Аннотация
Данная работа ставит цель создания эскиза
мозаики из правильных многоугольников. Для этого была изучена история мозаики.
Проведено исследование о мозаике в городе Липецк. На основе математических
фактов и произведённых расчётов была доказана гипотеза о том, что вокруг одной
точки можно уложить плоскость без просветов.
Введение
В нашей беспокойной жизни нам
часто не хватает времени чтобы обратить внимание на окружающий мир. В связи с
чем мы не придаём значение многим вещам. Например тому, что геометрия давно
является неотъемлемой частью нашей жизни. «Как же?» - спросите вы. Очень
просто. Взгляните на пол, сходите в ванную комнату, выйдите на улицу. Почти на
каждом шагу вы увидите геометрическую мозаику. Мозаика — это бесконечное
семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных
покрытий. Она производит приятное впечатление, если достаточно симметрична.
Мозаика с древнейших времён привлекает к себе внимание. А также является
объектом исследований математиков. Согласитесь тема интересна, но захотев
узнать о ней получше, вам этого практически не удастся, всё что вы узнаете это
то, что «Геометрическая мозаика – это развивающая игра, которая познакомит
малыша с различными геометрическими фигурами и научит составлять из них
различные композиции.» Именно поэтому тема актуальна, так как её «плоды» широко
распространены в повседневной жизни человека.
Цель: создать
эскизы мозаики из правильных многоугольников.
Задачи:
1. Узнать
историю мозаики.
2. Провести
исследование о мозаики в городе Липецк.
3. Обосновать с помощью математических фактов, как можно уложить мозаику
на плоскости вокруг одной точки без просветов.
4. Создать эскизы мозаики.
5. Разработать буклет.
Методы работы:
литературные, исследовательские,
аналитический, математический.
Глава 1. Историография
Мозаика — это вид
монументального искусства. Это узор или изображение, выложенное из однородных
или различных мелких частиц.
Важное достоинство мозаики —
ее долговечность. Краски не выцветают от времени и не боятся солнечного света.
При надежном основании мозаика может просуществовать тысячелетия.[1]
Древнейшие памятники мозаики относятся к III тысячелетию до н.э. Техники,
близкие к мозаике, можно обнаружить в искусстве Древней Месопотамии.
Широчайшее распространение мозаика получила в античном мире в качестве
средства напольной декорации. В Древней Греции получили распространение
напольные галечные мозаики в Олинфе и Пелле.
В искусстве эллинизма начала складываться традиция использования
напольных мозаик из обработанных вручную тессер. Обширные мозаичные ансамбли
открыты в жилых домах, загородных виллах, фонтанах, банях и других общественных
сооружениях в Древнем Риме и его провинциях. В них представлено огромное
разнообразие сюжетов: натюрморты-обманки, сцены охоты, спортивных игр,
исторические композиции, 3-мерные иллюзионистические орнаменты.
Художественные возможности мозаики в наибольшей степени были
раскрыты в искусстве Византии. При императоре Юстиниане мозаичное убранство
получает Святой Софии храм в Константинополе, церкви в Равенне, в г. Фессалоники,
на Синае. В Большом императорском дворце Константинополя создаются напольные
мозаики с охотничьими и пасторальными сценами. Византийская мозаичная система
получила распространение также в странах, входящих в ареал культурного влияния
Византии: в Древней Руси, в Грузии и др.
Благодаря византийским мастерам мозаика стала использоваться и в
мусульманских странах. Традиция напольных мозаик продолжалась в средне-вековой
Сирии и Палестине. Византийские мастера в период иконоборчества привнесли искусство
мозаики в Западную Европу.
В отличие от Византии, в Европе преобладало сплошное декорирование
стен и сводов храма; мозаика использовалась для создания нарративных
композиций, а система декора крестово-купольного храма была адаптирована к
базиликальному типу церковного здания. Подражание раннехристианским памятникам
сыграло важную роль в возрождении мозаичных декораций в Риме в XII-XIV веках. В
конце XI - начале XIV веков в Риме развивается особая техника, получившая
название косматских мозаик.
Начиная с эпохи Возрождения мозаика во многом утрачивает свою
специфику, начинает подражать другим видам живописи и постепенно вытесняется
ими. В конце XVI-XVII веков мозаичным центром продолжает оставаться Рим, где
действует мастерская, в которой создаются мозаика для собора Святого Петра. В
искусстве классицизма второй половины XVIII - первой половины XIX веков под
влиянием античных памятников, открытых в Помпеях и Геркулануме, получает
распространение мозаичная миниатюра, которой декорировались мебель и предметы
декоративно-прикладного искусства, ювелирные изделия.
Историзм XIX века повлёк за собой возрождение мозаики. Мозаичные
мастерские возникают в Париже. В Венеции около 1860 года начинает работать
мастерская А. Сальвиати, открывшего не прямой метод мозаичного набора.
В России технику смальтовой мозаики возродил в XVIII веке М.В.
Ломоносов, под руководством которого были созданы «Портрет Петра I» и картина
«Полтавская баталия», а так же мозаичные миниатюры.
С целью изготовления мозаики для Исаакиевского собора в
Санкт-Петербурге в 1847 году основано Императорское мозаичное заведение,
рус.художники-мозаичисты в 1847–51 обучались в Риме в специально открытой
студии под рук. М. Барберри.
В дальнейшем русскими мозаичистами создавались иконы для
Севастопольского собора в Санкт-Петербурге, Чудова монастыря в Москве, мозаики
на фасадах великокняжеской усыпальницы в Петропавловской крепости в
Санкт-Петербурге. В храме Воскресения Христова в Санкт-Петербурге мозаики
покрывают фасады и внутренние стены.
Мозаика широко использовалась в советском
декоративно-оформительском искусстве, например в оформлении станций Московского
метрополитена.[2] (Приложение 1)
В городе Липецк, так же присутствует мозаика. Когда-то давно, до
реконструкции Нижнего парка, в нём находились питьевые фонтанчики с минеральной
водой, полностью облицованные мозаикой. До настоящего времени они не
сохранились. Но сохранилось самое известное мозаичное панно Липецка. Увидеть
его можно на выходе из Нижнего парка на Петровский спуск. На мозаиках фактически
изображена история старого Липецка, есть там и старые гербы города. Со временем
переход претерпел несколько косметических ремонтов, при которых часть росписей
была утрачена. Но по оставшимся до сих пор проводятся экскурсии для гостей
Липецка. А ещё этот подземный переход «засветился» в фильме «Живой», снятом в
2006 году режиссёром Александром Велединским.[3]
(Приложение 2)
Проанализировав литературу, выяснили историю мозаики, как она
развивалась, какие техники использовались для её создания, как уходила и как
возвращалась. Узнали о её возрождение Ломоносовым в России. Проведя
исследование, узнали о мозаичном панно Липецка.
Глава 2.
Гипотеза
Вокруг одной точки можно уложить плоскость
без просветов:
1. С помощью одноимённых правильных многоугольников.
2. С помощью правильных многоугольников
двух различных форм.
3. С помощью правильных многоугольников
трёх различных форм.
2.1.
Заполнение плоскости правильными одноимёнными многоугольниками
Обозначим через n число сторон правильного многоугольника, тогда
- сумма всех внутренних
углов многоугольника и
- каждый угол
правильного многоугольника.
Чтобы можно было сгруппировать вокруг
какой-то точки определённое число одинаковых правильных многоугольников,
необходимо, чтобы сумма их углов, сходящихся в данной точке, равнялось 3600.
Для одноимённых правильных многоугольников
наименьшее число nможет равняться 3.
1) Если n=3,
то , значит это возможно
сделать правильными треугольниками и их число равно .
2) Если n=4,
то , значит это возможно
сделать правильными четырёхугольниками и их число равно .
3) Если n=6,
то , значит это возможно
сделать правильными шестиугольниками и их число равно .
Примечание: если n=5
иn>6 значение дроби больше 1200 и
правильных многоугольников не существует.
Вывод: вокруг одной точки можно уложить
плоскость без просвета, следующими одноимёнными правильными многоугольниками:
1. Шестью правильными треугольниками;
2. Четырьмя квадратами;
3. Тремя правильными шестиугольниками.
(Приложение 3)
2.2. Заполнение плоскости двумя видами
правильных многоугольников
1) Обозначим n
– количество треугольников, m
– количество квадратов, тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство .
Рассмотрим следующие случаи:
а) Если n=1,
то ; ; .
При n=1,
задача решений не имеет.
б) Если n=2,
то ; ; .
При n=2,
задача решений не имеет.
в) Если n=3,
то ; ; .
При n=3,
m=2,
задача имеет решение.
г) Если n=4,
то ; ; .
При n=4,
задача решений не имеет.
д) Если n=5,
то ; ; .
При n=5,
задача решений не имеет.
Примечание: при n>5,
задача решений не имеет, так как сумма получается больше 3600.
2) Обозначим n
– количество треугольников, m
– количество шестиугольников, тогда согласно гипотезе должно выполняться
равенство .
Рассмотрим следующие случаи:
а) Если n=1,
то ; ; .
При n=1,
задача решений не имеет.
б) Если n=2,
то ; ; .
При n=2,
m=2,
задача имеет решение.
в) Если n=3,
то ; ; .
При n=3,
задача решений не имеет.
г) Если n=4,
то ; ; .
При n=4,
m=1,
задача имеет решение.
д) Если n=5,
то ; ; .
При n=5,
задача решений не имеет.
Примечание: при n>5,
задача решений не имеет, так как сумма получается больше 3600.
3) Обозначим n
– количество квадратов, m – количество
восьмиугольников, тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство .
Рассмотрим следующие случаи:
а) Если n=1,
то ; ; .
При n=1,
m=2,
задача имеет решение.
б) Если n=2,
то ; ; .
При n=2,
задача решений не имеет.
в) Если n=3,
то ; ; .
При n=3,
задача решений не имеет.
г) Если n=4,
то ; ; .
При n=4,
задача решений не имеет.
Примечание: при n>4,
задача решений не имеет, так как сумма получается больше 3600.
4) Обозначим n
– количество треугольников, m
– количество дненадцатиугольников, тогда согласно гипотезе должно выполняться
равенство .
Рассмотрим следующие случаи:
а) Если n=1,
то ; ; .
При n=1,
m=2,
задача имеет решение.
б) Если n=2,
то ; ; .
При n=2,
задача решений не имеет.
в) Если n=3,
то ; ; .
При n=3,
задача решений не имеет.
Примечание: при n>3,
задача решений не имеет, так как сумма получается больше 3600.
Вывод: вокруг одной точки можно уложить
плоскость без просвета, следующими правильными многоугольниками двух различных
форм:
1. Тремя треугольниками и двумя
четырёхугольниками;
2. Четырьмя треугольниками и одним
шестиугольником;
3. Двумя треугольниками и двумя
шестиугольниками;
4. Одним четырёхугольником и двумя
восьмиугольниками;
5. Одним треугольником и двумя
двенадцатиугольниками. (Приложение 4)
2.3.
Заполнение плоскости тремя видами
правильных многоугольников
1) Обозначим n
– количество треугольников, m
– количество четырёхугольников, k
– количество шестиугольников, тогда согласно гипотезе должно выполняться
равенство .
Рассмотрим следующие случаи:
а) Если n=1,
m=1,
то ; ; .
При n=1, m=1, задача решений не имеет.
б) Если n=1,
m=2,
то ; ; .
При n=1, m=2, k=1, задача имеет решение.
в) Если n=2,
m=1,
то ; ; .
При n=2, m=1, задача решений не имеет.
Примечание: при n>3,
задача решений не имеет, так как сумма получается больше 3600.
2) Обозначим n
– количество треугольников, m
– количество квадратов, k – количество
двенадцатиугольников, тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство .
Рассмотрим следующие случаи:
а) Если n=1,
m=1,
то ; ; .
При n=1, m=1, задача решений не имеет.
б) Если n=2,
m=1,
то ; ; .
При n=2, m=1, k=1, задача имеет решение.
Примечание: при n>3,
задача решений не имеет, так как сумма получается больше 3600.
3) Обозначим n
– количество четырёхугольников, m
– количество шестиугольников, k
– количество двенадцатиугольников, тогда согласно гипотезе должно выполняться
равенство .
Рассмотрим следующие случаи:
а) Если n=,
m=1,
то ; ; .
При n=1, m=1, k=1, задача имеет решение.
Примечание: при n>2,
задача решений не имеет, так как сумма получается больше 3600.
Вывод: вокруг одной точки можно уложить
плоскость без просвета, следующими правильными многоугольниками трёх различных
форм:
1. Одним треугольником, двумя
четырёхугольниками и одним шестиугольником;
2. Двумя треугольниками, одним
четырёхугольником и одним двенадцатиугольником;
3. Одним четырёхугольником, одним
шестиугольником и одним двенадцатиугольником. (Приложение 5)
Заключение
Выводы:
1. В ходе изучения литературы, выяснено,
что намёки на мозаику были ещё до нашей эры, но широчайшее распространение она
получила лишь в античном мире. С развитием мозаики, началось её распространение
по всему миру. В России она возрождена благодаря М. В. Ломоносову.
2. В ходе исследования по данной теме в
городе Липецк, выяснено, что в городе имеется мозаичное панно, что несёт на
себе историю Липецка.
3. С помощью математических фактов и
расчётов, доказана гипотеза о том, что вокруг одной точки можно уложить
плоскость без просветов с помощью одноимённых правильных многоугольников,
правильных многоугольников двух различных форм и правильных многоугольников
трёх различных форм.
4. Произведены расчёты отдельных элементов, с помощью которых,
каждый может создать собственный эскиз мозаики.
5. Разработан
буклет по данной теме.
Данная работа
будет полезна людям занимающимися строительными работами, архитекторам. Так же
она может быть использована в качестве справочных материалов на уроке
геометрии, в подготовке докладов или проектов на похожие темы.
Список использованной литературы:
1. Виннер А.
В. Материалы и техника мозаичной живописи. М., 1953
2. Демус О.
Мозаики византийских храмов. Принципы монументального искусства Византии.
М., 2001
3. Лазарев В. Н. Древнерусские мозаики и фрески.
4. Ульянов О. Г. Римский topos Образа: художники Императорской
Академии художеств XVIII–XX вв. и «новая Сикстинская капелла XXI века».
5. Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона.
6. http://art-school.pro/chto-takoe-mozaika-kratkaya-istoriya-mozaiki/
7. https://w.histrf.ru/articles/article/show/mozaika
8. http://lipetskmedia.ru/m/news/view/59616-Andyegraund_.html
Приложение 1
Святилище в Уруке.
Мозаика на вилле Дель-Казале.
«Битва при Иссе»
В патриаршей базилике Аквилеи
Кафоликон монастыря Неа-Мони. Омейядов
мечеть в Дамаске.
«Полтавская баталия»
«Портрет Петра I»
«Нерукотворный спас»
Приложение 2
Питьевой
фонтанчик с минеральной водой. Липецк, Нижний парк ,первая половина 70х.
Подземный переход у Петровского спуска, ведущий в Нижний парк.
Приложение 3
Заполнение
плоскости правильными одноимёнными многоугольниками.
Приложение 4
Заполнение
плоскости двумя видами правильных многоугольников.
Приложение
5
Заполнение
плоскости тремя видами правильных многоугольников.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.