Проект на тему "Метод Крамера, как способ решения практических задач"

Пятая лицейская научно-практическая конференция «Познание и творчество»

Физика-математика

Тема: «Метод Крамера, как способ решения практических задач»

Исследовательский проект

Автор: Кротова Анна

Ученица 10 «Б» класса МАОУ

« Лицей №21»

Руководитель:

Балашова Елена Ивановна,

учитель математики

Кротова Ирина Леонидовна,

учитель математики

Оглавление

Введение. 3

История. 4

Определитель матрицы второго порядка. 5

Определитель матрицы третьего порядка. 6

Пример 1:. 7

Пример 2:. 8

Пример 3:. 9

Пример 4:. 10

Практическая часть. 11

Конструкт урока для 7 класса. 11

Конструкт урока для 9 класса. 14

Заключение. 17

Литература. 18

Урок. 19

Приложение. 20

Результаты самостоятельной работы в 7 классе. 20

Результаты самостоятельной работы в 9 классе. 21

Введение

Тема моего исследовательского проекта – «Метод Крамера, как способ решения практических задач».

В школьном курсе алгебры изучают методы решения систем линейных уравнений, такие как: метод подстановки, метод сложения, графический метод. Каждый из методов имеет свои достоинства и недостатки. Общее для них то, что большинство учащихся не могут их усвоить на необходимом уровне.

Я считаю, что тема моего проекта достаточно актуальна в первую очередь для меня, поскольку в математике есть такие задачи, которые нужно решать с помощью систем уравнений. Однако в школьном курсе изучаются системы уравнений, содержащие только две переменные. Мне бы хотелось познакомиться самой, а потом и научить других решать системы, содержащие большее количество неизвестных, что может помочь в решении более сложных задач не только в математике, но и в экономике. Но для того, чтобы познакомиться с самим методом, нужно знать что такое определитель второго порядка и научиться их вычислять.

Гипотеза: эффективность решения систем уравнений повышается, если использовать метод Крамера.

Задачи:

·         Рассмотреть метод Крамера.

·         Научить учащихся 8-10 класса пользоваться данным методом.

·         Предложить учащимся 8-10 класса, на выбор, решить несколько систем уравнений понравившимся способом.

·         Проанализировать полученный данные в ходе проведения самостоятельной работы, которую выполнят учащиеся.

·         Сделать выводы, на основе которых определить достоверность моей гипотезы.

История

Габриэль Крамер родился 31 июля 1704 года в Женеве (Швейцария). Уже в детстве он опережал своих сверстников в интеллектуальном развитии и демонстрировал завидные способности в области математики.

В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Через 2 года Крамер выставил свою кандидатуру на должность преподавателя в Женевском университете. Юноша так понравился магистрату, что специально для него и ещё одного кандидата на место преподавателя была учреждена отдельная кафедра математики, где Крамер и работал в последующие годы.

Крамер является одним из создателей линейной алгебры. Одной из самых известных его работ является «Введение в анализ алгебраических кривых», опубликованный на французском языке в 1750 году. В ней Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем – метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля.

Определитель матрицы второго порядка

Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы.

Определитель– это число, которое считается по определенным правилам. Порядок определителя– это порядок квадратной матрицы. Если для задания матриц использовались круглые скобки, то в теории определителей используют прямые скобки.

Каждой квадратной матрице поставим в соответствие некоторое число, которое будем называть определителем матрицы, и укажем правило его вычисления. Обозначения:

·         Дана матрица _.

Определителем второго порядка называется число, вычисляемое по правилу:

.

Пример . .

Определитель матрицы третьего порядка

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу нахождения определителя третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.
Решения систем методом Крамера

Метод Крамера – это метод решения систем линейных уравнений. Он применяется только к системам линейных уравнений, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель отличен от нуля.

Любая крамеровская система уравнений имеет единственное решение , которое определяется формулами , где  - определитель матрицы, полученной из основной матрицы  заменой -го столбца на столбец свободных членов системы, а  – определитель основной матрицы. Эта формула называется формулой Крамера.

Пример 1:

Задание: Решить систему методом Крамера.

Решение: Запишем основную матрицу системы

            Найдем её определитель

Определитель  , следовательно, заданная система может быть решена методом Крамера.

Вычислим определитель  , для этого заменим первый столбец в основной матрице на столбец свободных членов , получим

Аналогично, заменяя второй столбец основной матрицы на  , найдем :

Далее по формуле Крамера находим неизвестные переменные:

Ответ:  

Пример 2:

Задание: Решить систему методом Крамера.

Решение: В уравнениях системы перенесем свободный член вправо:

Тогда основная матрица  , а столбец свободных членов .

Найдем определитель матрицы системы:

Определитель  , следовательно, система имеет единственное решение и может быть решена методом Крамера. Заменяя первый столбец на столбец свободных членов, найдем, что

Заменяя второй столбец основной матрицы на столбец  , получаем:

Тогда, по формуле Крамера, решением системы будет

Ответ:     

Пример 3:

Задание: Решить систему методом Крамера.

 

Решение: Найдем определитель основной матрицы системы:

Найдем определитель  , для этого подставим в последний определитель вместо первого столбца столбец свободных членов  :

Подставляя вместо второго столбца столбец свободных членов, найдем  :

Аналогично найдем :

Далее по формуле Камера находим решение заданной системы

Ответ:

                          

Пример 4:

Задание: Решить систему методом Крамера.

Решение: Запишем основную матрицу системы:

и найдем её определитель по правилу треугольника:

Определитель основной матрицы равен нулю, следовательно, к данной системе нельзя применить метод Крамера.

Ответ: Данная система не может быть решена методом Крамера.

Практическая часть

Конструкт урока для 7 класса

Конструкт урока по теме «Метод Крамера как способ решения систем уравнений»

Учитель: Кротова Анна

Учебный предмет: математика

Класс: 7

Цель урока: показать применение метода Крамера, и закрепить умения и навыки при решении систем уравнений методом подстановки и методом алгебраического сложения. Продолжить отрабатывать вычислительные навыки при решении систем уравнений. Продолжить развитие умений обобщать, систематизировать, делать выводы, сравнивать.

Задачи:

- составлять системы уравнений и решать системы, используя алгоритмы;

- применять метод Крамера для решения систем уравнений, как один из рациональных методов решений.

Ход урока

Этап урока	Деятельность учителя	Деятельность ученика	УУД
Актуализация знаний	Учитель предлагает учащимся задачу с двумя переменными: «на чашечных весах взвесили четырех кошек и трех котят, их вес оказался 15 кг. Затем взвесили трех кошек и четырех котят, их вес составил 13 кг. Найти вес одной кошки и одного котенка, если считать вес всех кошек одинаковым и вес всех котят также одинаковым.»	Ученики составляют систему и решают задачу вместе с учителем методом алгебраического сложения и подстановки.	Регулятивные: самостоятельно анализировать условия задачи.
	Учитель предлагает решить задачу вторым способом, воспользовавшись методом Крамера.	Ученики составляют систему и решают задачу вместе с учителем методом Крамера.	Регулятивные: самостоятельно анализировать условия задачи. Познавательные: ученики осваивают новый, ранее не изученный ими метод.
	.
Постановка проблемы	Учитель предлагает решить самостоятельно систему методом алгебраического сложения и подстановки. Сформулировать алгоритм решения данной системы.	Ученики самостоятельно решают систему уравнений	Регулятивные: самостоятельно анализировать условия задачи. Принимать решение в проблемной ситуации. Познавательные: ученики самостоятельно находят пути решения заданной системы. Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения, спорить и отстаивать свою позицию не враждебным для оппонентов образом. Познавательные: действовать по алгоритму.
	Учитель предлагает самостоятельно решить произвольную систему уравнений методом Крамера	Ученики самостоятельно решают систему уравнений	Регулятивные: самостоятельно анализировать условия задачи. Принимать решение в проблемной ситуации. Познавательные: ученики самостоятельно находят пути решения заданной системы. Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения, спорить и отстаивать свою позицию не враждебным для оппонентов образом. Познавательные: действовать по алгоритму.
Рефлексия	Учитель предлагает задание для самостоятельного решения, проверяет самостоятельную работу и анализирует результаты.	Применение алгоритма при решении многошаговых уравнений. Работают с заданием на анализ предъявляемой информации, формулируют свои оценочные суждения, аргументируют их примерами	Личностные: формулирование оценочных суждений, их аргументация; Регулятивные: выделение и осознание учащимися того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению. Коммуникативные: умение вступать в диалог с учителем и со сверстниками. Познавательные: оценка результатов деятельности.

Конструкт урока для 9 класса

Конструкт урока по теме «Метод Крамера как способ решения систем уравнений»

Учитель: Кротова Анна

Учебный предмет: математика

Класс: 7

Цель урока: показать применение метода Крамера, и закрепить умения и навыки при решении систем уравнений методом подстановки и методом алгебраического сложения. Продолжить отрабатывать вычислительные навыки при решении систем уравнений. Продолжить развитие умений обобщать, систематизировать, делать выводы, сравнивать.

Задачи:

- составлять системы уравнений и решать системы, используя алгоритмы;

- применять метод Крамера для решения систем уравнений, как один из рациональных методов решений.

Ход урока

Этап урока	Деятельность учителя	Деятельность ученика	УУД
Актуализация знаний	Учитель предлагает учащимся задачу с двумя переменными: «на чашечных весах взвесили четырех кошек и трех котят, их вес оказался 15 кг. Затем взвесили трех кошек и четырех котят, их вес составил 13 кг. Найти вес одной кошки и одного котенка, если считать вес всех кошек одинаковым и вес всех котят также одинаковым.»	Ученики составляют систему и решают задачу вместе с учителем методом алгебраического сложения и подстановки.	Регулятивные: самостоятельно анализировать условия задачи.
	Учитель предлагает решить задачу вторым способом, воспользовавшись методом Крамера.	Ученики составляют систему и решают задачу вместе с учителем методом Крамера.	Регулятивные: самостоятельно анализировать условия задачи. Познавательные: ученики осваивают новый, ранее не изученный ими метод.
	.
Постановка проблемы	Учитель предлагает решить самостоятельно систему методом алгебраического сложения и подстановки. Сформулировать алгоритм решения данной системы.	Ученики самостоятельно решают систему уравнений	Регулятивные: самостоятельно анализировать условия задачи. Принимать решение в проблемной ситуации. Познавательные: ученики самостоятельно находят пути решения заданной системы. Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения, спорить и отстаивать свою позицию не враждебным для оппонентов образом. Познавательные: действовать по алгоритму.
	Учитель предлагает решить систему из трех уравнений методом Крамера.	Ученики составляют систему и решают задачу вместе с учителем методом Крамера.
	Учитель предлагает самостоятельно решить произвольную систему уравнений методом Крамера	Ученики самостоятельно решают систему уравнений	Регулятивные: самостоятельно анализировать условия задачи. Принимать решение в проблемной ситуации. Познавательные: ученики самостоятельно находят пути решения заданной системы. Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения, спорить и отстаивать свою позицию не враждебным для оппонентов образом. Познавательные: действовать по алгоритму.
Рефлексия	Учитель предлагает задание для самостоятельного решения, проверяет самостоятельную работу и анализирует результаты.	Применение алгоритма при решении многошаговых уравнений. Работают с заданием на анализ предъявляемой информации, формулируют свои оценочные суждения, аргументируют их примерами	Личностные: формулирование оценочных суждений, их аргументация; Регулятивные: выделение и осознание учащимися того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению. Коммуникативные: умение вступать в диалог с учителем и со сверстниками. Познавательные: оценка результатов деятельности.

Заключение

В итоге работы над данным проектом я выполнила все поставленные перед собой задачи. С помощью дополнительной литературы я изучила метод Крамера, узнала, что такое определитель, как он находится и научилась применять данный метод на практике. Я провела уроки в 7 и в 9 классе. На уроке я предложила учащимся решить системы уравнений новым методом. Большинство учащихся, воспользовавшись методом Крамера, решили системы уравнений правильно.

Перед тем, как начать писать проект, я определила для себя такие риски и сложности как: исследуемая информация может быть сложна, в связи с тем, что изучаемый мною материал выходит за рамки школьной программы. Кроме того, может возникнуть трудность при передаче информации другим учащимся в связи с моей методической неграмотностью, т.е. незнание методов изложения материала. Но риск оказался не оправдан, т.к. тема не вызвала затруднений, и я смогла преподнести информацию так, что учащиеся смогли ее реализовать.

В ходе работы над моим проектом я доказала справедливость моей гипотезы, что эффективность решения систем уравнения повышается, если использовать метод Крамера.

Литература

·         Сайт с краткой биографией Г. Крамера: http://www.calend.ru (дата обращения: 13.01.2017).

·         Методические указания «Решение задач методом Крамера»: http://www.gtk-gryazi.ru/documents/metod/rech_zad_kramer.pdf (дата обращения: 13.01.2017).

·         Понятие определителя второго порядка: http://www.studfiles.ru/preview/4404558/ (дата обращения: 13.01.2017).

·         Понятие определителя третьего порядка: http://miemp-mi-gor.narod.ru/utcheba/matem/matrica/003.htm (дата обращения 20.01.2017).

·         Примеры решения систем методом Крамера: http://ru.solverbook.com/primery-reshenij/primery-resheniya-sistem-metodom-kramera/ (дата обращения 13.01.2017).

·         Росошек С. К. Системы уравнений / С. К. Росошек: Изд-во Томского университета 1996. – 76 с.

Урок

Приложение

Результаты самостоятельной работы в 7 классе

Результаты самостоятельной работы в 9 классе