет засеивать и собирать зерно со всей поверхности Земли. А если построить амбар высотой четыре и шириной десять метров, то он был бы длиной в 300 000 000 километров.

Конечно, связь с математикой здесь несколько условна, однако неожиданная развязка истории наглядно иллюстрирует грандиозные математические возможности, скрывающиеся в шахматной игре. Достаточно одного взгляда на шахматную доску, чтобы понять, что между этой игрой и математикой есть много общего: в первую очередь, это геометрия, симметрия и координаты.

Среди математических задач и головоломок о шахматной доске наиболее популярны задачи на разрезание доски. Первая из них также связана с легендой.

hello_html_m2713783d.jpgЗадача 1. Один восточный властелин был таким искусным игроком, что за всю жизнь потерпел всего четыре поражения. В честь своих победителей, четырех мудрецов, он приказал вставить в его шахматную доску четыре алмаза — на те поля, на которых был заматован его король (см. рис. 2, где вместо алмазов изображены кони). После смерти властелина его сын, слабый игрок и жестокий деспот, решил отомстить мудрецам, обыгравшим его отца. Он велел разделить им шахматную доску с алмазами на четыре одинаковые по форме части так, чтобы каждая заключала в себе по одному алмазу. Хотя мудрецы выполнили требование нового властелина, он все равно лишил их жизни.


Задача 2. На какое максимальное число разных частей можно разрезать шахматную доску, если считать разными части, отличающиеся своей формой или цветом полей при совмещении. Переворачивать части не разрешается.

Мhello_html_5cca626.jpgаксимальное число частей равно 18. На рис. 3 представлены два вида разрезов.

hello_html_m304d36f2.jpg Рис.4. Семь прямых пересекающих все поля доски

Особенность решения на рис. 3а состоит в том, что одна из частей содержит восемь полей (максимум). В решении на рис. 3б, отличающемся внешней симметрией, ни одна часть не содержит более пяти полей. На рис. 3а части 17 и 18, или 8 и 9, хотя и имеют одинаковую форму, отличаются цветом полей при совмещении. Другие части, например, 3 и 6, вообще не могут быть совмещены (переворачивать их нельзя).


Задача 3. Сколько нужно провести разрезов на доске, чтобы пересечь все ее поля? Разумеется, восьми разрезов вполне достаточно — по одному вдоль каждой вертикали или каждой горизонтали. Однако, оказывается, что и семь прямых могут пересечь все 64 поля доски. Для этого одну прямую нужно провести почти в диагональном направлении через центр доски, а шесть других — в направлениях почти параллельных второй диагонали доски (рис. 4).


hello_html_mdc7529e.jpg Рис.5 Парадокс с разрезанием доски Тему, связанную с разрезанием доски, закончим следующим известным парадоксом. Разрежем доску на четыре части, как показано на рис. 5а, и составим из них прямоугольник (рис. 5б). Площадь шахматной доски, очевидно, равна 64, а площадь полученного прямоугольника — 65. Таким образом, при разрезании доски откуда-то взялось лишнее поле! Разгадка парадокса состоит в том, что наши чертежи выполнены не совсем точно. Если делать чертеж аккуратно, то вместо диагонали прямоугольника на рис. 5б появится ромбовидная, чуть вытянутая фигура со сторонами, которые кажутся почти слившимися. Площадь этой фигуры как раз и дает одно «лишнее» поле.

Задача 4. Разрежьте изображённую на рисунке 6а, доску на 4 одинаковые части, чтобы каждая из них содержала 3 заштрихованные клетки.





































hello_html_m1fcd11e0.png

Рис.6а Рис.6б Решение

Мой пример решения этой задачи.

3.Симметрия

Симметрия бывает различных типов; наиболее распространены — осевая и центральная.

         Симметрия относительно точки – центральная симметрия

Пусть F – данная фигура и О – фиксированная точка плоскости. Преобразование фигуры F в фигуру F1, при котором ее каждая точка Х переходит в точку Х1, симметричную относительно данной точки О, называют преобразованием симметрии относительно точки О (Рис. 7).

    Рис. 7. Симметрия относительно точки

hello_html_7ee91a27.pnghello_html_m8c037a1.pnghello_html_m8c037a1.pngLine 38

Симметрия относительно прямой – осевая симметрия

Преобразование фигуры F в F1, при котором каждая точка Х  переходит в точку Х1, симметричную относительно прямой g, называется преобразованием симметрии относительно прямой g. При этом фигуры F и F1 называются симметричными относительно прямой g (Рис. 8).

hello_html_2f8cff1e.jpg

Рис. 8. Симметрия относительно прямой

hello_html_m4d0fe86b.jpg Одной из закономерностей шахмат является симметрия.

Шахматная доска – это квадрат, разбитый на 64 квадрата, а любой квадрат имеет 4 оси симметрии, значит, шахматная доска тоже имеет 4 оси симметрии.

Горизонтальная ось и вертикальная разбивают нашу шахматную доску на симметрические фигуры, только квадратики будут иметь разную окраску. Оси, проходящие через диагонали шахматной доски, разбивают ее на симметричные фигуры с одинаковой окраской.

Все эти оси пересекаются в одной точки, а это точка называется центром симметрии.

При игре в шахматы мы видим, что некоторые необычные шахматные партии и позиции, связанны с симметрией.

Известна такая забавная история. Некто  явился в шахматный клуб и объявил,  что нашел верный способ не проигрывать черными. «Каким образом?» — спросили его.  «Очень просто, — ответил гость, — повторяя ходы противника!» Сыграть с наивным изобретателем вызвался  С.Ллойд, который и объявил ему мат в 4 хода. 

Сhello_html_65be6ebb.jpgэмюэль Лойд (30 января 1841 - 10 апреля 1911), американский шахматист, шахматный композитор, автор множества головоломок. Родился в Филадельфии, вырос в Нью-Йорке. Является автором ряда шахматных задач, часто с интересными темами. На пике карьеры Лойд был одним из лучших шахматистов в США, и занимал 15 место в мире, в то время. hello_html_m4bfecaa7.jpg


ВОТ ОН - ЗНАМЕНИТЫЙ МАТ С. ЛЛОЙДА!

Не ясно, как С.Ллойд это сделал. Мы сможем поставить мат за 6 ходов при полной симметрии фигур.

1)  с2-с3                                  с7-с6

2)  е2-е3                                  е7-е6

3)  Кg1-е2                               Кg8-е7

4)  Кb1-с3                               Кb8с6

5)  Кс3-е4                               Кс6-е5

6)  Ке4-d6х

Разнообразные мотивы симметрии встречаются и на шахматной доске. С одной стороны, речь может идти о симметрии естественной, т. е. возникающей в процессе шахматной партии, а с другой стороны, — используемой в шахматных задачах и этюдах.

hello_html_m4014a94b.pnghello_html_m704ab2ba.png

На шахматной доске при осевой симметрии осью служит прямая, разделяющая левый и правый фланги доски (граница между вертикалями «d» и «е») или нижнюю и верхнюю части (граница между четвертой и пятой горизонталями). Если, скажем, белый конь стоит на с2, а черный на с7 (Рис.9), то мы говорим, что эти кони расположены  симметрично. Осями являются и большие диагонали.

Симметрией обладает исходное расположение шахматных фигур.

hello_html_m6d85e023.jpg hello_html_m290e395.jpg

Рис. 9. Симметричное расположение

коней на шахматной доске

                                                 4. Система координат

Система координат – это описание того, где расположен тот или иной объект (предмет, место).

В речи взрослых мы можем слышать такую фразу: «Оставьте мне свои координаты». Это выражение означает, что собеседник должен оставить свой адрес или номер телефона, которые и считаются в этом случае координатами человека и по этим данным его можно найти.

Именно в этом и состоит суть координат или как обычно говорят системы координат – правило по которому определяется положение того или иного объекта.

Системы координат пронизывают всю практическую жизнь человека. Кроме почтовых адресов и номеров телефонов, мы знакомы с системой координат в зрительном зале кинотеатра (номер ряда и номер места), в поезде (номер вагона и номер места), с системой географических координат (долгота и широта) и т.п.

В математике на плоскости ведена система координат, если указан способ, позволяющий однозначно устанавливать положение всех точек плоскости с помощью чисел.

Такая система называется прямоугольной системой координат. Она определяется двумя взаимно - перпендикулярными прямыми Оx и Оy на которых выбраны положительные направления (указываемые стрелками) и масштаб для измерения длин.

Более чем за 100 лет до н.э. греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести хорошо теперь известные географические координаты: широту и долготу – и обозначить их числами.

В ХIVв. Французский математик Н. Оресм ввел, по аналогии с географическими, координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой.

Это нововведение оказалось чрезвычайно продуктивным. На его основе возник метод координат, связавший геометрию с алгеброй. Основная заслуга в создании метода координат принадлежит французскому математику Р. Декарту.

Декартовая система координат на плоскости (Рис.10) задается взаимно перпендикулярными координатными прямыми с общим началом в точке О и одинаковым масштабом. Точка О называется началом координат. Горизонтальная прямая называется осью абсцисс или осью х, вертикальная – осью ординат или осью у. Координатную плоскость обозначают хОу. Координаты точки обычно указывают в скобках рядом с обозначением точки: Р(х;у)

hello_html_m3a778aba.jpg (Рис. 10. Декартова система координат

На шахматной доске тоже есть координаты. При профессиональной игре, обычно, ведут записи (обозначение фигур и координаты этих фигур).

На рисунке 11 мы видим, некий алгоритм определения координат чёрного короля.

hello_html_m6f0f8f47.jpg

Рис.11. Определение координат шахматных фигур

Система координат используется и в шахматах. Горизонтали (Ох) на шахматной доске обозначаются латинскими буквами, а вертикали (Оу) – цифрами

                                                  5. Четность и нечетность

Число – одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения.  Со временем люди научились не только называть числа, но и обозначать их цифрами (условные знаки для обозначения чисел).

Цифры 2, 4, 6, 8 называются четными,  а цифры 1, 3, 5, 7, 9  нечетными. Из признака делимости на 2 следует, что натуральные числа, которые делятся на 2, называются четными, остальные – нечетными.

На шахматной доске так же есть  чётность и нечётность. Тут они связаны с номером хода.

При каждом ходе король меняет четность хода. Например, первый ход – нечётный, второй – чётный и т.д. (Рис.12) Одновременно с этим король меняет цвет клетки, на которой он стоит.

hello_html_m34fb6ebe.jpg

Рис. 12. Четность и нечетность на шахматной доске

Чётность, нечётность на шахматной доске ещё раз подтверждают прямое отношение шахмат к математике.

6. Геометрия шахматной доски

Можно сказать, что ничего удивительного и интересного здесь нет. Можно подумать,  что при виде шахматной доски мы сразу вспоминаем геометрию (из – за геометрической формы доски). Это, безусловно, так, но геометрическая форма ещё не всё.

Дело в том, что при игре в шахматы, как и в любой другой науке, есть свои определённые правила. И существует такое правило, как правило, квадрата.

Квадратом называется прямоугольник,  у которого все стороны равны.   При этой композиции (Рис.13) неопытные шахматисты рассуждают так: пешка идет сюда, король туда, пешка сюда, король туда и т.д. и при этом они часто путаются и, в конце концов, просчитываются.

hello_html_m726b443b.jpg





Рис. 13. Правило квадрата

Однако исход партии легко оценить при помощи «правила квадрата».

Достаточно выяснить, может ли король при своем ходе попасть в квадрат пешки. Итак,  в нашей композиции черные при ходе делают ничью (попадают в квадрат), а при ходе противника проигрывают.

7. Шахматы и магические квадраты

Существует гипотеза о том, что шахматы произошли из так называемых магических квадратов.

Магический квадрат представляет собой квадратную таблицу nхn, заполненную целыми числами и обладающую следующим свойством: сумма чисел каждой строки, каждого столбца, а также двух главных диагоналей одна и та же. Для магических квадратов порядка 8 она равна 260 (рис. 14). Закономерность расположения чисел в магических квадратах придает им волшебную силу искусства.

hello_html_51b0ab3d.jpg Рис. 14. Альмуджаннах и магический квадрат.

Рассмотрим одну из старинных дебютных табий (начальных расположений фигур) под названием альмуджаннах. Она получается из современной расстановки при помощи следующих симметричных ходов белых и черных: 1. d3 d6 2. e3 e6 3. b3 b6 4. g3 g6 5. c3 c6 6. f3 f6 7. c4 c5 8. f4 f5 9. Кc3 Кc6 10. Кf3 Кf6 11. Лb1 Лb8 12. Лg1 Лg8 (рис. 9).

Подсчитав сумму чисел, стоящих на восьми полях — d2, d3, e2, e3, d6, d7, e6, e7, участвующих в первые двух ходах, мы неожиданно получим магическое числе 260. Тот же результат даст и каждая последующая пара приведенных ходов. Подобные примеры и позволяют высказать гипотезу о связи магических квадратов с шахматами.

8. Задачи шахматные и математические

Математические задачи на шахматной доске. Шахматная доска с расположенными на ней фигурами и ходы фигур послужили удобной моделью, породившей ряд математических задач, в том числе и таких, которыми занимались известные математики. Рассмотрим некоторые из них.


  • Задачи на четность, нечётность

  1. Конь вышел на поле А8 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал чётное число ходов.

hello_html_m3954dc40.jpg

Рис. 15. Решение задачи 1

Решение:  Вы, наверное, заметили, что, делая каждый ход, конь меняет цвет клетки (Рис. 15), на которой он стоит. Следовательно: каждый нечетный ход конь будет вставать на чёрную клетку. Исходя из этого и зная то, что конь должен вернуться на клетку  А8, белого цвета, мы можем сказать, что он вернется через четное число ходов.

  1. Может ли конь пройти с поля a8  на поле h(1), побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз? Ответ: нет

  hello_html_5e91b56b.jpg

Рис. 16. Решение задачи 2

Решение: Как и в предыдущем задании при каждом ходе конь меняет цвет клетки, на которой он стоит (Рис. 16). Следовательно, на доске 63 хода (нечетное число), а8 – белая клетка, при 63 ходе конь будет на чёрной клетке, а клетка h1белая.

3.Может ли конь с поля a1 добраться до h8, побывав на каждом поле доски ровно один раз?

Ответ. Не может. Исходное поле a1 — черное, и, значит, на каждом нечетном ходу конь попадает на белое поле. Однако число 63 (именно на 63-м ходу конь прибывает в противоположный угол доски) нечетно, а поле h8—черное.

hello_html_m8913da1.png

* Задача на расстановку фигур

4.Расставьте на обычной шахматной доске тpи феpзя и две ладьи одного цвета так, чтобы все остальные поля доски оказались под боем.

Решений этой задачи достаточно много, одно из них приведено на рисунке 17

hello_html_m31a71751.jpg Рис.17

  * Мат в центpе доски

5. Hа доске стоит белый коpоль (поле A1), и чеpный коpоль (поле D4) (Рис. 18). Добавьте две белые ладьи и белого коня так, чтобы чеpный коpоль оказался заматован.

hello_html_m421e2971.jpg hello_html_63ddaa8d.jpg

Рис. 18.  Условие задачи 5 Рис. 19.  Решение задачи 5 (Это знаменитый мат С.Ллойда)

Решение этой задачи приведено на рисунке 19.                                                                           

  • Математика шахматных фигур

hello_html_m6752c532.jpghello_html_24c30149.jpgРассмотрим задачи, связанные с шахматными фигурами. Задача 6. Требуется обойти ходом коня все клетки шахматной доски, побывав на каждой из них только один раз. Ею занимались многие крупные математики, в том числе Леонард Эйлер (1707 – 1783), посвятивший ей большой труд. Хотя задача была известна и до Эйлера, лишь он впервые обратил внимание на её математическую сущность. Значительно труднее проблема, состоящая не в отыскании определенного маршрута коня по доске, а в нахождении всех маршрутов и подсчете их числа. Увы, эта задача не решена до сих пор, и шансов на успех немного. Известно, правда, что число решений не превосходит число сочетаний из 168 элементов по 63 (оно состоит из ста цифр), но больше 30 миллионов. Обычно при решении задачи об обходе конём клеток шахматной доски ограничиваются рассмотрением маршрутов, обладающих необычной симметрией или (если клетки доски перенумерованы в порядке обхода) порождающих матрицу с зhello_html_m581827c2.jpgамечательными арифметическими свойствами. Известно много методов для нахождения маршрутов коня, которые носят имя первооткрывателей. Например, замкнутый маршрут на рис. 9 – одно из многочисленных решений задачи, найденных в 1759 г. Эйлером, - сначала пролегает по верхней половине доски и лишь затем переходит на её нижнюю половину. Решение Эйлера обладает ещё одной особенностью: разность между любыми двумя числами, расположенными симметрично относительно центра доски (на прямой, проходящей через него), всегда равна 32. На рис. 10 изображен открытый маршрут, следуя которым конь также обходит все клетки шахматной доски. Это решение задачи было опубликовано в 1848 г. Вильямом Беверли. Маршрут Беверли был первым из «полумагических» маршрутов: сумма чисел, стоящих в любой «строке» и в любом «столбце», равна 260. Стать «магическим» ему мешает то обстоятельство, что сумма чисел, стоящих на главных диагоналях, отлична от 260. Если шахматную доску с маршрутом Беверли разрезать на четыре доски 4X4 (вдоль жирных линий, показанных на рис. 10), то каждая из «четвертушек» вновь будет полумагическим квадратом (с константой, одинаковой для всех четырех квадратов и равной 130). Если каждый из квадратов 4X4 в свою очередь «четвертовать», то сумма чисел, стоящих в клетках любого из квадратов 2X2, также будет равна 130.

hello_html_550b3cbe.jpg

Задача о восьми ферзях, как и задача о ходе коня, является одной из самых знаменитых математических задач на шахматной доске. Если задачей о коне занимался Леонард Эйлер, то задача о ферзях привлекла внимание другого великого математика - Карла Гаусса (1777 – 1855).

Задача 7. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске восемь ферзей так, чтобы они не угрожали друг другу, т. е. никакие два не стояли на одной вертикали, горизонтали и диагонали?

Найти ту или иную расстановку ферзей, удовлетворяющую условию задачи, не так трудно (четыре решения приведены на рис. 20). Значительно труднее подсчитать общее число существующих расстановок; собственно, в этом и состоит задача о восьми ферзях. Ясно, что как и в случае ладей, больше восьми не атакующих друг друга ферзей на шахматной доске расставить невозможно. И, соответственно, на доске n×n необходимым образом нельзя расставить более n ферзей (в общем виде задача будет рассмотрена несколько ниже).

hello_html_m39048fa2.jpg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Рис. 20. Восемь ферзей, не угрожающих двуг другу на шахматной доске
 

Любопытно, что многие авторы ошибочно приписывают задачу о восьми ферзях и ее решение самому Гауссу. На самом деле первым ее сформулировал в 1848 г. немецкий шахматист М. Беццель. Доктор Ф. Наук (слепой от рождения) нашел 60 решений и опубликовал их в газете «Illustrierte Zeitung» от 1 июня 1850 г. Лишь после этого Гаусс увлекся задачей и нашел 72 решения, которые сообщил в письме к своему другу астроному Шумахеру от 2 сентября 1850 г. Полный же набор решений, состоящий из 92 позиций, получил все тот же Ф. Наук (он привел их в упомянутой газете от 21 сентября 1850 г.). Эта хронология установлена известным немецким исследователем математических развлечений В. Аренсом, который в своих книгах немало места уделил рассматриваемой задаче.

Доказательство того, что 92 решения исчерпывают все возможности, было получено лишь в 1874 г. английским математиком Д. Глэшером (при помощи теории определителей).

Задача может быть обобщена и на произвольные квадратные доски размером n×n. На всех досках при n>3 можно расставить n ферзей, которые не угрожают друг другу. Аналогично и для других фигур (ладей, слонов, коней, королей) можно поставить задачу о их максимальном числе, которое можно расставить на доске определённой размерности, когда они не угрожают друг другу. Ладей таким образом на обычной доске можно разместить 8 (что очевидно). Легко доказывается, что коней размещается 32 - на полях одного цвета, слонов - 14. Королей можно разместить 16. Эти задачи называются задачами о независимости шахматных фигур.

Задачи, в которых ищется минимальное число фигур, держащих под боем все поля доски и все их позиции, называются задачами о доминировании шахматных фигур.

Задача 8. Какое максимальное количество королей можно расставить на одной доске так, чтобы они не угрожали друг другу, т.е. не стояли рядом?

hello_html_m4a1e973.jpg

Рис. 21. Шестнадцать независимых королей на шахматной доске


Задача 9. За какое минимальное число ходов два ферзя могут заматовать одинокого короля противника на доске n×n? Тот же вопрос - для бесконечной шахматной доски.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Рис. 22. На любой прямоугольной доске два ферзя
матуют неприятельского короля не позднее четвертого хода
 

Оказывается, каковы бы ни были размеры доски, мат дается не позднее четвертого хода! Первым ходом один из ферзей дает шах по вертикали, в ответ на что неприятельский король отходит на одну из соседних вертикалей. Вторым ходом другой ферзь (с помощью первого) зажимает короля на двух вертикалях. При этом возникает позиция, как на рис. 22 (мы считаем сейчас, что обычная шахматная доска является как бы фрагментом бесконечной). Теперь на любой ход короля следует соответствующий горизонтальный шах, например на
2. ... Крd4-c4
3. Фc1-c4+
, и мат следующим ходом:
3. ... Крe4-e5 (e3)
4. Фf8-f4
мат.

Черный король мог быть аналогично «схвачен» и по горизонталям. Ясно, что приведенное решение годится для произвольной доски n×n (при n < 8 оно еще короче), для прямоугольных досок и для бесконечной; при этом начальное расположение белых ферзей несущественно.


9.   Математики - шахматисты

hello_html_51dfeb8e.jpgГодфри Харолд Харди - английский математик, известный своими работами в теории чисел и математическом анализе, утверждал, что у математики и шахмат много общего. Он заметил, что решение проблем шахматной игры есть не что иное, как математическое упражнение, а игра в шахматы - это как бы насвистывание математических мелодий.


Формы мышления математика и шахматиста довольно близки, а математические способности нередко сочетаются с шахматными. Среди крупных ученых известно немало сильных шахматистов: математик академик А. А. Марков, физик академик П. Л. Капица.

hello_html_47e9a367.jpghello_html_m13022a13.jpg

А.А. Марков П.Л.Капица

hello_html_m7f13d77e.jpghello_html_me2bd448.jpghello_html_7775082c.jpg

В. Стейниц Эм. Ласкер М. Ботвинник

Многие гроссмейстеры имеют математическое или близкое к нему образование.

Интересовался математикой первый шахматный король В. Стейниц.

Профессиональным математиком был его преемник доктор Эм. Ласкер.

Первый советский чемпион мира М. Ботвинник в последние годы все силы отдал

разработке алгоритма игры в шахматы, переквалифицировался в математика-

прикладника.

hello_html_1ba46802.jpg

Махгилис (Макс) Эйве (20 мая 190  — 26 ноября 1981) — нидерландский шахматист и математик, пятый чемпион мира по шахматам (1935—1937), международный гроссмейстер (1950). Эйве оставался одним из сильнейших шахматистов мира до конца 1940-х годов, а по окончании карьеры на высшем уровне занялся исследованиями в области информатики.






10.Вывод

Шахматы - одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и неудивительно, что с нею связаны различные предания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить.

Выполняя данную работу, мы познакомились с историей шахмат. Научились решать многие интересные и занимательные задачи.

Поэтому мы считаем, что связь между шахматами и математикой – существует.

Шахматы справедливо считают единственной игрой из всех, придуманных человеком, в которой сочетаются спорт, искусство и наука. Почему шахматы привлекательны для людей разных возрастов и профессий? Потому что, играя в шахматы, мы приобретаем много полезных качеств, тренируем память, учимся упорству, находчивости, развиваем фантазию. Занятие шахматами способствует развитию математических способностей человека. Шахматы – это и вид интеллектуальной борьбы, и соревнование, а любое соревнование совершенствует сильные черты личности.

Под словом «игра» понимается не только забава, отдых или спорт, но, что гораздо важнее, возможность создать на шахматной доске необычное, фантастическое – в этом шахматы близки к искусству. Но к шахматам можно относиться и как к науке со своими законами, принципами. Шахматы содержат в себе элементы научного исследования – именно такой подход свойствен многим выдающимся шахматистам. Задачи, связанные с шахматной теорией, широко применяются в математике.

В ходе работы мы исследовали связь математики и шахмат, рассмотрели математические решения задач, связанных с шахматной доской и шахматными фигурами. Таким образом, цель работы достигнута. Нам кажется, что этих примеров вполне достаточно, чтобы проследить связь между обозначенными выше понятиями: точной наукой - математикой и увлекательной игрой – шахматами. У тех, кто интересуется шахматами и математикой, развиваются внимание, усидчивость, упорство, логическое мышление и стремление решить поставленную задачу при помощи разума, а не при участии кулаков или бранных слов.
Задачи, связанные с шахматной теорией, широко применяются в математике.

Таким образом, математика помогает шахматистам играть и выигрывать. А шахматы в свою очередь помогают нам решать простейшие и даже самые сложные математические задачи, помогают развивать логику, внимание.

В дальнейшем, мы будем разбираться в том, что осталось для нас загадкой, и мы обязательно будем продолжать играть в шахматы.



11. Список литературы (источники информации):



hello_html_1db63acc.jpghello_html_0.gif

Автор
Дата добавления 28.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1333
Номер материала ДВ-387865
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх