ПРОЕКТ

по математике "Тела  вращения и их использование в жизни"

1. Авторы проекта – учащиеся группы № 14 Головков Алексей и Дудольский Владимир, руководитель проекта – преподаватель математики Грибова О.М.

2. Предмет – математика, 2 курс СПО.

3.Сроки реализации 01.10.2017 – 01.05.2018 г.

4. Краткая аннотация проекта.

Настоящий проект направлен на поиск новых идей в преподавании математики  по теме «Многогранники и круглые тела» и обобщение материала по теме «Круглые тела» в курсе математики для обучающихся  по программе среднего профессионального образования

Проект является личностно ориентированным, так как предполагает возможность участия в нем различного уровня подготовки  учащихся. В ходе реализации проекта учащиеся не только знакомятся с основным материалом учебной темы, но и получают дополнительные знания по моделированию многогранников и тел вращения, учатся находить и использовать на практике межпредметные связи, знания различных наук.

4. План проекта.

Организационно-подготовительный:

- формирование группы учащихся;

- составление плана работы;

- формулирование вопросов для исследований;

- подбор информационных ресурсов для проекта;

Обучающий:

- введение в проблематику проекта с помощью вводной лекции преподавателя;

- выявление предварительных знаний учеников по теме проекта, выяснение тем исследований, интересных учащимся;

- формулирование проблемных и частных вопросов проекта, темы исследования;

- планирование исследований (цели, задачи, гипотеза, методы);

- обсуждение с учениками возможных источников информации;

- определение этапов работы над проектом.

Исследовательский. Исследования, проводимые в рамках проекта:

 «Фигура вращения – цилиндр».

 «Фигура вращения – конус».

 «Фигуры вращения – сфера, эллипсоид, параболоид, гиперболоид».

 «Практическое применение фигур вращения в жизни».

Этапы работы над проектом.

Самостоятельная работа учащихся: проведение исследований, сбор информации, самостоятельный поиск информации в Интернете. Сохранение результатов в формате Word.

Работа с учебником, печатными материалами. Изучение методических материалов, предлагаемых к проекту. Составление плана презентации. Оформление результатов исследований с помощью  презентации.

 Презентация результатов, защита проекта.

ВВЕДЕНИЕ

Математика – это царица наук, е геометрия – это одна из составных частей математики.  Геометрия - («гео» означает земля, «метр»-единица измерения длины) это наука, изучающая формы, размеры и взаимное расположение геометрических фигур. Считается, что геометрия зародилась в Древнем Египте около 2000 лет до нашей эры. Древнегреческий историк Геродот писал: «Сезотрис, египетский фараон, дал каждому египтянину участок земли, и брал за неё налог. Река Нил заливала тот или иной участок, и он уменьшался. Люди приходили к фараону для того чтобы он уменьшил налог. Фараон посылал к пострадавшему землемеров. Так возникла геометрия в Египте, а оттуда перешла в Грецию».

В Древней Греции геометрия считалась одним из семи свободных искусств по уровню обучения. Остальными являлись Грамматика, Риторика, Диалектика, Арифметика, Музыка и Астрономия. Древние египтяне относились с большим почтением к геометрии, так как по её законам двигаются все тела на нашей планете, в нашей вселенной. Геометрические тела разных форм, разных размеров встречаются в нашем мире повсеместно, поэтому очень важно знать их свойства. Поэтому мы выбрали эту тему. Мы считаем, что именно эта тема актуальна в наше время. В нашем проекте мы постараемся дать подробную характеристику телам вращения, так как они широко распространены в окружающем нас пространстве: животном и растительном мире, архитектуре и жизни людей.

Цели проекта:

- вовлечение каждого ученика в активный познавательный процесс;

- расширение и углубление знаний по изучаемой теме;

- воспитание коммуникативных навыков, навыков сотрудничества;

- формирование умений в построении фигур вращения.

Задачи:

- формирование навыков исследовательской работы;

- развитие творческих способностей;

- развитие интереса к предмету, умений обобщать и систематизировать материал;

- применять теоретические знания при построении фигур вращения,

Содержание работы

Параболоид вращения

Архимед (лат. Archimedes, греч. Архимидис) (около 287 до н.э., Сиракузы, Сицилия - 212 до н.э.) - древнегреческий ученый, математик и механик, основоположник теоретической механики и гидростатики. Он впервые упоминает о параболоиде в своем трактате "О коноидах и сфероидах".

Параболо́ид ― тип поверхности второго порядка. Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.

Эллиптический параболоид     называется параболоидом вращения. Если вращать параболу y =  ах² вокруг своей  оси то получится поверхность, которую называют параболоидом вращения.

Гиперболический

параболоид                                                    Параболоид вращения

Лучи идущие параллельно оси параболоида после отражения от граней параболоида концентрируются в одной точке называемой фокусом параболоида. На этом свойстве устроены параболические телескопы, параболические антенны, прожектора, проекторы, автомобильные фары.

Если же источник света поместить в фокус параболоида, то лучи, идущие от источника света, будут концентрироваться в световой пучок, идущий параллельно оси параболоида. Этот факт находит применение при создании прожекторов, фонарей, проекторов, где зеркало имеет форму параболоида.

Поверхность жидкости в равномерно вращающемся сосуде является параболоидом вращения.

Эллипс

Если плоскость сечения цилиндра составляет некоторый угол с плоскостью основания и не пересекает основания, то в сечении будет фигура, ограниченная эллипсом.

Фокальное свойство эллипса. Внутри эллипса существуют такие точки F1 и F2, называемые фокусами эллипса, что сумма расстояний от любой точки А эллипса до этих точек есть величина постоянная.

Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением. Эллипс - ортогональная проекция окружности на плоскость.

·         проходящий через фокусы эллипса отрезок AB, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса;

·         отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса;

·         точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.

Эллипсоид вращения (сфероид)

нормальный

Эллипсо́ид враще́ния  - это фигура вращения в трёхмерном пространстве, образованная при вращении эллипса вокруг одной из его главных осей.

вытянутый  сплюснутый    

Цилиндр

Цилиндр – это геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. Цилиндр образуется при вращении прямоугольника вокруг прямой, содержащей его сторону.

«Цилиндр» - греческое слово «kylindros», что означает «валик», «каток».

Основные элементы цилиндра:

·         прямой круговой цилиндр - это тело, получаемое вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон;

·         сторона прямоугольника, вокруг которой производилось вращение, называется осью цилиндра;

·         радиус основания является радиусом цилиндра;

·         расстояние между основаниями цилиндра называется его высотой;

·         любой отрезок, параллельный оси цилиндра и соединяющий граничные точки его оснований, называется образующей цилиндра.

Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих. Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

Наклонный цилиндр – цилиндр, образующие которого не перпендикулярны плоскостям его оснований. Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту. (рис. 3)

Свойства цилиндра:

·         основания цилиндра равны, так как параллельный перенос есть движение;

·         основания цилиндра лежат в параллельных плоскостях, так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость;

·         образующие цилиндра параллельны и равны, так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным прямым на одно и то же расстояние.

Сечения цилиндра:

·         секущая плоскость проходит вдоль оси цилиндра. Такое сечение называется осевым;

·         секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра. Сечением является круг;

·         секущая плоскость параллельна оси цилиндра. Сечением является прямоугольник;

·         секущая плоскость наклонена к плоскости основания. Сечением является эллипс.

Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковыми ребрами – образующие цилиндра.

Призмой, описанной около цилиндра, называется призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра.

Касательной плоскостью к цилиндру называется плоскость, проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.

Конус

Конус – тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L.

Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР перпендикулярную к плоскости ß этой окружности. Через точку Р и каждую точку окружности проведём прямую. Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью, а прямые – образующими конической поверхности. Точка Р называется вершиной, прямая ОР – осью конической поверхности. Круг называется основанием конуса. Вершина конической поверхности – вершиной конуса. Отрезки образующих, заключённых между вершиной и основанием, называются боковой поверхностью конуса. Ось конической поверхности называется осью конуса, а её отрезок, заключённый между вершиной и основанием, - высотой конуса. Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов.

Например, данный конус был получен вращением прямоугольного треугольника ABC вокруг катета АВ.

Осевое сечение. Если сечение конуса проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого - диаметр основания конуса, а боковые стороны - образующие конуса.

·         Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром, расположенным на оси конуса.

·         Радиус r΄ этого круга равен РО΄/РО • r , где r – радиус основания конуса

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки, которая равна произведению половины длины окружности основания на образующую S=πrl.

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления S полной поверхности конуса получается формула S=πr(l+r).

Усечённый конус

Возьмём произвольный конус и проведём секущую плоскость, перпендикулярно к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усечённым конусом. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усечённого конуса, а отрезок, соединяющий их центры, - высотой усечённого конуса.

Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключённые между основаниями, называются образующими усечённого конуса. Все образующие равны друг другу.

Усечённый конус может быть получен вращением прямоугольный трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной к основаниям. Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую, т.е. S=π(r+r΄)l, где r и r΄-радиусы оснований, l - образующая усечённого конуса.

Шар

Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. 

Практическое применение фигур вращения

·         в природе

Конусообразные формы встречаются в конструкциях крон и стволов деревьев, стеблей и соцветий, грибов, раковин и пр. В природе встречаются конусообразные формы двух типов. Первый тип предназначен для обеспечения устойчивости. Ему соответствует статичный конус, или конус гравитации(конус основанием вниз). Это оптимальная форма для сопротивления ветровым нагрузкам и действию силы тяжести. Ее легко увидеть в форме кроны или ствола ели, шляпки или ножки белого гриба.

Второй тип соответствует началу развития и выражается в форме динамического конуса или конуса роста (конус основанием вверх). Примерами конуса роста является гриб лисичка, лишайник кладония красноплодная.

В природе обычно встречаются не чистые типы конусов, а сочетание двух типов. Комбинации разных по типу конусов дают начало различным формообразованиям, например, кроны многих деревьев.

·         в архитектуре -  купол Исаакиевского собора, Адмиралтейский шпиль, купола церквей и соборов и многое другое.

·         в повседневной жизни – посуда, бытовые приборы, отдельные элементы конструкции зданий, предметы  обихода, изделия гончарного производства.

·         в научной деятельности  - лабораторное оборудование, элементы зданий, детали приборов

Над проектом работали

·         Дудольский Владимир

·         Головков Алексей

Руководитель: Грибова Ольга Михайловна.

Заключение

Значение изучения свойств тел вращения трудно переоценить. Важную роль играет знакомство с ними в связи с подготовкой учащихся к практической жизни, к труду. Форму тел вращения имеют многие детали машин, приборов. При обработке металла или дерева на токарном станке в промышленности очень быстро и с высокой степенью точности изготавливают детали, имеющие форму цилиндра, конуса или шара. Телами вращения являются и изделия гончарного производства.

Теоретический материал раздела о телах вращения по объему бывает невелик. Изучение данной темы методом проекта потребовало от авторов пректа больше времени на самостоятельную работу, работу за компьютером. В ходе реализации проекта учащиеся не только познакомились с основным материалом учебной темы, но и получили дополнительные знания по моделированию тел вращения, научились находить и использовать на практике межпредметные связи, знания различных наук. Конечным продуктом проекта является  презентация проекта.

Источники информации

·         http://wikipedia.org

·         http://www.terver.ru/cilindrsvojstva.php

·         http://yandex.ru/images/

·         http://www.myshared.ru/slide/277443/

·         http://propro.ru/graphbook/graphbook/book/001/038/01

·         htmfile:///C:/Users/Win/Deskt

·         http://propro.ru/graphbook/graphbook/book/001/038/01.htmfile:///C:/Users/Win