Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Проект на тему: «Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математики»

Проект на тему: «Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математики»

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:







Дополнительная профессиональная образовательная программа для

педагогических и руководящих

работников










Проект


«Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математики»














Разработчик проекта

Семичева Нина Михайловна

МБОУ СОШ № 4

Г. Лобня




ВВЕДЕНИЕ

До недавнего времени Россия оставалась одной из немногих стран с развитой системой образования, где вероятностно-статистические знания практически всегда оставались за пределами школьного обучения. С наступлением 21 века мы окончательно убедились в неотвратимости пришествия в среднюю школу стохастики, изучающей случайные явления.

Подход к преподаванию элементов статистики и теории вероятностей в школе предполагает естественнонаучное изложение. Наибольшую ценность представляют вводимые понятия, сложившаяся система взглядов, ее связь с окружающим миром. Таким образом, статистика и теория вероятностей, будучи частью школьной математики, не нагружены большим числом алгебраических преобразований, но наполнены простым материалом, очень важным с точки зрения формирования мировоззрения школьника. Этот же материал должен способствовать повышению интереса учащихся к математике.

Основы статистики и вероятности становятся равноправной составляющей нашего обязательного школьного образования. Тем актуальнее конкретные решения, связанные с выбором места стохастической линии в базовом школьном курсе математики, уточнением и детализацией ее содержания и разработкой методов обучения.

Изучение вероятностно – статистического материала должно быть направлено на развитие личности школьника, расширять возможности его общения с современными источниками информации, совершенствовать коммуникативные способности и умения ориентироваться в общественных процессах, анализировать ситуации и принимать обоснованные решения, обогащать систему взглядов на мир осознанными представлениями о закономерностях в массе случайных фактов.

В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов. Общество все глубже начинает изучать себя и стремиться сделать прогнозы о самом себе и о явлениях природы, которые требуют представлений о вероятности. Даже сводки погоды в газетах сообщают о том, что "завтра ожидается дождь с вероятностью 40%".

Полноценное существование гражданина в сложном, вариативном и многоукладном обществе непосредственно связано с правом на получение информации, с ее доступностью и достоверностью, с правом на осознанный выбор, который невозможно осуществить без умения делать выборы и прогнозы на основе анализа и обработки зачастую неполной и противоречивой информации.

Мы должны научить детей жить в вероятностной ситуации. А это значит извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами. Ориентация на демократические принципы мышления, на многовариантность возможного развития реальных ситуаций и событий, на формирование личности, способность жить и работать в сложном, постоянно меняющемся мире, с неизбежностью требует развития вероятностно – статистического мышления у подрастающего поколения. Эта задача может быть решена в школьном курсе математики на базе комплекса вопросов, связанных с описательной статистикой и элементами математической статистики, с формированием комбинаторного и вероятностного мышления [2]. Однако не только социально – экономическая ситуация диктует необходимость формирования у нового поколения вероятностного мышления. Вероятностные законы универсальны. Они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, философия, весь комплекс социально – экономических наук построены и развиваются на вероятностно – статистической базе. Подросток не отделен от этого мира глухой стеной, да и в своей жизни он постоянно сталкивается с вероятностными ситуациями. Игра и азарт составляют существенную часть жизни ребенка. Круг вопросов, связанных с соотношениями понятий "вероятность" и "достоверность", проблема выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценка степени риска и шансов на успех, представление о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных коллизиях – все это, несомненно, находится в сфере реальных интересов подростка. Подготовку к решению таких проблем и должен взять на себя курс школьной математики.

Сегодня в науке фундаментальное значение приобрело понятие случайного и уверенно пробивает себе дорогу отыскания оптимальных решений. Особенно назрела необходимость введения в школьное преподавание концепции случайного, и это вызывается не только требованиями научного и практического порядка, но и чисто методическими соображениями [1]. Наметившиеся в нашей стране тенденции экономических преобразований позволяют предположить, что в самом недалеком будущем обществом будут востребованы организаторы и участники производства нового типа, которыми должны будут стать многие выпускники школ. Столь необходимую для их деятельности стохастическую культуру надо воспитывать с ранних лет.

В нашей стране сегодня проходит неизбежный процесс вхождения стохастики как равноправной составляющий в обязательное школьное математическое образование.

Все государственные образовательные документы последних лет содержат вероятностно-статистическую линию в курсе математики основной школы наравне с такими привычными линиями, как "Числа", "Функции", "Уравнения и неравенства", "Геометрические фигуры" и т.д.

В 2011/2012 учебном году учебный материал по изучению вероятностно-статистической линии должен быть обязательно включен в программы по математике. На старшей ступени общего образования содержание и объем изучаемого материала зависит от выбора базового или профильного уровня изучения математики.


ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ В БАЗОВОМ ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Цель: внедрение изучения основ вероятности и статистики в средней школе.

Задачи:

- овладение системой вероятностно-статистических представлений, необходимых человеку в повседневной жизни;

- формирование представлений об универсальности вероятностно-статистических законов, о стохастике как базе современного описания научной картины мира;

- формирование вероятностной интуиции, статистической культуры, комбинаторного мышления, умения делать обоснованные выводы на основе имеющейся информации;

- овладение такими важнейшими методами познания, как нахождение закономерностей в случайных процессах, создание адекватных моделей явлений, экспериментальная проверка гипотез;

- воспитание культуры личности через раскрытие филосовско-мировоззренческих аспектов вероятностно-статистических понятий, через раскрытие истории их становления и развития;

- воспитание патриотизма путем знакомства с уникальной и определяющей ролью российских ученых в становлении теории вероятностей и математической статистики как полноправной части математики, осознания достижений отечественной математической науки как части национального достояния.

Вероятностно-статистическая линия курса математики в 5 и 6 классах представляет собой небольшой по объему ознакомительный материал, пропедевтический курс описательной статистики, наглядной вероятности, предшествующей систематическому изучению стохастики в7-9 и 10-11 классах.

Всю стохастическую линию можно условно, но достаточно точно разделить на три составляющие: комбинаторную, вероятностную и статистическую.

Надо использовать благоприятные возможности, которые создаются с появлением стохастики для возникновения новых, глубоко обоснованных внутрипредметных связей и которые позволяют органически переплести ее в канве традиционно изучаемого материала.

Приведем примеры, из которых видно, что элементы стохастики вполне возможно «растворить» внутри привычной всем математики.

Уже при изучении натуральных чисел имеются возможности познакомить пятиклассников со способами регистрации статистических сведений, обратить их внимание на случайный характер исходов опытов.

Задача 1. Регина задумала число первого десятка и предложила Ире, Оксане и Тане угадать это число. Названные девочками числа записаны в таблице.


Имя

Ира

Оксана

Таня

Названное число

5

7

4



Регина сказала, что все девочки ошиблись и что задуманное число нечетное, а Оксана ошиблась меньше, чем Ира. Какое число задумала Регина?

Представление задуманных чисел в виде таблицы позволяет в наглядной форме произвести их сравнение. Постепенно дети приобщаются к простейшему анализу и составлению таблиц.

Изучая натуральные числа, пятиклассники могут испробовать комбинаторный перебор вариантов.

Задача 2. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя только цифры 3 и 4?

Пытаясь ответить на этот вопрос, учащиеся пробуют записать все такие числа: 33, 34, 43, 44. Их всего четыре. И нет других двузначных чисел, в записи грибов, подберезовиков, маслят? которых употребляются только цифры 3 и 4.

Сравнение натуральных чисел удобно осуществлять в условиях анализа таблиц и диаграмм.

Задача 3. Света и Катя набрали в лесу грибов. Для грибов, собранных Катей, приведена таблица, а для грибов, собранных Светой, - диаграмма.

Таблица



Название грибов

Белые

Подберезовики

Маслята

Число грибов

3

12

44








Кто больше набрал белых? Сколько грибов всего набрали Света и Катя по отдельности? Вместе?

Света сказала, что когда они завтра пойдут в тот же лес, то будет больше возможности найти белый гриб, чем подберезовик. Катя сказала, что вероятнее найти в этом лесу масленок, чем подберезовик. С кем из девочек вы согласны, а с кем нет?

Решая задачу, ребята приходят к выводу, что с мнением Светы трудно согласиться, ведь белых грибов ими было найдено гораздо меньше, чем подберезовиков. Маслят же они собрали больше, чем подберёзовиков, поэтому права Катя.

С понятиями «больше» и «меньше» вполне естественно увязывается разговор о «более возможных», «менее возможных», «мало вероятных», «очень вероятных» и «равновозможных» событиях. В этой теме уместно познакомить детей с понятиями размаха, моды и медианы.

Благодаря привлечению простейших методов статистики тема «Умножение и деление натуральных чисел» сближается с реальной повседневной жизнью.

Задача 4. Пригласив Лизу и Тоню в гости, Элла решила приготовить кремовый торт. Она нашла рецепт, по которому ее мама изготовила такой торт для 12 гостей. Каков должен быть рецепт аналогичного торта для трех человек?

Название продукта

Мука

Маргарин

Сахар

Сгущеное молоко

Сливочное масло

Яйца

Кол-во

500 г

300 г

160 г

400 г

200 г

4 шт

















Следующая задача, рассматриваемая в теме «Деление с остатком», в процессе своего решения укрепляет внутрипредметные связи между понятиями: единицы измерения, перевод из одних единиц измерения в другие. Закрепляет навык вычленения делимого, делителя, частного и остатка.

Задача 5. В ателье привезли рулоны тканей. Опытный директор ателье знает, что для пошива одного платья чаще всего требуется 2 м 50 см ткани. Какое количество платьев можно пошить из материала каждого вида и сколько материала останется от каждого рулона?


Вид материала

Бархат

Вельвет

Хлопок

Шелк

Шерсть

Длина






ткани в

26 м

32 м

48 м

70 м

34 м

рулоне






Решая эту задачу, учащиеся заполняют


Вид материала

Бархат

Вельвет


Хлопок

Шелк

Шерсть

Кол-во платьев

10

12

19

28

13

Остаток

1 м

2 м

50 см

0

1 м 50 см





Приближенные значения и округление чисел также вполне совместимы с изучением таблиц, диаграмм, средних характеристик и показателей разброса данных.

Задача 6. В таблице указано количество саженцев садовых деревьев и кустарников, проданных населению в течение года

Сколько всего саженцев было продано? Округлите эти данные, указав, сколько тысяч саженцев каждого вида было продано. Запишите соответствующие двойные неравенства.

Вид

Яблоня

Груша

Вишня

Малина

Слива

Смородина

Число







сажен

5256

1821

6743

11253

4487

10698

цев












Введение дробных чисел — важный этап расширения понятия о числе. Доли и обыкновенные дроби также вполне согласуются с рассмотрением стохастических ситуаций, при этом рождается новое понятие «частота». Поэтому изучение окружности и круга вполне естественно связать с понятием круговой диаграммы, используя ее для развития вероятностных представлений учащихся.

Задача 7. У Антона есть самодельная вертушка, изображенная на рис. 2. Какую долю составляет в ней каждая часть? Антон предложил Жене и Вале поиграть, вращая вертушку. Каждый из них выбирает одну часть и выигрывает, если стрелка остановится на его части. Во время игры к ним присоединились Кристина, Лида и Тамара. Все согласились играть вшестером, разделив каждую часть вертушки пополам. Начертите новую вертушку, которую должны будут изготовить ребята. Какую теперь долю составляет каждая часть?

image1

Рис. 2



Сложение и вычитание дробей наполняются стохастическим смыслом, приобретая практическую значимость посредством оперирования с частотами. Продолжая анализировать стохастические ситуации при изучении десятичных дробей, учащиеся подмечают отдельные свойства частоты, помогающие в дальнейшем воспринимать свойства вероятности события от ее эмпирического предшественника.

Частоты, записанные в виде десятичных дробей, помогают упростить нахождение процентов. Ученики начинают воспринимать процент как сотую часть выборки.

Введение понятий положительного и отрицательного числа можно сопроводить рассмотрением статистических сведений.

Задача 8. В течение 10 дней марта месяца измерялась температура (в градусах С) воздуха в двух городах.

В Ростове: -2; 0; -1; 5; 8; 12; 12; 7; -1; 3. В Орле: -11; -10; -5; 1; 0; 1; 2; -3; -5; -13.

Сравните средние характеристики этих данных (моды, медианы и средние арифметические), а также их разброс. В каком из этих городов наблюдаемая температура стабильнее?

При закреплении понятия рационального числа можно предложить ученикам задания, связанные с анализом данных.

Задача 9. Собираясь на рыбалку, Денис попытался оценить вероятность того, что он поймает щуку. Данные об улове за прошедшие дни представлены в таблице. Составьте таблицу частот. Представьте каждую частоту в виде периодической дроби. Оцените вероятности событий: а) «Денис поймает щуку»; б) «Денис поймает хищную рыбу».

Название рыб

Щуки

Окуни

Караси

Пескари

Число пойманных рыб

11

23

34

22





Иррациональное число π вызывает у детей еще больший интерес при проведении эксперимента, описанного в следующей задаче.

Задача 10. Найдите небольшой стержень (гвоздь 30 мм, иглу, спицу). Большой лист бумаги разлинуйте параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на одинаковом расстоянии, в 2 раза большем длины стержня. Наудачу подбрасывая стержень, фиксируйте события: «Стержень пересекает прямую линию», «Стержень не пересекает прямую линию». Заполните таблицу частот. Вычислите число, обратное частоте события «Стержень пересекает прямую линию». Сравните с результатами товарищей.

После выполнения этого задания целесообразно составить сводную таблицу результатов, полученных всеми учениками класса, а если возможно, нескольких классов. Ученики замечают, что частота события «Стержень пересекает прямую линию» примерно в два раза меньше частоты события «Стержень не пересекает прямую линию».

То есть они примерно равны hello_html_7f8f9891.gifи hello_html_6a1c94eb.gif.

С помощью компьютера ребята могут получить сведения по имитации 10000, затем 20 0000 и т.д., подобных опытов. И подметить закономерность: при большом числе опытов число, обратное частоте события «Стержень пересекает прямую линию», близко к π=3,14. Объяснение этого факта будет доступно им позже: после ознакомления с геометрической вероятностью, синусоидой и интегралом.

Таким образом, достигаются взаимодействие и взаимообогащение числовой содержательно-методической линии и стохастической линии.

Включение элементов стохастики в формально-операционную линию способствует укреплению внутрипредметных связей между такими разделами, как «Отношения и пропорции», «Выражения и тождества», «Приближенные вычисления» и др.

Так, в теме «Нахождение дроби от числа и числа по его дроби» уместна следующая задача.

Задача 11. Директор книжного магазина «Всезнайка» планирует заказ новой художественной литературы. Среди покупателей в течение месяца было 360 мальчиков и 540 девочек. Каждый покупатель приобрел только одну книгу. Книги о приключениях купили 40% мальчиков и 30% девочек. Остальные мальчики выбрали фантастику. Треть девочек из отказавшихся от жанра приключений, выбрали себе фантастическую литературу, а остальные девочки - лирические произведения. Какой вид художественной литературы покупали чаще? Реже? Найдите соответствующие частоты. Сколько процентов книг каждого вида заготовит, вероятнее всего, владелец магазина на предстоящую неделю?

Решение данной задачи целесообразно проиллюстрировать. Такие рисунки способствуют пропедевтике интуитивно понимаемого правила умножения вероятностей, зрительной опорой которого служит дерево, на ветвях которого они записаны.

image1


Вероятностно-статистическое содержание помогает закреплению навыков составления числовых выражений, вычисления значений сумм и произведений.

Задача 12. При вращении трехцветной вертушки стрелка остановилась на красном k раз, на синем n раз, а на зелёном m раз. Сколько всего было проведено испытаний? Составьте выражение и найдите его значение при: а) k = 16, n= 5, m = 9; б) k= 51, n = 32, m = 49.

Задача 13. По формуле Р = 2 × α + 2 × b найдите периметры случайно образованных прямоугольников, если α- длина стороны, равная выпавшему

числу очков при вращении вертушки, показанной на рис. 4, b - длина стороны, равная выпавшему числу очков при вращении вертушки, показанной на рисунке 5.


image1

рис.4 рис.5

В тему «Рациональные дроби» целесообразно включить задачи следующего типа.

Задача 14. Найдите допустимые значения переменной р в выражении:



и знак дроби, если р - вероятность некоторого события.

В тему «Приближенные вычисления» можно добавить следующую задачу.

Задача 15. Два ученика изготовили по одной вертушке одного и того же вида и провели эксперименты со случайными исходами. Оба они считают, что вероятность определенного события равна числу, заключенному между 0,12 и 0,17. Кто из них рискует больше ошибиться: тот, который провел 50 испытаний, или тот, кто провел 100 испытаний? После этого они договорились провести одинаковое число испытаний и получили разные интервалы для оценки вероятности того же события: (0,12; 0,17) и (0,11; 0,18). Кто из них теперь рискует больше ошибиться?

Тема «Абсолютная и относительная погрешности» дает возможность для продолжениянакопления интуитивных представлений о случайных ошибках измерений. Взаимодействие с эмпирическим материалом помогает заметить важное свойство среднего арифметического: при большом числе опытов точное значение измеряемой величины а мало отличается от среднего арифметического х измеренных значений. То есть выполнение равенства а~х является очень вероятным событием.

Задача 16. С помощью пружинных весов домашнего пользования несколько раз измерили массу арбуза: 5,25; 5,2; 5,3; 5,25; 5,35; 5,5; 5,25; 5,3 (кг).

Чему приближенно равна масса данного арбуза? Какова точность этого приближенного значения?

Школьники вычисляют моду, медиану и среднее арифметическое заданных чисел. Из трех средних характеристик предпочтение здесь следует отдать среднему арифметическому, поэтому записывают приближенное равенство для массы m ≈ 5,3. Разность между наибольшим измеренным значением и средним арифметическим равна 5,5 - 5,3 = 0,2, а разность между средним арифметическим и наименьшим измеренным значением равна 5,3 - 5,2 = 0,1.

Поэтому |m-5,3]≤0,2. Масса арбуза равна 5,3 кг с точностью до 0,2. Относительная погрешность не превышает



Приведенная задача иллюстрирует взаимодействие вероятностно-статистической, формально-операционной, числовой линий, а также линии уравнений и неравенств. Ведь в ходе ее решения применялись: арифметические действия над десятичными дробями, понятие модуля числа, представление десятичных дробей в виде процентов, составление неравенств.

Линия уравнений и неравенств обогащается благодаря стохастике новым содержанием, что значительно усиливает ее интегрирующий потенциал.

Например, следующая задача помогает укрепить внутрипредметную взаимосвязь между: преобразованием обыкновенных дробей в десятичные, определением части от числа, представлением данных в виде процентов, составлением и решением уравнений по условию задачи, осуществлением тождественных преобразований.

Задача 17. В коробке лежали красные и синие шары. Проведя многочисленные опыты, нашли частоту события «Вынутый наудачу шар имеет красный цвет»: hello_html_2a8e51d5.gif

После этого положили в ту же коробку 18 красных и 2 синих шара и снова провели эксперимент: частота указанного события оказалась hello_html_70a5b14e.gif .

Оцените вероятности этого события в двух различных условиях испытания. Сколько красных шаров было в коробке первоначально? Вероятность данного события в первоначальных условиях приближенно равна 0,3, а в новых условиях 0,6. Поэтому можно считать, что сначала в коробке лежало примерно 30% красных шаров, а после пополнения их стало примерно 60%. Обозначив за х первоначальное количество всех шаров, получим уравнение

0,3 • х +18 = 0,6 • (х + 18 + 2),

откуда х = 20. Вероятно, красных шаров было 0,3 • 20 = 6.

Тема «Решение квадратных уравнений» пополняется текстовыми задачами нового типа.

Задача 18. Какое количество туристов надо набрать в группу, отправляющуюся в поход на 10 дней, чтобы каждый день выделять двух дежурных (каждый дежурит с каждым в паре один раз)?

Даже не владея формульной комбинаторикой, ученики зрительно могут представить перед собой дерево возможных вариантов, на первом уровне которого n узлов, а на втором n - 1 узлов (где n - число туристов). Исключая повторяющиеся варианты, составляют и решают

уравнение hello_html_4ac38e9.gif. Его корни: n1=5 и п2 =- 4 - не удовлетворяет условию, так как n - натуральное число.

В процесс изучения темы «Системы уравнений с двумя переменными» также вполне логично вписывается новый стохастический компонент. Приведем задачу, иллюстрирующую внутрипредметную взаимосвязь указанной темы между такими вопросами, как составление линейных уравнений и наложение ограничений на числовое значение буквенной величины, нахождение части от числа, свойства дробей и пропорций, тождественные преобразования.

Задача 19. Придя с рыбалки, студент Михаил загадочно сказал восьмикласснице Полине: «Я поймал 28 рыб: карпов и карасей. Вероятность наугад вынуть карпа из ведерка с уловом больше вероятности вынуть карася на ее треть. Сколько карпов я поймал и сколько карасей?». Какой правильный ответ он ожидает услышать от Полины?

Задача сводится к решению системы уравнений





где х - число карпов, у - число карасей.

Взаимосвязь элементов стохастики с содержанием раздела «Неравенства» можно показать, в частности, предложив следующую задачу.

Задача 20. В корзине находится 2 красных яблока и несколько зеленых яблок. Сколько зеленых яблок в корзине, если известно, что вероятность наудачу вынуть первым зеленое яблоко меньше hello_html_m53244232.gif и больше hello_html_m5eead61f.gif

Геометрический способ подсчета вероятностей полезно закреплять, привлекая системы неравенств с двумя переменными.

Задача 21. Авторучкой наудачу (не глядя) ставится точка обязательно в любое место области, заданной системой неравенств:

у ≤ х

х ≤ 5

у≥ 0.

Какова вероятность, что точка попадет в область, заданную системой неравенств:

2 ≤ х ≤ 3

0 ≤ у ≤ 2 ?

Функциональной линии всегда отводилась особая роль в интеграции школьной математики. Вероятностно- статистические представления могут оказать существенную помощь при изучении свойств различных функций, а функциональная пропедевтика приобретает новые, стохастические оттенки.

Задача 22. Карина бросала горошину на тетрадный лист в клеточку с изображенной на нем прямоугольной системой координат. Она записывала целые значения абсцисс и ординат точек, ближайших к началу координат от мест падения горошины. Изобразите на прямоугольной системе координат точки, полученные Кариной. Определите количество точек в I, II, III, IV четвертях.


Точка

А

В

С

D

Е

F

Абсцисса х

5

2

-3

-4

3

2

Ордината у

4

-1

2

-4

-2

0


Задача 23. На рисунке представлены сведения о зависимости массы плодов помидоров (г) от количества поливов (х). Какой линией можно приближенно выразить закономерность изменения массы плодов помидоров в зависимости от количества поливов? Графиком какой функции является эта линия, если она проходит через начало координат, а точки А(3; 120) и Б(5; 100) лежат на ней?











Интуитивно оценивая тенденцию в изменении массы плодов помидоров, учащиеся предполагают: вероятно, линия является графиком квадратичной функции. Так как она проходит через начало координат, то у = ах + bх. Подставляя координаты заданных точек, и решая систему уравнений, находят: а = -10, b = 70.

Примером влияния стохастики на укрепление взаимосвязей между линией уравнений и неравенств с функциональной линией служит нижеследующая задача.

Задача 24. Валерия и Влада решили положить в коробку 10 шариков двух видов: белые и красные. Они будут наудачу вынимать из коробки одновременно два шарика. Если шарики окажутся разного цвета, то выигрывает Валерия, а если они будут одного цвета, то выигрывает Влада.

Сколько белых шариков заинтересована положить в коробку каждая из них, чтобы вероятность выиграть для нее была наибольшей?

Обозначив х - число белых шариков в коробке, учащиеся должны записать

hello_html_m766ad2b4.gif


вероятность выигрыша Валерии,

hello_html_m2f484307.gif


вероятность выигрыша Влада

Далее исследуют две функции

y=hello_html_f37e2f8.gif×(10x-x ) и y=hello_html_f37e2f8.gif×(x -10x+45)



D:\DOCUME~1\AE27~1\LOCALS~1\Temp\media\image1.jpeg





D:\DOCUME~1\AE27~1\LOCALS~1\Temp\media\image2.jpeg




Первая достигает наибольшего значения при х=5, поэтому Валерия заинтересована положить в коробку 5 белых шариков. При исследовании второй функции следует принять во внимание, что 0 ≤ у ≤ 1, а0≤х≤ 10. Поэтому Влада заинтересована положить в коробку либо один белый шарик, либо девять белых шариков.

Применение элементов стохастики обогащает также и содержание темы «Прогрессии».

Задача 25. При проведении математической викторины одна из команд должна была определить количественный состав находящихся в пакете пятнадцати жетонов трех видов: синего, красного, зеленого. Дополнительно участникам викторины сообщили, что искомые числа являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. С разрешения жюри команда провела опыты, вынимая наугад по одному жетону (с возвращением). Результаты опытов были представлены таблице.


Цвет жетона

Синий

Красный

Зеленый

Число опытов

9

19

22





Какой из следующих ответов наиболее вероятно согласуется с результатами проведенных опытов:

  1. синих 2; красных 5; зеленых 8;

  2. синих 7; красных 5; зеленых 3;

  3. синих 3; красных 6; зеленых 6;

  4. синих 4; красных 5; зеленых 6;

  5. синих 3; красных 5; зеленых 7;

  6. синих 3; красных 6; зеленых 7?

Задача 28. Два игрока попеременно

бросают игральный кубик до тех пор, пока выпадет пятерка. Побеждает тот, у кого первого выпадет пятерка. Какова вероятность, что победит тот игрок, который начинает бросать первым? Вторым?

Используя дерево, школьники вычислят суммы членов бесконечно убывающих геометрических прогрессий:


x=hello_html_m11f0fb5b.gif+ hello_html_m4f8ee521.gif+ hello_html_m466ce59e.gif



y=hello_html_m4f8ee521.gif+ hello_html_m4f8ee521.gif+ hello_html_489fcbf6.gif


Искомые вероятности равны


x =hello_html_m4d59da8.gif ; y =hello_html_m41c80c58.gif

До изучения формулы суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ребята смогли бы найти эти вероятности другим способом. Он состоит в следующем. Мысленно представим себе такую игру. Фишка находится на позиции «старт», при выпадении пятерки фишку перемещают на позицию I, в противном случае - на позицию А.

С позиции А фишка попадает на позицию II в том случае, если при следующем бросании выпадает пятерка, а если пятерка не выпадет, то фишка перемещается с позиции А на «старт». Очевидно, что при попадании фишки на позицию I побеждает игрок, начавший бросать первым. При попадании фишки на позицию II побеждает второй игрок.

Тогда вероятность того, что победит первый игрок, находится из уравнения:

x = hello_html_m11f0fb5b.gif+hello_html_m6389e521.gif

а вероятность того, что победит второй игрок, из уравнения:

y = hello_html_m4f8ee521.gif+hello_html_5ad09aab.gif

Решая уравнения, получаем:

x=hello_html_m4d59da8.gif y=hello_html_m41c80c58.gif .



















ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В современную школьную программу входит довольно много статистических законов, причем некоторые из них излагаются достаточно подробно. Более того, в школьных учебниках неоднократно разъясняется основное свойство таких законов - они проявляют себя явно только в массовых явлениях. И если в школьную программу по математике будут введены элементы теории вероятностей и статистики, то эти законы смогут служить содержательными примерами. Особую пользу должно принести разнообразие этих примеров - они относятся и к биологии, и к физике, и к химии. Обратив внимание школьника на столь несхожие явления как распад радиоактивного атома, окраска цветка, определяемая законом Менделя, соединение ионов в растворе электролита, решение капрала о продлении срока службы и другие, можно помочь ему увидеть то общее, что проявляется во всех этих явлениях — их статистический характер. А неформально усвоив понятие «статистический закон», ученик лучше поймет и смысл закона больших чисел - одного из основных законов теории вероятностей. Причем польза будет взаимной. Если школьник будет знать основные положения теории вероятностей, ему будет легче понять законы Менделя, закон радиоактивного распада и многое другое.

За последние годы мы стали свидетелями рождения новых и своеобразных методов прикладной теории вероятностей, появление которых связано со спецификой исследуемых технических проблем. Речь идет, в частности, о таких дисциплинах, как "теория информации" и "теория массового обслуживания". Возникшие из непосредственных потребностей практики, эти разделы теории вероятностей приобретают общее теоретическое значение, а круг их приложения постоянно увеличивается

Связь теории вероятностей с практическими потребностями, как уже было отмечено, была основной причиной бурного развития ее в последние десятилетия. Многие ее разделы были развиты как раз в связи с ответами на запросы практиков.

"Сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием ее: она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах давно известных… если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от новых развитий ее, то она еще более приобретает открытием новых методов, и в этом случае наука находит себе верного руководителя в практике".

Основатель отечественной школы теории вероятностей П. Л. Чебышев.


































БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

  1. Бунимович, Е. А. Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математики // Математика в школе. – №4. – 2002.

  2. Изучение теории вероятностей и статистики в школьном курсе математики. Программа для курсов повышения квалификации учителей / В. А. Булычев, Е. А. Бунимович // Математика в школе. – №4. – 2003.

  3. Бунимович, Е.А., Суворова, С. Б. Методические указания к теме «Статистические исследования» // Математика в школе. – №3. – 2003.

  4. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. Элементы комбинаторики в школьном курсе алгебры // Математика в школе. – №6. – 2004.

  5. Макарычев, Ю. Н., Миндюк, Н. Начальные сведения из теории вероятностей в школьном курсе алгебры // Математика в школе. – №7. – 2004.

  6. Мордкович, А. Г., Семенов, П. В. События, вероятности, статистическая обработка данных // Математика (приложение к газете «Первое сентября»). – №34, 35, 41, 43, 44, 48, 2002, №11, 17, 2003.

  7. Селютин, В. Д. О формировании первоначальных стохастических представлений // Математика в школе. – №3. – 2003.

  8. Селютин, В. Д. О подготовке учителей к обучению школьников стохастике // Математика в школе. – №4. – 2003.

  9. Студенецкая, В. Н., Фадеева, О. М. Статистика и теория вероятностей на пороге основной школы // Математика в школе. – №6. – 2004.

  10. Студенецкая, В. Н., Фадеева, О. М. Новое пособие по теории вероятностей для основной школы // Математика в школе. – №7. – 2004.

  11. Ткачева, М. В., Федорова, Н. Е. Элементы статистики в курсе математики 7-9 классов основной школы // Математика в школе. – №3. – 2003.

  12. Ткачева, М. В. Анализ данных в учебниках Н. Я. Виленкина и других // Математика в школе. – №5. – 2003.

  13. Тюрин, Ю. Н., Макаров, А. А., Высоцкий, И. Р., Ященко, И. В. Теория вероятностей и статистика: методическое пособие для учителя.










Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 30.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров279
Номер материала ДВ-298914
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх