Инфоурок / Математика / Научные работы / Проект на тему "В мире удивительных чисел"
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Проект на тему "В мире удивительных чисел"

Выбранный для просмотра документ В МИРЕ УДИВИТЕЛЬНЫХ.ppt

библиотека
материалов
 В МИРЕ УДИВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Ученицы 10 класса «Г» Моисейкиной Анастасии
Цели и задачи: Познакомить учащихся с «необычными» свойствами чисел; Проанал...
От перемножения ряда чисел, оканчивающихся единицей, пятеркой или шестёркой п...
Признак делимости на 11: надо из суммы всех цифр, стоящих на нечетных местах,...
Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого др...
Немногим известно, что 12 - старинный и едва не победивший соперник числа 10...
Число делится без остатка на 19 тогда и только тогда, когда число его десятко...
Имеются и двузначные числа, обладающие тем же свойством, как и числа 1, 5 и 6...
365 равно сумме квадратов трех последовательных чисел, начиная с 10. Но и это...
число 1001 - прославленное число Шахерезады. Оно делится без остатка и на 7,...
Каждое двузначное число, умноженное на 10101, дает в результате само себя, на...
Дружественные числа – это два натуральных числа, для которых сумма всех делит...
В одной из египетских пирамид ученые обнаружили на каменной плите гробницы вы...
Числовые пирамиды 1 X 9 + 2 = 11 12 X 9 + 3 = 111 123 X 9 + 4 = 1111 1234 X...
ВЫВОД: В мире чисел, как и в мире живых существ, встречаются подлинные дикови...
15 1

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.


Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.


Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1  В МИРЕ УДИВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Ученицы 10 класса «Г» Моисейкиной Анастасии
Описание слайда:

В МИРЕ УДИВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Ученицы 10 класса «Г» Моисейкиной Анастасии

№ слайда 2 Цели и задачи: Познакомить учащихся с «необычными» свойствами чисел; Проанал
Описание слайда:

Цели и задачи: Познакомить учащихся с «необычными» свойствами чисел; Проанализировать, в чём заключаются их уникальные свойства; Выяснить их роль в области математики.

№ слайда 3 От перемножения ряда чисел, оканчивающихся единицей, пятеркой или шестёркой п
Описание слайда:

От перемножения ряда чисел, оканчивающихся единицей, пятеркой или шестёркой получается число, оканчивающееся той же цифрой.

№ слайда 4 Признак делимости на 11: надо из суммы всех цифр, стоящих на нечетных местах,
Описание слайда:

Признак делимости на 11: надо из суммы всех цифр, стоящих на нечетных местах, вычесть сумму всех цифр, занимающих четные места; если в разности получится 0 либо число (положительное или отрицательное), кратное 11, то и испытуемое число кратно 11; в противном случае число не делится без остатка на 11.

№ слайда 5 Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого др
Описание слайда:

Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трехзначного числа. 947 X 999 = 946053, 509 X 999 = 508491, 981 X 999 = 980019 и т. д.

№ слайда 6 Немногим известно, что 12 - старинный и едва не победивший соперник числа 10
Описание слайда:

Немногим известно, что 12 - старинный и едва не победивший соперник числа 10 в борьбе за почетный пост основания системы счисления. 13, фигурирует здесь не потому, что чем-либо замечательна, а скорее именно потому, что ничем не замечательна, хотя и пользуется такой мрачной славой.

№ слайда 7 Число делится без остатка на 19 тогда и только тогда, когда число его десятко
Описание слайда:

Число делится без остатка на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.

№ слайда 8 Имеются и двузначные числа, обладающие тем же свойством, как и числа 1, 5 и 6
Описание слайда:

Имеются и двузначные числа, обладающие тем же свойством, как и числа 1, 5 и 6. Это число 25 и что, вероятно, для многих будет неожиданностью - число 76. Всякие два числа, оканчивающиеся на 76, дают в произведении число, оканчивающееся на 76.

№ слайда 9 365 равно сумме квадратов трех последовательных чисел, начиная с 10. Но и это
Описание слайда:

365 равно сумме квадратов трех последовательных чисел, начиная с 10. Но и это еще не всё - тому же равна сумма квадратов двух следующих чисел 13 и 14. 102 + 112 + 122 = 100 + 121 + 144 = 365 132 + 142 = 169 + 196 = 365

№ слайда 10 число 1001 - прославленное число Шахерезады. Оно делится без остатка и на 7,
Описание слайда:

число 1001 - прославленное число Шахерезады. Оно делится без остатка и на 7, и на 11, и на 13 - на три последовательных простых числа, произведением которых оно и является. При умножении на него трехзначного числа получается результат, состоящий из самого умноженного числа, только написанного дважды, 873 Х 1001 = 873873, 207 X 1001 = 207207 и т. д.

№ слайда 11 Каждое двузначное число, умноженное на 10101, дает в результате само себя, на
Описание слайда:

Каждое двузначное число, умноженное на 10101, дает в результате само себя, написанное трижды . 73 X 10101 = 737373, 21 X 10101 = 212121.

№ слайда 12 Дружественные числа – это два натуральных числа, для которых сумма всех делит
Описание слайда:

Дружественные числа – это два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу. 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

№ слайда 13 В одной из египетских пирамид ученые обнаружили на каменной плите гробницы вы
Описание слайда:

В одной из египетских пирамид ученые обнаружили на каменной плите гробницы выгравированное иероглифами число 2520. Это минимальное число, которое делится без остатка на 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

№ слайда 14 Числовые пирамиды 1 X 9 + 2 = 11 12 X 9 + 3 = 111 123 X 9 + 4 = 1111 1234 X
Описание слайда:

Числовые пирамиды 1 X 9 + 2 = 11 12 X 9 + 3 = 111 123 X 9 + 4 = 1111 1234 X 9 + 5 = 11111 12345 X 9 + 6 = 111111 123456 X 9 + 7 = 1111111 1234567 X 9 + 8 = 11111111 12345678 X 9 + 9 = 111111111 1 X 8 + 1 = 9 12 X 8 + 2 = 98 123 X 8 + 3 = 987 1234 X 8 + 4 = 9876 12345 X 8 + 5 = 98765 123456 X 8 + 6 = 987654 1234567 X 8 + 7 = 9876543 12345678 X 8 + 8 = 98765432 123456789 X 8 + 9 = 987654321 9 X 9 + 7 = 88 98 X 9 + 6 = 888 987 X 9 + 5 = 8888 9876 X 9 + 4 = 88888 98765 X 9 + 3 = 888888 987654 X 9 + 2 = 8888888 9876543 X 9 + 1 = 88888888 98765432 X 9 + 0 = 888888888

№ слайда 15 ВЫВОД: В мире чисел, как и в мире живых существ, встречаются подлинные дикови
Описание слайда:

ВЫВОД: В мире чисел, как и в мире живых существ, встречаются подлинные диковинки, редкие экземпляры, обладающие исключительными свойствами. Некоторые из них уже по внешности привлекают к себе внимание, другие же открывают свои диковинные особенности лишь при более близком знакомстве, в чём мы могли убедиться.

Выбранный для просмотра документ В мире удивительных чисел.doc

библиотека
материалов

Можно ли представить себе мир без чисел? Возьмите то, что мы делаем изо дня в день: без чисел - ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберешь. А космические корабли, лазеры и все другие технические средства и достижения. Они были бы попросту невозможны, если бы не наука о числах. Само возникновение понятия числа - одно из гениальных проявлений человеческого разума. Числа намного интересней, чем кажутся на первый взгляд. Многие из них обладают уникальными свойствами. С некоторыми из этих чисел я хотела бы вас познакомить.

Цифры 1, 5 и 6

Вероятно, все заметили, что от перемножения ряда чисел, оканчивающихся единицей или пятеркой, получается число, оканчивающееся той же цифрой. Менее известно, что сказанное относится и к числу 6. Поэтому, между прочим, всякая степень числа, оканчивающегося шестеркой, также оканчивается шестеркой.

Например, 462 = 2116; 463 = 97336.

Эту любопытную особенность цифр 1, 5 и 6 можно обосновать алгебраическим путем. Рассмотрим ее для 6.

Числа, оканчивающиеся шестеркой, изображаются так:

10а + 6, 10b + 6 и т. д.,

где а и b - целые числа.

Произведение двух таких чисел равно

100аb + 60b + 60а + 36 = 10(10аb + 6b + 6а) + 30 + 6 = 10(10аb + 6b + 6а + 3) + 6.

Как видим, произведение составляется из некоторого числа десятков и из цифры 6, которая, разумеется, должна оказаться на конце.

Тот же прием доказательства можно приложить к 1 и к 5.

Сказанное дает нам право утверждать, что, например,

3862567 оканчивается на 6,

815723 оканчивается на 5,

4911732 оканчивается на 1 и т. п.

Делимость на 11

Алгебра весьма облегчает отыскание признаков, по которым можно заранее, не выполняя деления, установить, делится ли данное число на тот или иной делитель. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 общеизвестны. Выведем признак делимости на 11; он довольно прост и практичен.

Пусть многозначное число N имеет цифру единиц а, цифру десятков b, цифру сотен с, цифру тысяч d и т. д., т. е.

N = а + 10b + 100с + 1000d + ... = a + 10 (b + 10c + 100d + ...),

где многоточие означает сумму дальнейших разрядов. Вычтем из N число 11(b + 10с + 100d + ...), кратное одиннадцати. Тогда полученная разность, равная, как легко видеть,

а - b - 10(c + 10d + ...),

будет иметь тот же остаток от деления на 11, что и число N. Прибавив к этой разности число ll(c + 10d + ...), кратное одиннадцати, мы получим число a - b + c + 10(d + ...).

также имеющее тот же остаток от деления на 11, что и число N. Вычтем из него число 11(d + ...), кратное одиннадцати, и т. д. В результате мы получим число

a - b + c - d + ... = (а + с + ...) - (b + d + ...),

имеющее тот же остаток от деления на 11, что и исходное число N.

Отсюда вытекает следующий признак делимости на 11: надо из суммы всех цифр, стоящих на нечетных местах, вычесть сумму всех цифр, занимающих четные места; если в разности получится 0 либо число (положительное или отрицательное), кратное 11, то и испытуемое число кратно 11; в противном случае число не делится без остатка на 11.

Испытаем, например, число 87635064:

8 + 6 + 5 + 6 = 25,

7 + 3 + 0 + 4 = 14,

25 - 14 = 11.

Значит, данное число делится на 11.

Существует и другой признак делимости на 11, удобный для не очень длинных чисел. Он состоит в том, что испытуемое число разбивают справа налево на грани по две цифры в каждой и складывают эти грани. Если полученная сумма делится без остатка на 11, то и испытуемое число кратно 11, в противном случае - нет. Например, пусть требуется испытать число 528. Разбиваем число на грани (5/28) и складываем обе грани:

5 + 28 = 33.

Так как 33 делится без остатка на 11, то и число 528 кратно 11:

528 : 11 = 48.

Докажем этот признак делимости. Разобьем многозначное число N на грани. Тогда мы получим двузначные (или однозначные) числа, которые обозначим (справа налево) через а, b, с и т. д., так что число N можно будет записать в виде

N = a + 100b + 10000с + ... = a + 100(b + 100с + ...).

Вычтем из N число 99(b + 100с + ...), кратное одиннадцати. Полученное число

а + (b + 100с + ...) = a + b + 100(с + ...)

будет иметь тот же остаток от деления на 11, что и число N. Из этого числа вычтем число 99(с + ...), кратное одиннадцати, и т. д. В результате мы найдем, что число N имеет тот же остаток от деления на 11, что и число

а + b + с + ...

Три девятки

Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трехзначного числа. Получается шестизначное произведение; первые три цифры его есть умножаемое число, уменьшенное на единицу, а остальные три цифры - "дополнения" первых до 9. Например:


573 x 999 = 572 427


Стоит лишь взглянуть на следующую строку, чтобы понять происхождение этой особенности:


hello_html_2678aa68.gif573 000

5hello_html_f3d5dd8.gif73 x 999 = 573 x (1000 – 1) = 573

hello_html_m418ce24b.gif572 427


Зная эту особенность, мы можем "мгновенно" умножать любое трехзначное число на 999.

947 X 999 = 946053,

509 X 999 = 508491,

981 X 999 = 980019 и т. д.

А так как 999 = 9 Х 111 = 3 Х 3 Х 3 Х 37, то вы можете, опять-таки с молниеносной быстротой, писать целые колонны шестизначных чисел, кратных 37; незнакомый со свойствами числа 999, конечно, сделать этого не в состоянии.


Числа 12 и 13

Чем оно замечательно? Это число месяцев в году и число единиц в дюжине. Но что, в сущности, особенного в дюжине? Немногим известно, что 12 - старинный и едва не победивший соперник числа 10 в борьбе за почетный пост основания системы счисления. Культурнейший народ древнего Востока - вавилоняне и их предшественники, населявшие Двуречье, вели счет в двенадцатеричной системе счисления. И если бы не пересилившее влияние Индии, подарившей нам десятичную систему, мы, вероятно, унаследовали бы от Вавилона двенадцатеричную систему. Кое в чем мы и до сих пор платим дань этой системе, несмотря на победу десятичной. Наше пристрастие к дюжинам и гроссам, наше деление суток на 2 дюжины часов деление часа на 5 дюжин минут, деление минуты на столько же секунд, деление круга на 30 дюжин градусов, наконец деление фута на 12 дюймов, - не свидетельствует разве все это (и многое другое) о том, как велико в наши дни влияние этой древней системы? Хорошо ли, что в борьбе между дюжиной и десяткой победила последняя? Конечно, сильными союзницами десятки были и остаются наши собственные руки с десятью пальцами - живые счетные машины. Но если бы не это, то следовало бы безусловно отдать предпочтение 12 перед 10. Гораздо удобнее производить расчеты по двенадцатеричной системе, нежели по десятичной. Причина та, что число 10 делится без остатка на 2 и на 5, между тем как 12 делится и на 2, и на 3, и на 4, и на 6. У 10 всего два делителя, у 12 - четыре. Преимущества двенадцатеричной системы станут вам яснее, если вы примете в соображение, что в двенадцатеричной системе число, оканчивающееся нолем, кратно и 2, и 3, и 4, и 6; подумайте, как удобно дробить число, когда и 1/2, и 1/3 и 1/4, и 1/6 его должны быть целыми числами! Если же выраженное в двенадцатеричной системе число оканчивается двумя нолями, то оно должно делиться без остатка на 144, а следовательно, и на все множители 144, то есть на следующий длинный ряд чисел: 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144. Четырнадцать делителей - вместо тех восьми, которые имеют числа, написанные в десятичной системе, если оканчиваются двумя нолями (2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100). В нашей системе только дроби вида 1/2, 1/4, 1/5, 1/20 и т. д. превращаются в конечные десятичные; в двенадцатеричной же системе можно написать без знаменателя гораздо более разнообразные дроби, и прежде всего: 1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 1/8, 1/9, 1/12, 1/16, 1/18, 1/24, 1/36, 1/48, 1/72, 1/144, которые соответственно изобразятся так: 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,16; 0,14; 0,1; 0,09; 0,08; 0,06; 0,04; 0,03; 0,02; 0,01. Было бы, впрочем, большим заблуждением думать, что делимость числа может зависеть от того, в какой системе счисления оно изображено. Если орехи, заключающиеся в данном мешке, могут быть разложены в пять одинаковых куч, то это свойство их, конечно, не изменится от того, будет ли наше число орехов выражено в той или иной системе счисления, или отложено на счетах, или написано прописью, или, наконец, изображено каким-либо иным способом. Если число, написанное в двенадцатеричной системе, делится на 6 или на 72, то, будучи выражено в другой системе счисления, например в десятичной, оно должно иметь те же делители. Разница лишь в том, что в двенадцатеричной системе делимость на 6 или на 72 легче обнаружить (число оканчивается одним или двумя нолями). Когда говорят о преимуществе двенадцатеричной системы в смысле делимости на большое число делителей, то имеют в виду, что благодаря склонности нашей к "круглым" числам на практике будут чаще встречаться числа, оканчивающиеся в двенадцатеричной системе нолями. При таких преимуществах двенадцатеричной системы неудивительно, что среди математиков раздавались голоса за полный переход на эту систему. Однако мы уже чересчур тесно сжились с десятичной системой, чтобы решаться на такую реформу.

Великий французский математик Лаплас так высказался по этому вопросу 100 лет назад: "Основание нашей системы нумерации не делится на 3 и на 4, то есть на два делителя, весьма употребительные по их простоте. Присоединение двух новых знаков (цифр) дало бы системе счисления это преимущество; но такое нововведение было бы несомненно отвергнуто. Мы потеряли бы выгоду, породившую нашу арифметику, - именно, возможность счета по пальцам рук".

Напротив, следовало бы ради единообразия перейти также в измерении дуг от употребительных градусов и минут к новым, десятичным.


Такую реформу пытались провести во Франции, но она не привилась. Не кто иной, как упомянутый Лаплас, был горячим сторонником этой реформы. Его знаменитая книга "Изложение системы мира" последовательно проводит десятичное подразделение углов: градусом он называет не 90-ю, а 100-ю долю прямого угла, минутой - 100-ю часть градуса и т. д. Лаплас высказался даже за десятичное подразделение часов и минут. "Однообразие системы мер требует, чтобы день был разделен на 100 часов, час на 100 минут и минута на 100 секунд", - писал он.

Вы видите, следовательно, что дюжина имеет за собой длинную историю. Зато его соседка-"чертова дюжина", 13, фигурирует здесь не потому, что чем-либо замечательна, а скорее именно потому, что ничем не замечательна, хотя и пользуется такой мрачной славой: разве не удивительно в самом деле, что ровно ничем не выделяющееся число могло стать столь "страшным" для суеверных людей?

Как было распространено это суеверие (зародившееся в древнем Вавилоне), видно из того, что царское правительство при устройстве электрического трамвая в Петербурге долго не решалось вводить маршрута № 13 и пропустило его, перейдя сразу на № 14: власти думали, что публика не станет ездить в вагонах с таким "роковым" номером. Любопытно и то, что в Петербурге было не мало домов, где 13-й номер квартиры пропущен... В гостинице также нередко отсутствовала комната № 13, заменяемая № 12а. Для борьбы с этим ничем не обоснованным числовым суеверием кое-где на Западе (например, в Англии) учреждались даже особые "клубы числа 13"...

Делимость на 19

Обосновать следующий признак делимости на 19.

Число делится без остатка на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.



Решение

Всякое число N можно представить в виде

N = 10x + y,

где х - число десятков (не цифра в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе), у - цифра единиц. Нам нужно показать, что N кратно 19 тогда и только тогда, когда

N' = x + 2y

кратно 19. Для этого умножим N' на 10 и из этого произведения вычтем N; получим:

10N' - N = 10(x + 2y) - (10x + y) = 19y.

Отсюда видно, что если N' кратно 19, то и

N = 10N'- 19y

делится без остатка на 19; и обратно, если N делится без остатка на 19, то

10N' = N + 19y

кратно 19, а тогда, очевидно, и N' делится без остатка на 19.

Пусть, например, требуется определить, делится ли на 19 число 47045881.

Применяем последовательно наш признак делимости:


hello_html_m200bc1c2.gif4704588 1

hello_html_m200bc1c2.gifhello_html_5f9ef6f6.gif+ 2

47045 90

hello_html_m200bc1c2.gifhello_html_4c0d539e.gif+ 18

  1. 3

+6

  1. 2hello_html_m200bc1c2.gifhello_html_m418ce24b.gif

hello_html_m418ce24b.gifhello_html_m200bc1c2.gif+ 4

  1. 5

hello_html_m200bc1c2.gifhello_html_4ea5da9b.gif+ 10

  1. 7

+14

hello_html_m418ce24b.gif19

Так как 19 делится на 19 без остатка, то кратны 19 и числа 57, 475, 4712, 47063, 470459, 4704590, 47045881.

Итак, наше число делится на 19.

Числа 25 и 76

Имеются и двузначные числа, обладающие тем же свойством, как и числа 1, 5 и 6. Это число 25 и что, вероятно, для многих будет неожиданностью - число 76. Всякие два числа, оканчивающиеся на 76, дают в произведении число, оканчивающееся на 76.

Докажем это. Общее выражение для подобных чисел таково:

100а + 76, 100b + 76 и т. д.

Перемножим два числа этого вида; получим:

10000аb + 7600b + 7600а + 5776 = 10000аb + 7600b + 7600а + 5700 + 76 = 100 (100аb + 766 + 76а + 57) + 76.

Положение доказано: произведение будет оканчиваться числом 76.

Отсюда следует, что всякая степень числа, оканчивающегося на 76, есть подобное же число:

3762 = 141376, 5763 = 191102976 и т. п.


Число 365

Оно замечательно прежде всего тем, что определяет число дней в году. Далее, при делении на 7 оно дает в остатке 1; эта несущественная, казалось бы, особенность числа 365 имеет большое значение для нашего семидневного календаря.

Другая особенность числа 365 не связана с календарем:

365 = 10 X 10 + 11 X 11 + 12 X 12,

то есть 365 равно сумме квадратов трех последовательных чисел, начиная с 10:

102 + 112 + 122 = 100 + 121 + 144 = 365.

Но и это еще не всё - тому же равна сумма квадратов двух следующих чисел 13 и 14:

132 + 142 = 169 + 196 = 365.

Число Шахерезады

Следующее на очереди у нас число 1001 - прославленное число Шахерезады. Вы, вероятно, и не подозревали, что в самом названии сборника волшебных арабских сказок заключается также своего рода чудо, которое могло бы поразить воображение сказочного султана не менее многих других чудес Востока, если бы он способен был интересоваться арифметическими диковинками.

Чем же замечательно число 1001? С виду оно кажется весьма обыкновенным. Оно даже не принадлежит к избранному разряду так называемых "простых" чисел. Оно делится без остатка и на 7, и на 11, и на 13 - на три последовательных простых числа, произведением которых оно и является. Но не в том диковинка, что число 1001 = 7 X 11 X 13, - здесь нет еще ничего волшебного. Замечательнее то, что при умножении на него трехзначного числа получается результат, состоящий из самого умноженного числа, только написанного дважды, например:

873 Х 1001 = 873873,

207 X 1001 = 207207 и т. д.

И хотя этого и следовало ожидать, так как 873 X 1001 = 873 X 1000 + 873 = 873000 + 873, - все же, пользуясь указанным свойством "числа Шехеразады", можно достичь результатов совсем неожиданных, кажущихся волшебными, - по крайней мере, человеку неподготовленному.

Число 10101

Число 10101, как и число 1001, дает удивительный результат при умножении, но не трехзначных чисел, а двузначных; каждое двузначное число, умноженное на 10101, дает в результате само себя, написанное трижды. Например:

73 X 10101 = 737373,

21 X 10101 = 212121.


Число это - 10101, - пожалуй, даже удивительнее волшебного числа Шехеразады, хотя и менее его известно своими поразительными свойствами. О нем писалось, впрочем, еще двести лет назад в "Арифметике" Магницкого, в главе, где приводятся примеры умножения "с некоим удивлением".


Дружественные числа

Дружественные числа – это два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу. По свидетельству античного философа Ямвлиха, великий Пифагор на вопрос, кого считать своим другом, ответил: "Того, кто является моим вторым Я, как числа 220 и 284".

История дружественных чисел теряется в глубине веков. Эти удивительные числа были открыты последователями Пифагора. Правда пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел – 220 и 284. Проверим эту пару чисел на свойство дружественных чисел:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284,

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Долго считалось, что следующую пару дружественных чисел 17296 и 18416 открыл в 1636 году знаменитый французский математик Пьер Ферма. Но недавно в одном из трактатов арабского ученого Ибн аль-Банны (1256-1321) были найдены строки: "Числа 17296 и 18416 являются дружественными. Аллах всеведущ". А задолго до Ибн аль-Банны другой арабский математик абу-Хасан Сабит ибн Курра (836-901) сформулировал правило, по которому можно получить некоторые дружественные числа:

Если для некоторого n числа p=3·2n-1-1, q=3·2n-1 и r=9·22n-1-1 простые, то числа A=2npq и B=2nr - дружественные.

При n=2, числа p=5, q=11, r=71 простые, и получается пара чисел Пифагора: 220 и 284.

При n=4, числа p=23, q=47, r=1151 простые, и получается пара чисел Ибн аль-Банны и Ферма 17296 и 18416.

При n=7 получается пара чисел, найденная в 1638 году французским математиком и философом Рене Декартом. После Декарта первым получил новые дружественные числа Леонард Эйлер. Он открыл 59 пар дружественных чисел, среди которых были и нечетные числа, например, 9773505 и 11791935. Он предложил пять способов отыскания дружественных чисел. Эту работу продолжили математики следующих поколений. В настоящее время известно около 1100 пар дружественных чисел. В 1867 году шестнадцатилетний итальянец Никколо Паганини потряс математический мир сообщением о том, что числа 1184 и 1210 дружественные! Эту пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели все знаменитые математики, изучавшие дружественные числа. Пару чисел 220 и 284 стали считать символом дружбы. В Средние века имели хождение талисманы с выгравированными на них числами 220 и 284, якобы способствующими укреплению любви.

Число 2520

В одной из египетских пирамид ученые обнаружили на каменной плите гробницы выгравированное иероглифами число 2520. Трудно точно сказать, за что выпала такая честь на долю этого числа. Может быть, за то, что оно без остатка делится на все без исключения целые числа от 1 до 10. Действительно, нет числа, меньшего, чем 2520, обладающего указанным свойством. Нетрудно убедится в том, что это число является наименьшим общим кратным целых чисел первого десятка. Это минимальное число, которое делится без остатка на 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.



Числовые пирамиды

Далее нас поражают числовые достопримечательности совсем особого рода - некоторое подобие пирамид, составленных из чисел, Рассмотрим поближе первую из них:

1 X 9 + 2 = 11

12 X 9 + 3 = 111

123 X 9 + 4 = 1111

1234 X 9 + 5 = 11111

12345 X 9 + 6 = 111111

123456 X 9 + 7 = 1111111

1234567 X 9 + 8 = 11111111

12345678 X 9 + 9 = 111111111

Как объяснить эти своеобразные результаты умножения?

Чтобы постичь эту странную закономерность, возьмем для примера какой-нибудь из средних рядов нашей числовой пирамиды: 123456 X 9 + 7. Вместо умножения на 9 можно умножить на (10 - 1), то есть приписать 0 и вычесть умножаемое:

hello_html_2678aa68.gif1 234 567

1hello_html_f3d5dd8.gif23 456 x 9 +7= 1 234 560 +7 – 123 456 = 123 456

hello_html_5f9ef6f6.gif1 111 111

Достаточно взглянуть на последнее вычитание, чтобы понять, почему тут получается результат, состоящий только из одних единиц.

Мы можем уяснить себе это, исходя и из других рассуждений. Чтобы число вида 12345... превратилось в число вида 11111..., нужно из второй его цифры вычесть 1, из третьей - 2, из четвертой - 3, из пятой - 4 и т. д. - иначе говоря, вычесть из него то же число вида 12345..., вдесятеро уменьшенное и предварительно лишенное последней цифры. Теперь понятно, что для получения искомого результата нужно наше число умножить на 10, прибавить к нему следующую за последней цифру и вычесть из результата первоначальное число (а умножить на 10 и отнять множимое - значит умножить на 9).

Сходным образом объясняется образование и следующей числовой пирамиды, получающейся при умножении определенного ряда цифр на 8 и прибавлении последовательно возрастающих цифр:


1 X 8 + 1 = 9

12 X 8 + 2 = 98

123 X 8 + 3 = 987

1234 X 8 + 4 = 9876

12345 X 8 + 5 = 98765

123456 X 8 + 6 = 987654

1234567 X 8 + 7 = 9876543

12345678 X 8 + 8 = 98765432

123456789 X 8 + 9 = 987654321

Особенно интересна в пирамиде последняя строка, где в результате умножения на 8 и прибавления 9 происходит превращение натурального ряда цифр в таковой же ряд, но с обратным расположением. Объясним эту особенность.

3


hello_html_2678aa68.gifhello_html_m56d0d5f4.gifhello_html_2678aa68.gif12 345 x 9 + 6 111 111

12 345 x 8 + 5 = - = -

12 345 x 1 + 1 12 346,

то есть 12345 X 8 + 5 = 111111 - 12346. Но, вычитая из числа 111111 число 12346, составленное из ряда возрастающих цифр, мы, как легко понять, должны получить ряд убывающих цифр: 98765.

Вот наконец третья числовая пирамида, также требующая объяснения:


9 X 9 + 7 = 88

98 X 9 + 6 = 888

987 X 9 + 5 = 8888

9876 X 9 + 4 = 88888

98765 X 9 + 3 = 888888

987654 X 9 + 2 = 8888888

9876543 X 9 + 1 = 88888888

98765432 X 9 + 0 = 888888888


Эта пирамида является прямым следствием первых двух. Связь устанавливается очень легко. Из первой пирамиды мы знаем уже, что, например:

12345 X 9 + 6 = 111111.

Умножив обе части на 8, имеем:

(12345 X 8 X 9) + (6 X 8) = 888 888.

Но из второй пирамиды известно, что

12345 X 8 + 5 = 98765, или 12345 X 8 = 98760.

Значит:

888888 = (12345 X 8 X 9) + (6 X 8) = (98760 X 9) + 48 = (98760 Х 9) + (5 Х 9) + 3 = (98760 + 5) Х 9+ 3 = 98765 X 9 + 3.

Вы убеждаетесь, что все эти числовые пирамиды не так уж загадочны, как кажутся с первого взгляда.


В мире чисел, как и в мире живых существ, встречаются подлинные диковинки, редкие экземпляры, обладающие исключительными свойствами. Из таких необыкновенных чисел можно было бы составить своего рода музей числовых редкостей, настоящую "арифметическую кунсткамеру". В ее витринах нашли бы себе место не только числовые исполины, но и числа скромных размеров, зато выделяющиеся из ряда других какими-либо необычайными свойствами. Некоторые из них уже по внешности привлекают к себе внимание, другие же открывают свои диковинные особенности лишь при более близком знакомстве, в чём мы могли убедиться.


Выбранный для просмотра документ МОУ.doc

библиотека
материалов

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №24»

город Подольск

Московская область



Доклад

«В мире удивительных чисел»







Выполнила:

Моисейкина

Анастасия Геннадьевна,

ученица 10 класса «Г»


Научный руководитель:

Елющев

Олег Владимирович,

учитель математики







2012 год.



Выбранный для просмотра документ План.doc

библиотека
материалов

План.


  1. Вступление.


  1. В мире удивительных чисел:


    1. Цифры 1, 5 и 6;

  1. Делимость на 11;

  2. Три девятки;

  3. Числа 12 и 13;

  4. Делимость на 19;

  5. Числа 25 и 76;

  6. Число 365;

  7. Число Шахерезады;

  8. Число 10101;

  9. Дружественные числа;

  10. Число 2520;

  11. Числовые пирамиды.


III. Заключение.


Выбранный для просмотра документ Список литературы.doc

библиотека
материалов

Список литературы:


  1. Я. И. Перельман. Занимательная арифметика, М., «Издательство Русанова», 1994 г.


  1. Я. И. Перельман. Занимательная алгебра, М., «Астель Хранитель», 2007 г.


  1. Я. И. Перельман. Занимательная геометрия, М., «Центрполиграф», 2011



Выбранный для просмотра документ Тезисы.doc

библиотека
материалов

Тезисы.


Числа намного интересней, чем кажутся на первый взгляд. Многие из них обладают уникальными свойствами.


Цифры 1, 5 и 6

Всякая степень числа, оканчивающегося единицей, пятёркой или шестеркой, также оканчивается этой цифрой. Например, 462 = 2116; 463 = 97336

Делимость на 11

Признак делимости на 11: надо из суммы всех цифр, стоящих на нечетных местах, вычесть сумму всех цифр, занимающих четные места; если в разности получится 0 либо число (положительное или отрицательное), кратное 11, то и испытуемое число кратно 11; в противном случае число не делится без остатка на 11.

Три девятки

Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трехзначного числа. Получается шестизначное произведение; первые три цифры его есть умножаемое число, уменьшенное на единицу, а остальные три цифры - "дополнения" первых до 9.


Числа 12 и 13


Немногим известно, что 12 - старинный и едва не победивший соперник числа 10 в борьбе за почетный пост основания системы счисления. Культурнейший народ древнего Востока - вавилоняне и их предшественники, населявшие Двуречье, вели счет в двенадцатеричной системе счисления. Вы видите, что дюжина имеет за собой длинную историю. Зато его соседка-"чертова дюжина", 13, фигурирует здесь не потому, что чем-либо замечательна, а скорее именно потому, что ничем не замечательна, хотя и пользуется такой мрачной славой.

Делимость на 19

Число делится без остатка на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.

Числа 25 и 76

Имеются и двузначные числа, обладающие тем же свойством, как и числа 1, 5 и 6. Это число 25 и - что, вероятно, для многих будет неожиданностью, - число 76. Всякие два числа, оканчивающиеся на 76, дают в произведении число, оканчивающееся на 76. 3762 = 141376, 5763 = 191102976 и т. п.



число 365


365 равно сумме квадратов трех последовательных чисел, начиная с 10:

102 + 112 + 122 = 100 + 121 + 144 = 365. Но и это еще не всё - тому же равна сумма квадратов двух следующих чисел 13 и 14: 132 + 142 = 169 + 196 = 365.


Число Шахерезады

число 1001 делится без остатка и на 7, и на 11, и на 13 - на три последовательных простых числа, произведением которых оно и является. При умножении на него трехзначного числа получается результат, состоящий из самого умноженного числа, только написанного дважды, например: 873 Х 1001 = 873873.


Число 10101

каждое двузначное число, умноженное на 10101, дает в результате само себя, написанное трижды. Например: 73 X 10101 = 737373.

Дружественные числа

Дружественные числа – это два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу.


Число 2520


2520 без остатка делится на все без исключения целые числа от 1 до 10. Действительно, нет числа, меньшего, чем 2520, обладающего указанным свойством.


Числовые пирамиды


Далее нас поражают числовые достопримечательности совсем особого рода - некоторое подобие пирамид, составленных из чисел.


В мире чисел, как и в мире живых существ, встречаются подлинные диковинки, редкие экземпляры, обладающие исключительными свойствами. Некоторые из них уже по внешности привлекают к себе внимание, другие же открывают свои диковинные особенности лишь при более близком знакомстве, в чём мы могли убедиться.












Общая информация

Номер материала: ДБ-321001

Похожие материалы