Инфоурок Другое Другие методич. материалыПроект на тему "Применение признаков подобия треугольников" ( 8 класс)

Проект на тему "Применение признаков подобия треугольников" ( 8 класс)

Скачать материал
Скачать тест к материалу

Муниципальное   казённое общеобразовательное учреждение

Юловская основная   школа 

Инзенского района  Ульяновской области

 

 

 

 

 

 

 

Педагогический проект

 

Применение признаков

 подобия треугольников

 

 

 Учитель математики

первой квалификационной категории

МКОУ Юловская ОШ

Зубкова Наталья Ивановна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Юлово,   

 

Содержание

Введение ……………………………………………………………3-5

Этапы    проведения   проекта ……………………………...………..6

Реализация   проекта ………………………………………………..7-10

Заключение………………………………….………………………..11

Литература  ………………………………………………………….12

Приложения………………………………………………………….

 

1.     Из истории возникновения подобия треугольников

 ( сообщение, модель пантографа )…………………………… 13-19

 

2.     Недоступные высоты (сообщение, презентация)…………….20-27

 

3.     Определение расстояния до недоступной точки ( сообщение,

буклет)……………………………………………………….... 28-29

 

4.     Нахождение высоты дерева (  эксперимент)………………….30-32

 

5.     Решение  задач на метод подобия ( сообщение)……………...33-40

 

                    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

  Математике должно учить в школе

 еще с той целью, чтобы познания, здесь

приобретаемые, были достаточными

для обыкновенных потребностей в жизни.

(Н.И. Лобачевский)

 

Каждое поколение людей предъявляет свои требования к образованию. Однако какими бы ни были эти требования, потребность общества в творческих, самостоятельно мыслящих специалистах всегда была и остается актуальной.

     В федеральном компоненте государственного стандарта общего образования говорится о том, что «общеобразовательная школа должна формировать целостную систему универсальных знаний, умений и навыков, а также самостоятельной деятельности и личной ответственности обучающихся». Самостоятельное приобретение знаний невозможно без умений анализировать, сравнивать, критически отбирать, обобщать и систематизировать информацию, делать правильные логические выводы.

               С введением независимой экспертной оценки выпускников основной  школы деятельность учителя в целом оценивается результатами ГИА в новой форме.  В  КИМы входят разделы «Алгебра», «Геометрия», но кроме этого и  внесен  раздел «Реальная математика». Это заставило учителя на своих уроках не только «натаскивать» детей на тесты по алгебре и геометрии,  добиваться  овладения предметными знаниями и умениями в рамках стандарта, а также решать задачи практического характера, т.е. учить детей уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

                  В школьном курсе геометрии  много   внимания уделяется решению таких задач, в частности при изучении темы «Подобные треугольники». Понятие подобия, наряду с понятием движения, является одним из важных понятий геометрии. Оно имеет большое образовательное и практическое значение. Подобие используется при определении расстояний до недоступных предметов, в устройствах различных измерительных инструментов и приборов.

     Использование понятия подобные треугольники в школе имеет большое методическое значение:

·        идея подобия треугольников дает эффективный метод решения большого класса задач на доказательство, построение, вычисление;

·        доказательство теорем с привлечением подобия значительно проще доказательств, основанных на признаках равенства треугольников.

В большинстве случаев эти доказательства не связаны со вспомогательными построениями, выполнение которых вызывает значительные трудности у учащихся;

·        решение элементарных задач на геометрические преобразования служит хорошим материалом для развития пространственного воображения учащихся;

·        реализация идеи подобных треугольников, в обучении способствует формированию научного мировоззрения у учащихся;

·        подобие треугольников даёт возможность ввести тригонометрические функции острого угла, т. е. новый вид функциональной зависимости, и значительно расширить класс предлагаемых учащимся задач;

·        решение практических задач на нахождение  расстояний до недоступных предметов( ширины реки, высоты дерева).

 

Таким образом, возникла необходимость в учебном процессе создать условия для формирования умения использовать приобретенные знания  в практической деятельности и повседневной жизни.

Этим обусловлен выбор темы проекта: «Применение признаков подобия треугольников».

Объект исследования: образовательный процесс по математике  (геометрии).

Предмет исследования: приемы и методы, способствующие   формированию умений работы с информацией и   использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

Гипотеза: Как и где можно применять признаки подобия треугольников в жизни?

Если на уроках математики применять методы и приёмы, способствующие   формированию умений работы с информацией и умений использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, то сформируются  умения грамотно работать с информацией, выделять практические задачи  и искать пути их решения.

Поэтому я поставила себе цель: на своих уроках добиваться не только  овладения учащимися предметными знаниями и умениями, но  и научить ученика правильно управлять информацией (искать, наилучшим способом присваивать, находить в ней смысл), применять подобие треугольников к  решению практических задач.

Для достижения этой цели решались следующие задачи:

Методические:

·        оценить важность предмета «геометрия»;

·        изучить научную и дополнительную литературу по теме;

·        изучить признаки подобия треугольников;

·        развивать умение применять теоретический материал при решении практических задач;

·        формировать умения определять признаки подобия треугольников при решении геометрических задач;

·        применять полученные теоретические знания на практике;

·        заинтересовать  к науке и технике через поиск примеров применения данной темы в жизни;

·        расширить математический кругозор и изучить новые подходы к решению задач;

·        приобрести навыки исследовательской работы.

Дидактические:

·        развивать  интерес  учащихся к геометрии как к предмету; формирование критического мышления;

·         усвоить навыки самостоятельной и коллективной работы;

·        приобретение навыков самостоятельной работы с большим объёмом информации;

·        обучить способам работы с информацией;

·        организовать мыслительную деятельность школьников, направленную  не только на усвоение содержания, а прежде всего  на то, как это содержание должно быть применено;

·        симулировать у учащихся выдвижение новых идей, не навязывать учащимся единственный путь решения задач, а учить их активному, альтернативному, более рациональному выбору приемов и способов решения задачи;   

·        организовать процесс обучения математике, при котором математическое мышление учащихся развивалось бы не стихийно, а целенаправленно.  В учебной деятельности решать задания, которые учат основным мыслительным действиям: анализировать, описывать, сравнивать, приводить аргументы, решать практические ситуации.

Ожидаемые результаты при  реализации проекта.

На основе изучения различных  источников( литературы, Интернет) учащиеся познают возможность использования признаков подобия треугольников в жизни; расширят свой кругозор знаний; изучат значение данной темы на уроках геометрии.

Аналитическая работа с информацией систематизирует знания о подобных фигурах.

 Самостоятельные исследования учащихся, а также приобретённые практические знания, умения и навыки научат видеть важность данного теоретического материала при применении его на практике.

Дидактические задания помогут проконтролировать степень усвоения учебного материала, способность к самостоятельной  деятельности и решению проблем.

Учащиеся достигнут хорошего уровня интеллектуального развития.

         Методы исследования:

- изучение научно-методической литературы,

- педагогическое наблюдение,

-эксперимент,

- анализ результатов учебной деятельности.

 

Этапы проведения проекта

Проект подготовлен во внеурочное время учащимися 8 класса. Реализуется в рамках уроков геометрии 8 класса по теме «Признаки подобия треугольников».

 

Этап I. (1 занятие )

Формирующее оценивание и планирование: эвристическая беседа  в ходе демонстрации вводной презентации учителя; «мозговой штурм» в группах, обсуждение общего плана проекта, планирование работы над проектом в группах.

 

Этап II. (2 занятие)

Определение направления поиска, поиск информации в разных источниках (по группам).

Критическое осмысление и анализ информации, выбор главного. 

Сравнительный анализ результатов теоретических и практических исследований.

Подготовка информации для использования в продуктах (презентациях, публикациях, сообщениях).

Оценивание и корректировка планов работы в группах. Рефлексия.

 

Этап III. (3 занятие )

Создание презентаций, буклета, модели, сообщений. Самооценивание и корректировка продуктов . Самооценивание совместной работы в проекте.

 

Этап IV. (4 занятие )

Организация и проведение необходимых экспериментальных исследований.

Проведение эксперимента.  Решение задачи по полученным данным. Оформление эксперимента. Самооценивание совместной работы в проекте.

 

Этап  V. (5 занятие )

Защита проекта на открытом уроке в форме учебной научно-практической конференции. Рефлексия.

 

 

 

 

Реализация   проекта

          Из эвристической беседы учителя на первом занятии учащиеся узнали, что в школьном курсе геометрии рассматриваются различные преобразования плоскости и пространства: осевая и центральная симметрия, параллельный перенос, поворот вокруг данной точки. Вводится понятие равных треугольников, и при решении задач широко используются признаки равенства треугольников. Не меньшую роль при доказательстве теорем и решении задач играют признаки подобия треугольников.       

         Первое, что мы сделали, когда начали собирать материал  о подобных треугольниках – обратились к  учебнику, литературе, википедии, истории математики.

     Логико-дидактический анализ темы «Подобные треугольники » по учебнику Атанасяна Л.С. Тема «Подобные треугольники» в учебнике Атанасяна Л.С. вводится в 8 классе и включает в себя четыре параграфа, каждый из которых делится на пункты.

§1. Определение подобных треугольников.

§2. Признаки подобия треугольников.

§3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач.

§4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

В первом параграфе вводятся такие новые понятия как «пропорциональные отрезки», «сходственные стороны», «подобные треугольники», «коэффициент подобия». Понятие пропорциональных отрезков вводится описательно с использованием ранее изученного факта (об отношении двух отрезков), и рассматривается конкретный пример на применение нового определения. Далее оговаривается, что понятие пропорциональности может вводиться и для большого числа отрезков.

Прежде чем ввести определение подобных треугольников предлагается разобраться с подобием в реальной и повседневной жизни, и с подобием фигур в геометрии вообще. После этого используя рисунок двух треугольников и равенство углов описательно вводиться определение сходственных сторон. После словесной формулировки предлагается другая запись с использованием буквенной символики, таким образом, подобие треугольников даётся не на основе преобразования подобия, а через равенство углов и пропорциональности сходственных сторон. Далее даются признаки подобия треугольников  и их применение к доказательству теорем и решению задач.

               Я.И. Перельман (1882-1942) - известный отечественный популяризатор науки, талантливый педагог, выдающийся мастер слова, написавший с 1913 по 1940 гг. около сотни научно популярных книг, адресованных самой широкой аудитории. Среди них такие знаменитые произведения, как « «Занимательная арифметика», «Живая математика», «Занимательная геометрия» и многие другие. Несмотря на то, что первые из них появились в начале XX века, они по сей день актуальны и интересны. Большинство книг Я.И. Перельмана выдержало более 20  изданий, многие из них переведены на иностранные языки и имеют большую популярность за рубежом. Общий тираж его произведений в нашей стране превышает 15 миллионов экземпляров, и тем не менее многие его книги были в свое время библиографической редкостью, в библиотеках читатели стояли за ними в очереди.
Секрет такой притягательности перельмановских сочинений заключается в том, что автору блестяще удалось показать, насколько интересным, увлекательным, даже захватывающим может быть изучение естественных наук: физики, алгебры, геометрии, как правило, скучных, сложных и неинтересных в изложении школьных учебников и большинства школьных учителей, прививающих школьникам устойчивую неприязнь к этим наукам.
Я.И. Перельман - единственный автор в нашей стране (а возможно, и в мире), создавший столь удачные произведения научно популярного жанра. Нынешние школьники и студенты, как правило, знают о них немного и подчас лишены радости общения с занимательной перельмановской наукой.
Предлагаемая хрестоматия представляет собой собрание наиболее ярких и важных (с точки зрения составителя) отрывков из различных книг Я.И. Перельмана.

   Книга «Занимательная геометрия» предназначается для тех читателей, которые   обучаются  геометрии не  только у классной доски и поэтому     замечают знакомые геометрические отношения в окружающем нас мире вещей и явлений,   приучаются пользоваться приобретенными геометрическими знаниями на практике, в затруднительных случаях жизни, в походе, в бивуачной или фронтовой обстановке.

Возбудить у читателя интерес к геометрии или, говоря словами автора, «внушить охоту и воспитать вкус к её изучению— прямая задача настоящей книги».
   С этой целью автор выводит геометрию «из стен школьной комнаты на вольный воздух, в лес, поле, к реке, на дорогу, чтобы под открытым небом отдаться непринужденным геометрическим занятиям без учебника и таблиц...», привлекает внимание читателя к страницам Л. Н. Толстого и А. П. Чехова, Жюля Верна и Марка Твена, находит тему для геометрических задач в произведениях Н. В. Гоголя и А. С. Пушкина, и, наконец, предлагает читателю «пестрый подбор задач, любопытных по сюжету, неожиданных по результату». Так на метод подобия представлены задачи на определение расстояния до недоступной точки и на определение высоты предмета различными способами:

а) по длине  тени;

б) При помощи равнобедренного прямоугольного треугольника;

в) по способу Жюля Верна;

г) с помощью зеркала;

д) с помощью шеста с вращающейся планкой и др.

              Герш Иса́кович Гле́йзер — молдавский советский математик, педагог и историк математики, автор учебных пособий и справочников по истории математики, переведённых на несколько иностранных языков. Трёхтомная «История математики в школе» была первоначально издана на молдавском языке (1966 г.), подготовленный автором русский вариант был опубликован посмертно (1981—1983 гг.) и переведён на языки СССР и других стран.    Книга  «История математики в школе. VII-VIII классы » составлена на основе имеющейся историко-математической литературы и тридцатилетнего личного опыта работы автора в сред­ней и высшей школе. Цель этого пособия — оказать конкретную помощь учи­телю в использовании исторических материалов по математике при изучении со школьниками определенной темы программы. При составлении книги автор стремился к тому, чтобы она в известной мере была доступна пониманию и самих учащихся.

В книге в виде коротких статей содержится материал из истории математики, доступный ученикам VII-VIII классов. Материал первой  части предназначен для занятий на уроках, а вторую  часть можно использовать на внеклассных занятиях. В пособии дан набор задач по арифметике, алгебре и геометрии известных математиков прошлых веков. Книга иллюстрирована.

Эта книга является второй из трех книг Г.И.Глейзера, в которых изложен материал по истории математики для школы.  Г. И. Глейзер подробно описывает историю возникновения и развития понятий отношений и пропорциональных отрезков,   подобия и построения подобных фигур, начиная с Древней Греции VIV вв.до н.э. трудами Гиппократа  Хиосского, Архита Таренского, Евклида и др.

      Википедия – свободная энциклопедия, размещенная в сети Интернет.

Довольно часто требуется увеличить (или уменьшить) в несколько раз какой-либо рисунок, чертеж или схему. Например, в журнале вам понравились узоры для выжигания. Но в журнале они обычно даются в уменьшенном виде, так что приходится их увеличивать до нужных размеров самостоятельно либо вручную «методом клеток», либо с помощью прибора – пантографа.

       Панто́граф (из др.-греч. πᾶν (παντός) «всё, всякий» + γράφω «пишу, рисую, описываю») — прибор, служащий для перечерчивания планов, карт и т.п. в другом, обычно более мелком масштабе. Пантографы изготовляют различных размеров и разных конструкций (подвесные, на колёсиках и др.). Позволяют одну из вершин двигать по прямой линии. Основными достоинствами этого прибора являются простота конструкции и достаточно высокая «точность» скопированного изображения. К сожалению, пантограф пока не нашел еще должного признания у самодеятельных художников и других рукастых почитателей декоративно-прикладного искусства.

         Таким образом, изучая тему «Подобные треугольники», можно подробно остановиться на примерах из реального мира, необходимо рассказать об истории возникновения и развития подобия, подробно рассказать легенду о Фалесе, который измерил высоту пирамиды без всяких приборов по отбрасываемой ею тени, провести самим эксперимент по определению высоты дерева, рассмотреть решение задач.

        Ребята класса разделились на группы и распределили обязанности. Каждая группа выбрала тему исследования и образовательный продукт. Занялись подготовкой информации для использования в продуктах (презентациях, публикациях, сообщениях).

Оценивали  и корректировали  план  работы в группах.  На следующем этапе  создавали  презентации, буклет, сообщений, модель пантографа и его испытали.   Самооценивали  совместную  работу  в проекте. Затем

провели  эксперимент. 

     Учащиеся выступили на открытом занятии со своими  исследованиями:

1.Из истории возникновения подобия треугольников (сообщение, модель пантографа).

2.     Недоступные высоты (сообщение, презентация).

3.     Определение расстояния до недоступной точки (сообщение, буклет).

4.     Нахождение высоты дерева ( эксперимент).

5.     Решение  задач на метод подобия ( сообщение).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

            Понятие подобия треугольников  и применение признаков подобия треугольников  является одним из важнейших в курсе планиметрии. Поэтому изучение данной темы является одной из основных задач обучения геометрии в школе.

В процессе реализации проекта учащиеся:

Ø Изучили тему «Признаки подобия треугольников»;

Ø  Овладели навыками работы с большим объёмом информации;

Ø  Провели теоретические и практические исследования;

Ø  Оценили знания геометрии в жизни;

Ø  Реализовали творческие возможности, работая над заданиями;

Ø  Представили результаты своей деятельности в различных формах;

Ø  Расширили математический кругозор и изучили новые подходы к решению задач;

Ø  Приобрели навыки исследовательской работы.

 

          На основе теоретического анализа математической, учебной, психологической и методической литературы и проведенной опытно-экспериментальной работы, следует, что   применение данных методов стимулирует познавательную деятельность, способствует развитию учащихся за счет повышения уровня логического мышления, памяти, речи и внимания.

          Таким образом, в результате выполненной работы была подтверждена гипотеза и достигнута цель – выявлено применение признаков подобия треугольников при решении  практических задач, а также задач на доказательство,  олимпиадных задач и заданий КИМов.

            Из всего сказанного можно сделать вывод, что применение  данного проекта делает более доступной для учеников эту тему и позволяет им лучше подготовиться к государственной ( итоговой ) аттестации в новой форме.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

 

 

 

1.     Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Геометрия 7–9: Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2012.

2.     Я.И. Перельман. Занимательная геометрия. – М.: АО «СТОЛЕТИЕ», 1994.

3.     Г.И. Глейзер. История математики в школе. VII-VIII классы. – М.: Просвещение, 1994.

4.     А.П. Савин. Энциклопедический словарь юного математика. – М.:  Педагогика, 1989.

5.     Интернет. Википедия.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ  1.

 

Как и другие науки, математика возникла

из практических нужд людей:

из измерения площадей земельных участков

и вместимости сосудов, из счисления

времени и их механики. 

Ф. Энгельс

Из истории возникновения подобия треугольников

 

 

         Искусство изображать предметы на плоскости с древних времен привлекало к себе внимание человека. Попытки таких изображений появились значительно раньше, чем возникла письменность. Ещё в глубокой древности люди рисовали на скалах, стенах, сосудах и прочих предметах быта различные орнаменты, растения, животных. Длинная практика подсказала людям, каким правилам надо следовать, чтобы правильно выразить на плоскости желаемый предмет. Так возникли зачатки учения о соответствии и преобразовании. Инженер и архитектор Дезарг в1630 г. впервые разработал основы математической теории перспективы. Своими трудами он положил начало изучению перспективных преобразований, под которыми в последствии стали понимать отображение фигуры, данной в одной плоскости, на другую плоскость посредствам центрального проектирования или ряда последовательных проектирований. Растущие потребности технического прогресса требовали научной разработки теории преобразований, обеспечивающей точность отображения объектов на плоскость с соблюдением размеров. Возникшая проблема решалась усилиями многих талантливых людей. Большой вклад в дело исследования взаимнооднозначного соответствия на плоскости и в пространстве сделал немецкий геометр Мёбиус (1746-1818). Позже Ф. Клейн (1849-1927) положил различные группы преобразований в основу классификаций различных геометрий: аффинной (группа аффинных преобразований), проективной (группа проективных преобразований) и т. д. Частным случаем аффинного преобразования является преобразование подобия, в котором растяжение или сжатие происходит равномерно, т. е. одинаково вдоль каждой координатной оси. Одинаковые по форме, но различные по величине фигуры встречаются в вавилонских и египетских памятниках. Учение о подобие фигур на основе теории отношении и пропорции было создано в Древней Греции в 5-6 в. в. до н.э. трудами Гиппократа Хеосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и др.

              

 

 

               Символ обозначающий подобие фигур, есть не что иное, как повёрнутая латинская буква S-первая буква в слове similes, что в переводе означает подобие. Свойства подобия, установленные из опыта, издавна широко использовались при составлении планов, карт, при выполнение архитектурных чертежей различных деталей машин и механизмов.

           Довольно часто требуется увеличить (или уменьшить) в несколько раз какой-либо рисунок, чертеж или схему. Например, в журнале вам понравились узоры для выжигания. Но в журнале они обычно даются в уменьшенном виде, так что приходится их увеличивать до нужных размеров самостоятельно либо вручную «методом клеток», либо с помощью приборов: эпископа, или пантографа.

            Пантограф (название происходит от двух греческих слов (pantos) – все и qrapho – пишу) – прибор в виде раздвижного шарнирного параллелограмма для перерисовки рисунков, чертежей, схем в другом (увеличенном или уменьшенном масштабе). Основными достоинствами этого прибора являются простота конструкции и достаточно высокая «точность» скопированного изображения. К сожалению, пантограф пока не нашел еще должного признания у самодеятельных художников и других рукастых почитателей декоративно-прикладного искусства.

           В продаже сейчас отыскать пантографы промышленного производства очень трудно. К тому же линейки таких пантографов относительно малы, причем они изготовлены из металла, что не делает прибор достаточно удобным. Так что удобнее  сделать   пантограф с деревянными длинными линейками.

       Пантограф имеет вид раздвижного параллелограмма и состоит из четырех деревянных планок (линеек), скрепленных между собой с помощью шарниров так, что линейки способны сдвигаться и раздвигаться, как гармошка (рис. 1). Как видно из рисунка, на концах планок пантографа укреплены игла (полюс), отметчик (шпиль) и карандаш. При работе иглу закрепляют в какой-либо точке стола, отметчиком ведут по заданному контуру, а карандаш рисует копию данного контура, но уже в заданном масштабе.

Рис. 1. Общий вид пантографа

Рис. 1. Общий вид пантографа: 1 – игла; 2 – шпиль; 3 – карандаш.

                Прежде всего для пантографа необходимо изготовить четыре линейки длиной 630 мм, шириной 15 мм и толщиной 4 мм. Такие линейки лучше выстрогать из тонких реек, но можно и выпилить из фанеры. На всех линейках сначала размечают рабочую часть, для чего от концов линейки откладывают по 15 мм. Таким образом между отметками окажется расстояние 600 мм, которое и будет являться рабочей частью линейки. Начало рабочей части линейки обозначим буквой Н, а конец – буквой К. Конечно, начало и конец рабочей части мы выбираем произвольно.

Далее нанесем на рабочей части каждой линейки центры отверстий, которые нам понадобятся при настройке пантографа на то или другое увеличение. Предположим, что нам для работы необходимо увеличивать оригинал в 1,25; 1,5; 2; 3; 4; 5; 6 и 7 раз. И чтобы получить, например, центр отверстия с коэффициентом увеличения 1,25, надо разделить длину рабочей части на 1,25 и отложить полученный размер на линейке, приняв за начало отсчета точку Н. То есть центр искомого отверстия будет находиться на расстоянии 480 мм от начала рабочей части. Таким же образом от точки Н определим расстояние центров отверстий для увеличения оригинала в 1,25; 2; 3 раза и так далее (рис. 2). Разметив положение центров на линейках, у каждой отметки пишем число, которое будет соответствовать степени увеличения рисунка.

Рис. 2. Расположение на линейке центров отверстий, с помощью которых обеспечивается то или иное увеличение пантографа (числа на линейках – коэффициенты увеличения)

Рис. 2. Расположение на линейке центров отверстий, с помощью которых обеспечивается то или иное увеличение пантографа (числа на линейках – коэффициенты увеличения)

 

      Используя полученную разметку, сверлим в линейках отверстия для болтиков, которыми предполагается соединить линейки. Наиболее подходят для этих целей болтики с резьбой М3 или М4, соответственно и отверстия для них нужны диаметром 3 или 4 мм. А вот крайние отверстия в точках Н и К делаем диаметром 5,6 мм, то есть по диаметру гильз от мелкокалиберной винтовки, которые будем использовать для крепления в них иголки, отметчика и карандаша. Далее с помощью гильз шарнирно соединяем линейки попарно, совмещая конец одной линейки с началом другой (рис. 3, а), после чего развальцовываем открытые концы гильз. Осталось выбрать коэффициент увеличения и связать пары линеек, устанавливая болтики в отверстия с требуемым индексом. Так, пантограф, приведенный на рис. 3, б, готов увеличивать оригинал в 4 раза.

Рис. 3. Так собирают пантограф

Рис. 3. Так собирают пантограф: а – две пары линеек; б – пантограф готов к работе (коэффициент увеличения – 4); П, О и Р – места для крепления иглы, шпиля и карандаша соответственно

 

        В точке П (рис. 3, б) находится полюс пантографа (игла), в точке О (месте шарнирного соединения пары линеек) – отметчик, в точке Р – карандаш. Если концы линеек соединяли с помощью гильз, крепить к пантографу иглу, отметчик и карандаш очень просто. Для установки иглы надо в соответствующую гильзу плотно вставить палочку (деревянную пробку), в центр которой тупым концом затем забивают обломок толстой иглы. Но можно этот обломок иглы зафиксировать в гильзе, залив туда расплавленное олово или свинец.

       В качестве отметчика подойдет заостренная палочка, которую закрепить в нужной гильзе совсем нетрудно. Конец палочки должен выступать из гильзы примерно на 1 см. Если вместо гильзы применен длинный болтик, его ориентируют шляпкой вверх, законтривают гайкой, а конец заостряют напильником. Установить в гильзу карандаш – тоже не проблема.

Еще раз подчеркиваем, что при изготовлении пантографа необходима точная разметка отверстии, а также полное соответствие диаметра отверстия в линейке диаметру болтика. Только тогда с помощью пантографа можно достичь достаточной точности даже при копировании очень сложных рисунков.

          Как же работают с пантографом? Прежде всего на столе крепят в какой-то точке полюс (иглу) пантографа. Рисунок, с которого требуется снимать копию, располагают там, где находится шпиль, а чистый лист бумаги – под карандашом. Далее шпиль проводим по всем линиям рисунка, при этом карандаш автоматически вычерчивает увеличенный рисунок на бумаге. А если надо изобразить рисунок в уменьшенном виде, придется применять местами шпиль и карандаш, что при наличии гильз совсем нетрудно.

          Обычно при работе с пантографом рука рисующего ведет шпиль по линиям узора. В таком случае на линейке рядом с карандашом придется укрепить груз (гайку, свинцовую пластинку), чтобы карандаш прижимался к бумаге. Но можно вести копирование и по-другому. А именно, вести рукой не шпиль, а карандаш, следя при этом за правильным ходом отметчика по линиям узора. В этом случае груз на линейке, понятно, не понадобится.

           И еще несколько практических советов.

Если оригинал, с которого снимается копия, имеет слишком большие размеры и пройтись шпилем по всем его линиям за один раз не удается, просто переставьте иглу на новое место и продолжайте работу.

При увеличении (или уменьшении) рисунка или чертежа прямые линии и окружности обычно получаются некачественными. Поэтому придется исправить подобный брак с помощью линейки и циркуля.

Известно, что достаточно хорошая точность копии обеспечивается при увеличении оригинала не более, чем в 2…3 раза. Поэтому при необходимости увеличить рисунок в 4 раза лучше сначала укрупнить оригинал в 2 раза, а затем уже полученную копию снова увеличить в 2 раза.

Размеры линеек пантографа не возбраняется изменить, сделав меньше, например. В этом случае метод расчета мест положения отверстий на линейках остается прежним, то есть длину рабочей части линейки придется делить на коэффициент увеличения.

 Мы сделали свой пантограф в соответствии с данными рекомендациями и проверили его работу.  С помощью пангорафа начертили треугольник подобный данному, стороны которого в два раза больше сторон  данного.

 

 

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 2.

Природа говорит языком математики:
буквы этого языка - круги, треугольники
и иные математические фигуры. 
Галилей

Недоступные высоты

Общаясь со взрослыми, учителями, используя литературу и Интернет ресурсы, мы узнали, что существует много различных способов измерить высоту предмета.

 

1)    С помощью собственной тени (измерить длину своей тени и длину тени объекта, зная свой рост несложно составить пропорцию.)

Измерение следует проводить в солнечную погоду. Измерим длину тени дерева и длину тени человека. Построим два прямоугольных треугольника, они подобны. Используя подобие треугольников составим пропорцию (отношение соответственных сторон), из которой и найдём высоту дерева. Можно таким образом определить высоту дерева,    используя построение прямоугольных треугольников в выбранном масштабе.

 

 

2)    Греческие ученые решили множество практических задач, которые до них люди не умели решать. Например, за шесть веков до нашей эры греческий мудрец Фалес Милетский научил египтян определять высоту пирамиды по длине ее тени.

Как это было, рассказывается в книге Я.И. Перельмана "Занимательная геометрия". Фалес, говорит предание, избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту. В этот момент высота пирамиды должна также равняться длине отбрасываемой   тени. Вот, пожалуй, единственный случай, когда человек извлёк пользу из своей тени.

Существует  маленькая притча:

Усталый пришел северный чужеземец в страну Великого Хапи. Солнце уже садилось, когда он подошел к великолепному дворцу фараона, что-то сказал слугам. Те мгновенно распахнули перед ним двери и провели его в приемную залу. И вот он стоит в запыленном походном плаще, а перед ним на золоченом троне сидит фараон. Рядом стоят высокомерные жрецы, хранители вечных тайн природы.

— Кто ты? – спросил верховный жрец?

— Зовут меня Фалес. Родом я из Милета.

Жрец надменно продолжал:

— Так это ты похвалялся, что сможешь измерить высоту пирамиды, не взбираясь на нее? – жрецы согнулись от хохота. – Будет хорошо, — насмешливо продолжал жрец, — если ты ошибешься не более, чем на сто локтей.

— Я могу измерить высоту пирамиды и ошибусь не более чем на пол-локтя. Я сделаю это завтра.

Лица жрецов потемнели. Какая наглость! Этот чужестранец утверждает, что может вычислить то, чего не могут они – жрецы Великого Египта.

— Хорошо, сказал фараон. – Около дворца стоит пирамида, мы знаем ее высоту. Завтра проверим твое искусство”.

Способ измерения высоты пирамиды.

- Мой рост три царских вавилонских локтя (около 555 мм). А вот моя тень. Её длина такая же. И какой бы предмет не взял именно в это время, тень от него, если ты поставишь его вертикально, точно равна длине предмета. Этот предмет и его тень образуют прямоугольный треугольник; знай же, что такие треугольники подобны. А теперь измерим длину этой тени от основания пирамиды, прибавим к ней половину этого основания, и получим высоту пирамиды. Основание точный квадрат, а тень перпендикулярна его основанию. Фалес вынул из – под хитона тонкую верёвку, разделил её узелками на равные части. Расстояние между ними соответствовало царскому локтю. Он закрепил верёвку в конце тени и протянул её к середине основания пирамиды – 56 локтей. Прибавил 207 локтей – половину измеренного расстояния – к 56 он сказал – 263 локтя – такую высоту имеет пирамида.

 

 

http://festival.1september.ru/articles/620156/img2.gif

 

 

ВС - длина палки, DE - высота пирамиды.

http://festival.1september.ru/articles/620156/img5.gif АВС подобен  http://festival.1september.ru/articles/620156/img5.gif СDE (по двум углам):

http://festival.1september.ru/articles/620156/img6.gif ВСА= http://festival.1september.ru/articles/620156/img6.gif СED=90°;

http://festival.1september.ru/articles/620156/img6.gif АВС= http://festival.1september.ru/articles/620156/img6.gif СDЕ, т. к. соответственные при АВ || DС и секущей АС (солнечные лучи падают параллельно)

В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны:

http://festival.1september.ru/articles/620156/img7.gifhttp://festival.1september.ru/articles/620156/Image11746.gif.

Таким образом, Фалес нашел высоту пирамиды.

 

Преимущества способа Фалеса:

не требуются вычисления.

Недостатки:

нельзя измерить высоту предмета при отсутствии солнца и, как следствие, тени.

 

3)    При отсутствии тени в пасмурную погоду можно воспользоваться способом измерения, который живописно представлен у Жюль Верна в известном романе "Таинственный остров".

Отрывок из романа.

"- Сегодня нам надо измерить высоту площадки скалы Дальнего вида, - сказал инженер.

- Вам понадобится для этого инструмент? - спросил Герберт.

- Нет, не понадобится. Мы будем действовать несколько иначе, обратившись к не менее простому и точному способу.

Юноша, стараясь научиться, возможно, большему, последовал за инженером, который спустился с гранитной стены до окраины берега.

Взяв прямой шест, длиной 10 футов, инженер измерил его возможно точнее, сравнивая со своим ростом, который был хорошо ему известен. Герберт нёс за ним отвес, вручённый ему инженером: просто камень, привязанный к концу верёвки.

Не доходя футов 500 до гранитной стены, поднимавшейся отвесно, инженер воткнул шест фута на два в песок и, прочно укрепив его, поставил вертикально с помощью отвеса. Затем он отошёл от шеста на такое расстояние, чтобы лёжа на песке, можно было на одной прямой линии видеть и конец шеста, и край гребня. Эту точку он тщательно отметил колышком.

- Тебе знакомы зачатки геометрии? - спросил он Герберта, поднимаясь с земли.

- Да.

- Помнишь свойства подобных треугольников?

- Их сходственные стороны пропорциональны.

- Правильно. Так вот: сейчас я построю  два  подобных прямоугольных треугольника. У меньшего одним катетом, будет отвесный шест, другим - расстояние от колышка до основания шеста; гипотенуза же - мой луч зрения. У другого треугольника катетами будут: отвесная стена, высоту которой мы хотим определить, и расстояние от колышка до основания этой стены; гипотенуза же - мой луч зрения, совпадающий с направлением гипотенузы первого треугольника.

- Понял! - воскликнул юноша. - Расстояние от колышка до шеста так относится к расстоянию к расстоянию от колышка до основания стены, как высота шеста к высоте стены.

- Да, и, следовательно, если мы измерим два расстояния, то зная высоту шеста, сможем вычислить четвёртый неизвестный член пропорции, т.е. высоту стены. Мы обойдёмся, таким образом, без непосредственного измерения этой высоты.

Оба расстояния были измерены. Расстояние от колышка до палки равнялось 15 футам, а от палки до скалы 485 футам.

По окончании измерений инженер составил следующую запись:

10:Н=15:500

15Н=5000

Н=5000:15

Н ) 333,33

Значит, высота гранитной стены равнялась приблизительно 333 футам".

http://festival.1september.ru/articles/620156/img3.gif

 

Преимущества способа Жюль Верна:

- можно производить измерения в любую погоду;

- простота формулы.

Недостатки:

нельзя измерить, высоту предмета не испачкавшись, так как приходится ложиться на землю.

4)    С помощью зеркальца (лужи).

Для определения высоты предмета можно использовать зеркало, расположенное на земле горизонтально. Луч света, отражаясь от зеркала попадает в глаз человека. Используя подобие треугольников можно найти высоту предмета, зная рост человека (до глаз), расстояние от глаз до макушки человека и измеряя расстояние от человека до зеркала, расстояние от зеркала до предмета (учитывая, что угол падения луча равен углу отражения).

 

  Зеркало кладут горизонтально и отходят от него назад в такую точку, стоя в которой, наблюдатель видит в зеркале верхушку дерева. Луч света FD, отражаясь от зеркала в точке D, попадает в глаз человека.

http://festival.1september.ru/articles/620156/img5.gif АВD подобенhttp://festival.1september.ru/articles/620156/img5.gifEFD (по двум углам):

http://festival.1september.ru/articles/620156/img6.gif ВАD = http://festival.1september.ru/articles/620156/img6.gif FED=90°;

http://festival.1september.ru/articles/620156/img6.gif АDВ = http://festival.1september.ru/articles/620156/img6.gif EDF, т.к. угол падения равен углу отражения.

В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны:

http://festival.1september.ru/articles/620156/Image11749.gif; http://festival.1september.ru/articles/620156/Image11750.gif.

Таким образом, найдена высота объекта.

    

          По луже. Этот способ можно удачно применять после дождя, когда на земле появляется много лужиц. Измерение производят таким образом: находят невдалеке от измеряемого предмета лужицу и становятся около нее так, чтобы она помещалась между вами и предметом. После этого находят точку, из которой видна отраженная в воде вершина предмета. Измеряемый предмет, например дерево, будет во столько раз выше вас, во сколько расстояние от него до лужицы больше, чем расстояние от лужицы до вас.

 

5)    С помощью шеста с вращающейся планкой.

 

 

 

 

 

 

 

 


     Если нужно определить высоту какого-нибудь предмета, например высоту телеграфного столба А1С1, изображённого на рисунке, поставим на некотором расстоянии от столба шест АС с вращающейся планкой и направим планку на верхнюю точку А1 столба. Отметим на поверхности земли точку В, в которой прямая А1А пересекается с поверхностью земли.      Прямоугольные треугольники А1С1В и АСВ подобны по первому признаку подобия треугольников.

   Измерив расстояние ВС1  и  ВС и зная длину АС шеста, определяем высоту А1С1 телеграфного столба.

 

 

6)    С помощью равнобедренного прямоугольного треугольника.

 

На уровне глаз расположим прямоугольный треугольник, направив один катет горизонтально поверхности земли, другой катет направив на предмет, высоту которого измеряем. Отходим от предмета на такое расстояние, чтобы второй катет “прикрыл” дерево. Если треугольник ещё и равнобедренный, то высота предмета равна расстоянию от человека до основания предмета (прибавив рост человека). Если треугольник не равнобедренный, то используется снова подобие треугольников, измеряя катеты треугольника и расстояние от человека до предмета (используется и построение прямоугольных треугольников в выбранном масштабе). Если треугольник имеет угол в 300, то используется свойство прямоугольного треугольника: против угла в 300 лежит катет вдвое меньше гипотенузы.

7)    Можно взять квадратик картона, фанерки, начертить  на нем диагональ и отходить  от предмета, высоту которого ты хочешь измерить, «прицеливаясь» в вершину через диагональ.

 

 

Когда нижний край квадратика будет «смотреть» в основание дерева, а диагональ — на его макушку, расстояние, пройденное тобой по земле, окажется равным высоте дерева.

8) Как поступил сержант

Этот способ состоит в следующем.

Запасшись шестом выше своего роста, воткните его в землю отвесно на некотором расстоянии от измеряемого дерева. Отойдите от шеста назад, по продолжению Dd до того места А, с которого, глядя на вершину дерева, вы увидите на одной линии с ней верхнюю точку  b  шеста.

 

 

Затем, не меняя положения головы, смотрите по направлению горизонтальной прямой аС, замечая точки с  и  С, в которых луч зрения встречает шест и ствол. Попросите помощника сделать в этих местах пометки, и наблюдение окончено. Остается только на основании подобия треугольников аbс   и аВС вычислить ВС из пропорции

ВС : вс = аС  :  ас, откуда 

                ВС = вс

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Математике должно учить

в школе еще с той целью, чтобы познания,

здесь приобретаемые, были достаточными

для обыкновенных потребностей в жизни.

И.Л. Лобачевский

 

Как определить ширину оврага или водоёма

Иногда бывает необходимо измерить расстояние и до недоступного предмета. Например, ширину реки.

1)    При определении расстояния до недоступных предметов используют различные приемы, связанные с построением подобных треугольников.                                                                          Определение расстояния с помощью спички. Спичка - простейший дальномер. Предварительно на ней надо нанести чернилами или карандашом двухмиллиметровые деления. Необходимо также знать примерную высоту предмета, до которого определяется расстояние. Так, рост человека в метрах равен 1,7, колесо велосипеда имеет высоту 0,75, всадник - 2,2, телеграфный столб - 6, одноэтажный дом без крыши - 2,5 - 4 метра. Допустим, надо определить расстояние до телеграфного столба. Направляем на него спичку на вытянутой руке, длина которой у взрослого человека равна приблизительно 60 см. На спичке изображение столба заняло два деления, то есть 4 миллиметра. На этих данных нетрудно составить такую пропорцию: длина руки / расстояние до столба = отрезок спички / высота столба = 0,60/Х = 0,004 / 6,0; Х=0,60*6,0/0,004=900 Таким образом, до столба 900 метров.

 

Определение расстояния построением подобных треугольников При определении расстояния до недоступных предметов используют различные приемы, связанные с построением подобных треугольников. Определение расстояния с помощью спички. Спичка - простейший дальномер. Предварительно на ней надо нанести чернилами или карандашом двухмиллиметровые деления. Необходимо также знать примерную высоту предмета, до кторого определяется расстояние.

 

 

 

2)    http://do.gendocs.ru/pars_docs/tw_refs/306/305477/305477_html_m8fb7963.pngНа рисунке показано, как можно определить ширину BB1 реки, рассматривая два подобных треугольника ABC и A1B1C1.

 

 

 

 

 

 

 

3)     Уже в XVI в. нужды землемерия, строительства и военного дела при­вели к созданию рукописных руко­водств геометрического содержания. Первое дошедшее до нас сочинение этого рода носит название «О земном верстании, как земля верстать». Оно является частью «Книги сошного пись­ма», написанной, как полагают, при Иване IV в 1556 г. Сохранившаяся копия относится к 1629 г. 



П
http://do.gendocs.ru/pars_docs/tw_refs/306/305477/305477_html_m3e76b79b.jpgри разборе Оружейной Палаты в Москве в 1775 г. была обнаружена инструкция «Устав ратных, пушечных и "других дел, касающихся до военной науки», изданная в 1607 и 1621 годах и содержащая некоторые геометрические сведения, которые сво­дятся к определенным приемам решения задач на нахождение расстояний. Вот один пример.

Для измерения расстояния от точки Я до точки Б (см. рис.) рекомендуется вбить в точке Я жезл примерно в рост человека. К верхнему концу жезла Ц прилагается вершина прямого угла угольника так, чтобы один из катетов (или его продолжение) проходил через точку Б. Отмечается точка 3 пересечения дру­гого катета (или его продолжения) с землей. Тогда расстоя­ние БЯ относится к длине жезла ЦЯ так, как длина жезла к расстоянию ЯЗ. Для удобства расчетов и измерений жезл был разделен на 1000 равных частей.

 

 

Приложение 4

Скажи мне – и я забуду.
Покажи мне – и я запомню.
Вовлеки меня – и я научусь
.

Китайская пословица.

Практическая работа

1.     Мы выбрали объект для измерения высоты предмета- самое высокое дерево на школьном дворе..

 

 

 

2.     Установили зеркало горизонтально на земле таким образом, чтобы наблюдатель ( мальчик Дамир) видел в зеркале верхушку дерева. 

3.     Измерили расстояние от Дамира до зеркала (0,8 м).

Рост Дамира  составляет 1,74 м

 ( расстояние от ступни до глаз 1,7 м)

 3.

 

4.     Измерили расстояние от зеркала до дерева . Оно составляет 15, 7 м.

5.     Сделали чертеж на бумаге.

                                                                                       С

 

                 А

                                В                                                      D

               E

EB= 0,8 м ,    BD=15,7 м ,       AE=1,7 м

Треугольники  EAB и   DCB подобны по двум углам, тогда

 =  = ;

 =     , то      CD=  =  = 33, 36

 

Таким образом,  мы получили, что результат приблизительно равен 33  метрам.  Высота   самого высокого дерева  на территории школьного двора  составляет 33м.

              

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

 

Не стыдно чего-нибудь не знать,

но стыдно не хотеть учиться

Сократ

Применение подобия к доказательству теорем.

Подобие используется при доказательстве теоремы о средней линии треугольника:

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Дано:   MN– средняя линия треугольника ABC.

Доказать: MN//AC и MN = ½ АС

Доказательство:

Треугольники BMN и ВАС подобны по второму признаку подобия треугольников (угол B – общий) ВМ/ВА = BN/BC = ½ ), поэтому углы 1 и 2 равны и MN/AC = ½ . из равенства углов 1 и 2 следует, что MN//AC, а из второго равенства, что MN = ½ АС

Пользуясь данной теоремой, можно решить следующие задачи:

 

Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Обозначим буквой О точку пересечения его медиан AA1 и BB1 и проведём среднюю линию A1B1 ,этого треугольника. Отрезок A1B1 параллелен стороне АВ, поэтому углы 1 и 2, 3 и 4 равны. Следовательно,
треугольники АОВ
uA1OB1 подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны: AO/A1O = BO/B1O = AB/A1B1. Но АВ = 2А1В1, поэтому АО = 2A1O и ВО = 2B1O. Таким образом, точка О пересечения медиан AA1 и BB1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан BB1 и СС1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О. Итак, все три медианы треугольника ABC пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Решение. Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом С. A CD -высота, проведённая из вершины С к гипотенузе АВ. Докажем, что ΔABC~ΔACD, ΔABC~ΔCBD, ΔACD~ΔCBD.

Треугольники ABC и ACD подобны по первому признаку подобия треугольников. Точно так же подобны треугольники ABC и CBD, поэтому угол А равен углу BCD. Наконец треугольники ACD и CBD также подобны по первому признаку подобия, что и требовалось доказать.

На основе задачи 2 сформулируем следующие утверждения, которые также доказываются с помощью подобия:

10 . Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками на которые делится гипотенуза этой высотой.

20 . Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключённым между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла

 

 

 

Пропорциональные отрезки в круге.

Свойство 1. Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то ASBS = CSDS, то есть DS/BS = AS/CS.

 

Дано: хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S

Доказать: ASBS = CSDS

Доказательство: Докажем сначала, что треугольники ASD и CSB подобны. Вписанные углы DCB и DAB равны, как опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы ASD и BSC равны как вертикальные. Из равенства указанных углов следует, что треугольники ASD и СSB подобны. Из подобия треугольников следует пропорция DS/BS = AS/CS, или AS BS = CS DS, что и требовалось доказать.

Свойство 2.Если из точки Р к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то АР/СР = DP/BP.

 

 

Дано: две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно

Доказать: АР/СР = DP/BP.

Доказательство. Пусть А и С - ближайшие к точке Р точки пересечения секущих с окружностью. Треугольники PAD и РСВ подобны. У них угол при вершине Р общий, а углы В и D равны как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Из подобия треугольников следует пропорция АР/СР = DP/BP, что и требовалось доказать.

 

Свойство биссектрисы угла треугольника.

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Доказательство. Пусть CD биссектриса треугольника ABC. Если треугольник ABC - равнобедренный с основанием АВ,  то указанное  свойство биссектрисы очевидно, так как в этом случае биссектриса является и медианой. Рассмотрим общий случай, когда АС не равно ВС. Опустим перпендикуляры AF и BE из вершин А и В на прямую CD. Прямоугольные треугольники ACF и ВСЕ подобны, так как у них равны острые углы при вершине С . Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: АС/ВС = AF/BE. Прямоугольные треугольники ADF и BDE тоже подобны. У них углы при вершине D равны как вертикальные. Из подобия следует: AF/BE = AD/BD. Сравнивая это равенство с предыдущим, получим: АС/ВС = AD/BD или AC/AD = BC/BD, то есть AD и BD пропорциональны сторонам АС и ВС.

Теорема о четырёх точках трапеции.

Середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.

Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD . Пусть точки L , М - середины оснований ВС и AD соответственно, О - точка  пересечения диагоналей, К -точка пересечения продолжений боковых сторон. Так как ВС // AD и KL делит ВС пополам, то по теореме Фалеса KL делит AD в том же отношении, то есть пересекает AD в точке М. Значит, точки К, L, М лежат на одной прямой. К принадлежит LM. Рассмотрим треугольники AOD и СОВ. Они подобны по двум углам: угол 1 равен углу 2 и угол 3 равен углу 4. Из подобия следует СО/АО = ВС/AD. Соединим точки К и О с точками L и М , так как LC = ВС/2 , AM = AD/2 , то LC/AM = BC/AD . Значит треугольники OLC и ОМА подобны по двум сторонам и углу между ними. Значит, угол 5 равен углу 6,то есть эти углы вертикальны, отсюда следует, что точки 0,L,M, то есть точки К, L, М и О лежат на одной прямой.

Теорема Чевы.

Пусть на сторонах треугольника ABC выбраны точки А1 на  ВС, В1 на AC, C1 на АВ. Отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство:  ВА,/А1С-СВ,/В]А=АС1]В-1.         (1)

В теореме Чевы два взаимно
обратных утверждения. Докажем, что
если три отрезка АА1, BB1 и СС1 пересекаются в точке О, то выполняется равенство (1). Проведём через вершину В прямую а//АС. Пусть прямые АА1 и СС1 пересекают прямую а в точках Р и Q соответственно.

Тогда из подобия треугольников АА1C и PA1В имеем СА11B = АС/РВ.        (2)

Аналогично   из   подобия   треугольников   АС1С и BC1Q  BC/C1A = BQ/AC  (3).

Наконец, из подобия треугольников ОАС и OPQ (точнее, из-за их гомотетичности)  AB1/B1C = PB/PQ.                                                                                    -(4)

Перемножив соответственно, левые и правые части равенств (2), (3), (4), получим (1).

Олимпиадные задачи.

1. Внутри треугольника ABC взята точка М, через которую проведена прямая, параллельная сторонам треугольника. При этом площади трёх образовавшихся треугольников с вершиной М равны Sb S2, S3. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение. Т. к. ΔАВ С ~ ΔА1А2М, ΔАВС ~ ΔMB1B2, ΔАВС ~ Δ С2МС1 то их площади относятся как квадраты соответствующих элементов, а именно: . Тогда . Отсюда .

 

2. В трапеции MNPK (MK и NP - основания) О - точка пересечения диагоналей. Площади Δ MOK и Δ NOP равны S1 и S2 соответственно. Найдите площадь трапеции.

Решение. Проведём OO1┴NР, OO2MK, тогда OO1O2, и O1O2NP, O1O2┴MK. ΔMOK~ΔANOP по двум углам, отсюда , т.е. ;

 

 

Ответ:

3. Расстояния от точки пересечения диагоналей равнобокой трапеции до середин её сторон равны 2 см, 1 см и 2 см соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

Решение. Радиус окружности, описанной около трапеции, найдём как радиус окружности, описанной около ΔACD. Точки F, N, М - середины отрезков ВС, CD, AD соответственно. Тогда по условию, FO=1, ON=OM=2. Треугольники ВОС и AOD подобны, а потому, АO=2OС. Построим DK // ON, тогда АК .= КО = ОС и KD = 4. KD - медиана ΔAOD, ОМ - серединный перпендикуляр к AD и медиана ΔAOD. Точка Т - точка пересечения медиан ΔACD делит медиану DK на отрезки: 8/3 и 4/3, делит медиану ОМ на отрезки: 4/3 и 2/3.

Пусть L - середина ОК, тогда L - середина АС. Треугольник КТО - равнобедренный, т. к. ОТ = КТ =4/3 и LT - является серединным перпендикуляром к отрезку АС. Следовательно, точка Т является центром окружности, описанной около ΔACD, радиус которой равен 8/3.

Ответ: 8/3.

4.  На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты соответственно точки М и N так, что ВМ = MN = NC. Отрезки ММ1 и NN1 - биссектрисы треугольника AMN. Докажите, что M1N1// ВС.

Решение. Угол MNA - внешний для равнобедренного треугольника MNC, поэтому угол MNA = NMC + NCM = 2NCM. Так как NN1 - биссектриса, то угол ANN1 = 1/2MNA = NCM. Получим, что ΔANN1 подобен ΔАСМ по двум углам (угол А - общий). Следовательно,

 AN1/AN = AM/AC.                   (1)

 Проводя аналогичные рассуждения,из подобия треугольников АММ1 и ABN получим

AM1/AN =АМ/АВ. (2)

Поделив равенство (1) на (2) получим AN1/AM1 = АВ/АС, и т.к. угол А - общий для треугольников AN1M1 и ABC, то они подобны. Значит, угол AN1M1 =АВС. Следовательно, M1N1 // СВ, ч. т. д.

 

Экзаменационные задачи.

1.В прямоугольном треугольнике ABC угол С равен 90 градусов, CD - высота, а один из катетов вдвое больше другого. В треугольниках ACD и BCD проведены биссектрисы DK и DP соответственно. Найдите площадь треугольника ABC, если КР=4.

Решение. Отметим подобные треугольники: ABC, ADC и BDC. Из подобия: AD/CD=CD/DB=AC/BC= 1/2. По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника, AK/KC = AD/CD = 1/2; отсюда КС = 2/3∙АС; СР = 1/3∙СВ = 2/3∙АС; СР = КС; треугольник КСР - равнобедренный, прямоугольный. Отсюда КС = 4√2/2 = 22; АС = 3/2КС=32; СР = 2АС= 6√2; S = ½ AСCB=l/23√26√2=18.

2.В равнобедренном треугольнике высоты, проведённые к основанию и к боковой стороне, равны соответственно 10 и 12 см. Найти длину основания.

 

Решение. В треугольнике ABC имеем АВ = ВС, прямая BD перпендикулярна АС, АЕ перпендикулярна ВС, BD = 10 см и АЕ =12 см. Пусть АС= х, АВ = ВС = у. Прямоугольные треугольники АЕС и BDC подобны (угол С - общий); следовательно, ВС/АС= =BD/AE, или у/х = 10/12 = 5/6. Применяя теорему Пифагора к треугольнику BDC, имеем

ВС2 = BD2 + DC2, т. е. у2 = 100 +х /4.Решив систему уравнений     у/х= 5/6,

у2=100+х2/4,

получим х =15.

3.Длина основания треугольника равна 36 см. Прямая, параллельная основанию, делит площадь треугольника пополам. Найти длину отрезка этой прямой, заключённого между сторонами треугольника.

 

Обозначим искомую длину через х. Тогда из подобия треугольников ABC и LBM имеем АС22= S/(0,5S), где S -площадь треугольника ABC. Отсюда АС2=2х2 и х= 18√2(cm).

4.В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности. Найти сторону треугольника, если радиус малой окружности равен r.

Решение. Пусть а - сторона

треугольника, R - радиус вписанной в него окружности; тогда R = а√3/6. Проведём радиусы ОМ и O1К в точки касания. Из подобия треугольников АОМ и AO1K имеем R/r = AO/(AO- R -r). Отсюда, учитывая, что АО = а√3/3, получим a√3/(6r)=a√3/(3(a√3/3-a√3/6-r)),или a√3/6-r = 2r,т.е. a=6r√3.

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал
Скачать тест к материалу

Краткое описание документа:

Проект на тему "Применение признаков подобия треугольников" предназначен для обучающихся 8 класса. Проект включает исследования:

1.Из истории возникновения подобия треугольников (сообщение, модель пантографа).

2.Недоступные высоты (сообщение, презентация).

3.Определение расстояния до недоступной точки (сообщение, буклет).

4.Нахождение высоты дерева ( эксперимент).

5.Решение задач на метод подобия ( сообщение).

Скачать материал
Скачать тест к материалу

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 936 522 материала в базе

Материал подходит для УМК

  • «Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

    «Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

    Тема

    § 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач

    Больше материалов по этой теме
Скачать материал
Скачать тест к материалу

Другие материалы

Технологическая карта урока геометрии в 7 классе "Свойство углов при основании равнобедренного треугольника"
  • Учебник: «Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
  • Тема: 18. Свойства равнобедренного треугольника
  • 26.02.2018
  • 515
  • 1
«Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    Скачать тест к материалу
    • 26.02.2018 5060
    • DOCX 2.1 мбайт
    • 29 скачиваний
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Зубкова Наталья Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Зубкова Наталья Ивановна
    Зубкова Наталья Ивановна
    • На сайте: 8 лет и 9 месяцев
    • Подписчики: 3
    • Всего просмотров: 15293
    • Всего материалов: 11

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой